Một Số Biện Pháp Khắc Phục Các Sai Lầm Thường Gặp Của Học Sinh Khi Giải Toán Đại Số 9

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN  Tên đề tài: Một số biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp học sinh giải toán Đại số Giảng viên hướng dẫn : ThS Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực Lớp : Phan Thị Thùy Trang : 17ST Đà Nẵng, tháng 12 năm 2020 SVTH: Phan Thị Thùy Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Nội dung chương trình Đại số sách giáo khoa hành 1.1.1 Hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 Phương trình bậc hai ẩn 1.2 Dạy học giải toán 10 1.2.1 Yêu cầu lời giải toán 10 1.2.2 Các bước hoạt động giải toán 11 1.2.3 Về tiến trình giải tốn 11 1.3 Một số khó khăn học sinh học Đại số 12 1.3.1 Đại số mơn học khó 12 1.3.2 Nội dung, chương trình mơn Đại số bao gồm nhiều vấn đề 12 1.3.3 Bài tập Đại số chia thành nhiều dạng, nhiều công thức phương pháp giải khác 13 1.3.4 Khó khăn xuất phát từ tư tưởng rập khn, máy móc học sinh việc học môn Đại số 13 1.3.5 Khó khăn việc nắm vững tiếp cận kiến thức 13 1.3.6 Khó khăn việc vẽ đồ thị phân tích đồ thị 14 1.4 Những sai lầm học sinh thường mắc phải học môn Đại số 15 1.4.1 Sai lầm khơng nắm vững định nghĩa, định lí, quy tắc trình giải tập 15 SVTH: Phan Thị Thùy Trang 1.4.2 Sai lầm suy luận chưa logic 19 1.4.3 Sai lầm kỹ tính tốn, kỹ biến đổi, nhầm lẫn chức dấu "⟺” 𝑣à 𝑑ấ𝑢 “ ⟹ ” 20 1.4.4 Sai lầm cách vẽ đồ thị 22 1.4.5 Sai lầm lời giải (Lời giải chưa đầy đủ, thiếu trường hợp) 25 CHƯƠNG MỘT SỐ BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA HỌC SINH KHI HỌC MÔN ĐẠI SỐ 28 2.1 Biên pháp 1: Rèn luyện kĩ tư logic cho học sinh 28 2.1.1 Xây dựng , xếp chia nhỏ dạng tập từ đơn giản đến phức tạp 28 2.1.2 Giải toán phương pháp phân tích lên 30 2.1.3 Sử dụng đồ tư để tổng hợp kiến thức phương pháp giải liên quan đến chủ đề khác 32 2.2 Biện pháp 2: Sử dụng công cụ phần mềm hỗ trợ cho việc học môn Đại số 36 2.3 Biện pháp 3: Một số hoạt động dạy học giúp học sinh nắm vững môn Đại số 37 2.3.1 Chọn lọc kiến thức “Trọng tâm”…………………………… 37 2.3.2 Chọc lọc tập 41 2.3.3 Mở rộng dạng toán từ đến nâng cao, liên hệ kiến thức để giải tập nâng cao…………………………………………… 44 KẾT LUẬN 49 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 SVTH: Phan Thị Thùy Trang LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô khoa Toán – Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng tận tình giảng dạy tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt, gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ngơ Thị Bích Thủy – người trực tiếp hướng dẫn suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn ý kiến góp ý quý báu, động viên, giúp đỡ nhiệt tình gia đình, người thân, thầy cơ, bạn bè, bạn lớp 17ST trình tơi làm khóa luận tốt nghiệp XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! Đà