So 110 Full re pdf
Trang 1110 04/2012
Trang 2Children’s Fun Maths Journal ce) ` NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP: Tổng biên tập: Ths VO KIM THUY
Thu ki toa soan:
NGUYEN XUAN MAI
Uy vien: NGND VU HUU BINH
TS GIANG KHAC BiNH TS TRAN DINH CHAU
TS VO DINH CHUAN TS NGUYEN MINH DUC ThS NGUYEN ANH DUNG TS NGUYEN MINH HA PGS TS LE QUOC HAN HOANG TRONG HAO PGS TSKH VU DINH HOA TS NGUYEN DUC HOANG ThS NGUYEN VU LOAN NGUYEN ĐỨC TẤN PGS TS TƠN THÂN TRƯƠNG CƠNG THÀNH PHAM VAN TRONG ThS HO QUANG VINH TOA SOAN:
Tang 5, số 361 đường Trường Chỉnh,
quan Thanh Xuan, Ha Noi Dién thoai (Tel): 04.35682701 Dién sao (Fax): 04.35682702 Dién thu (Email): toantuoitho@vnn.vn
Trang mang (Website): http://www.toantuoitho.vn
DAI DIEN TAI MIEN NAM:
TRAN CHi HIEU Giám đốc Cơng ti CP Sách - TBGD Bình Dương, 283 Thích Quảng Đức, TX Thủ Dầu Một, Bình Dương ĐT: 0650.3858330 Trưởng phịng Trị sự: TRỊNH ĐÌNH TÀI Biên tập: HỒNG TRỌNG HẢO, PHAN HƯƠNG Trị sự - Phát hành: TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG, MAC THANH HUYEN, NGUYEN HUYỀN THANH Chế bản: ĐỖ TRUNG KIÊN Mĩ thuật: TÚ ÂN
CHIU TRACH NHIEM XUAT BAN
Chi tich HBTY hiêm Tổng Biám dic NXBED Viet Nam:
NGUT NGO TRAN Al
Pha Tang Giam déc kiém Ting bién tap NXBGD Viet Nam:
TS NGUYEN QUY THAO TRONG SO NAY @ Hoc ra sao? Giải bài tốn hình học bằng cách dùng bài tốn ngược Thái Nhật Phượng 2
® Giải tốn thế nào?
Khai thác, tìm hiểu một bài tốn Phạm Đức Quang 6 ® Chữ và chữ số Ki 1 Trương Cơng Thành 7 ® Nhìn ra thế giới
Olympic Tốn Hy Lạp lần thứ 24 mang tên Acsimet 25.2.2007 (Tiếp theo kì trước) Binh Nam Ha 8 ® Phá án cùng thám tử Sêlơccơc Hai người khách du lịch Tuyết Lan 16 ® Đến với tiếng Hán Bài 30 Ơn tập Nguyễn Vũ Loan 18 ® Tốn quanh ta Tốn học với mã số, mã vạch Mã số sách Quốc tế, mã số tạp chí Quốc tế (Tiếp theo kì trước)
Nguyễn Đăng Quang 20 ® Dành cho các nhà tốn học nhỏ Đi tìm lời giải tự nhiên cho bài tốn Kiều Đình Minh 22 ® Học Vật lí bằng tiếng Anh A Mechanics Vũ Kim Thủy 25 ® Từ zero đến vơ cùng Số † Trương Cơng Thành 26 ® Trị chuyện
Xuân qua, hạnh phúc ở lại
Trang 32559 a is @eeeeeceseeeoeeeeeeaeeeeeaoeeeeceaeeeeeeeeeeeeaeaeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee 3 | GIAI BAI TOAN HINH HOC : a ®
3 BANG CACH DUNG
: BAI TOAN NGUOC
› @
THÁI NHẬT PHƯỢNG
° (GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hịa)
‡ Một số bài tốn hình học khi giải đi từ giả thiết — AC = 2AK (vì AEAC cân tại E và EK | AC)
: để suy ra kết luận sẽ gặp khĩ khăn Khi đĩ, ta thử Suy ra BE = AC
° xét bài tốn ngược xem cĩ thuận lợi khơng Ma BD =AC nén BE = BD
° Gia st bài tốn cho điểm M cĩ tính chất (1), Vì E và D cùng thuộc cạnh BC nên E = D ¿ hãy chứng minh điểm M cĩ tính chất (2) Ta xét Vậy AADC cân tại D
° bài tốn ngược là: Xét điểm N cĩ tính chất (2) rồi Bài tốn 2 Cho t iác ABC cĩ B = 45°
: đi chứng minh N cũng cĩ tính chất (1) Từ đĩ xét _ 'Z' “ZMế- 777 ấp 800 0y Tả TUẦN ý
¿ tính duy nhất của điểm M thỏa mãn (1) ta sẽ suy _€ =30” M là trung điểm AC Chứng minh rằng
› ra N trùng M hay M cĩ tính chất (2) BMC = 135°,
: Sau day la m6t s6_ bai toan minh hoa Lời giải Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
: - Bài tốn 1 Cho tam giác ABC cĩ B=30°, NBA =309
° € = 209 Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD =AC A : Chứng minh rằng AADC cân tại D
: Lời giải Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho : AAEC cân tại E : H ° A K B _ H — C ° Ta c6 A =180° -B-C =105° : Từ đĩ theo tính chất gĩc ngồi của tam giác ta ; 5 E=D C c6 BNC = A+NBA = 138°
; Theo tinh chat gĩc ngồi của tam giác ta cĩ Dựng AH L BC (H c BC), AK L BN c BN)
: AEB = 26 = 40° _|a cĩ AC = 2AH (vì AACH vuơng tại H va
: AEC o Oo Oo C = 30°);
$ Suy ra AEC =180~ -40° =140"
° Dung EH | AB (H € AB), EK | AC (Ke AC) AB = J2AH (vì AABH vuơng tại H va B = 45°);
: Ta cé EAH=AEB+B=40°+30°=70° va AB = 2AK (vì AABK vuơng tại K và ABK = 30°); ° KEA = = AEC - 700 AN = 42AK (vì AAKN vuơng tại K va ANK = 45°)
: _— —— Kết hợp 4 kết quả trên ta được AC = 2AN
; Suy ra EAH =KEA Do đĩ N là trung điểm AC hay N =M
: S noe a Vay BMC = 135°
° - khá ta , Bai toan 3 Cho tam giac ABC can tai A Trén
` đt Khac t4 c0 các cạnh AB và AC lấy tương ứng các diém M, N
° BE = 2HE (vì AEBH vuơng tại H và B = 30°); sao cho AM = CN Goi l là trung điểm MN AI cắt
Trang 4BC tại D Chứng minh rằng | la trung điểm của AD
Lời giải Dung NE // AB (E € BC) Ta cĩ NEC =B (2 gĩc đồng vị); B =€ (vì AABC cân tại A) Suy ra NEC =€ Vậy ANEC cân tại N Do đĩ NC = NE Mà AM = CN nên AM = NE Kết hợp với AM // NE suy ra tứ giác MANE la hình bình hành Do đĩ I là trung điểm AE va MN Suy ra E thuộc đường thẳng AI Mà Ec BC nên E =D Vậy I là trung điểm của AD A B E=D C
Bài tốn 4 Cho hình vuơng ABCD Lấy điểm E trên cạnh BC sao cho AB = 3AE Lấy điểm F trên tia đối của tia CD sao cho CD = 2CF Goi! la
giao điểm của AE và BF Chứng minh rằng I
thuộc đường trịn ngoại tiếp hình vuơng ABCD
Lời giải Gọi J là giao điểm của AE với đường
trịn ngoại tiếp hình vuơng ABCD và G là giao
điểm của BJ với DC A B Mm C lll D C G=F
Theo định lí Pytago ta cĩ AE = AB? + BE? - AB? + TAB? = |e AB? = 10 ap
Ta cĩ AEAB œ2 AEC€ (g.g) Suy ra
AB _EA _ v10 3 _ v10
CJ EC 3 2 2
Vì AC là đường kính của đường trịn ngoại tiếp
hình vuơng ABCD nên A.JC = 909
Theo dinh If Pytago ta cé AJ = VAC? — CJ?
