So 81 Full re pdf
Trang 1ISSN 1859-2740
2 Ì TRUNG HỌC CƠ SỞ
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
Trang 2Children’s Fun Maths Journal
lan tuổi tÃo TRUNG HỌC CƠ SỞ NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN
Phủ tịch HHIT kiêm Tổng Biám đốc IIRBBI) Uiệt Ilam: NGƯT NGÔ TRẦN ÁI
Phú Tổng Biám đốc kiêm Tổng biên tập IIRBBD Uiệt [lam: TS NGUYÊN QUÝ THAO
HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP
Phó Tổng biên tập phụ trách tạp chí: ThS VŨ KIM THỦY
Thư kí tòa soạn: NGUYỄN XUÂN MAI
Ủy viên Hội đồng biên tập: PGS TS VŨ DUONG THUY, GS NGUYEN KHAC PHI, PGS TS TRAN KIEU, PGS TS NGND TON THAN, TS NGUYEN VAN TRANG, PGS TS VU NHO, TS TRINH TH] HAI YEN, ONG NGUYEN KHAC
MINH, ONG PHAM DINH HIEN, PGS TS NGO
HỮU DŨNG, TS TRẦN ĐÌNH CHAU, NGND vU
HỮU BÌNH, TS NGUYỄN MINH HÀ, PGS TSKH VŨ ĐÌNH HÒA, TS NGUYỄN MINH ĐỨC, PGS TS LÊ QUỐC HÁN, ÔNG ĐÀO NGỌC NAM, ONG NGUYEN DUC TAN, TS NGUYEN ĐĂNG QUANG, TS TRAN PHUONG DUNG, TS NGÔ
ANH TUYET, ONG TRUGNG CONG THANH
Biên tập: HOÀNG TRỌNG HẢO, PHAN HƯƠNG Trị sự - Phát hành: TRỊNH ĐÌNH TÀI, TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG, MẠC THANH HUYỀN, NGUYỄN HUYỀN THANH Chế bản: ĐỖ TRUNG KIÊN Mĩ thuật: TÚ ÂN
Đại diện tại miền Trung: ThS NGUYỄN VĂN
NHO, Ban Biên tập Toán Tin, NXB Giáo dục tại
TP Đà Nẵng, 15 Nguyễn Chí Thanh, TP Đà
Nẵng BT: 0511.3887548
Đại diện tại miền Nam: ƠNG TRẤN CHÍ HIẾU,
Giám đốc Công ti CP Sách - TBGD Bình Dương, 283 Thích Quảng Đức, TX Thủ Dầu Một, Bình Dương ĐT: 0650.3858330 ( Z ÉTRoNG SỐ NÀY ® Học ra sao?
Ứng dụng của trung điểm vào giải toán
Âu Anh Minh 2
® Giải tốn thế nào?
Một số dạng toán về đa thức một biến
Nguyễn Văn Tiến 6
® Nhìn ra thế giới
Một số bài toán từ cuộc thi Toán liên quốc
gia thuộc Bắc Âu và Bắc Đại Tây Dương
Nguyễn Văn Nho 8
Trang 3
Sau đây là một số ví dụ
Bài toán 1 Cho hình vuông ABCD tâm
O Gọi K, E tương ứng là trung điểm của AB, OC Chứng minh rằng KE L DE
Lời giải Gọi F là trung điểm OD A K B O F E D C Vì EF là đường trung bình của AOCD nên EF = pc, 2
Mà OK = AB (do OK là đường trung
tuyến của AOAB vuéng can) nén EF = OK Mat khac ta co DF = OE;
DFE =180° -OFE =135° =EOK
Suy ra ADFE = AEOK (c-g-c)
Do dé FDE = OEK
— DEK =DEO +OEK =DEO +FDE
= AOD (tính chất góc ngoài của tam giác)
= 90° hay KE L DE (đpcm)
UNG DUNG GUA TRUNG ĐIỂM YAO GIAI TOAN
AU ANH MINH
(HS 9A,, THCS Kim Hồng, TP Cao Lãnh, Đồng Tháp)
Có nhiều cách tạo ra yếu tố phụ để giải bài toán hình học, trong đó có việc
tạo ra trung điểm của đoạn thẳng Điều này giúp ta sử dụng được các tính chất về đường trung bình của tam giác, hình thang hay tính chất đường trung tuyến,
Bài toán 2 Cho hình vuông ABCD.M,N
tương ứng là trung điểm của AB, BC I là
giao điểm của CM với DN
Chứng minh rằng AI = ID
Lời giải Cách 1 Gọi P là trung điểm CD,
H là giao điểm của AP với DN
Vì ADCN = ACBM (c-g-c) nên IDC = ICN Do dé Cl | DN Tương tự AP 1 DN Suy ra AP // Cl Ma PD = PC nên HD = HI Ma AP DN nén AADI can tai A Do dé Al = AD (dpcm) A M B N H | D P C
Cách 2 Kéo dài CM cắt DA tại P Theo cach 7 thi Cl L DN
Tuc la AIPD vuéng tai I
Ma AAMP = ABMC (g-c-g) nén
AP = BC =AD
Do đó AI = 2DP = AD (dpcm)
Trang 4P M B A N | D C
Nhận xét Cách 1 tạo ra trung điểm H của DI để sử dụng tính chất: Nếu một tam
giác có đường trung tuyến đồng thời là đường cao thì tam giác ấy cân Cách 2 tạo
ra điểm P để sử dụng tính chất: Trong một
tam giác vuông thì đường trung tuyến thuộc
cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
Bài toán 3 Cho AABC vuông tại B Trên
tia đối của tia BA lấy điểm D thỏa mãn
AD = 3AB Đường thẳng vuông góc với CD
tại D cắt đường thẳng vuông góc với AC tại
A ở E Chứng minh rằng ABDE cân
Lời giải Gọi N, I, M thứ tự là trung điểm CE, AD, BD Vì AD = 3AB và do cách dựng các điểm M, l ta suy ra I là trung điểm BM C
Vì AN, DN tương ứng là đường trung
tuyến của các tam giác ACE, DCE nên
AN = =CE = DN
Do đó ANAD cân tại N
Suy ra NI L AD
Goi J là giao điểm của NI với BE
Vì JN ⁄Z BC (do cùng vuông góc với AD) mà
N là trung điểm CE nên J là trung điểm BE
Ma | la trung điểm BM nên IJ là đường trung bình của ABME
Do do IJ // ME
Suy ra EM 1 BD (vi NI 1 AD)
Mà M là trung điểm BD nên ABDE cân tại
E (đpcm)
Bài toán 4 Cho đường tròn tâm O đường
kính AB = 2R và điểm M thỏa mãn
OM = 2R Một đường thẳng qua M cắt (O)
Trang 5
Vay x = 1
J) 9 Xieay LOLGIAICO HOP LI KHONG?
Bài toán Giải phương trình X+x+1=0 (1)
Lời giải Nhận thấy x = 0 không thỏa mãn (1)
Khi x z 0, nhân hai vế của (1) với x ta được xỞ + x2 + x = 0 (2) Từ (1) ta có x2 + x = —1, thay vào (2) ta được xỔ — 1 = 0 hay x? = 1
Nhận xét Ta thấy x = 1 cũng không phải là nghiệm của (1)
Theo các bạn thì lời giải trên có hợp lí không?
NGUYỄN TRỌNG THỌ (GV: Nghi Xuân, Hà Tĩnh)
© Xét qué BAN NHAN XÉT THE NAO? cessze+70)
Đa số các bạn gửi bài về đều chỉ ra lời
giải đã cho xét thiếu trường hợp
Trong lời giải đó mới chỉ xét trường hợp 2 điểm A và C nằm cùng phía đối với
đường thẳng BD và OA < OB Ta còn phải
xét thêm trường hợp OA > OB (ta làm
tương tự) và trường hợp 2 điểm A, C nằm
khác phía đối với đường thẳng BD và
OA < OB (hoặc OA > OB, ta làm tương tự)
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC Ta thấy PMQN là hình thoi
Suy ra MN L PQ
Mà theo trường hợp đã xét thì PQ // Oz Do đó MN L Oz
Tóm lại MN có thể song song hoặc vuông góc với Oz
Các bạn sau nhận thưởng kì này:
Nguyễn Thế Tiến, 9E, THCS Đặng Thai
Mai, TP Vinh, Nghệ An; Bùi Hồng Phương, 8B; Nguyễn Đình Lộc, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Vũ Thành Nam,
8A, THCS Minh Thành, TP Thái Bình,
Thái Bình; Nguyễn Thị Kim Anh, 9B,
THCS Từ Sơn, Bắc Ninh
ANH KÍNH LÚP
Trang 6nr # ® Ki nay Them, bot bao nhieu? Cho dãy số: 12, 18, 30, 42, 60, 72
Giỏi nói: Nếu cộng thêm một số a vào mỗi số hạng của dãy số trên thì ta được dãy số mới đặc biệt
Tài nói: Nếu mỗi số hạng của dãy số trên trừ đi một số b thì ta được dãy số mới cũng có tính chất như dãy số đặc biệt của Giỏi
a) Hỏi hai số a, b ở trên bằng bao nhiêu?
b) Trong các số 102, 104 và 108, số nào thuộc dãy số đã cho?
VŨ THẾ THÁM (GV THCS Vĩnh Tuy, Bình Giang, Hải Dương) ad =¬ \
Bai 1 Cac hinh 6 hang phia trén xép
chồng lên nhau ta sẽ có hình tương ứng ở hàng dưới Vậy đáp án là B
Bài 2 Hình A lật ngược từ trên xuống dưới và đổi màu đỏ thành xanh lá cây ta được hình D Vậy A và D là một cặp Tương tự B và E là một cặp Vậy đáp án là C Bài 3 Tất cả các hình, trừ hình D đều là hình có trục đối xứng Vậy đáp án là D Bài 4 Ta có tổng số que có trong các hình viết theo thứ tự từ A đến E là: 7,7, 11, 9, 7 Ta thấy 7 và 11 là các số nguyên tố Vậy ta chọn đáp án D
Có bạn cho nhận xét sau: Trong hình A,
® “Xếf q HÌNH NÀO KHÁC? (TTT2 số rang)
hình trên có 5 que, hình dưới có 2 que, ta
viết 5/2 Tương tự với các hình theo tht? tu I
từ B đến E ta có 4/3; 8/3; 6/3; 5/2 Ta thấy
6 chia hết cho 3 Vậy chọn phương án D §
Nhận xét Rất ít bạn làm đúng cả 4 Ï
câu, hoặc có các lí giải không thuyết » phục, có bạn lại chỉ nêu kết quả mà không Ï
giải thích tại sao Các bạn được thưởng kì !