Nẵng, tháng 11 năm 2020 Sinh viên Phan Thị Thùy Trang SVTH: Phan Thị Thùy Trang MỞ ĐẦU 1.Lí chọn đề tài Nâng cao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học mơn Tốn nói riêng u cầu cấp bách ngành giáo dục nước ta Để thực yêu cầu này, bước quan trọng đổi nội dung phương pháp dạy học Dạy học trình thống biện chứng việc dạy thầy việc học trò Muốn nâng cao chất lượng dạy học cần phải quan tâm nhiều đến hoạt động học tập học sinh Điều giúp học sinh rèn luyện phát triển thao tác tư Đại số mảng kiến thức địi hỏi người học phải có khả phân tích, tính tốn, tư logic, trừu tượng Vì trình học học sinh thường xuyên đối mặt với dạng toán yêu cầu phải biến đối phức tạp cần có khả phân tích dạng để rút cách làm Thêm vào đó, trình làm tốn cần phải đặt điều kiện để đưa kết luận sau nên học sinh khơng tránh khỏi sai lầm Chương trình Đại số lớp lại vô quan trọng chiếm 60% số điểm kỳ thi vào lớp 10 đến nên học sinh cần nỗ lực nhiều để nắm vững tránh sai sót để khơng ảnh hưởng đến kết kỳ thi Qua trình thực tập trường Trung học sơ sở, tơi tìm hiểu thực trạng dạy học Đại số lớp Là sinh viên sư phạm trường, chọn đề tài “Một số biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp học sinh học Đại số lớp 9” nhằm nâng cao chất lượng dạy học 2.Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu khó khăn, sai lầm phổ biến học sinh lớp học Đại số Từ đó, đề biện pháp sư phạm khắc phục, nâng cao lực giải toán cho học sinh SVTH: Phan Thị Thùy Trang 3.Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu khó khăn, sai lầm mà học sinh dễ mắc phải học môn Đại số - Đề xuất số biện pháp nhằm hạn chế khó khăn khắc phục sai lầm cho học sinh học Đại số Phương pháp nghiên cứu a Nghiên cứu lí luận Nghiên cứu lí luận phương pháp dạy học tốn, phương pháp dạy học đại số, tâm lí học để phân tích ngun nhân khó khăn, sai lầm đề số biện pháp khắc phục b Nghiên cứu thực tiễn Tiến hành tìm hiểu khó khăn, sai lầm học sinh thường gặp học đại số lớp thơng qua giáo viên tốn trường trung học sở trình kiến tập, kinh nghiệm học tập môn đại số thân, em học sinh thơng qua việc tìm hiểu tài liệu có liên quan đến mơn đại số Cấu trúc khóa luận: Gồm hai chương Chương 1: Cở sở lí luận Chương 2: Một số biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp học sinh học Đại số SVTH: Phan Thị Thùy Trang CHƯƠNG I CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Nội dung chương trình Đại số sách giáo khoa Tốn hành Chương trình Đại số lớp gồm: - Chương I : Căn bậc hai Căn bậc ba Bài 1: Căn bậc hai Bài 2: Căn thức bậc hai đẳng thức √𝐴2 = |𝐴| Bài 3: Liên hệ phép nhân phép khai phương Bài 4: Liên hệ phép chia phép khai phương Bài 5: Bảng bậc hai Bài 6: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai (tiếp theo) Bài 8: Rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai Bài 9: Căn bậc ba Ôn tập chương I - Chương II: Hàm số