= J2A52 - AB? = eas? = = - 2/0 an, Do dé AJ = 2C Vi CBJ = CA.J nên ACBG œ2 A.JAC (g.9g) Suy ra —— cB = _JA =2 = CB = 2CG CG JC Kết hợp với gia thiét CD = 2CF suy ra CG = CF Do đĩ G = F nên J = Ï Vậy | thuộc đường trịn ngoại tiếp hình vuơng ABCD Bài tập tự luyện
Bài 1 Cho AABC cân tại A cĩ A =140° Trên
tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = BC
Tính gĩc BDC
Bài 2 Cho AABC cân tại A cĩ A =100° Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE = BC Tính gĩc AEC Bài 3 Cho hình chữ nhật ABCD cĩ AB = 2AD
Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho BCE = 159 Chứng minh rằng ACDE cân
Bài 4 Cho AABC vuơng tại A, đường cao AH
Goi, J là giao điểm các đường phân giác trong của
các tam giác ABH và ACH tương ứng I.J cắt AB, AC
tương ứng tại D và E Chứng minh rằng AD = AE
Bài 5 Cho hình bình hành ABCD Lấy các
điểm E, G, F tương ứng trên các tia AB, AC, AD
thỏa mãn AG.AC = AE.AB + AF.AD Chứng minh
Trang 5_ 2012 x A Bài tốn Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu cĩ) của biểu thức , trong đĩ x là một số nguyên khác 0
Lời giải (của một học sinh lớp 7)
Ta biết đồ thị hàm số y = 2272 (vai x e R) là một Hypebol mà so với trục Oy
X
thì hai nhánh của Hypebol kéo dài mãi về hai phía
Suy ra biểu thức A = 2012
x
Hồn tồn tuong tu thi khi x € Z, x # 0 thì biểu thức A =
khơng cĩ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất khi x c RR 2012 cũng khơng cĩ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất Theo bạn, với đề bài đã cho, việc bạn học sinh trên kết luận như vậy là đúng hay sai?
NGUYỄN TẤN NGỌC (GV THCS Nhơn Mỹ, An Nhơn, Bình Định)
® “Kết quá Thế trì ding Chua? (TTT2 sé 108)
Nhận xét Bài này tác giả cố gắng trình bay cho “rắc rối” thêm để giấu khéo chỗ sai cho nên chỉ cĩ rất ít bạn chỉ ra được sai ở đâu và đưa ra được lời giải đúng
Lời giải sai ở chỗ: Từ (1) và (2) suy ra (9 — 6)3 > 27(a — 2)(b — 2)(c — 2) (*) là khơng đúng Thật vậy, từ (2): a+b+c> 9 suy ra (a+b+c-—6)>>27 Mà (1) là (a + b+c— 6)3 >27(a - 2)(b - 2)(c — 2)
rõ ràng khơng thể cĩ biểu thức (*) Trong bài này
tác giả lưu ý cần cẩn thận khi sử dụng tính chất
bắc cầu trong các biến đổi bất đẳng thức Lời giải dúng Từ giả thiết a, b, c là các số thực lớn hơn 2 nên a - 2, b - 2, c - 2 là các số thực dương Ta cĩ 1 1 † 1 1 1 1 2 2 —+—+—=i—-=Ì-—-—=-|| 1-— |+|1-— a bec c a b 2 a b _1 a-2 b-2 > (a—2)(b-2) 2\ a b ab Tương tự 1 le-2a-2) 1 @b-2(c-2) b ca a bc Nhân theo vế các bất đẳng thức trên, ta được 1 = (a—2)(b —2)(c —2) abc abc Suy ra đpcm
Trang 6
© Ki niy Điền số nao?
Bạn hãy điền số thích hợp vào dấu hỏi chấm cho hợp lơgïc ĐỖ QUANG HUY (sưu tầm) @ Két qua Số nảo cịn thiếu? (TTT2 số 108) Nhận xét Đa số các bạn đều chỉ ra số cịn thiếu là số 1 với lập luận tương tự như nhau
Quy luật Theo hàng ngang, từ trên xuống viết thành dãy số ta được:
f; 42; 294; 2352; 21268 Ta thấy:
f#x6=42;42x7= 294; 294x8= 2352 Từ đĩ suy ra quy luật: Số liền sau bằng số
đứng trước nĩ nhân với các số tự nhiên liên
tiếp bắt đầu từ số 6
Ta thấy: 2352 x 9 = 21168 Vậy chữ số cần điền là 1
Các tập thể và cá nhân sau nhận giải kì này: Tập thể lớp 6B; Nguyễn Bảo Trung, 6C, THCS Hồng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Ngơ Tùng Dương, 8B, THCS Bình Minh, TP Hải Dương, Hải Dương; Nguyễn Đức
Thuận, 7A, THCS Lam Thao, Lam Thao, Pha Tho; Dau Linh Chi, 7C, THCS Cao
Xuan Huy, Dién Chau, Nghé An
TTT khen các bạn sau cũng cĩ lời giải tốt: Nguyễn Vũ Thái Trâm, 7A1, THCS Giang Võ, Ba Đình, Hà Nội; Nguyễn Trung Kiên,
8A1, THCS Hồng Bàng, Hải Phịng;
Nguyễn Thị Thanh Hương, 7A; Nguyễn Chí Trung, Nguyễn Thị Hạnh, 8A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh
NGUYỄN XUÂN MAI
Trang 7
os KHAI THÁC, TÌM HIẾU MỘT BÀI TỐN
PGS.TS PHAM ĐỨC QUANG (Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam)
Các bạn thân mến! Giải tốn là việc làm khơng dễ với nhiều bạn Tuy nhiên, nếu chịu khĩ đầu tư, suy nghĩ, tìm tịi, liên kết, vận dụng kiến thức, quy lạ về quen, thì chúng ta cũng cĩ thể cĩ được những kết quả mới, nấc nhận thức mới và từ đĩ cĩ đơi chút niềm vui, hứng thú trong học tập Bài viết này nhằm bước đầu giúp các bạn đang học lớp 9 cách tìm hiểu, khai thác một bài tốn
Bài tốn 1 Tìm bốn số nguyên liên tiếp sao cho tích của chúng bằng 240219000 Lời giải Cách 1 Sử dụng kiến thức đại số Vì tập các số nguyên được sắp thứ tự nên nếu gọi số nhỏ nhất trong 4 số cần tìm là x thì bốn số cần tìm là x, x + 1,x+2,x+3 Theo giả thiết ta cĩ x(x + 1)(x + 2)(x + 3) = 240219000 (1)