này: Nguyễn Mai Lê, 6B, THCS Hoang J Xuân Han, Duc Tho, Ha Tinh; Dinh Thi ! Thu Trang, 9B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh; i
Tran Nguyét Minh, 6H,, THCS Trung
Vương, Hoan Kiếm, Hà Nội; Phạm i
Hoàng, Trần Minh Tuấn, 6B, THCS Hoang |
Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh
NGUYEN XUAN MAI 5
Trang 7
Khi học về đa thức một biến, học sinh
thường gặp một số dạng toán sau 1 Xác định đa thức
Bài toán 1 a) Tìm đa thức P(x) bậc 4
thỏa mãn các điều kiện sau: P(-1) = 0; P(x) — P(x — 1) = x(x + 1)(2x + 1), Vx € R b) Từ đó tính tổng S = 1-2-3 + 2-3-5 + + nín + 1)(2n + 1) Lời giải Với x = 0 thì P(0) = P(-1) = 0 Với x = —-1 thì P(—1) = P(-2) = 0 Suy ra P(x) nhận 0, —-1, —-2 là nghiệm Dat P(x) = x(x + 1)(x + 2)(ax + b), với a z 0 Với x = 1 thì P(1) = P(0) + 6 = 6 Suy ra a+b = 1 Với x = 2 thì P(2) = P(1) + 30 = 36 Suy ra 2a + b= 5 Từ đó a = b= - 2 Vậy P(x) = 5x0 + 1)7(x + 2) b) Ta có S = P(1) - P(0) + P(2) - P(1) + + P(n) - P(n - 1) = = P(n) ~ P(0) = P(n) = —nín + 1JZ(n + 2)
2 Tính giá trị của đa thức
Bài toán 2 Cho đa thức P(x) thỏa mãn
P(1) = 1; PS) = POW) Vx #0;
P(X, + X5) = P(x,) + P(x,), Vx,, X5 © R
- Một số dạng toán
yé cla thức một biên
NGUYỄN VĂN TIẾN (GV THCS Lâm Thao, Phú Thọ) , 5 Tinh PC) Lời giải Ta có P(2) = P(1 + 1) = P(1) + P(1) =2 Tương tự P(3) = 3; P(5) = 5; P(7) =7 ae al 1 1 Từ đó PC) = Pu, =F) 2 > 3 5 3 5 Tuong tu P(—) = —; P(—) =— g tt (5) 7 (5) 7
3 Đa thức với hệ số nguyên
Bài toán 3 Cho đa thức P(x) = ax2 + bx + c
Trang 8(Problems for Special Contest in celebration
of FUN MATHS Joarnal's 10th Anniversary)
Bai 5SC Cho a, b, c, m, n va p là các số nguyên dương
ĐặtA=a+b+c+m+n+p,B-= ab + bc + ca - mn - np - pm và C = abc + mnp
Biết rằng cả B và C đều chia hết cho A Chứng minh rằng A là hợp số
LÊ XUÂN ĐẠI (GV THPT chuyên Vĩnh Phúc)
Bài 6SC Cho M là một điểm nằm trong hình bình hành ABCD thỏa mãn MAB = 409, MBC = 25°, MCD =65°, MDA =50° Tính các góc của hình bình hành NGUYỄN MINH HÀ (GV THPT chuyên, Đại học Sư phạm Hà Nội) Suy ra (k + m)(k - mì) : 4 b) Ta có Q(x) : P(x) © 5x + 1=0 Do đó (4n + p) : 2 hay p: 2 | Suy rabe Z 9
Mà a + be Z nên a e Z Bài tập tự giải
Đặt P(2) = tˆ, với te Z Bài 1 Chứng minh rằng với mỗi số a > 0
Ta có t2 - m2 = 2(2a + b) thi da thitc f(x) = x* + ax2 + 2 viết được
Lập luận tương tu nhu trén ta suy rab thanh t6ng cac binh phuong cla hai đa
chan (dpcm) thức bậc hai
4 Chia hết và chia còn dư Bài 2 Tìm đa thức P(x) bậc 3 thỏa mãn Bài toán 4 Cho các đa thức P(x) = x3 — x các điều kiện sau: P(—1) = —18 và khi chia
và QỌ‹) = xổ! + x49 ‡ x25 + x9 + x + 1 P(x) cho x - 1, x - 2, x— 3 đều dư 6 s ; sa
a) Tìm dư trong phép chia Q(x) cho P(x) Bài 3 Cho đa thức POY) = ax’ t bx + © b) Tim x dé Q(x) : P(x) thỏa mãn điều kiện với số nguyên x bất kì Lời giải a) Ta có P(x) = x(x2 _ 1): thì P(x) là một số nguyên Hỏi a, b, c có
Q(x) = x(xŠ0 ~ 1) + x(x'8 — 1) + x(x2? — 1) + X(Xổ — 1) + 5x + 1
nhất thiết là những số nguyên hay không? Bài 4 a) Chứng minh rằng nếu P(x) là
một đa thức thì [P(x) - P(x - 2)] : (x - 2)
Vì các đa thức xỶ? - 1, x'” ~ 1, x””~ 1 bì Biết rằng P(x), Q(x) là những đa thức
và xổ — 1 đều chia hết cho x2 — 1 nén Q(x) thỏa mãn (2x - 5)P(x) + (4x — 1)Q(x) là một
chia P(x) du 5x + 1 đa thức chia (x - 2) dư 17 Tính Q(2)
Trang 9GIO! THIEU
Một số bài toán
từ cuộc thi Toán liên quốc øia thuộc Bắc âu và Bắc Đại Tây Dương
Tiếp theo kì trước
ThS NGUYỄN VĂN NHO (NXBGDVN)
NORDIC là tên gọi chỉ khu vực Bac Au
và Bắc Đại Tây Dương, bao gồm 5 nước
Đan Mạch (Denmark), Phần Lan (Finland), Ai xo len (Iceland), Na Uy (Norway) va Thụy Điển (Sweden) Trong số báo này,
chúng tôi tiếp tục trích giới thiệu cùng các
bạn THCS những bài toán của ki thi
NORDIC
Bai 1 (1996) Cho f la ham s6 xac dinh trên tập các số nguyên dương, nhận giá trị
thực và số nguyên dương a thỏa mãn:
Chứng minh rằng:
f(n + 4a) = f(n), vn e Z”
Chú ý: Câu b) của bài toán là: “Xác
định giá trị nhỏ nhất của số a thỏa mãn
f(a) = 1995; f(a + 1) = 1996; f(a + 2) = 1997”
Chúng tôi bỏ câu này vì phương pháp suy luận cũng như kiến thức sử dụng vượt quá
chương trình của học sinh THCS Bài 2 (1998) Tìm a để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt: x? +1 a1) +1 X4x X + 4a-a)X!+4a —8 =0 Jx +
Bài 3 (1998) Cho hai đường tròn (C;),
(C.) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B Goi M,, M, lần lượt là tâm của (C,) va
(C,) Giá sử P là điểm nằm trên đoạn thang
Trang 10
Một số bài toán từ cuộc thi Toán liên quốc gia thuộc Bac Au va Bắc Đại Tây Duong (Đề đăng trên TTT2 số 80) Bài 1 Ta có 2-1996 = 3992 Tổng các chữ số của số 1996 và 3992 tương ứng là 25 và 23 Luu y 1996 = 78-25 + 2-23 Từ đó, ta thấy số sau thỏa mãn yêu cầu bài toán: 19961996 1996 39923992 "78 lan Số1998
Bài 2 Giả sử A, B là hai điểm phân biệt
được tô cùng màu đỏ
Vẽ hình vuông ABCD có tâm O
Nếu O được tô màu đỏ thì AABO vuông cân có ba đỉnh cùng màu
Xét trường hợp O được tô màu xanh
Khi đó, nếu C hoặc D được tô màu đỏ thì
tam giác vuông cân ABC hoặc ABD có ba
đỉnh cùng màu đỏ; nếu cả C và D được tô
màu xanh thì ACDO vuông cân có ba đỉnh
cùng màu xanh (dpcm)
Bài 3 Rõ ràng x z 0 Hơn nữa, nếu số
nguyên dương n thỏa mãn điều kiện bài
toán thì số nguyên âm -—n cũng thỏa mãn điều kiện bài toán Do đó, ta chỉ cần xét trường hợp n e Ñ Với n = 0 thì x0 + x"? = 2, thỏa mãn Với n = 1, giả sử m là một số nguyên Khi đó phương trình x1 + x1 =m © x2— mx + 1=0 sẽ có nghiệm khi và chỉ khi m khác 0, +1 Mặt khác, với n > 1, ta có x? + xˆ= — (x! + x71)(x0- 1 + x! _m _ (x1 - 2 + x2-m, Suy ra bài toán đúng với n = 2, 3, 2 + — Vậy x =—— với m c Z và me {0; +†)
Bài 4 Gọi P là điểm tùy ý nằm bên trong
tam giác Ta sẽ chứng minh rằng P phải thuộc về ít nhất một trong ba hình chữ nhật
đã cho
Thật vậy, qua P kẻ hai đường thẳng (d,),
(d.) lần lượt song song và vuông góc với đường thẳng (d) đã cho Ta có (d;), (d.) cắt các cạnh của tam giác ABC tại bốn điểm
Vì bốn điểm này thuộc ba hình chữ nhật
nên theo nguyên tắc Dirichlet có ít nhất hai
điểm, ta đặt là M, N, thuộc cùng một hình
chữ nhật (1)
Nếu M, N cùng thuộc (d,) hoặc (d.) thì P
phải thuộc (1)
Nếu M, N tương ứng thuộc (d¿) và (d.) thì
vì (d;), (d.) song song và vuông góc với (d)
nên (d,), (d,) song song với các cạnh của hình chữ nhật (1) nên P cũng thuộc (1) (đpcm))
Trang 11
BE THI TUYEN SINH LOP (0 THPT CHUYEN HUNG YONG, PHO THO Năm học: 2009 - 2010 Câu 1 a) Từ (1) — y =mx - 2 Thay vào 2m+5 5m —2 (2) ta được x = > ¬y= m“ + m +1 f#m+3 m2 +1 › 5m2 - 7m + 2= 0 ©me {1 ; 2/5} cậu 2 Ta có z2 = xỞ - yŸ ©Z“=(~y)[& - y)“+ 3V] Từ giả thiết suy ra tồn tại các số tự nhiên m và n thỏa mãn X—Yy =m; x2 + xy + yˆ = nẺ Tu x? +xy+y 2 = n2 suy ra
Ax? + Axy + 4y? = 4n2 ©› 3y2 = 4n^- (2x + y)?