bậc Bài 1: Nhắc lại bổ sung khái niệm hàm số Bài 2: Hàm số bậc Bài 3: Đồ thị hàm số y = ax + b Bài 4: Đường thẳng song song đường thẳng cắt Bài 5: Hệ số góc đường thẳng y = ax + b Ôn tập chương II SVTH: Phan Thị Thùy Trang - Chương III: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn Bài 1: Phương trình bậc hai ẩn Bài 2: Hệ hai phương trình bậc hai ẩn Bài 3: Giải hệ phương trình phương pháp Bài 4: Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số Bài 5: Giải tốn cách lập hệ phương trình Bài 6: Giải tốn cách lập hệ phương trình (Tiếp theo) Ôn tập chương III (Câu hỏi - Bài tập) - Chương 4: Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) - Phương trình bậc hai ẩn Bài 1: Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Bài 2: Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠ 0) Bài 3: Phương trình bậc hai ẩn Bài 4: Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai Bài 5: Cơng thức nghiệm thu gọn Bài 6: Hệ thức Vi-ét ứng dụng Bài 7: Phương trình quy phương trình bậc hai Bài 8: Giải toán cách lập phương trình Ơn tập chương IV (Câu hỏi - Bài tập) 1.1.1 Hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 (𝑎 ≠ 0) Phương trình bậc hai ẩn a Hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 (𝑎 ≠ 0) - Tính chất: SVTH: Phan Thị Thùy Trang + Nếu 𝑎 > hàm số nghịch biến 𝑥 < đồng biến 𝑥 > + Nếu 𝑎 < hàm số đồng biến 𝑥 < nghịch biến 𝑥 > + Nếu 𝑎 > 𝑦 > với 𝑥 ≠ 0; 𝑦 = 𝑥 = Giá trị nhỏ hàm số 𝑦 = + Nếu 𝑎 < 0thì 𝑦 < với ≠ ; 𝑦 = 𝑥 = Giá trị lớn hàm số 𝑦 = b Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 2(𝑎 ≠ 0) - Nhận xét: Đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑎𝑥 (𝑎 ≠ 0) đường cong qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong gọi parabol với đỉnh O + Nếu 𝑎 > đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm thấp đồ thị + Nếu 𝑎 < đồ thị nằm phía trục hồnh, O điểm cao đồ thị c Phương trình bậc hai ẩn - Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn ( Nói gọn phương trình bậc hai) phương trình có dạng 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = x ẩn; a,b,c số cho trước gọi hệ số 𝑎 ≠ d Công thức nghiệm phương trình bậc hai - Kí hiệu: ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 gọi biệt thức phương trình (∆ chữ Hi Lạp, đọc “Denta”) - Kết luận: Đối với phương trình 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (a≠ 0) biệt thức ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐: + Nếu ∆> phương trình có hai nghiệm phân biệt: 𝑥1 = −𝑏+√∆ −𝑏−√∆ 2𝑎 2𝑎 ; 𝑥2 = ; + Nếu ∆= phương trình có nghiệm kép 𝑥1 = 𝑥2 = SVTH: Phan Thị Thùy Trang −𝑏 2𝑎 ; + Nếu ∆< phương trình vơ nghiệm e Cơng thức nghiệm thu gọn - Kết luận: Đối với phương trình 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (a≠ 0) b=2b’, ∆′ = 𝑏′2 − 𝑎𝑐 + Nếu ∆′ > phương trình có hai nghiệm phân biệt: 𝑥1 = −𝑏′+√∆′ −𝑏′−√∆′ 𝑎 𝑎 ; 𝑥2 = ′ + Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép 𝑥1 = 𝑥2 = −𝑏′ 𝑎 ; + Nếu ∆′ < phương trình vơ nghiệm f Hệ thức Vi-et ứng dụng - Định lí Vi-et: Nếu 𝑥1 , 𝑥2 hai nghiệm phương trình 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (a≠ 0) −𝑏 𝑎 { 𝑐 𝑥1 𝑥2 = 𝑎 𝑥1 + 𝑥2 = - Tổng quát: + Nếu phương trình 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = có 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = phương trình có 𝑐 nghiệm 𝑥1 = 1, cịn nghiệm 𝑥2 = 𝑎 + Nếu phương trình 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = có 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 = phương trình có −𝑐 nghiệm 𝑥1 = −1, nghiệm 𝑥2 = 𝑎 - Tìm hai số biết tổng tích: Nếu hai số có tổng S tích P hai số hai nghiệm phương trình 𝑥 − 𝑆𝑥 + 𝑃 = Điều kiện để có hai số 𝑆 − 4𝑃 ≥ g Phương trình quy phương trình bậc hai SVTH: Phan Thị Thùy Trang 10 Sơ đồ tư ví dụ minh họa giúp ta khái quát khái niệm tóm tắt phương pháp giải dạng tốn điển hình Việc lập sơ đồ tư giúp học sinh ghi nhớ sâu kiến thức vừa học đồ cho nhìn trực quan, sinh động, đồng thời giúp học sinh rèn luyện khả phân dạng kiến thức thành định nghĩa, định lí, phương pháp, hướng làm tập… Vì thế, học tập, việc lập đồ tư sau buổi học cần khuyến khích nhiều 2.2 Biện pháp 2: Sử dụng công cụ phần mềm hỗ trợ cho việc học môn Đại số Trong phân mơn Đại số 9, ngồi dạng tốn phân chia đa dạng với nhiều công thức khác nhau, tập vẽ đồ thị tính tốn liên quan đến đồ thị thường khiến học sinh gặp nhiều khó khăn Một phần q trình vẽ hình, học sinh khơng cẩn thận kĩ vẽ hình chưa tốt, điều vơ tình ảnh hưởng đến quan sát nhận định em tập có liên quan đến đồ thị Do đó, giảng dạy, thay vẽ tay thủ công trước tốn thời gian khiến cho học sinh khó quan sát, giáo viên sử dụng phương tiện trực quan nhằm khiến học sinh nâng cao lực vẽ hình đồng thời có hứng thú với mơn đại số vốn khó ghi nhớ nhiều cơng thức nhờ có cơng cụ hỗ trợ - Các phương tiện trực quan thường dùng dạy học bao gồm: Đồ dùng dạy học phần mềm dạy học a) Đồ dùng dạy học: Thước thẳng, thước Parabol, Compa Sử dụng loại đồ dùng dạy học giúp cho học sinh quan sát hình vẽ biểu diễn đồ thị cách trực quan, từ rút kinh nghiệm để vẽ hình giái tốn xác b) Phần mềm dạy học Cùng với phát triển vượt bậc công nghệ, việc dạy học khơng cịn áp dụng phương pháp hay dụng cụ dạy học mang tính thủ công SVTH: Phan Thị Thùy Trang 37 trước Ứng dụng tiến khoa học nâng cao chất lượng dạy học việc đổi phương pháp phần mềm hỗ trợ việc học tốn đời khơng giúp giáo viên thuận tiện việc biểu diễn đại lượng tốn học mà cịn giúp học sinh có hội tiếp cận ghi nhớ sâu kiến thức, hình vẽ,các kí hiệu sử dụng mơn đại số Dưới số phần mềm phổ biến hỗ trợ việc học môn Đại số lớp 9:  Phần mềm Geogebra Geogebra phần mềm vẽ hình nhiều người giới sử dụng, từ học sinh, sinh viên, giáo viên đến giảng viên đại học - Ưu điểm: + Phần mềm hỗ trợ nhiều ngơn ngữ, kể