Đến đây, nếu ta nhân để bỏ các dấu ngoặc ở vế trái của (1) thì được một phương trình bậc bốn đầy đủ và khĩ cĩ thể giải được khi chỉ sử dụng kiến thức lớp 9 Tuy nhiên, nếu ta phát hiện được một điều đặc biệt là X+(xX+3)=(x+†)+(x+2) thì khi đĩ từ X(x + 3) = x2 + 3x và (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2 cĩ thể đặt ẩn phụ là t = x2 + 3x Lúc này (1) sẽ trở thành một phương trình bậc hai với ẩn t là t(t + 2) = 240219000 (2) Dễ dàng giải phương trình (2) và tìm được hai nghiệm t = 15498 và t = -15500 Từ đĩ, tìm ngay được các nghiệm x = 123 và x =—126 Vậy các bộ bốn số nguyên cần tìm là (123; 124; 125; 126) và (—126; -125; —124; —123) Cách 2 Sử dụng kiến thức đại số Bằng cách làm tương tự như trên, nhưng chú ý rằng x(x + 3) = x2 + 3x = (x2 + 3x + 1) — 1 và (x + 1)(x + 2) =x? + 3x+ 2 = (x2+ 3x + 1) + 1 nên ta cĩ thể đặt ẩn phụ là t = x2 + 3x + 1, lúc này (1) sẽ trở thành một phương trình bậc hai với ẩn t là (t — 1)(t + 1) = 240219000 (2) Dễ dang giải phương trình (2) và tìm được các nghiệm t = 15499 và t = -15499 Từ đĩ, tìm được x = 123 và x = —126 Vậy các bộ bốn số nguyên cần tìm là (123; 124; 125; 126) va (-126; -—125; -124; -123) Cách 3 Sử dụng máy tính cầm tay hỗ trợ giải tốn
Bằng cách làm tương tự như trên, ta cĩ
phương trình (1) Lúc này nếu bạn cĩ máy tính cầm tay như CASIO fx570MS hay CASIO fx570ES thì chỉ việc sử dụng phím ALPHA để
nhập biểu thức
X(X + 1)(X + 2)(X + 3) = 240219000
vào màn hình, sau đĩ bấm tiếp các phím SHIFT
va SOLVE, lúc này máy hỏi Solve for X, ta nhập
từ bàn phím một số bất kì, chẳng hạn số 2, thì
sau khi tính tốn máy cho kết quả là 123 Tức là
một nghiệm của phương trình là 123
Vậy số nguyên dương nhỏ nhất tìm được là
123
Trang 8
khac nhau
KI 1
Bạn hãy thay mỗi chữ cái bởi một chữ số sao cho được phép tính đúng, biết rằng các chữ cái khác khau biểu thị các chữ số „5HE THY THE HAY BEST MY TH SEEN ,HERE SOME S HE BONES COMES TRƯƠNG CƠNG THÀNH (sưu tầm) giải tốn Ta thấy 108 < 240219000 < 1019, Sử dụng máy tính cầm tay ta cĩ ngay kết quả 120 = 207360000 và 130 = 285610000 Tức là 120 < 240219000 < 130 Suy ra bốn số nguyên dương cần tìm nằm trong khoảng (120; 130) Lại do 240219000 cĩ tận cùng là số 0 suy ra trong các số cần tìm trong khoảng (120 ; 130) phải cĩ số 125
Sử dụng máy tính cầm tay kiểm tra tích của các bộ bốn số liên tiếp nằm trong khoảng (120; 130) cĩ số 125, ta tìm được 123.124.125.126 = 240219000 Từ đĩ, suy ra các bộ 4 số nguyên cần tìm là (123; 124; 125; 126) và (—126; —125; —124; —123) Chú ý
1) Cách 3 và cách 4 nĩi trên thường dùng
trong các kì thi giải tốn trên máy tính cầm tay do Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chức hàng năm
thời gian qua
2) Bằng cách tương tự, ta cĩ thể giải được những phương trình cĩ dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) =m, trong đĩ a, b, c, d và m là các số thực thỏa mãn a +b=c + d cịn x là ẩn số Bài tốn 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = (x — 1)(k — 3)(k — 5)(x - 7)
Đây là một bài tốn khĩ nếu khơng phát hiện
ra được tính chất đặc biệt của biểu thức đã cho Chú ý rằng (X— 1)(@&x— 7) = x2— 8x + 7 =(x2— 8x + 11) —4; (x — 3)(x — 5) =x? - 8x + 15 = (x2— 8x + 11) +4 nên ta cĩ thể đặt ẩn phụ là t = x2 - 8x +11 Dẫn đến y = (t - 4)(t + 4) = t2 — 16 > -16 Ta cĩ y =_—16 © t= 0 © x2 - 8x + 11=0 ©x=4+45 hoặc x =4-—5 =-16 khi x =4+ 5 hoặc x = 4- V5 VậY Ymịn = Bằng cách tương tự, ta cĩ thể tìm được giá trị nhỏ nhất của những biểu thức cĩ dạng y =(x+ a)( +1 b)(x + c)(x + d), trong đĩ a, b, c, d là các số thực thỏa mãn a+b=c+d
Bài tập Bạn đọc tự thay các số cụ thể vào vị trí của các số a, b, c, d ở phần trên để cĩ bài tập tương tự
Trang 9
(GIỨI THIỆU
LTS Ngày 3.77.2006 hơn 12000 học sinh của các trường Trung học Phổ thơng Hy Lạp đã dự kì thi Tốn Quốc gia lần thứ 67 mang tên Talet 1500 học sinh cĩ bài làm tốt nhất được chọn thi Vịng 2 cuộc thi Tốn Quốc gia lần thứ 67 mang tên Ơclit vào ngày 20 122006 Từ cuộc thi này hơn 300
học sinh giỏi nhất được dự thi Olympic tốn Hy Lạp lần thứ 24 mang tên Acsimet, diễn ra ư Athen ngày 25.2.2007 50 học sinh giỏi nhất được chọn tham gia kì tuyển sinh lập đội tuyển Hy Lạp cho
các kì thi Olympic tốn Bancăng lần thứ 11 (cho Junior) goi tắt là JBMO, Olympic tốn Bancăng
lần thứ 24 gọi tắt là BMO và Olympic tốn Quốc tế lần thứ 48 Sau đây là đề thi Senior
24" Hellenic Mathematical Olympiad 2007 “Archimedes” (Xem phần a Juniors (THCS) từ số 109) b Seniors Bài tốn 1 Xác định số tự nhiên v để cho 2007 + 4 là số chính phương
Bài tốn 2 Nếu ơ, B, y là độ dài các cạnh của
một tam giác, chứng minh rằng (œ+y—Bˆ(œ+B-v)ˆ, (B+y-d}' > , aa+B-y) NBEY-0) WG+T Pe Bài tốn 3 Trong một vành khăn với các bán kính là R và R - 2r trong đĩ R = 11r, chúng ta xếp
OLYMPIC TOAN HY LAP LAN THU 24 MANG TEN ACSIMET 25.2.2007