© 3y2 = (2n + 2x + y)(2n — 2x - y)
Có ba trường hợp cần xét
THI 2n + 2x + y =3yˆ: 2n - 2x — y= 1
Suy ra 3y2— 1 = 2(2x + y) = 2(2x — 2y + 3y)
= 2(2m2 + 3y) hay m2 + 1 = 3(yˆ—- 2y - m2):
vơ nghiệm (vÌ m2 +1 không chia hết cho 3) TH2 2n + 2x+ y = 3y; 2n - 2x - y = y Suy ra 2y = 4x + 2y © x = 0 (loại) TH3 2n + 2x + y = Y'' 2n—-2x—y =3
Suy ra y* — 3 = 2(2x + y) =2(2m^ + 3y) hay 12 =(y -3)*-4m2=(y-3+ 2m)(y-3-2m)
Từ đó tìm được y = 7, m = 1
Vay (x;y; Z) =(8; 7; 13)
Câu 3 a) Ap dung hằng đẳng thức a" - b" =(a_— b)(an~1 + an~2b + + ab~2+ pn~?) ta được (x + 1)2010 — (x + 2)2019 = 0 Do đó |x + 1| = |x + 2| x=-2 (đpcm) =5 b) Ta có x+y =5 © b) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki cho hai bộ số a —— va Vx, ,/y ta được vx 2h eae espe hay A> 5 Vậy A = 5 khi và chi khi min x = 1; yaa Câu 4 Bạn đọc tự vẽ hình và chứng minh phần a) và b)
Trang 12Be THI TUYEN SINH LOP 10 THPT CHUYEN VINK PHOC Năm học: 2009 - 2010 Môn thi: Toán (Dành cho chuyên Toán) Thời gian: 150 phút Câu 1 (3 điểm) a) Giải hệ phương trình 1 1 9 X+Y+—+—=— x y 2 Xy+-L=S xy 2 b) Giải và biện luận phương trình |x + 3| + p|x - 2| = 5 (p là tham số có giá trị thực)
Câu 2 (1,5 điểm) Cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt Chứng minh a’ b2 c? + >2 (b-c)* (c-a)* (a—b)? Cau 3 (1,5 diém) Cho 1 ` 2x-2 A=—và 44x? +4x +1 B= Vx? 2K 41 Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao 2A+B cho C = là một số nguyên
Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình thang ABCD
(AB // CD, AB < CD) Gọi K, M lần lượt là
trung điểm của BD, AC Đường thẳng qua K
và vuông góc với AD cắt đường thẳng qua M và vuông góc với BC tại Q Chứng minh
a) KM // AB b) QD = QC
Cau 5 (1,0 diém) Trong mat phang cho
2009 diém, sao cho 3 diém bat ki trong
chúng là 3 đỉnh của một tam giác có diện
tích không lớn hơn 1 Chứng minh rằng tất
cả những điểm đã cho nằm trong một tam giác có diện tích không lớn hơn 4
Mơn thi: Tốn (Dành cho chuyên Tin)
Câu 1 (3,0 điểm) a) Giải hệ phương trình
y-2x+1=0
Ũ —|x]|-1=0
b) Gidi phuong trinh 4/x -1+3 =x
Cau 2 (1,5 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ
nhất của biểu thức P = 8(x2 + y2) + + xy Câu 3 (1,5 điểm) Cho a2 z bỂ và a+b a-b M=——+— Tính giá trị của biểu thức a-b a+b 4 p4 24 n4 N=2 40 = - theo M a `-—b a'+b
Câu 4 (3,0 điểm) Hai đường tròn (O,, Rj),
(O,, R,) cat nhau tai hai diém phan biét A
và B Đường thẳng vuông góc với AB tại B
Thời gian: 150 phút
cắt (O,) tai C va cat (O,) tai D (C, D khac B) Một đường thẳng quay quanh B cắt các đường tròn (O,), (O.) theo thứ tự tại giao điểm thứ hai là E và F
z _, AE 2 a) Chứng minh AE không đổi
b) Các đường thẳng EC, DF cắt nhau
tại G Chứng minh tứ giác AEGF nội tiếp đường tròn
c) Chứng minh khi đường thẳng EF quay xung quanh B thì tâm đường tròn ngoại tiếp
tứ giác AEGF luôn thay đổi trên một đường
tròn cố định
Câu 5 (1,0 điểm) Cho ba số thực không
âm a, b, c Chứng minh rằng
a2 + b2 + c2 + 2abc + 1 > 2(ab + bc + ca) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Trang 13
Bài 1(78+79) Tìm tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn 1009 < n < 2009 và n có đúng 12 ước số, trong đó có một ước số là 17
Lời giải Đặt n = 17%-m, với k, m là các số
nguyên dương, m không chia hết cho 17 Vì 2008 < 17 nên k< 3 Có hai trường hợp cần xét TH1 k = 1 Vì n có đúng 12 ước số nên m có đúng 6 ước số + Nếu m chỉ có một ước số nguyên tố thì m có dạng p°, với p là một số nguyên tố khác 17 Suy ra 1008 < 17-p5 < 2008 —= 60 < p° < 118: loại + Nếu m có hai ước số nguyên tố thì m có dạng p-d, với p, q là những số nguyên tố khác nhau và khác 17 Suy ra 60 < p-q? < 118 Vì 118 < 2.82 nên q < 8 Suy ra qc {2; 3; 5; 7} - Nếu q = 2 thì 15 < p < 29 Suy ra pc {19 ; 23 ; 29) - Nếu q = 3 thì 7 < p < 14 Suy rap eé {7 ; 11 ; 13} -Néuq=5thi3<p<4>p=3 -Néuq=7 thi2<p<2=>p=2 + Nếu m có nhiều hơn 2 ước số nguyên tố thì m sẽ có ít nhất 8 ước số: loại (vì m có đúng 6 ước số) TH2 k = 2 Khi đó m có đúng 4 ước số + Nếu m chỉ có một ước số nguyên tố thì m có dạng pŠ, với p là một số nguyên tố khác 17 Suy ra 1008 < 172.p3 < 2008 — 4 < p3 < 6: loại + Nếu m có nhiều hơn 1 ước số nguyên tố thì m phải có dạng pq, với p, q là những số nguyên tố khác nhau và khác 17 (vì m có đúng 4 ước số) Khi đó 4 < pq < 6 Suy ra {(p ; q)}c {(2; 3)}
Tóm lại, có tất cả 9 giá trị của số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện bài toán là:
1292, 1564, 1972, 1071, 1683, 1989, 1275, 1666, 1734
Nhận xét Tòa soạn nhận được nhiều lời
giải của các bạn, trong đó quá nửa lời giải có đáp số sai(!) Chú ý là nếu n là số nguyên dương có dang pị' -p22 - -Đưm, với p4, Pø bạ là những số nguyên tố phân biệt và x., x., , x là những số nguyên dương thì số ước số của n là: (x, + 1)(X, + 1) (K,, + 1)
Các bạn sau có lời giải tốt: Bùi Quang
Tú, 9D, trường Hà Nội - Amsterdam, Ba Đình, Hà Nội; Định Thị Thu Trang, 9B; Nguyên Thị Tuyết, 8B; Nguyên Việt Cường,
7B, THCS Tu Son, Bac Ninh; Dang Tran
Nham, 7D; Lé Tuan Anh, 9C, THCS Vinh Tường; Nguyễn Thi Thom, 8A¡, THCS Yên
Lạc, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thế Tiến, 9E;
Nguyên Hữu Hiệu, 9A, THCS Đặng Thai
Mai, TP Vinh; Hổ Thị Thúy, Trịnh Thị Mỹ
Ngọc, 6A, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh
Lưu, Nghệ An; Nguyễn Hoàng Việt, 7A.; Lê Minh Hoang, TA, THCS Lam Thao, Phd Tho
Trang 14Nhận xét Điểm mấu chốt của lời giải là
từ giả thiết chứng minh được s = x + y = 4
Các bạn sau đây có lời giải tốt: Nguyễn Thị Mai Phương, 8B, THCS Hòa Hiếu II, TX Thái Hòa; Lê Hồng Đức, 8B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Văn
Ngoc Bích, 8A,, THCS Yên Lạc; Phạm Lan Hương, 8A, THCS Lập Thạch, Vĩnh Phúc;
Tạ Tuấn Vũ, 8A; Trương Văn Cường, 8B,
THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, Thanh Hóa
NGUYÊN ANH DŨNG
Bài 3(78+79) Cho x, y là các số thực
không âm thỏa mãn x2 - 2xy + x — 2y < 0 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = x? - 5y? + 3x Lời giải Ta có x2 — 2xy + x — 2y = (X— 2y)(x + 1)<0 >x< 2y (vì x>0 nên x+ 1>) Do đó M = x2 — 5y? + 3x < 4y? — 5y? + 6y = -y2 + 6y =-(y - 3)2 + 9< 9 M =9 khi và chỉ khi y = 3, x = 6 VậyM,_ max =9
Nhận xét Các bạn sau có lời giải tỐt:
Nguyễn Vĩnh Quang, 9C, THCS Thanh Thủy,
Phú Thọ; Lê Tuấn Anh, 9C, THCS Vĩnh Tường; Phùng Văn Mạnh, 9A, THCS Vĩnh Yên,
Vĩnh Phúc, Phạm Huy Hoàng, 9A., THCS Giang V6, Ba Dinh; Hoang Anh Tu, 91, THCS Marie-Curie, Hà Nội; Nguyễn Thành Đạt, 9A, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh
NGUYÊN MINH ĐỨC
Bài 4(78+79) Cho hình bình hành
ABCD M là điểm trên cạnh AB sao cho
AM = AB, N là trung điểm của CD, G là trọng tâm ABMN, I là giao điểm của AG và
BC Tính các ti s6 GA va 8
Gl IC
Lời giải (Theo bạn Ngô Thùy Dung, 9A, THCS Tam Dương, Vĩnh Phúc)