Tiếng Việt + Hồn tồn miễn phí hỗ trợ, chia sẻ tài nguyên nhiều người dùng giới + Chỉ với vài thao tác, bạn dễ dàng vẽ đồ thị hàm số theo yêu cầu - Nhược điểm: Đối với người bắt đầu sử dụng, khơng thuộc tính phần mềm người dùng cảm thấy rối sử dụng  Phần mềm Mathtype Mathtype phần mềm hỗ trợ gõ ký hiệu, công thức môn đại số từ đơn giản đến phức tạp, công cụ vơ hữu ích việc học soạn môn đại số - Ưu điểm: + Phần mềm dễ sử dụng, hỗ trợ gõ nhiều công thức, kí hiệu + Là phần mềm thơng dụng + Phần mềm nhỏ gọn, dễ cài đặt - Nhược điểm: Phần mềm địi hỏi người dùng phải trả phí sử dụng 2.3 Biện pháp 3: Một số hoạt động dạy học giúp học sinh nắm vững môn Đại số 2.3.1 Chọn lọc kiến thức “Trọng tâm” a) Sơ lược phương pháp Không riêng mơn tốn, để học sinh học tốt mơn học nào, học sinh cần nắm vững kiến thức nhất, từ tiếp cận dần với dạng nâng cao Các kiến thức sách giáo khoa kiến thức bản, nhiên trình dạy học giáo viên cần phải chọn lọc kiến thức SVTH: Phan Thị Thùy Trang 38 “trọng tâm”, để học sinh trọng vào kiến thức xem tảng nhất, sau vận dụng từ từ sang dạng khác Ví dụ: Trong “ Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai”, kiến thức sau xem trọng tâm: - Cho phương trình bậc hai: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = (𝑎 ≠ 0) Cách giải phương trình bậc hai: + Tính biệt thức: ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 + Xét xem:  Nếu ∆> phương trình có hai nghiệm phân biệt: 𝑥1 = −𝑏+√∆ 2𝑎 ; 𝑥2 = −𝑏−√∆ 2𝑎  Nếu ∆= phương trình có nghiệm kép: 𝑥1 = 𝑥2 =  Nếu ∆< phương trình vô nghiệm −𝑏 2𝑎 Việc chọn lọc kiến thức trọng tâm định đến nội dung phương pháp giảng dạy tiết học.Để phân tích chọn kiến thức trọng tâm cần hội đồng chuyên môn bao gồm thầy cô với kinh nghiệm giảng dạy lâu năm định Ngoài để củng cố khắc sâu kiến thức trên, cần có sơ tốn để học sinh vận dụng, chia thành dạng sau: + Bài toán minh họa giảng + Bài toán luyện tập lớp + Bài toán nhà bắt buộc + Bài toán học sinh tự luyện + Bài toán nâng cao cho học sinh khá, giỏi Trong “Cơng thức nghiệm phương trình bậc hai”, ví dụ sau xem tập luyện tập lớp: SVTH: Phan Thị Thùy Trang 39 Ví dụ 5: Giải phương trình bậc hai sau: 𝑎) 2𝑥 + 3𝑥 − 𝑏) 3𝑥 − 18𝑥 + 27 𝑐) 𝑥 − 8𝑥 + 20 Lời giải: 𝑎) ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = − (−5) = 49 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 𝑥1 = −𝑏+√∆ 2𝑎 = ; 𝑥2 = −𝑏−√∆ −5 2𝑎 = Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {1; a) −5 } ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 324 − 324 = Phương trình có nghiệm kép: 𝑥1 = 𝑥2 = −𝑏 2𝑎 =3 Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {3} ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = −16 < Vậy phương trình vơ nghiệm Qua ví dụ trên, học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm: Các công thức nghiệm phương trình bậc hai Ví dụ minh họa tốn nâng cao dành cho học sinh