BINH NAM HA (Dich và giới thiệu) khơng chồng lấn các hình trịn bán kính r tiếp xúc với 2 vịng trịn của hình vành khăn Xác định số lớn nhất của các hình trịn này (Cho rằng 9,94 < 499 < 9,958) ˆ Bài tốn 4 Tại mỗi ơ vuơng trên bàn cờ 2007 x 2007 chúng ta đặt một trong 2 số là 1 hoặc —1 Kí hiệu A là tích các số hàng thứ i (¡ = 1, 2, , 2007), B, là tích các số cột hàng thứ j (j = 1, 2, , 2007) Chứng minh rằng A, + Ag t+ + Aggg7 + By + B, + + Boggz # 9
Ghi chú: Tồn bộ đề và lời giải phần thi
Seniors này khơng vượt quá chương trình lớp 9
Trang 10
RR THIOWWMPIG
TOAN SINGAPORE 2010 JUNIOR, VONG 2
1 Dat O là tâm và r là bán kính đường trịn Gọi
X, Y là các điểm đường trịn tiếp xúc với các cạnh MP, MS tương ứng D C A P B Vi OY | MS va ZYSO = ⁄ASP =459, SY = YO =r Mặt khác ⁄OPX = ⁄PDA (do OP // DA) và
ZOXP = ZPAD = 90° Do đĩ AOXP œ APAD Do vậy MP — MS = 2r + MX —- (MY + n=r 2 Một số nguyên chia hết cho 11 nếu và chỉ nếu tổng các chữ số hàng chắn và tổng các chữ số hàng lẻ bằng nhau Trong bài tốn này, các chữ số 1, 4 và 7 ở vị trí hàng lẻ, 3 và 9 ở vị trí hàng chan Đặt S là tổng của tất cả các số cĩ 5 chữ số tạo từ các con số 1, 3, 4, 7, 9 và T là tổng của các số là bội của 11 Như vậy S = 4!(1 + 3 + 4+ 7 + 9)(1 + 10 + 100 + 1000 + 10000) = 6399936 T = 2! x 21+ 4 + 7)(1 + 100 + 10000) + 31(3 + 9)(10 + 1000) = 5842368 3.a, <a < <a Giả sử x < y là hai giá trị nhỏ nhất Vậy a, = x và đặt s là chỉ số nhỏ nhất sao cho a, = y Cĩ hai cặp số mà tổng là x + y Như vậy cĩ a = x và a „ ; = y Vì a, + a, = 2x, ta phải CO a, =a, = x Tương tự, bằng cách xét hai giá trị lớn nhất là W<zZ, ta cĩ a.=an_;=,_s=an_ạ= Z Và cĩ hai cặp khác nhau bằng w Vì cĩ một giá trị là khác nên cĩ ít nhất 4 + 2 + 4 +2+ 1= 13 số 13 số sau đây thỏa mãn: 1, 1, 1, 1,2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5 Vậy số nhỏ nhất cĩ thể của n là 13 4 Ta cĩ 0,167 <-`< 0,168 n Suy ra 167n < 1000m < 168n Nhân với 6 ta cĩ 1002n < 6000m < 1008n Suy ra 6000m — 1000n < 8n < 800 Nhưng 6000m - 1000n > 2n > 0 Do vậy 6000m — 1000n > 1000 vì đĩ là bội số của 1000 Điều này dẫn đến mâu thuẫn 5 Chúng ta sẽ chứng minh bằng quy nạp là
nếu các số ban đầu là a;, 8., , a., n > 2 thì các số cuối cùng là (1 + a;)(1 + a.) (1 + a,) - 1
Sự khẳng định này đúng với n = 2
Trang 12Năm học: 2011 - 2012 * Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: (2 điểm) Câu 4: (3 điểm)
Cho biểu thức: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường trịn
(O) Cho P là điểm bất kì trên đoạn BC sao cho A= 1,1 _—_ 2 — wi wi đường trịn ngoại tiếp tam giác OBP cắt đoạn AB
Vx Vy vx +4/y x y tại N khác B và đường trịn ngoại tiếp tam giác
OCP cắt đoạn AC tại M khác C
3 3 s
.ÝxŸ +yAx +X\jy +A|y 1) Chứng minh ring ZOMP = ⁄OAC
3 3 | 2) Chitfng minh rang ZMPN = ZBAC va ⁄OBC + ⁄BAC = 90° 1) Rút gọn A 3) Chứng minh rằng O là trực tâm tam giác 2) Tim x, y biết xy =—, A = 5 PMN s 36 Câu 5: (7 điểm) Câu 2: (2 điểm ( ) Giải phương trình [2-3 + Jax? = = 4x2, x? +4y? =5 X x 1) Giải hệ phương trình (x + 2y)(5 + 4xy) = 27 2) Tim giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=xx+3+x6-—x Câu 3: (2 điểm) Cho phương trình bậc hai x2 - 2(m + †)x + 2m + 10 = 0 (m là hằng số) 1) Tìm m để phương trình cĩ nghiệm 2) Giả sử phương trình cĩ 2 nghiệm x¿, X Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P= Xí + X2 +8X4X2
TIN TỨC
Trong hai ngày 14 - 15.4.2012, tại trường THPT chuyên Lê Quý Đơn, Nha Trang, Khánh Hịa, Sở Giáo dục - Đào tạo Khánh Hịa phối hợp với Hội tốn học Hà Nội tổ chức hội thảo khoa học Các chuyên đề tốn học bồi dưỡng học sinh giỏi THPT khu vực Duyên hải Nam Trung bộ và Tây Nguyên Hội thảo khoa học lần này là sự tiếp nối hội thảo lần thứ nhất năm 2011 tại Phú Yên Tham dự hội thảo là các nhà khoa học, các nhà giáo lão thành, các chuyên gia giáo dục và các nhà tốn học báo cáo tại các phiên tồn thể cùng các cán bộ chỉ đạo chuyên mơn từ các sở Giáo dục - Đào tạo, các thầy cơ giáo bộ mơn tốn các tỉnh, thành khu vực Duyên hải Nam Trung bộ và Tây Nguyên đang
trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn báo cáo tại các phiên chuyên đề
Ngồi nội dung chính của hội thảo là các báo cáo trình bày về các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn THPT, hội thảo sẽ nêu thực trạng và một số giải pháp trong cơng tác bồi dưỡng học sinh
giỏi Quốc gia của một số đơn vị, nêu kinh nghiệm phát hiện, bồi dưỡng học sinh năng khiếu đồng
thời nêu kinh nghiệm bồi dưỡng chuyên mơn cho giáo viên các trường chuyên Hội nghị cũng đề cập
đến cơng tác nghiên cứu khoa học trong trường chuyên, vấn đề bồi dưỡng, phát triển năng lực,
chương trình cùng phương pháp tìm tài liệu giảng dạy, một số biện pháp nâng cao trình độ ngoại ngữ, tin học cho giáo viên các trường chuyên
PV
Trang 13