Gọi E là trung điểm của MB, P là giao điểm của AI với CD Đặt AB = a Theo định li Ta-lét ta có -L = SE - AE 2 GN NP D N C P 2 3B 4a 5a 1 = => 2CD+CP 3a + GCP 6 n——=- (1) Ma IA = nên kết hợp với (1) ta IP Ic G1 AI AG 6 1 7 ¢ Gl AP AP AP 11 3 33 -2-i-f, @ Chia theo vế của (1) cho (2) ta được GA Gl _ 11 7 .GA 11 IB 6 Tóm lại ——=—; —=- 6G] 7 IỊC 5
Nhận xét Tất cả các lời giải gửi về tòa soạn đều có đáp số đúng Tuy nhiên nhiều
bạn trình bày lời giải còn dài dòng Ngoài
bạn Dung, những bạn sau có lời giải gọn
hơn cả: Hoàng Anh Tú, 9I, THCS Marie- Curie; Đặng Thắng Lợi, 9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Vân Đình, Ứng Hòa, Hà Nội; Bùi Hồng Phương, 8B, THCS Vĩnh Tường; Nguyễn Thị Hạnh Linh, 9A, THCS Tam Dương, Vĩnh Phúc; Vũ Thị Thu Hiền, 9A, THCS THCS Hải Hậu, Nam Định; Nguyễn
Hồ Hải Chinh, 8B, THCS Hồ Xuân Hương,
Quỳnh Lưu; Vương Đình Tuấn, 9A; Nguyễn
Thế Tiến, 9E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh;
Trang 15Lời giải Cuộc thi đặc biệt
NHÂN 10 NĂM TOÁN TUỔI THƠ
Bài 3SC Tìm các số hữu fỉ n thỏa mãn tổng sau là một số chính phương: n2+n + 503 Lời giải Giả sử tồn tại số hữu tỈ n và số tự nhiên m để n2 + n + 503 = m° (1) Đặt n=E, véi p € Z,q € N%*, (p, q) = 1 q Suy ra p? + pq + 503q2 = m^2q2 = p* = -q(p + 503q - m^q) Suy ra p@ : q Ma (p, q) = 1 nén gq = 1 hay n=pe Z Mặt khác ta có (1) © 4(n? + n + 503) = 4m? © 4m? — (2n + 1)? = 2011 = (2m + 2n + 1)(2m — 2n - 1) = 2011 Vi m là số tự nhiên nên (2m + 2n + 1) + (2m —- 2n - 1) =4m>0 Mà 2011 là số nguyên tố nên chỉ có hai cách phân tích 2011 thành tích hai số nguyên có tổng dương là 2011-1 và 1-2011 Vậy 2m + 2n + 1= 2011;2m-2n- 1= † hoặc 2m + 2n + 1 = 1; 2m - 2n - 1 = 2011 Từ đó tìm được n = 502 hoặc n = -503
Nhận xét Rất nhiều lời giải đã quên
chứng minh hoặc ngộ nhận ngay n c Z
Các bạn sau có lời giải tốt: Đặng Thắng Lợi,
9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Vân Đình, Ứng Hòa, Hà Nội; Đào Khánh Chi, 9A, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An;
Hoàng Minh Hưng, 7A; Đặng Quang Tuấn,
9C, THCS Vĩnh Tường; Đỗ Xuân Việt, 9A,
THCS Lập Thạch, Vĩnh Phúc
HOÀNG TRỌNG HẢO
Bài 4SC Cho tứ giác ABCD Các điểm
M, N, P, Q theo thứ tự thuộc các cạnh AB,
BC, CD và DA thỏa mãn điều kiện MQ, NP,
BD đồng quy Chứng minh rằng
Sunpa = MAax{Sage : Sgcp : ScpA : ĐpAgỶ:
Lời giải Xét trường hợp MQ, NP, BD đồng quy tại điểm S thuộc tia đối của tia DB (trường hợp còn lại chứng minh tương tự) Theo định lí Mê-nê-la-uýt ta có MA SB QD_NB PC SD -4 MB SD QA NC PD SB _ MA NB PC QD _, Suy ra : : =1 MB NC PD QA , MA NB PC QD Dat ——- =x, —=y, —=Z, —= AB BC CD DA (với 0 <x, y, z, t< 1) Khi đó từ (1) suy ra xyzt = (1 — x)(1 — y)(1 - Z)(1 - Ð Suy ra XZ < (1 - X)(1 - Z); yt> (1—y)(1—- hoặc xz = (1 — x)(1 - Z); yt < (1 - y)(1 - t) Tức là 1-x—z>0;1-y-t<0 hoặc 1 - x- z< 0; 1-y-t>0 Suy ra (1 -x-z)(1-y-t) <0 ©(X+y+Z+-(x+Z)(y+ >1 (2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X+Z=Vy+t=td
Đối với tứ giác ABCD, ta dùng kí hiệu SA
để chỉ diện tích tam giác BCD Khi đó ta có ĐMNPGE S~ SAMQ_— ®BMN_— Ð =S-X(1 -†)Sc - y(1 - X)Sn — - Z(1 —y)Sa — t{ — z)Sp <S—min{S,; Sp; Soi Sp}(1 — t) + y(1 — x) + + Z(1 - y) + t(1 - Z)] =S— min{Sa; Spi Soi SoH + y +z + t) - — (x + zy + th] <S-min{S,; Sp; Soi Sp} (theo (2)) = max{S,; Sg; Sc; Sp} (dpem) (1) t S CNP “DPQ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi SA=Sp=Sc=Sp:X+Z=y+t=Í hay ABCD là hình bình hành và MP // AD; NQ // AB
Nhận xét Để làm được bài toán này cần phải có kĩ năng tốt cả về hình học lẫn đại số Tiếc là đã không có bạn nào giải tốt bài
toán này -
Trang 16Sau khi tắm cho bé Ly 4 tuổi, mẹ bảo:
- Mùa này hanh khô quá,
để mẹ bôi vào chân con chút kem cho đỡ nẻ
Thấy mẹ cầm lọ kem có vẽ hình bàn tay, Ly thắc mắc:
- Sao lại có bàn tay ở đây ha mẹ?
- À, đây là loại kem dành cho tay mà Ly bỗng giãy nảy:
- Thế thì con sẽ bị mọc tay ở chân mất Con không cần tay ở chân đâu
Bé Nga đưa cún Bông đi dạo trong sân chung cu Được một lúc, bé ra lệnh cho cún: - Bông, nằm xuống! Bông vẫn đứng yên - Bông, nằm xuống! Bông vẫn đứng yên - Bông, có nghe thấy gì không? Nằm xuống maul Bông vẫn không nhúc nhích
Đứng bên cạnh thấy vậy, bé Hà chạy
đến bảo với bé Nga:
- Sao cậu không nói:
xuống! Phải lịch sự chứt" "Làm ơn nằm
Sắp trung thu, mẹ hỏi bé Huy xem bé thích được tặng quà gì Huy suy nghĩ một
lúc rồi nói:
- Con thích một núi ngọn núi lửa điều
khiển từ xa a
Bé Nam gần 2 tuổi nghịch ngợm chui
đầu vào trong chăn Thấy vậy, chị gái bảo: - Nam, em làm thế thì còn gì mà thở nữa?
Nam đáp dõng dac:
- Em vẫn còn mũi mà chị
Biết trong bụng mẹ có em bé, bé Mai
4 tuổi nhờ bố viết chữ "Chào em" rồi ra sức
thuyết phục mẹ nuốt tờ giấy đó Bé nghĩ đó
là cách để hai chị em làm quen với nhau
rẻ con buồn cười za phết!
Mọi ngày cậu bé Linh 9 tuổi đi học về
khi mẹ luôn có nhà Riêng hôm nay mẹ có
việc phải đi trước khi Linh về Mẹ bóc sẵn
bánh giò, để vào bát rồi úp một cái đĩa lên
Sợ Linh không thấy, mẹ cẩn thận viết mẩu
giấy "Trong này là bánh giò" và đặt mẩu
giấy lên trên đĩa Khi mẹ về đã thấy một
mẩu giấy khác "Con đã ăn bánh gio Linh"
Trang 17Két luận vô tội PHONG VŨ
rong vòng mấy tháng nay, tại khu | a cư T.S liên tục xảy ra một số
vụ án khiến cảnh sát thành phố rất
đau đầu Hôm qua lại có một vụ trộm lớn
Mọi người tỏ ý nghỉ ngờ cô Mila - một phụ nữ khoảng trên dưới 30 tuổi, công tác tại
một trung tâm nghiên cứu về người khiếm
thị Có người nói rằng họ đã thấy cô tại
hiện trường trong đêm xảy ra vụ án Tuy nhiên, kết quả điều tra ban đầu của cảnh
sát lại cho thấy Mila không liên quan gì
đến vụ trộm Để có thể khẳng định chắc
chắn hơn, thám tử Sê-lốc-cốc quyết định
tới gặp Mila
- Chào cô Mila! Tôi là thám tử Sê-lốc-
cốc, tôi gặp cô một lát được chứ?
- Xin ông cho xem thẻ! - Mila tổ vẻ ngờ vuc
- Rất xin lỗi cô vì hôm nay tôi quên thẻ
ở văn phòng, nhưng tôi có đem theo
chứng minh thư Đây, mời cô xeml
Mila cầm tấm chứng minh thư và đưa
lên sát mắt để đọc Thám tử thầm nghĩ
“Chắc cô ta bị cận thị”
Sau đó hai người vào phòng khách nói
chuyện Thám tử hỏi :
- Cô đã làm gì, ở đâu trong khoảng từ 8 giờ rưỡi đến gần 10 giờ tối hôm qua?
- Tôi đọc sách suốt từ 8 giờ tối, đến hơn
10 giờ mới thôi Tôi đang phải gấp rút
hoàn thành mấy báo cáo quan trọng
- Nhưng cả buổi tối hôm qua, trời mưa to, khu chung cư này bị mất điện đến gần
12 giờ đêm kia mà?
- Vâng, đúng vậy Chính vì thế mà tôi
tranh thủ ngồi lì trong nhà để đọc sách
- Chẳng lẽ cô đọc bằng đèn pin hay
nến ư?
- Ô không, tôi đâu cần những thứ đó
Rồi cô Mila sang phòng bên Một lát sau cô cầm sang một cuốn sách rất dày, đưa cho thám tử Sê-lốc-cốc Nhìn cuốn
sách, thám tử vô cùng ngạc nhiên nhưng ông đã hiểu ra ngay lập tức Ông vội nói :
- Cám ơn cô Tôi tin chắc rằng cô không nói dối Chào cô!