giỏi: Cho đẳng thức: 𝑥 − 𝑥 + 𝑦 − 𝑦 = 𝑥𝑦 (1) 4 a) Chứng minh rằng: (𝑦 − 1)2 ≤ ; (𝑥 − 1)2 ≤ b) 3 b) Tìm cặp số nguyên (𝑥; 𝑦) thỏa mãn đẳng thức (1) a) Viết (1) dạng phương trình bậc hai với 𝑥 ẩn, 𝑦 tham số, ta 𝑥 − (𝑦 + 1)𝑥 + (𝑦 − 𝑦) = (2) 2 ∆= 𝑏 − 4𝑎𝑐 = (𝑦 + 1) − 4(𝑦 − 𝑦) = −3𝑦 + 6𝑦 + Để phương trình (2) với ẩn 𝑥 có nghiệm, ta phải có ∆≥ 0, tức là: −3𝑦 + 6𝑦 + ≥ ⟺ 3𝑦 − 6𝑦 − ≤ ⟺ 3𝑦 − 6𝑦 + ≤ SVTH: Phan Thị Thùy Trang 40 Tương tự, viết (1) dạng phương trình bậc hai với 𝑦 ẩn, 𝑥 tham số, ta 𝑦 − (𝑥 + 1)𝑦 + (𝑥 − 𝑥 ) = (3) Giải tương tự , ta chứng minh : (𝑥 − 1)2 ≤ ⟺ 3(𝑦 − 1)2 ≤ ⟺ (𝑦 − 1)2 ≤ b) (𝑦 − 1) ≤ mà 𝑦 số nguyên nên 𝑦 − ∈ {−1; 0; 1}, tương ứng 𝑦 ∈ {0; 1; 2} Thay 𝑦 = vào (1) ta : 𝑥 − 𝑥 = ⟺ 𝑥 (𝑥 − 1) = nên 𝑥 ∈ {0; 1} Thay 𝑦 = vào (1) ta được: 𝑥 − 2𝑥 = ⟺ 𝑥 (𝑥 − 2) = nên 𝑥 ∈ {0; 2} Thay 𝑦 = vào (1) ta được: 𝑥 − 3𝑥 + = ∆= 𝑏 − 4𝑎𝑐 = − 4.2 = 1>0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 𝑥1 = −𝑏+√∆ 2𝑎 = ; 𝑥2 = −𝑏−√∆ 2𝑎 =1 Thử lại, ta có cặp số thỏa mãn (1) (0;0),(1;0),(0;1),(2;1),(1;2),(2;2) Qua ví dụ trên, học sinh nắm điều kiện để phương trình có nghiệm rút từ việc ghi nhớ cơng thức nghiệm phương trình bậc hai, từ điều kiện áp dụng vào việc chứng minh bất đẳng thức theo yêu cầu toán, khiến cho toán ban đầu rối rắm trở nên vô đơn giản dễ hiểu Đây tốn dành cho học sinh giỏi, học sinh cần phải nắm kiến thức trọng tâm cần có chút khiếu suy luận làm b Phương pháp góp phần: - Giúp học sinh nắm vững kiến thức: Phương pháp giúp học sinh định hình kiến thức trọng tâm cần phải trọng, giúp học sinh tránh tình trạng học lan man, khơng nắm nội dung cần học Thêm vào đó, phương pháp giúp cho học sinh có lượng kiến thức ổn định,vững vàng, đồng thời khắc sâu dễ dàng ghi nhớ kiến thức không nắm giúp học sinh luyện tập giải dạng toán từ mức phức tạp - Rèn luyện tư logic cho học sinh: + Khi phân loại tập tùy theo mục tiêu mà người giáo viên đặt ra, học sinh có hội rèn luyện tư logic thông qua dạng bài, tiến em phụ thuộc nhiều vào nỗ lực yêu thích việc giải dạng toán khác + Đối với toán minh họa giảng toán luyện tập lớp, học SVTH: Phan Thị Thùy Trang 41 sinh dễ dàng liên hệ liên quan mối liên hệ lý thuyết tập, từ học sinh hiểu vận dụng học việc giải dạng toán + Đối với toán nhà bắt buộc, việc hoàn thành tập giao để học sinh có hội trui rèn kiến thức học, ghi nhớ kỹ học, đồng thời xem xét thử cịn chỗ khúc mắc hay khó hiểu hay không để làm tiền đề vững chãi cho học sau + Đối với toán nâng cao dành cho học sinh giỏi, hội để học sinh trao dồi, luyện tập cách nhuần nhuyễn kiến thức trọng tâm, đồng thời giúp học sinh rèn luyện tư mức độ cao tập chất tốn nâng cao địi hỏi học sinh phải có lượng kiến thức chắn phải có lối tư sâu để vận dụng xen kẽ kiến thức trọng tâm với hồn thành tập hồn chỉnh - Rèn luyện cách trình bày hồn chỉnh toán: + Với tập lớp, giáo viên hướng dẫn góp ý cho học sinh trình bày tốn cách đầy