Bài 1(108) Tìm tất cả các số nguyên dương n chỉ cĩ các ước nguyên tố là 2 và 5 thỏa mãn n + 25 là một số chính phương
Lời giải Giả sử x là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện bài tốn Đặt x + 25 = y2, y€ Đ Theo giả thiết cĩ thể biểu diễn x = 2955 =y?-25 a, beN Suy ra (y — 5)(y + 5) = 225° (1) 4) Với b = 0 Từ (1) ta cĩ (y - 5)(y + 5) = 22 Suy ra y - 5= 2!",y+5=2Ÿ(u,veNĐ,u<vvà u+v=a) Do đĩ 2Y - 21 = 10 › 21(2V~u ~ 4) = 10 =u= 1và 2v~† =6; loại 2) Với b > 0 thì (y — 5)(y + 5) : 5 Mà (y + 5) - (y - 5) = 10 : 5 nên y : 5 Dat y = 5t, te N Từ (1) suy ra (t— 1)(t + 1) = 285-2, (2) Do (t - 1) + (t+ 1) = 2t là số chan, kết hợp với (2) suy ra (t - 1), (t + 1) cùng chẵn *) Xét trường hợp t— 1 =2" t + 1 = 2ngb ~2 (m,ne Đ,m+n=a) Suy ra 2ngP - 2 _ 2m - 2, + Nếu n > m thì m = 1 và 2"8P - 2 - 4, Suy ra n = 2 và b= 2 Khi đĩ a = 3, x = 2357 = 200, x + 25 = 15: thỏa man + Nếu m > n thì n = 1 và 5P~2_~ 2am~† = 4, (3)
Vì 1 = 1 (mod 3) và 2, 5 đều khơng chia hết cho
3 nên 5P ~ 2 = 2 (mod 3) va 2-1 = 1 (mod 3) Suy ra b - 2 phải là số lẻ Đặt b = 2k + 1 (ke N) Ta cĩ 5° ~ 2 = 25K- 1.5 = 5 (mod 8) Tu (3) suy ra 2™- 1 = 4 (mod 8) Suy ram=3,b=3,a=4 Khi đĩ x = 253 = 2000, x + 25 = 452: thỏa mãn *) Xét trường hợp t + 1= 2" t_— 1 = 2ngb~2 (m,neĐ,m+n=a) Suy ra 2m _ 2npb ~ 2 ~ 2, + Nếu n > m thì m = 1 và 2nBP ~ 2 = 0: loại + Nếu m >n thì n= 1 và m~1 _~ øb~2~ 1, (4) Lập luận tương tự ta được 5P ~ 2 = 1 (mod 3) Suy ra b chan Dat b = 2k (k € N) Ta cĩ 5P ~ 2 = 2BK~ Í = 1 (mod 8) Từ (4) suy ra 2m ~† = 2 (mod 8) Suy ra m =2,b=2,a=3 Khi đĩ x = 2357 = 200: thỏa mãn Tĩm lại, cĩ hai số thỏa mãn yêu cầu bài tốn là x = 200 và x = 2000
Nhận xét Đây là bài tốn khĩ Các bạn sau
đây cĩ đáp số đúng nhưng lời giải chưa chặt chẽ:
Nguyễn Đức Thuận, 7A3; Vũ Thị Mai, 9A1, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thị Hải Anh, 6D, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vinh
Phuc; Bui Thi Linh Thao, 7C, THCS Hoang Xuan
Han, Đức Thọ, Hà Tĩnh - -
NGUYÊN XUÂN BÌNH
Bài 2(108) Tính giá trị của biểu thức
P=a2 + va +a+1 biết a=S\|\2+2 =2, Lời giải Từ giả thiết ta cĩ 8a + 42 = 41642 +2 © 64a? + 162/2a +2 = 162/2 +2 V2 -av2 © 4a2 + J2a-x2 = 0 © a^ =—— Đặt Q=a2 -\a? +a+1 Ta cĩ P+Q =2a2 -2 S2, PQ=-a-1 Do đĩ P, Q là 2 nghiệm của phương trình x2 _N2-av2y 2 4g (*) 2 Gidi ra ta dugc X, = V2, Xp = 4a 42 Để ý rằng 8a = 41642 +2 -42 >0 nên a > 0 Suy ra X, < 0 Ma P > 0 nên P = V2
Nhận xét Tất cả các lời giải gửi về tịa soạn đều tính đúng giá trị của biểu thức P Sau đây là những bạn cĩ lời giải gọn hơn cả: Nguyễn Bảo
Trang 14Tram, 8C, THCS Vinh Tường, Vĩnh Tường, Vinh Phúc; Trương Thị Thơ, Trần Anh Tai, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Trần Văn Hùng, 9A, THCS Lý Nhật Quang, Đơ Lương, Nghệ An; Trần Thị Hà Phương, 9B, THCS Hồng Xuân Hãn, Đức Thọ; Thân Văn Hịa, Nguyễn Thanh Hồi, 8C, THCS Xuân Diệu, Can Lộc, Hà
Tĩnh
HỒ QUANG VINH
Bài 3(108) Giải hệ phương trình x2011 + xy7010 =y92 + y2012 (1)
42x+3+-ly? +1 =4 (2)
Lời giải Điều kiện: x > >
Thử y = 0 vào (1) được x = 0 Thay vào (2) khơng thỏa mãn Xét y z 0 Chia hai vế của (1) cho y2! ta được 2011 x x 2011 tế =Y ty (3) y y w XK ` x1 2011 ca na :A Nếu —>y thì ——>y y y2011 nên (3) vơ nghiệm w X ì x11 2011 ca ^ A Nếu —<y thì y y2011 <y nên (3) vơ nghiệm
Vậy “=y hay y x = VẺ
Thay vào (2) ta được J2x+3+V¥x4+1=4 & 2X+34+2,/(2x + 3)(x +1) +x +1 =16 & 2/(2x+3)(x +1) =12 -3x © 4(2x + 3)(x + 1) = (12 - 3x) (điều kiện x < 4) © 4(2x2 + 5x + 3) = 144 — 72x + 9x2 © x2 - 92x + 132 = 0 x = 46 + 8V31 (loai do x < 4) SS x = 46-831 (thda man -5<x<4) Suy ra y = +446— 8431 Vậy phương trình cĩ hai nghiệm (x ; y) là: (46 - 82/31; 4/46 82/31), (46 - 82/31; - 4/46 —8^/31)
Nhận xét Ý tưởng của bài tốn là từ phương
trình (1) cần chứng minh *- y Từ đĩ thay vào (2) y
để giải Các bạn sau cĩ lời giải tốt: Nguyễn Nam
Anh, Phạm Việt Hà, Nguyễn Phi Việt, Nguyễn Huy
Bách, Trần Anh Minh, 8 tốn, trường phổ thơng Hà
Nội - Amsterdam, Hà Nội HỒNG TRỌNG HẢO Bài 4(108) Cho x > y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất X+Y 2x-Y) x4 +y4 —_ Xy x4 _y'* x2 ~y? của biểu thức P = Lời giải Ta cĩ x4 ~y* +2y4 ~2xy + (x+y)? P= x" -y 4_ 4 2%“ -Y“) 2.2 2y4 x2 +y2 2(xˆ —y^) x? -y2 +2yˆ + 2x“ -y“) 2 „2 4 2 3 2y ¬ =1+ x4 v4 2y! =1+ x4 —y4 >— (vix>y20) 3 x2 -y2 2 P=Š c> y =0 ( > 0 bất kì, Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3 tai y = 0, x là số thực dương bất kì 2
Nhận xét Bài tốn bất đẳng thức trên thuộc dạng đơn giản Các bạn học sinh sau cĩ lời giải tốt: Nguyễn Đức Thuận, 7A3, Bùi Thị Hồng Luyến,
8A2; Nguyễn Đinh Mậu, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Đỗ Văn Quyết, 7C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn
Trường Phong, 8A1, THCS Hồng Bàng, Hồng Bàng, Hải Phịng: Đỗ Văn Phát, 7C; Trần Thị
Diệu Hương, 8B, THCS Cao Xuân Huy, Diễn
Châu, Nghệ An -
NGUYÊN MINH ĐỨC Bài 5(108) Cho A, B, C, D, E và F là các đảo
được nối với nhau bằng các cây cầu như hình vẽ Một người xuất phát từ A, muốn đi từ đảo này đến đảo kia Anh ta sẽ phải dừng lại để nghỉ ngơi nếu đến một đảo mà sang đảo tiếp lại phải quay lại cây cầu đã đi qua
®—@—@—@®
¡j Tìm số cách mà người này cĩ thể gặp phải trước khi nghỉ ngơi
ii) Những đảo nào anh ta cĩ thể nghỉ ngơi?
Trang 15Lời giải Ta lập biểu đồ cây thể hiện tất cả các đường đi cĩ thể xuất phát từ A đến các đảo khác F——E——B 4 \ C——D C—— YN B E——B ⁄ N A F—C—D B ⁄ E—C—D F——E B ⁄ F—C—E D
Một đường đi là đúng nếu nĩ qua cầu nối hai đảo cạnh nhau mà trước đĩ chưa ổi qua cầu này Đường ởđi sẽ được tiếp tục cho đến khi gặp đảo mà buộc phải quay lại chiếc cầu đã đi qua Đĩ là đảo cĩ thể nghỉ ngơi
1) Nhìn trên biểu đồ, ta thấy cĩ tất cả 11 cách cĩ thể gặp phải trước khi nghỉ ngơi đĩ là các đường: ABCFEB; ABCFECD; ABCD; ABCEB; ABCEFCD; ABECB; ABECD; ABECFE; ABEFCB; ABEFCE; ABEFCD
2) Những đảo cĩ thể nghỉ ngơi là các đảo ứng với các tên nằm ở cuối 11 đường ởi trên Đĩ là các đảo B, D, E
Nhận xét Chỉ cĩ một bạn làm bài tốt là: Thái Văn Đạt, 9A, THCS Lý Nhật Quang (lần sau bạn nên ghi rõ tên địa phương của nhà trường nhé)
Ghi chú Một hệ thống các đảo và các cây cầu nối chúng như trong bài tốn được gọi là một đồ
thị Trong tốn học và tin học, lí thuyết đồ thị nghiên cứu các tính chất của đồ thị Một cách
khơng chính thức, đồ thị là một tập các đối tượng được gọi là các đỉnh (hoặc nút) nối với nhau bởi
các cạnh (hoặc cung) Cạnh cĩ thể cĩ hướng
(đường đi một chiều) hoặc vơ hướng (cĩ thể đi, lại
cả hai chiều) Trong bài tốn trên, các cạnh (cây
cầu) là vơ hướng Đồ thị thường được vẽ dưới dạng một tập các điểm cùng với các đường nối thể hiện sự liên kết của các đỉnh Ta thường gặp các bài tốn tìm đường đi ngắn nhất qua hai hoặc một số đỉnh cho trước Như các bài tốn giao thơng, đưa
thu, -
NGUYÊN ANH DŨNG
Bài 6(108) Cho tam giác ABC nhọn, đường
cao AH Điểm M thuộc AH Các điểm E, F tương
ứng thuộc AB, AC sao cho EMC =FMB = 90° Chứng minh rằng EF // BC Lời giải Gọi N là trực tâm của tam giác MBC A N B H C Vi MN L1 BC nên N thuộc MH Vì EMC = FMB = 90° nên BN // EM và CN //FM Vậy, theo định lí Talét thuận, ta cĩ AB_AN AC AE AM AF'
Từ đĩ, theo định lí Talét đảo, suy ra EF // BC Nhận xét Các bạn sau đây cĩ lời giải tốt: Lê
Thị Hải Linh, Chu Văn Trang, 9A; Ngơ Thị Thu, 8B, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Trường Phong, 8A1, THCS Hồng Bàng,
Hai Phong; Bui Thi Linh Thao, 7C, THCS Hoang
Xuan Han, Đức Thọ, Hà Tĩnh
NGUYEN MINH HA
MICROSOFT VIỆT NAM cùng BAN CHI DAO PHONG TRAO THI DUA “XAY DUNG TRUONG
HỌC THÂN THIỆN, HỌC SINH TÍCH CỤC” của Bộ Giáo dục & Đào tạo và tạp chí
Trang 16được thưởng
Ï Vì BEC=BFC=90° nên E, F thuộc đường
Ì trịn tâm | ban kinh IB
Do đĩ BC = 2IE = 2IF
Vì AABC nhọn nên E thuộc cạnh AC và F ¡ thuộc cạnh AB
Gia str A > 45° (1)
Theo tinh chat gĩc ở tâm của đường trịn ta cĩ
EIF = 2ECF = 2(90° — A)
Gọi AH là đường cao của tam giác ABC A d K 21010177717)
Thi giải tộn qua thu
Nguyễn Đức Thuận, 7A3, THCS Lâm Thao,
Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyễn Thị Hải Anh, 6D, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Bùi Thị Linh Thảo, 7C, THCS Hồng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Trường Phong, 8A1, THCS Hồng Bàng, Hồng Bàng, Hải Phịng NGUYỄN ĐỨC TẤN (TP Hồ Chí Minh)
‹ @%ết quả CÂU TRÀ LỜI CỦA TỐN mmas+a
© Ki nay TONG COA 2012 PHAN SO Al CAP
Bài tốn Phân số mà tử số bằng 1, mẫu số là một số tự nhiên khác 0 gọi là phân số Ai Cập Bạn hãy tìm cách viết số 1 thành tổng của 2012 phân số Ai Cập Bạn nào làm được nhiều cách nhất sẽ Ta cĩ S © 2BGAH = 4 IEIFsinEF 4S ABC — T*IEF
© BC.AH= 4.2BC.—BCsinEIF «> AH = BCsinEIF Chon EIF = 30° thi AH = =Bc
Khi d6 A = 75°
Như vậy tam giác ABC khơng thể đều
Vậy câu trả lời của Tốn là: Đề bài sai rồi
Lưu ý Cách dựng tam giác ABC thỏa mãn đề
bài như sau:
- Dựng tam giác OBC cân tại O cĩ OBC = 15° - Dựng trung điểm I của BC
- Dựng điểm K trên tia đối của tia Ol sao cho
IK = Tp, 2
- Dựng đường thẳng d qua K song song với BC
- Dựng đường trịn tâm O bán kính 2BC Gọi A là một giao điểm của đường trịn này với đường thẳng d
- Dựng đường trịn tâm l đường kính BC Goi E, F là giao điểm tương ứng của đường trịn này với AC, AB
Ta được tam giác ABC cần dựng
Phần chứng minh và biện luận bạn đọc tu |
lam I
Nhận xét Các bài giải gửi về tịa soạn đều | tìm cách chứng minh tam giác ABC đều Do đĩ Ị khơng cĩ bạn nào được thưởng kì này I ANH COM PA !