Về tới văn phòng làm việc, thám tử nói
với các đồng nghiệp rằng ông đã có thêm
căn cứ để tin rằng cô Mila không liên quan
tới vụ án
Các bạn có biết tại sao không? Căn cứ
Trang 18
TIN TUC - HOAT DONG - GAP GO
* Ngay 6.10.2009, tại trường THCS Vân Hồ, Hà Nội đã diễn ra buổi sinh hoạt câu lạc bộ Toán học do Hội Toán học Hà Nội và Sở Giáo dục - Đào tạo (GD - ĐT) Hà Nội tổ chức GS TSKH Nguyễn Văn
Mậu, Chủ tịch Hội, PGS TS Bùi Quang Diệu, Phó Chủ tịch kiêm Tổng thư kí Hội,
Ô Thẩm Ngọc Khuê, ThS Vũ Kim Thủy,
Phó Tổng Thư kí Hội Toán học Hà Nội,
ThS Nguyễn Khắc Tuấn, ThS Lê Thanh Hằng, Ủy viên BCH Hội, Thư kí TS Toán
Tuổi thơ Nguyễn Xuân Mai và gần 100
cán bộ chỉ đạo bộ mơn Tốn, các giáo viên tốn THCS Hà Nội đã tới dự GS Nguyễn
Văn Mậu đã nói về đề tài Phép đếm, so sánh, sắp thứ tự và quá trình sắp dần đều Đây là hoạt động đầu tiên của Hội Toán
học Hà Nội trong nhiệm kì mới
* Ngày 17.10.2009, đài truyền hình kĩ
thuật số VTC đã tổ chức buổi truyền hình trực tiếp Ga la Thần đồng đất Việt Các
trường tiểu học Đoàn Thị Điểm, Trần
Quốc Toản và Câu lạc bộ Sao mai đã tham gia biểu diễn 4 học sinh đoạt giải
cuộc thi năm nay đã được mời tham dự w Ngày 19,20.10.2009, Phó TBT tap chí đã gặp Ô Vũ Văn Trà, Phó Giám đốc Sở GD - ĐT Hải Phòng để bàn về công tác phát hành TTT * Ngày 29.10.2009, Phó TBT tạp chí, Thư kí tòa soạn và cán bộ tòa soạn đã đến Sở GD - ĐT Thái Nguyên gặp gỡ Giám đốc Bùi Đức Cường và các chuyên viên Phòng Tiểu học Ngày 30.10.2009, đoàn đã đến Phòng
GD - ĐT TX Sông Công, Thái Nguyên gặp Trưởng phòng Đoàn Bình Khang
Cùng ngày, đoàn gặp Phó phòng GD - ĐT huyện Sóc Sơn, Hà Nội Ngô Văn Chức để trao đổi về nội dung và công tác phát
hành TTT tại các địa phương
PV TTT
1 le Ket qua CHUNG cứ (TTT2 số 78+79)
\ Các thám tử “tuổi Hồng” phán đoán thật tài: I Tang vat ma cảnh sát thu được khi khám người
\ tên gian chính là chùm chìa khóa đánh thêm
¡ của ngăn tủ số 52 Phần thưởng kì này được
\ trao cho những bạn sau: Nguyễn Thanh Nga,
ạ 6A, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh
\ Phúc; Phạm Công Minh, 8Aa, THCS Lâm ¡ Thao, Lâm Thao, Phú Thọ, Diệp Phương Mai, i 8A,, THCS Lé Danh Phuong, TT Hung Ha, Thai Bình; Ngô Minh Tân, 7C, THCS Hồ Xuân § Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An; Trần Minh Tuấn, \ 6B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh
I Thám tử Sê-lốc-cốc
Trang 19
BAI TOAN TONG QUAT
NGUYEN DINH THI (HS 12 Toán,
THPT chuyén Luong Van Chanh, TP Tuy Hoa, Phu Yén)
TTT2 số 70 có đăng bài toán 4 (thi GTQT), d6 là bài 2 trong
kì thi Toán Quốc tế (IMO) năm 2008 Bài toán này có rất nhiều
cách giải nhưng tử tưởng chính vẫn là đưa về bình phương của một tổng dạng x2 > 0 Trong bài này, tôi xin giới thiệu với các
bạn một lời giải như thế và một lời giải khác nữa cũng đẹp mắt bằng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki, và phần cuối sẽ là bài toán tổng quát
Bài toán 1 Cho x, y, z là các số thực khác 1 và thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh 2 2 2 răng ` xt y xt =— (1) x-1?“ (60-1? (Œ-†) b Lời giải 1 Đặt x =^; y=—;z=< b Cc >1 C— a 4 a Y b \ C _ 2 (55) *[b-s) "(6 a] >t® <> (m+ 1)? + (n+ 1)*+(p+1)*>4 > m^+n^+ pˆ+ 2(m+n+p)> 1 Vi (m + 1)(n + 1)(p + 1) = (m— 1)(n — 1)(p — 1) nén mn + np+ pm= —-1 Do dé (3) = (m+n+p)?+2(m+n+p)>-1 © (m+n+p+ 1)2>0: đúng (đpcm) Lời giải 2 Cũng như trên, để chứng minh (2) ta sử dụng bất đẳng thức Bu-nhia-cốp-xki cho hai bộ s6 (a — b)(a —c), (b — c)(b — a), (c — a)(c — b) va —_, a-b (3) C ca —., - ta được [(a - b)2(a - c)2 + + (b - @)2(b - a)“ + (c - a)Z(c - b)']x (3) -() SI) > (a2 - ac + b2 —- ba + c2 — cb)? Khai triển hai vế của bất đẳng thức trên ta có đpcm
Trên đây là hai lời giải đẹp mắt cho bài toán 1 Tuy nhiên chưa dừng lại, ta thử tìm
một bài toán tổng quát hơn như sau
Bài toán 2 Cho x, y, z là các số thực khác 1 và thỏa mãn xyz = 1 Chứng minh rang với mọi số thực m ta có x+mŸ y+m z+mÝ + rốn lấn, + >1 (4) Lời giải Đặt a=“—”, b=—”, x—†1 y1: _Zz+m z-1 a+m b+m c+m Suy ra X= ;y= ›.Z= a-†1 b-1 c-—1 Do dé a+m -b+m cm _- a-1 b-1 c-1_- c (m+ 1){ab + bc + ca + (m - 1)(a + b + c) + +m2-m+ 1]=0 Nếu m = -1 thì (4) đúng Nếu m z —1 thì ab + bc + ca = (1- m)(a +b+ c)- m2+m- 1 Suy ra a2 + b2+ c2 =(a+b+c+m- 1)2+ m^+ 1>1 (đpcm)
Nhận xét Rõ ràng bài toán 2 là bài toán
tổng quát, bài foán 17 là trường hợp riêng
ứng với m = 0, và điều kiện để đẳng thức
xảy ra trong bài foán 2 cũng là m = 0 Các bạn hãy giải bài toán 2 theo hướng của lời
Trang 20THACH DAU! THACH DAU DAY!
TRAN DAU THU BAY MUOI MOT
Người thách đấu Tạ Hồng Thơng, GV TT Thăng Long, TP Hồ Chí Minh
Bài toán thách đấu Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng
9(a2 + bˆ + c2)(ab + bc + ca) > (a + b + c)f
Xuất xứ Sáng tác
Thời hạn Trước ngày 15 - 12 - 2009 theo dấu bưu điện
Ket qua
1) Via, b, c la các số thực không âm nên
P = a(b - c)Ý + b(c - a)* + c(a — b)* > 0
Với giả thiết a + b + c = 1 thì P = 0 khi và
chỉ khi a = b = c =s hoặc trong ba số a, b, c có hai số bằng 0, số còn lại bằng 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 0
2) Do vai trò bình đẳng của a, b, c trong
P nên ta có thể giả sử 0 < c < b <a
Khi đó P = a(b - c)' + b(a - c) + c(a — b)*
< a(b + c)4 + baf + caf
= ad* + da* (dat d = b + c)
= ad(dŠ + a3) = ad[(d + a)3 - 3ad(d + a)]
= ad(1 - 3ad) (vì d + a = †1)
vu II 1 khi va chi khi ad 1 c= 0 hay
12 6 ab = = a+b=1;c=0
Theo định lí Vi-ét đảo thì a, b là hai nghiệm của phương trình x2—x + = = 0 3+6 ¬.- 6 6 Với a > b ta được a = (TTT2 số 78+79)
Vậy giá trị lớn nhất của P là = dat được
khi và chỉ khi (a ; b ; c) là một hoán vị của
[es 3-6 o}
Nhận xét Có ba võ sĩ tham gia trận đấu
6 6
này nhưng chỉ có một võ sĩ có lời giải đúng Lời giải vừa đúng, hay, lại đẹp trên của võ sĩ
Nguyễn Thành Đạt, 9A, THCS Hoàng Xuân
Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh Võ sĩ Đạt xứng đáng đăng quang trận đấu này
NGUYEN MINH BUC
Trang 21
DE KIEM TRA TOAN
NGUYEN THỊ BÍNH (GV THCS Trưng Vương, Hà Nội)
Môn học: Dai số 9 (chương I) - Thời gian: 20 phút - Năm học: 2009-2010
ĐỀ SỐ I
Câu 1 (2 điểm): Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: a) \(1+ V2)? -(1- V2)? bằng: A.-1 B.1 C./2-1 D.1-2 b) «a? (-0,5)* véi a < 0 bằng: A.0,5 B.-0,5 C.0,25 D -0,25 c) Điều kiện xác định của biểu thức vx -1 1: la: 42-x A.0<x<2 B.0<x<2,xz† C.0<x<2,x#1 D.x>2 d) (21-123 bang: A 2/3 -3 B.2/3+3 C 3-2/3 D 6-3 Câu 2 (2 điểm): Phân tích thành nhân tử: a) X4x—y y= b) 1-aVa = C) aJa+Ja—-a-1= d) x-Ax-2=
Câu 3 (2 điểm): Tìm các số cho ở cột 1 điền vào chỗ trống trong cột 2 để được kết
quả đúng
ĐỀ SỐ 2
Câu 1 (2 điểm): Khoanh tròn vào chữ cái đứng trước câu trả lời đúng: a) 29/777 -bÊ với b > 0 bằng: A.07 B.-07 C.0,49 D.-0,49 b) (1+ V3)? -(1-/3)* bằng: A.43-1 B.43+1 C.2 c) 431-1243 bằng: A 6-3 B 2/3 -3 C 3/3 -2 D 3¥3 +2 d) Điều kiện xác định của biểu thức Vx -2 D -2 2: là: J/3-x A.0<x<3 B.0<x<3 C.x>3 D.0<x<3,xz4 Câu 2 (2 điểm): Phân tích thành nhân tử: a) 1+aVa = b) xvx +y,Jy = c)xvx+V¥x-x-1= d)a-2J/a-3=
Trang 22Crang the 20.11 x Grang the 20.11 « Gang the 20.11
Howk pluie khang whi
Niém vui dé truyén lan Hạnh phúc này khó tả
Em hát trong ngày hội Sao yêu và sao thương Cô giáo sinh sôi nổi Giữa bao nhiêu vất vả
Sắp về với đàn em Lo toan han trên má
Thay giao doc tho vang Phấn son chẳng che mờ
Tâm hồn như rộng mỏ Thầy cô vẫn hát ca
Phản ứng dây chuyền chăng Truyền niềm vui chan chứa
Đêm vui không muốn ngủ Cho đàn em, cho đời
Có ở đâu lời hát Hạnh phúc này không nhỏ Nhiều như dưới mái trường Sao phải mỏi công tìm
Chính từ cuộc đời thường BÍNH NAM HÀ
Day the ding tong bai
Ai chẳng mong được sống trong ngày mai Giữa biển tình người chan hòa thân ái Chính cuộc sống hôm nay xây nền móng
Có một nghề: Dạy thợ dựng tương lai
Đàn em thơ ngây, trang giấy trắng ngời
Mười năm - khoảng thời gian ngắn ngủi Một lớp người làm đổi thay xã hội Mười năm đáng quý biết chừng nào!