đủ, xác + Với tập vận dụng nhà, học sinh có thêm thời gian trình bày tập cho hoàn chỉnh logic 2.3.2 Chọn lọc tập a) Sơ lược phương pháp: Song hành việc học sinh nên trọng vào kiến thức trọng tâm, việc chọn lọc tập mang lại nhiều hiệu việc học môn Đại số Kiến thức trọng tâm dẫn đến kiến thức khác liên quan, tập tiền đề tiến đến dạng tập khác cao Các tập có tính chất sau: + Rèn luyện tư giúp củng cố khắc sâu kiến thức học + Các tập có liên quan tương đồng cách giải b.Phương pháp góp phần: Thơng qua việc chọn lọc tốn bản, học sinh nắm phương pháp giải số dạng toán định, từ học sinh có kỹ để giải SVTH: Phan Thị Thùy Trang 42 toán điển hình sách giáo khoa Tập hợp tốn sở để học sinh chuyển sang tiếp cận dạng toán khác dễ dàng Ví dụ: Trong bài: Giải tốn cách lập phương trình, sách giáo khoa khơng phân rõ dạng để học sinh dễ phân biệt khác dạng toán Giáo viên nên chia tốn thành dạng sau: + Dạng 1: Toán quan hệ số + Dạng 2: Toán chuyển động + Dạng 3: Toán làm chung cơng việc + Dạng 4: Tốn có nội dung hình học + Dạng 5: Tính lãi suất ngân hàng + Dạng 6: Các dạng tốn khác Ví dụ: Trong bài: Hệ thức Vi-et ứng dụng, giáo viên chia thành dạng sau: + Dạng 1: Không giải phương trình, tính tổng tích nghiệm số + Dạng 2: Giải phương trình cách nhẩm nghiệm + Dạng 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng + Dạng 4: Phân tích 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 thành nhân tử + Dạng 5: Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm + Dạng 6: Dấu nghiệm số phương trình bậc hai + Dạng 7: Xác định tham số để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa điều kiện cho trước SVTH: Phan Thị Thùy Trang 43 + Dạng 8: Biểu thức đối xứng nghiệm 𝑥1, 𝑥2 phương trình bậc hai + Dạng 9: Tìm hệ thức nghiệm 𝑥1, 𝑥2 phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số Phương pháp giải dạng số bài: Giải toán cách lập phương trình: + Gọi s quãng đường thời gian t với vận tốc v, ta có cơng thức: 𝑠 = 𝑣 𝑡 (km/h),(m/s) + Vận tốc xi dịng = Vận tốc thật + Vận tốc dòng nước + Vận tốc ngược dòng = Vận tốc thật – Vận tốc dịng nước Ví dụ 7: Một ca nơ xi dịng 45 km ngược dịng 18km.Biết thời gian xi dịng thời gian ngược dòng vận tốc xi lớn vận tốc ngược 6km/h Tính vận tốc ca nơ lúc ngược dịng Lời giải: Gọi vận tốc ca nơ lúc ngược dịng 𝑥 (km/h) (x>0) Vận tốc ca nô lúc xuôi dịng 𝑥 + (km/h) Theo đề, ta có phương trình: 45 18 − =1 𝑥+6 𝑥 45𝑥 − 18(𝑥 + 6) 𝑥(𝑥 + 6) = (𝑥 + 6)𝑥 𝑥(𝑥 + 6) Suy ra: 45𝑥 − 18(𝑥 + 6) = 𝑥 (𝑥 + 6) ⟺ 𝑥 − 21𝑥 + 108 = ∆= 441 − 432 = > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: SVTH: Phan Thị Thùy Trang 44 𝑥1 = −𝑏 + √∆ −𝑏 − √∆ = 12, 𝑥1 = = 2𝑎 2𝑎 Thử lại nghiệm thỏa đề Vậy vận tốc ca nơ lúc ngược dịng 9km/h 12km/h Phương pháp giải dạng số bài: Hệ thức Vi-et ứng dụng: - Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm - Bước 2: Theo hệ thức Vi-et viết hệ thức S P theo