Trang 17TUYET LAN au một đợt làm việc căng thẳng, thám tử Sêlơccơc quyết định đi nghỉ vài ngày ở một thị xã miền núi
Hơm đĩ, đang dạo chơi trên cây cầu nhỏ tại trung tâm thị xã, thám tử bỗng nghe đài phát thanh địa phương thơng báo một tin đặc biệt
(Tiếng đài: “Một tên trộm cĩ vũ khí đã cướp tiền tại ngân hàng trung tâm Được biết, hắn để tiền trong ba lơ du lịch và chạy
trốn trên một chiếc xe hơi màu xanh Chiếc
xe đã được tìm thấy ở bìa rừng phía Bắc thị xã Trong xe khơng cịn xăng Cơng an đang
truy tìm dấu vết tên trộm ”)
Quên ngay việc mình đang đi nghỉ, “máu nghề nghiệp” nổi lên, thám tử Sêlơccơc lập tức đi thẳng về hướng khu rừng như đài thơng báo “Chà! Khu rừng mới xanh tươi và mát mẻ làm sao! Đúng là một địa chỉ lí tưởng cho khách du lịch!” - thám tử thầm thốt lên khi vừa tới khu rừng
Bỗng thám tử thấy hai vị khách du lịch đi ngược chiều nhau, đang tiến lại gần nhau
trên con đường mịn đầy hoa dại
Để ý quan sát, thám tử thấy một người
chủ động chào hỏi người kia:
- Chao anh! May quá gặp được anhl Chúng ta cùng ngồi nghỉ một lát đi! Anh cĩ
Trang 18diêm hoặc bật lửa khơng?
- Tất nhiên là cĩ rồi!
Khi hai người chuẩn bị ngồi, người đàn ơng chủ động chào lúc nãy lại hỏi:
- Anh cĩ vải nhựa để trải khơng?
- Cĩ chứ! Tơi khơng bao quên những thứ đĩ cả
Rồi anh ta lại hỏi xin chai nước và tờ giấy lau mặt Thấy vậy, thám tử bắt đầu cảm thấy
nghi ngờ một trong hai người này
Thám tử vội vàng liên lạc với cảnh sát địa
phương về vị khách này
Các bạn cĩ biết thám tử Sêlơccơc đã
nghỉ ngờ ai khơng? Vì sao?
© Xéi qué TRO VE SAU TAL NAN crrr2ss:00
Do biết quan sát rất tinh nên kì này bạn nào cũng phán đốn chính xác: ơng Mac thật thuận tay phải, cịn ơng Mac giả thì thuận tay trái
Ĩc quan sát rất cần cho chúng ta khi học hỏi, khám phá, tìm hiểu và nhìn nhận mọi chuyện, đúng khơng các bạn?
Phần thưởng được trao cho những bạn
sau: Cao Quốc Hậu, 6E1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Trần Thị
Tuyết Nhi, 6B, THCS Yên Phong, Yên Phong,
Bắc Ninh; Nguyễn Tiến Đạt, Đặng Văn Phong, 6/2, THCS Lê Văn Thiêm, TP Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Nguyễn Thị Kim Sinh, 7C, THCS Binh Thanh, Binh Son, Quảng Ngãi Thám tử Sêlơccơc
e2 „4 Trưởng Olympic
Cĩ, đĩ là Nam Cực, hay nĩi chính xác hơn là Cực Nam địa lí trên bề mặt Trái Đất
Khơng cĩ điểm nào trên Trái Đất nằm ở phía nam của Nam Cực Tương tự, tại Cực Bắc địa lí, hai đầu kim la bàn đều chỉ hướng Nam
TTT chúc mừng các bạn nhận giải kỳ này:
Vũ Đức Văn, 24/378 Thuy Khuê, Tây Hồ;
Phạm Thu Nga, 7A8, THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội; Đính Sao Linh, 6A, THCS
Nguyễn Trãi Nam Sách, Hải Dương; Trần
Gia Nhu, 6A1, THCS Hai Ba Trung, TX
Trang 20
Ret qua TRAN BAU THU CHIN MUO TU (TTT2 số 108)
Theo bất đẳng thức Cơsi ta cĩ a+1>2x/a
(đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 1) 2b ra > aJa(b+1) a(a+1)(b+1) Tương tự 3 > Za b/b(a+1) b(b+1)(a+1) b + a aJa(b+1) bvb(a+1) ` 2b 2a — 2(a2+b2) _a(@a+1?{b+1 bb+14(a+1 ab(a+1(b+1+ Suy Do đĩ (1) Vì a + b > 2ab nên (a + b}2 > 2ab(a + bì) Vi (a — b)? > 0 nén a2 + b? > 2ab = 2(a? + b2) > (a + b)? => 2(a2 + b2) > 2ab(a + b) = a2 + b > ab(a + b) Từ đĩ 2(a2 + b2) > ab(a + b) + a2 + b2 = a2(b + 1) + bÊ(a + 1) 2(aˆ+b)_ aˆ(b+1)+bˆ(a+1) Suy ra > ab(a + 1)(b + 1) ab(a + 1)(b + 1) -8_,_? gy ab+b ab+a Tu (1) va (2) suy ra ab + b + a a+b ava(b+1) bvb(a+1) ab a b > 3 > + >—
a+b ab+b ab+a 2
(do áp dụng bất đẳng thức quen thuộc: Với các
x, y,z>0thi ~~-+-Y 4-2 53 (gy)
Y+Z Z+xX xX+y 2
Đẳng thức xảy ra khi và chi khi a = b = 1 Nhận xét Lời giải trên dựa theo cách giải của
VÕ sĩ Lưu Đức Mạnh, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh Võ sĩ Mạnh là người đăng quang trong trận đấu này Ngồi cách giải trên, võ sĩ Trần Anh Tài, cùng lớp với võ sĩ Mạnh, sau khi chứng minh bất đẳng thức (1) thì xét hiệu ab la*+b*) 3 a+b ab(a+1)(b+1) 2
rồi quy đồng để chứng minh tử số khơng âm Cách này hơi dài và tính tốn phức tạp Một số võ sĩ đã 1 1 —, y ——_— da vb X2 + y2 > 2) rồi đưa bất đẳng thức cần chứng minh 3 3 về dạng P = sả bit * xt y 522 xé+y“ 14+y* 14x* 2
Đến đây cĩ 2 cách làm tiếp Hai võ sĩ Hà Thế Đăng, Nguyễn Đắc Sang, 9A, THCS Nguyễn Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh thì dùng biến đổi tương đương kết hợp với bất đẳng thức Cơsi dé chứng
3 3 2 2
minh —" >t y 5 >— >t y > Tudo áp dụng
1+y^ 14+x 1+y~ 14+x
bất đẳng thức (2) Võ sĩ Lê Thị Hải Linh, 9A, THCS
Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh dùng bất đẳng thức Bunhiacốxki cho hai bộ số 2 2 (|x(1+y2), sly(1+ x2), ( dùng cách đặt ẩn phụ x = (với x, y > 0, X y ) \x(1 + y2) \y(1 + x?) để chứng minh 3 3 ey (x? +y?)? 0 +y?