Nói với các em bằng lời của cha ông
Những người làm nên niềm tự hào dân tộc Các em hiểu một ước mơ cháy bỏng:
Độc lập, tự do - Bao người đã quên mình
Cho các em đất nước buổi bình minh Tổ quốc không chỉ là từ ngữ
Ngọn núi, dòng sông đâu chỉ là sách vỏ Phải thành sắt, than, ánh điện cho người
Tất cả phải vào bài học cuộc đời
Căm giận, yêu thương và niềm kiêu hãnh
Để hành tinh không còn bất hạnh
Trẻ em lớn lên trong hạnh phúc hòa bình
VŨ KIM THỦY
Trang 23Je ms Eee toanhoc nho -
DINH LI PTOLEME VA UNG DUNG
PHAM VAN CHIEN
(GV THCS Xuan Phong, Xuan Trường, Nam Dinh)
Định lí Chứng minh rằng nếu ABCD là Từ đó suy ra đpcm
tứ giác nội tiếp thì
AB-CD + AD-BC = AC-BD
Chứng minh Giả sử DBC > ABD
Lấy điểm M trên đoạn AC thỏa mãn MBC = ABD A< Np S 2x À B D C PP
Bai toan 2 Cho hinh binh hanh ABCD Một đường tròn đi qua A cắt các đoạn thẳng AB, AC, AD lần lượt tại điểm thứ hai khác A A B C là P, Q, R Chứng minh rằng Vi AABM © ADBC (g-g) nên AB.CD = BD-AM AB-AP + AD.AR = AQ.AC Lời giải Tương tự AD.BC = BD.CM Suy ra AB-CD + AD-BC = BD(AM + CM) = AC-BD (dpcm) Ung dung
Bài tốn 1 Cho hình vng ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R P là một
điểm nằm trên cung nhỏ CD của (O)
Chứng minh rằng PA + PC = A/2PB
Lời giải Vì ABCD là hình vuông nội tiếp
đường tròn (O ; R) nên AB =BC =R42, D C
AC = 2R — — — — —
Áp dụng định lí Ptôlêmê cho tứ giac VI ACB=CAD=RPQ va BAC =PRQ
Trang 24
Suy ra AB _ BC _AC (đặt là †) RQ QP RP
Khi đó RQ ==, ap = ==, RP ==
Áp dụng định lí Ptôlêmê cho tứ giac APQR
ta được AP-QR + AR:PQ = AQ.PR
wo ap AB ap BC nq AC
Từ đó suy ra đpcm
Bài toán 3 Cho AABC nhọn nội tiếp
đường tròn tâm O, bán kính R và ngoại tiếp
đường tron tam I, ban kính r Goi x, y, z thứ
tự là khoảng cách từ O đến BC, CA, AB Chứng minh rằng x + y + z= R +r Lời giải Đặt BC = a, CA = b, AB = c A Áp dụng định lí Ptôlêmê cho tứ giác cy bz aR ANOP ta được “+ ^= “ (vinp = 3) 2 2 2 2 = cy + bz=akR Tương tự az + cx = bR; bx + ay =cR Suy ra a(V + Z) + b(Z + x) + ck + y) = R(a + b + ©) Mà ax + by + cz = 2Sanc = (a + b+ c)r
nên cộng theo vế hai đẳng thức trên rồi chia
hai vế cho (a + b + c), suy ra đpcm
Bài toán 4 Cho đường tròn (O) và dây BC cố định (khác đường kính) Xác định vị trí của điểm A trên cung lớn BC sao cho AB + AC lớn nhất Lời giải Gọi D là trung điểm của cung nhỏ BC
Áp dụng định lí Ptôlêmê cho tứ giác
ABDC ta dudc AB-DC + AC-BD = AD.BC c© DC(AB + AC) = AD-BC (vi BD = DC) Vi DC va BC cố định nên AB + AC lớn nhất khi và chỉ khi AD lớn nhất Vậy A là trung điểm của cung lớn BC A D Bai tap tu luyén
Bài 1 Cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp
đường tròn (O) Gọi M là một điểm thuộc
cung nhỏ AE Chứng minh rằng
MA + MC + ME = MB + MD
Trang 25Ae 44? ©° Ae a
Hen vdi tiếng Han ThS NGUYEN VU LOAN _
Bai 5 XKEREE Đây là bố mình
Từ mới:
iX zhé: [giá] đây, này (Thanh mẫu zh khi phát âm đầu lưỡi cuộn lên chạm vào ngạc cứng, luồng hơi từ đầu lưỡi và ngạc cứng ma sát đột ngột ra ngoài Phát âm gần như âm tr trong tiếng Việt Vận
mẫu e đọc như ươ cùng thanh 4) #nà: [ná] kia, ấy, đó
4® & bàba: [bả bả] ba, bố, cha (Âm “ba” thứ 2 là âm tiết không có thanh điệu, vì vậy khi đọc
chúng ta đọc rất nhẹ và ngăn, độ cao của âm nhẹ phụ thuộc vào thanh điệu của âm trước đó)
181mäama: [ma ma] mẹ, má (Tương tự như trên khi đọc âm “ma” thứ 2 cũng đọc nhẹ và độ cao
như thanh 1)
AR bù: [bat] không
Hội thoại:
Giới thiệu về bố mẹ và mình qua các mẫu câu sau :
Ijxg&&$ (zhè shì wð bàba ) Đây là bố mình
2.3§ #4119 (na shi w6 mama) Kia là mẹ mình
3.xE® (zhè shì wð ) Đây là mình
A ARAREEREE (na bushi wo baba) Kia không phải bố mình
Ngữ âm:
Nhóm thanh mẫu âm đầu lưỡi: d, t, n, 1
d: Khi phát âm đầu lưỡi chạm vào răng trên, khoang miệng dự trữ hơi rồi đầu lưỡi hạ nhanh
khiến luồng hơi đột ngột ra ngoài Dây thanh không rung Phát âm gần như âm ttrong tiếng Việt
t: Phát âm như âm d nhưng khi luéng hơi từ trong miệng đột ngột bật ra cần phải đây mạnh hơi
ra Phát âm gần như âmth trong tiếng Việt
n: Khi phát âm đầu lưỡi chạm vào lợi trên ngạc mềm và lưỡi cong hạ xuống, khoang mũi nở Phát âm gần như âmn trong tiếng Việt Dây thanh rung
Trang 26cho 262 s:„„ NHIÊU NHấT Bq0 NHIÊU?
Trong 2018 số tự nhiên từ 1 đến 2018 có thể chọn được nhiều nhất bao nhiêu số để tổng của hai số bất kì trong chúng chia hết
NGUYỄN THU TRANG (HS 8A, THCS Tam Dương, Vĩnh Phúc)
© Xét qua DIEU TRA NHAN KHAU qmzsz;s<zm
Gọi số gia đình là n, số con trai và con gái lần lượt là a, b (n, a, b e Ñ) Từ giả thiết suy ra tổng số bố mẹ là 2n và 0< n<b<a<2n<a+b Từ đó b>n+1;a>n+2=a+b>2n+3; a<2n-1;b<2n-2>a+b<4n-3 Suy ra 4n - 3>a+b>2n + 3 Do đó n > 3 (1)
Trừ gia đình đông con nhất, tổng số con của n - 1 gia đình còn lại tối thiểu là
1+2+ +(n-1)= To
Suy ra gia đình đông con nhất có số
n(n —1)
con tối thiểu là +
Do đó tổng số con tối thiểu là nˆ — n + 1 Suy ra 4n - 3>n^— n + 1 hay n?—5n+4<0 =(n-1)(n-4) <0 (2) Tu (1) va (2) suy ra 3 <n <4 TH1.n= 3 Vì 4n-3>a+b>2n+3 nên a+b =9 Suy ra a = 2n - 1=5;b=2n—-2 =4
Do đó số con tương của ba gia đình có
thể là: 1, 2, 6 (loại) hoặc 1, 3, 5 (gia đình thứ nhất có 1 con trai; gia đình thứ hai có 1 con trai, 2 con gái; gia đình thứ ba có 3 con trai, 2 con gái: thỏa mãn) TH2 n =4 Vì4n-3>a+b>n^—n+ 1 nên a + b = 13 Vìn<b<a< 2n nên b =6; a = 7 Suy ra số con tương ứng của bốn gia đình là 1, 2, 3, 7: loại
Nhận xét Đây là một bài toán thực tế
Có nhiều bạn tham gia giải Tất cả đều lập
luận đúng và tìm ra đúng đáp số Các bạn
sau có lời giải tốt: Phạm Quốc Chấn, 8A,
THCS Xuân Trường, Nam Định; Đặng
Trang 27
Problem E55 (Proposed by Ngo Anh Tuyet, Hanoi Education Publishing House)
In a troop of 2008, 12 are on duty every night Prove that it is impossible to draw up a schedule according to which every 2 are on duty together exactly once ? 5 Y E : 5 Z
Solution E53 Since the largest prime factor of n! is 19, n = 19, 20, 21 or 22 Since n! has 7 asa factor, then n is at least 21
Because 112 is not a factor or of n!, nis less than 22 So n must be 21 Check again:
21!=21x20x19x x3x2x1=2'8 x 39 x 54 x79 x 11 x 13 x 17 x 19
Answer: n = 21
Nhận xét Rất tiếc vì lỗi chế bản nên số mũ của 2 được in là 17 (trong khi đáng ra phải
là 18) Với đề bài như vậy, các bài làm chứng minh là không có số n nào thỏa mãn hoặc
thay số mũ của 2 thành 18 để tìm n đều được coi là hợp lệ Phần lớn các bạn tìm ra đáp
số 21 bằng cách dài dòng, không sử dụng những lập luận logic như nêu trên
Bài của các bạn sau đây tương đối tốt, trình bày cẩn thận: Nguyễn Phạm Thiện Dũng, 8A,, THCS Giấy, Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; Lê Văn Thành, 8A, THCS Hoang Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Thị Thanh Hoa, 9A; Đỉnh Thị Thu Trang, 9B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh; Hồ Thị Thúy, 6A, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An; Ngô Vương Minh, 7A., THCS Cầu Diễn, Từ Liêm, Hà Nội
NGO ANH TUYET
@ Kel quad (TTT2 số 78+79)
luán học uà hội nhập
Kiểm tra tài khoản
We have
$17 + $6,31 + $38,95 = $62,26
Net deposit is
$62,26 — $0,00 = $62,26
Các ban được thưởng kì này: Hà An
Huy, 8H, THCS Văn Lang, Việt Trì, Phú
Thọ; Hồ Sỹ Tiến, xóm 4, Thượng Sơn, Đô Lương, Nghệ An
ĐINH THỦ
BAT Mah TP ico Ch AM He 2M9-SI8 TẠ cắt Cx St BIEN
Trang 28
@ Ki nay hộ bạn ấy nhé ! Mẹ thường đố tôi bộ phận nào là quan trọng
nhất trên cơ thể Hồi bé, tôi cho rằng âm
thanh vô cùng quan trọng đối với con người,
vì thế miệng chính là bộ phận quan trọng
nhất Mẹ lắc đầu: “Chưa hẳn thế đâu Trên
thế giới có rất nhiều người bị diéc con a
Con tiếp tục suy nghĩ nữa đi Sau này mẹ
sẽ hỏi lại”
Vài năm sau tôi lại nghĩ hình ảnh là hết
sức quan trọng, vì vậy mắt chính là bộ phận quan trọng nhất Mẹ dịu dàng bảo: “Con đã
học thêm được nhiều điều rồi đấy nhưng
câu trả lời của con vẫn chưa đúng Trên thế
giới có rất nhiều người bị câm mà con”
Sau đó tôi đã nhiều lần trả lời câu đố của
mẹ nhưng lần nào mẹ cũng bảo: “Chưa
đúng nhưng con tiến bộ nhiều lắm” Rồi năm ngối, ơng nội tôi mất Mọi
người đều khóc Ba tôi cũng khóc Đây là lần thứ hai tôi thấy ba khóc Khi tôi và mẹ
D6 ban tim ra