m - Bước 3: Dùng quy tắc cộng quy tắc để khử m Ví dụ 8: Cho phương trình: 𝑥 − 2(𝑚 + 3)𝑥 + 4𝑚 − = (1) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc vào m Ta có: ∆′ = 𝑚2 + 2𝑚 + 10 = 𝑚2 + 2𝑚 + + = (𝑚 + 1)2 + > nên phương trình ln có nghiệm phân biệt Theo hệ thức Vi-et ta có: ( ) 2𝑆 = 4𝑚 + 12 {𝑆 = 𝑚 + ⟺ { 𝑃 = 4𝑚 − 𝑃 = 4𝑚 − Trừ vế hai đẳng thức ta được: 2𝑆 − 𝑃 = 13 ℎ𝑎𝑦 2(𝑥1 + 𝑥2 ) − 𝑥1 𝑥2 = 13 Vậy hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: 2(𝑥1 + 𝑥2 ) − 𝑥1 𝑥2 = 13 2.3.3 Mở rộng dạng toán từ đến nâng cao, liên hệ kiến thức để giải tập nâng cao a Sơ lược phương pháp: Trong q trình học mơn Đại số, học sinh học cách máy móc cơng thức để vận dụng vào thi Vì học sinh gặp tốn khác chút liền cảm thấy bối rối loay hoay khơng tìm hướng giải Một số tốn có thiên hướng nâng cao thực tế tổng hợp SVTH: Phan Thị Thùy Trang 45 kiến thức từ kiến thức kết hợp chút tư logic thực Vì vậy, học sinh nhuần nhuyễn kiến thức liên hệ chúng với nhau, tập khó trở nên dễ dàng Các tập nâng cao hội để học sinh nhìn nhận lại vốn kiến thức có phát huy khả suy luận, logic b Phương pháp góp phần: + Giúp học sinh liên hệ kiến thức với q trình giải tốn + Giúp học sinh nhìn nhận lại vốn kiến thức cịn thiếu chưa hiểu rõ chất để bổ sung kịp thời + Rèn luyện khả suy luận, tư logic giải toán + Tạo điều kiện cho học sinh giỏi phát huy lực thân, hỗ trợ trình thi học sinh giỏi thi chuyển cấp Ví dụ 9: Giải phương trình bậc hai giải phương trình bậc hai kết hợp đặt ẩn phụ a (Cơ bản): Giải phương trình: 𝑥 − 4𝑥 + 𝑎 b (Nâng cao): Cho số dương a, b thỏa mãn: 𝑎 + 𝑏 = 4√𝑎𝑏 (1) Tính tỉ số Lời giải: a ∆= 𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 16 − = 12 > Phương trình có hai nghiệm phân biệt: 𝑥1 = −𝑏+√∆ 2𝑎 = + √3 ; 𝑥2 = −𝑏−√∆ 2𝑎 𝑏 = − √3 b Phân tích: Cần đưa phương trình (1) phương trình có dạng phương trình bậc hai ẩn Thật vậy, a>0,b>0 nên chia vế phương trình 𝑎 cho b ta được: 𝑏 + = √ 𝑎 𝑏 𝑎 Đến đây, đặt √ = 𝑡 (𝑡 > 0) Ta phương trình có ẩn t: 𝑏 𝑡 + = 4𝑡 ⟺ 𝑡 − 4𝑡 + = (2) SVTH: Phan Thị Thùy Trang 46 Đến phương trình có dạng phương trình câu a, tương tự phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt: 𝑡1 = −𝑏+√∆ 2𝑎 = + √3 ; 𝑡2 = −𝑏−√∆ 2𝑎 = − √3 𝑎 𝑎 = + √3 ⟺ = + 4√3 𝑏 𝑏 𝑎 𝑎 𝑡2 = − √3 ⟺ √ = − √3 ⟺ = − 4√3 𝑏 𝑏 Nhận xét: Sự khác câu a b nằm cách cho ẩn phải thông qua bước trung gian đặt ẩn phụ, học sinh cần phải tư giải tốn tốn khơng q khó Ví dụ 10: Viết phương trình Parabol cách trực tiếp viết phương trình Parabol thơng qua hình vẽ a (Cơ bản): Viết phương trình Parabol: 𝑦 = 𝑎𝑥 , 𝑏𝑖ế𝑡 Parabol qua điểm 𝐴(−3; −6) b (Nâng cao) Một cổng dạng Parabol có kích thước hình vẽ Biết AB=6m,OC=6m Viết phương trình Parabol −2 a Vì Parabol qua điểm 𝐴(−3; −6) nên : −6 = 𝑎 ⟺ 𝑎 = 𝑡1 = + √3 ⟺ √ Vậy phương trình Parabol 𝑦 = −2 3 𝑥 b Hình vẽ: SVTH: Phan Thị Thùy Trang 47 Từ hình vẽ, nhận thấy đồ thị nằm trục hoành, suy hệ số a