C6 lé vi qua yéu thich cdu chuyén nho nay nén mét ban hoc sinh da chép va giti vé TTT Tuy nhién, ban ấy đã
nhâm 2 chỗ Các bạn hãy doc that ki dé tim ra va sita lai
nghiêng mình vĩnh biệt ông, mẹ nhìn tôi thi
thầm: “Con đã tìm ra câu trả lời chưa?” Tôi rất ngạc nhiên, không hiểu sao mẹ lại hỏi
tôi chuyện đó vào lúc này Nhìn vẻ mặt
sửng sốt của tôi, mẹ bảo: “Con trai a, phần
quan trọng nhất trên cơ thể chính là đôi vai”
Tôi hỏi: “Có phải vì chúng đỡ cho cái đầu
không a?” Me bảo: “Không Đôi vai quan trọng nhất vì chúng là nơi người thân của
của con có thể dựa vào khi họ khóc Mỗi người đều cần có một bờ vai để nương tựa trong cuộc sống Mẹ chỉ mong con có nhiều
bạn bè và nhận được nhiều tình yêu thương
để mỗi khi con khóc con lại có một bờ vai
cho con ngả đầu vào”
Từ hôm đó tôi đã hiểu rằng phần quan
trọng nhất của con người không phải là
phần cho mình mà là phần dành cho người khác, phần để cảm thông và chia sẻ với nỗi đau của người khác -
NGUYÊN ĐỨC
@ Két qua ham Ữ âu nh\ (TTT2 số 78+79)
TTT rất vui vì kì này các bạn tham gia hết sức nhiệt tình Nhiều bạn đã làm khá cầu kì, cẩn thận và đã chỉ ra đúng những chỗ nhầm, đó là:
- “Tôi đi học” không phải là tiểu thuyết, chỉ là bài văn ngắn
- Câu “Hằng năm cứ vào cuối thu ” là câu mở đầu, không phải câu kết - Buổi tựu trường, không phải tan trường
- Trong bài văn, cậu bé nép bên mẹ chứ không phải bên cha
Phần thưởng kì này được trao cho những bạn sau: Đặng Hồng Thái, 7A, THCS Lâm
Thao; Nguyên Minh Trang, 8A, THCS Thanh Thủy, Phú Thọ; Cao Minh Châu, 8B, THCS Từ Sơn, Bắc Ninh; Nguyễn Thị Diệu Linh, số 129, khu 5, TT Hậu Lộc, Thanh
Hóa; Hoàng Anh, 7C, THCS Diễn Lộc, Diễn Châu, Nghệ An
PHÚ BÌNH
Trang 29
ME VÀ cô GIÁO Nhà thơ LÊ QUỐC HÁN
“Chum hoa này vàng rộm/ Rủ nhau dành tặng
rong chúng ta, ai cũng thích bài hát mẫu giáo “Cô và mẹ”: “Lúc ở nhà mẹ cũng là
cô giáo/ Khi đến trường cô giáo như mẹ
hiền/ Cô và mẹ là hai cô giáo/ Mẹ và cô ấy hai
me hiền”
Nhân ngày nhà giáo Việt Nam, chúng ta
cùng nhau “giải mã” xem vì sao có sự so sánh
thi vị đó Trước hết, do tình cảm cô giáo dành cho các em nhỏ, nhất là những em có hoàn
cảnh đặc biệt khó khăn: “Bàn fay cô giáo/ Tết
tóc cho em/ Về nhà bà khen/ Tay cô đến khéo/
Bàn tay cô giáo/ Vá áo cho em/ Như tay chị cả/ Như tay mẹ hiền" (Định Hải) Cô luôn dạy các em “Nói điều hay”: “Mẹ, me ơi, cô bảo/ Cháu
Ơi, chơi với bạn/ Cãi nhau là không vui⁄ Cái
mồm nó xinh thế/ Chỉ nói điều hay thôi" (Phạm
Hổ) Cô dạy các em làm bao việc tốt : “Hai bàn tay cô/ Dạy em múa dẻo/ Hai bàn tay cô/ Dạy
em đan khéo" (Định Hải) Cô không chỉ dạy em biết đọc, biết viết, biết làm toán mà còn dạy các
em biết vui chơi ca hát cho cuộc đời thêm đẹp,
thêm vui : “Trường của em be bé/ Nằm lặng
giữa rừng cây/ Cô giáo em tre trẻ/ Dạy em hát
rất hay" (Minh Chính) Khi em lớn lên, cô dạy
em biết tham gia những công việc có ích cho xã
hội : “Nhớ hồi đi trồng cây/ Cô giáo còn trẻ lắm/ Bây giờ cây nối cây/ Như đàn em đứng đón/
Lá chen nhau che nắng/ Mát đường cô tới
trường" (Vũ Bình Minh)
Chính những tình cảm và việc làm mà cô giáo dành cho các em đã gieo vào tâm hồn thơ
trẻ của các em bao tình cảm, bao ý nghĩ tốt đẹp về mọi người xung quanh, về cảnh vật xung
quanh mà trước hết là dành cho các cô:
”
cô/ Lớp học chưa đến giờ/ Đã thơm bàn cô giáo (Xuân Hoài) Bài thơ “Mưa” sau đây của nhà thơ Trương Xương thật sự đã làm cho tôi xúc động mãi: “Bất ngờ trời đổ mưa to/ Trò lo trường
đột nơi cô giảng bài/ Trống tan học vẫn mưa
hoài/ Đường cô về có nằm ngoài cơn mưa?
Có sự so sánh giữa mẹ và cô giáo còn bởi sự
chăm sóc của mẹ đối với các em Không chỉ
sinh ra, nuôi dưỡng các em nên người, mẹ còn
lo cho các em được học tập, trưởng thành Ngày chập chững tới trường, mẹ dắt tay từng
bước Mỗi lần các em đi học về, cô giáo dạy bảo làm điều gì, mẹ cùng cả nhà làm theo để làm gương cho các em: Lời cô dạy bảo/ Cả nhà
đều ngoan (Đặng Hấn) Mẹ còn tranh thủ giúp
các em học bài, hướng dẫn các em làm những bài toán khó: Làm được bài toán đúng/ Con đừng vội hái hoa/ Còn bao bài toán khác/ Đang
chờ con đi xa/ Nắm que tính rất tròn/ Con cất
vào túi vở/ Cả lòng mẹ thương con/ Gửi theo
từng con số (Nguyễn Bùi Vợi) Mỗi lần bé được cô khen, được điểm tốt, cả nhà vui như hội: Cả
nhà đi học vui thay/ Hèn chi điểm xấu buồn lây
cả nhà/ Hèn chi mười điểm hôm qua/ Nhà mình
như thể được ba điểm mười (Cao Xuân Sơn) Hình ảnh “Mẹ và cô giáo” là một hình ảnh đẹp và thiêng liêng, chắc chắn sẽ được mang
trong tim của mỗi chúng ta suốt cuộc đời:
Mặt trời mọc rồi lặn
Trên đôi chân lon ton Hai chân trời của con
Là mẹ và cô giáo
Trang 30@ Kindy 0 chữ
CHIEN THANG BENH TAT
Trên mồi hàng ngang là tên một căn bệnh nguy hiểm Nếu
muốn chiến thắng chúng thì bạn phải cần đến sự giúp đỡ của từ ở hàng dọc, bởi MEDICINE nghĩa là Y HỌC mà (Phong Thử 1, Điện Thọ, Điện Bàn, Quảng Nam) TRẦN VĂN NGỌC TÂN
@ Két qua 6 chữ nHUNG CON HE (TTT2 sé 78+79)
Tiếng Anh đã giúp các loài sinh vật biển
ẩn trốn kĩ hơn trong trò chơi trốn tìm kì này Rất ít bạn tham ra tìm kiếm và chỉ có hai bạn đã tìm đủ 12 loài động vật biển: STAR
FISH - Sao biển; SEA TURTLE - Rùa biển; CRAB - Cua; CORAL - San hé; SPONGE - Bot bién; SEA HORSE - Ca ngua; TUNA - Cá thu; LOPSTER - Tôm hùm; MARLIN - Cá mũi nhọn; WORM - Trùng; GAR - Cá thân dài; EEL - Cá trình
Chủ Vườn xin chúc mừng hai bạn Từ Thị Kim Thí, 8C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nghiêm Anh Hoàng, 6B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh
được thưởng kì này Các bạn thật sự xứng
đáng vì đã rất kiên trì tìm kiếm - một trong
những phẩm chất cần thiết để học tốt tiếng
Anh cũng như những môn học khác
Trang 31
oxinuw COL LA 9
e Tuy ở cách Trái Đất khoảng 20 km nhưng tôi có vai trò rất quan
trọng với cuộc sống mn lồi Khơng có tôi làm “lá chắn” che chở thì tia cực tím sẽ gây ra nhiều nguy hiểm cho con người và các loài
sinh vật khác
e Hiện nay, tôi đang bị mỏng đi Nguyên nhân chính là do các chất
thải hóa chất mà con người sử dụng trong công nghiệp làm lạnh
e Vì sự cần thiết phải bảo vệ tôi nên ngày 16 tháng 9 hàng năm đã được thế giới chọn là ngày của tôi, ngày mà các quốc gia đều tuyên truyền để bảo vệ tôi Việt Nam cũng là một quốc gia rất tích
cực trong hoạt động này
Các bạn có biết tôi là gì không? Để góp phần nhỏ bé nhưng thiết
thực của mình vào việc bảo vệ tôi, cá nhân bạn có thể làm những gì? Những phần thưởng hấp dẫn đang chờ các bạn!
NGUYỄN ĐỨC
`
Mỗi khi đến thăm Văn Miếu - Quốc Tử Giám du khách đều được giới thiệu về một
nhà nho của Việt Nam thời kì phong kiến
Ông là một người thầy có tài có đức, được
người sau ca ngợi là “người thầy của muôn đời” Nhà nho đó chính là nhà giáo
lỗi lạc Chu Văn An
Chu Văn An tên hiệu là Tiều An, tén chữ là Linh Triệt, người làng Văn Thôn, xã Quang Liệt, huyện Thanh Đàm (nay là huyện Thanh Trì - Hà Nội) Theo thần tích làng Thanh Liệt, nơi thờ ông làm thành
hồng, thì ơng sinh năm Nhâm Thìn (1292) và mất năm Canh Tuất (1370)
Chu Văn An ngay từ hồi còn trẻ đã nổi
tiếng là một người cương trực, sửa mình trong sạch, không cầu danh lợi, chỉ ở nhà
đọc sách Khi thi đỗ Thái học sinh, ông không ra làm quan mà trở về mở trường
_ dạy học ở quê nhà Học trò nhiều nơi tìm
- ` 3 ^
© Ket q ÌÌIời thay Cla MUON GOI œmasss
đến theo học rất đông Trong số môn đệ
của ông có nhiều người đỗ đạt cao, làm
quan to trong triều như Phạm Sư Mạnh,
Lê Quát, khi về thăm thầy vẫn giữ lễ, được thầy nói chuyện ít lời thì rất lấy làm mừng
Có những học trò cũ không tốt, ông thẳng
thắn quở trách, thậm chí quát mắng
không cho gặp Tính nghiêm nghị, tư cách thanh cao và học vấn sâu rộng làm cho tiếng tăm của ông ngày càng lan xa Đức độ và uy tín của ông như vậy, khiến cho học trò đến theo học càng nhiều
Toán Tuổi thơ xin chúc mừng các bạn có tên sau nhận thưởng kì này: Trần Bảo Trân, 95 Đội Cấn, Ba Đình, Hà Nội; Võ Thị Hà Phương, xóm 13, Nghi Cung, Nghi Lộc, Nghệ An; Huỳnh Thị Trâm Anh, 8G,
THCS Trần Phú, TP Quảng Ngãi, Quảng
Ngãi
Trang 32
Hỏi: Anh Phó ơi! Em rất thích sưu tập
tem nhưng em hầu như chẳng bao giờ nhận
được thư Bưu điện xã em thì có ít loại tem
lắm Em muốn có nhiều tem thì phải làm thế
nào a? Anh bày cách giúp em với!
Một bạn quên ghi tên
Đáp:
Muốn chơi tem phải nhờ thêm các bạn
Nhờ người quen tìm giúp cho mình
Thời gian trôi số tem sẽ nhiều lên
Bưu điện xã thiếu thì lên huyện nhé
Hỏi: Khi làm bài gửi về tòa soạn nếu em
dùng bút xóa sửa một chữ thì có được
không hả anh? -
NGUYÊN KIM HUYỀN
( (Ay, THCS Hai Ba Trung, TX Phuc Yén, Vinh Phuc) Dap: Em xóa vài ba chữ Cũng được chẳng hề gì Chỉ ngại xóa cả bài Chẳng còn gì để đọc
Hỏi: Sao số nào em cũng gửi bài tham dự các chuyên mục của TTT mà vẫn không có tên trong danh sách được tặng quà? Em thấy chuyên mục Vườn Anh chỉ toàn các em
lớp 6, lớp 7 được quà thôi Hay là bọn em lớp 9 phải nhường cho các em lớp bé hơn?
NGUYÊN THỊ HÀ ANH
(9A, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc)
Đáp: Chắc em sinh đúng giờ quên
Bài hay mà lại bị quên bao lần Lần này anh Phó góp phần Nêu tên lên báo dần dần thôi quên
e06/696666666 66666666666 6$ 66
Hỏi: Anh Phó ơi! Bố em rất nóng tính, rất hay đánh em, có lần đẩy em lăn từ tầng 3
xuống Anh có lời khuyên nào giúp em thốt
khỏi cảnh này khơng ạ?
Một em gái giấu tên
Trang 33
Bài 1(81) Tìm tất cả các số tự nhiên có ba chữ số thỏa mãn các tính chất sau: có tổng các chữ số bằng 9, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 2 đơn vị và nếu ta đổi chỗ chữ số hàng trăm cho chữ số hàng đơn vị thì được số mới lớn hơn số ban đầu là 198 đơn vị
VŨ ĐÌNH HÒA (GV Khoa CNTT, Đại học Sư phạm Hà Nội)
Bài 2(81) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
f(x) = 6|x — 1] + [3x — 2] + 2x
NGUYEN ANH DUNG (Ha Néi)
Bài 3(81) Cho a, b và c là các số thực dương Chứng minh rằng
(142) ied} (ud > dt 3 l a b Cc 2+abc
NGUYEN ANH KHOA (HS 11 Toán, THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi) Bài 4(81) Cho hình thang ABCD (AB // CD)
Giả sử tồn tại điểm M trên cạnh AD và điểm N
bên trong hình thang sao cho NBC = MBA,
NCB =MCD Gọi P là đỉnh thứ tư của hình bình
hành MANP
Chứng minh rằng P thuộc cạnh CD
NGUYỄN MINH HÀ
(GV: THỊPT chuyên, Đại học Sư phạm Hà Nội)
CORRESPONDENCE PROBLEM SOLVING COMPETITION English version translated by Pham Van Thuan
1(81) Find all three-digit natural numbers that possess the following property: sum
of digits of each number is 9, the right-most digit is 2 units less than its tens digit, and Q if the left-most digit and the right-most digit in each number are swapped, then the OVr— ===*===””=" resulting number is 198 units greater than the original number PHIẾU | DANG Ki ! HAM DU } | | 2(81) Find the least value of the expression f(x) = 6|x — 1] + |3x - 2| + 2x 3(81) Let a, b be positive real numbers Prove that 4 4 4 4 1+7 + 142 + 142 > 3| 1+ 3 a b Cc 2+ abc UOC THI
GTQT 4(81) Let ABCD be a trapzium with parallel sides AB, CD
° | Suppose that M is a point on the side AD and N is interior to
NAM HOC J} the trapezium such that ZNBC = ZMBA, ZNCB = ZMCD
I Let P be the fourth vertex of the parallelogram MANP 2009 201 0 Prove that P is on the side CD
O-4
Trang 34
CHUC MUNG 50 NAM THANH LẬP
CONG TY CO PHAN VAN PHONG PHAM HONG HA
Sang ngay 29.9.2009, Cong ty CP VPP
Hồng Hà đã tổ chức Lễ kỉ niệm 5O năm
thành lập và đón nhận Huân chương Lao
động hạng nhất tại Nhà hát lớn Hà Nội
Công ty được thành lập ngày
1.10.1959, tién than la Nha may VPP Hong Ha Trai qua 50 năm phát triển, cong ty da khang định được vị thế tên tuối của mình trong lòng người tiêu dùng
Việt Nam Sản phẩm của công ty nằm trong tốp 100 sản phẩm được người tiêu dùng ưa thích; thương hiệu của công ty
là một trong 100 thương hiệu mạnh trên thị trường Với mức tăng trưởng liên tục bình quân đạt I5O%/năm, lợi nhuận
bình quân dat hon 150%/nam và thu
nhập bình quân người lao động đạt LẺ KY NIỆM I #94 - L/19/0%09 V2 ON (ORAM PRAM COUTTS (25 DONG ARNG HÁT Tổng Giám đốc Bùi Kỳ Phát đón nhận bằng khen của Thủ tướng Chính phủ (2) BONG HA Zi : cD NAM
THANH LAP & PHAT TRIEN
CONG TY CO PHAN VAN PHONG PHAM HONG HA 240 10/ 2009 > ad at: iT Lãnh đạo Công ty cổ phần Văn phòng phẩm Hồng Hà qua các thời kì
117%/năm, doanh thu của công ty đã
vượt ngưỡng 200 tỉ đồng vào năm 2007 và kỉm ngạch xuất khẩu sang thị trường Mỹ tăng dân từ I1 triệu USD trong năm
2007 lên 1,5 triệu USD vào năm 2008
Công ty đã xây dựng tầm nhìn đến 2015
với chiến lược xuyên suốt là trở thành tập đoàn đa ngành, trong đó sản xuất
kinh doanh văn phòng phẩm và địa ốc
là hai lĩnh vực chủ đạo Ngoai ra, cong ty
còn tham gỉa nhiều chương trình mang tính giáo dục dành cho lứa tuổi học sinh và các hoạt động nhân đạo như đỡ đầu
Làng trẻ em Birla Hà Nội, tài trợ học sinh các địa phương nghèo, những vùng thiên tai lũ lụt PV : Mime Stee a /
Ông Trương Quang Luyến, Phó Tổng
Trang 35TOAN HOC VA TUGI TRE
Cầm trên tay tờ tạp chí Toán học và Tuổi
trẻ số tháng 10 năm 2009, những con số trên bìa trước hiện ngay trước mắt tôi: số 388, năm thứ 46 Thế mà đã 45 năm, bằng khoảng nửa đời người, gần bốn trăm số báo đã đồng
hành cùng các bạn trẻ, bạn già yêu toán; từ
một tờ báo 16 trang cả bìa in trên giấy xấu đã
trở thành tờ tạp chí 32 trang giấy trắng với bìa
in b6n mau dep dé
Tôi bỗng nhớ lại những ngày học phổ
thông, đi sơ tán ở vùng quê, hàng tháng mỗi lần về Hà Nội lại đi tìm mua bằng được tờ báo THTT mang đến nơi sơ tán để cùng các bạn
đồng trang lứa đọc, trao đổi và giải bài tập
Lúc đó, nếu không có THTT, chúng tôi hầu như không có tài liệu toán nào bằng tiếng
Việt, ngoài một vài quyển sách tiếng Nga
kiếm được ở cửa hàng sách ngoại văn
Gặp những bài toán hay trên THTT, tôi đã
cố gắng giải và viết lời giải gửi tới tòa soạn Sau mỗi lần như thế, tôi đối chiếu lời giải của mình với lời giải của các thầy trong mục Giải bài kì trước xem lời giải của mình đã ngắn
gọn, tốt nhất chưa Tôi nhớ như in lần đầu tiên thấy tên mình trên báo có lời giải tốt, tôi
nhảy cẵng lên đi khoe với bạn bè Chúng tôi thi đua gửi bài và sau đó trên báo nhiều lần
có tên tôi cùng các bạn Có tên trên báo là
niềm vui, đánh dấu công sức, trình độ của mình, nhưng điều quan trọng hơn là cho mình
hai điều rất bổ ích khi đi thi và cả những năm tháng công tác sau này, đó là: biết cách trình
bày đề toán, lời giải đầy đủ ý nhưng ngắn gọn và luyện tập về tư duy lôgic cũng như tư duy
sáng tạo
Trong những năm học phổ thông và học
Đại học Sư phạm, chính tờ THTT đã kích thích trí tò mò sáng tạo tốn học của tơi qua
những lời giải hay, độc đáo; qua những kiến
thức toán khai thác sâu hơn trong sách giáo khoa; qua những vấn đề toán học đã hoặc
đang chờ được giải quyết, Tình yêu toán
học được khơi dậy từ đó còn giữ mãi đến sau
này, khi trở thành một giáo viên tốn, tơi vẫn thường xun sử dụng các bài viết theo chuyên đề, các đề toán trên THTT để giúp
học sinh ôn thi tốt nghiệp, đại học và thi chọn
học sinh giỏi
Bốn nhăm năm qua, biết bao thế hệ học
sinh giỏi, học sinh thi toán quốc gia và quốc tế, biết bao giáo viên toán đã trở thành tiến
Sĩ, giáo sư, nhà giáo ưu tú, một phần nhờ tạp chí THTT Chúng tôi, các cộng tác viên của tạp chí cũng rất tự hào đã đóng góp một phần vào cơng việc giáo dục tốn học, giúp
tạp chí THTT được nhận hai Huân chương
Lao động hạng Nhì và một Huân chương Lao
động hạng Nhất
Trải qua những năm tháng kháng chiến, đi
sơ tán và nhiều lần chuyển nhà, nhiều tờ báo
THTT cũ đã bị rách nát, bị mất, tôi muốn tìm đọc lại mà không có Rất may là tòa soạn
THTT đã tập hợp, tuyển chọn các bài viết và các đề toán hay đã đăng trên THTT trước đây và xuất bản thành những cuốn sách như: Tuyển tập 30 năm THTT, Tuyển tập 5 năm THTT, Tuyển chọn theo chuyên đề THTT (đã có từ quyển 1 đến quyển 4), Cho đến nay
dù gần đến tuổi nghỉ hưu nhưng trong hành
trang dạy học hiện tại của tôi vẫn không thể thiếu tờ THTT và các ấn phẩm trên Tôi mong rằng lớp độc giả của Toán Tuổi thơ khi lớn thêm sẽ tiếp tục say mê toán hơn khi bắt gặp những thơng tin tốn học bổ ích, thiết thực và
không kém phần thú vị trên tờ tạp chí THTT
LÊ VĂN (Hà Nội)
Địa chỉ gửi thư và liên hệ: Tầng 5, số 361 đường Trường Chinh, quận Thanh Xuân, Hà Nội
Điện thoại (Tel): 04.35682701 (Biên tập); 04.35682702 (Phát hành - Trị sự) Điện sao (Fax): 04.35682702 Điện thu (Email): toantuoitho@vnn.vn
Trang mạng (Website): http:/www.toantuoitho.vn
Giấy phép xuất bản: số 31/GP-BVHTT, cấp ngày 23/1/2003 của Bộ Văn hóa và Thông tin
Mã số: 8BTT81M9 In tại: Công ti cổ phần in Sách giáo khoa tại TP Hà Nội
In xong và nộp lưu chiểu tháng 11 năm 2009
Giá : 5000đ