1+y2 1+x2 x(1+y2+y(+x2) (x+y)(1+xy)'
Đến đây chứng minh x+Yy<|2(x2 +y^) và 2 2 2 2 2 1exys2 > tt > =x’ +y* dé suy ra 2 2,2 2 „v2 (x* +y") > JA FY gi áp dụng bất đẳng (x + y)(1+ xy) 2
thức Cơsi cho 3 số dương
Trang 21
TOAN QUANH TA
| MA SO LA Gi?
Trước năm 1994, sách giáo khoa khơng cĩ mã gì cả Từ năm 1994, Nhà xuất bản Giáo dục là nhà xuất bản đầu tiên bắt đầu quản lý sách bằng hệ thống máy tính điện tử Mỗi cuốn sách được đặt một mã số Mã số này được in ở trang 2 Thí dụ: - Cuốn Tốn 6 - Tập 1 tái bản năm 2011 được đặt mã số là 2H601T1 - Cuốn Cơng nghệ 7 - Nơng nghiệp tái bản năm 2010 cĩ mã số là 2H707T0 - Cuốn Tiếng Việt 5 - Tập 1 tái bản năm 2009 cĩ mã số là 1H501T9
Những con số đĩ cĩ ý nghĩa gì khơng? Cĩ đấy! Chúng tơi sẽ giải những mã này cho bạn
II GIẢI MÃ MÃ SỐ CỦA SGK
Lấy ví dụ mã 2H601T1 của cuốn Tốn 6 - Tap 1 - Con số đầu tiên là cấp học Tiểu học là số 1,
THCS là số 2, THPT là số 3
- Chữ H tiếp sau thể hiện đĩ là sách học sinh
Nếu là sách giáo viên thì dùng chữ G
- Số 6 tiếp theo là lớp 6 Lớp 7 là số 7, lớp 8 là số 8, lớp 9 là số 9
- Số 01 tiếp nữa là số thứ tự của cuốn đĩ trong mang sach hoc sinh lớp 6
- Chữ T thể hiện sách tái bản Nếu sách mới in lan đầu dùng chữ M
- Số 1 là in năm 2011 Năm 2010 dùng số 0, năm 2009 dùng số 9
Vậy là chỉ 7 con số hoặc chữ mà cĩ khá nhiều
ý nghĩa Nhờ mã số này, hệ thống máy tính quản
Tốn học với mã số, mã vạch
os AY F2 A’ A’
os aA’ r aA’ aA’
e
TS NGUYEN DANG QUANG (NXBGD Viét Nam)
li sach dé dang va chinh xac hon
Ill MA VACH LA Gi?
Thời bao cấp, hàng hĩa trong các cửa hàng
“bách hĩa tổng hợp” chưa cĩ mã gì cả Người bán chỉ biết thu đủ tiền Cuối mỗi ngày, phải đĩng cửa hàng giờ để kiểm kê tồn bộ hàng hĩa Cái biển “Nghỉ kiểm kê” thường xuyên dùng đến
Cuối thập ký 90 thế kỉ trước, các siêu thị bắt đầu phát triển nhiều ở Việt Nam Trong siêu thị, mỗi hàng hĩa đều cĩ in hoặc dán một mã vạch
như trên hình vẽ Mã vạch gồm nhiều sọc thẳng
đứng, cái đậm cái nhạt, phía dưới cĩ một hàng số gồm 13 con số
S193496801221501
Nhà xuất bản Giáo dục cũng là nhà xuất bản
đầu tiên áp dụng mã vạch cho sách Khi bạn mua một cuốn sách, tại quầy thu ngân trong siêu
thị, cơ bán hàng cầm cái máy đọc, tít một cái, chỉ cần một tích tắc là đã tính tiền xong quyển sách
mà bạn cầm trên tay Và trong máy tính gắn với
máy đọc đĩ cũng ghi nhận là cuốn sách đĩ đã được bán Cuối ngày, mở máy tính ra là biết ngay là biết chỉ tiết đã bán được bao nhiêu cuốn sách
gì, khơng cần phải “Nghỉ kiểm kê” nữa
Vì tiện ích đĩ, nên ở các siêu thị lớn, hiện đại,
Trang 22hầu hết các hàng hĩa đều cĩ mã vạch Thí du
chai nước La Vie san xuất tại Việt Nam loại 500 mi cĩ mã 8935005801029; cuốn sách giáo khoa
Cơng nghệ 7 của Nhà xuất bản Giáo dục tái bản năm 2010 cĩ mã là 8934980003060; tập giấy
photocopy của lInđơnêxia cĩ mã 8991389137260
Khi cĩ mã vạch rồi, hàng hĩa cĩ thể để trong
khu vực khách hàng tự chọn, thu ngân thu tiền theo mã vạch Như vậy, mỗi hàng hĩa sẽ cĩ một mã vạch khác các hàng hĩa khác Và vì hàng
hĩa cĩ thể giao lưu khắp thế giới nên người ta lại phải tính sao cho khi đem hàng hĩa của nước
này sang siêu thị ở nước kia khơng bị trùng mã
IV GIẢI MÃ MÃ VẠCH
1501 | Ma Quéc gia || Ma d.nghiép || Mas.pham || Sé
(Việt Nam) (NXBGD) ' (cuốn sách) | k.tra 4980122
Trước tiên ta giải mã phần mã số của mã vạch: - 3 con số đầu tiên là mã Quốc gia Việt Nam cĩ mã là 893, Thái Lan là 885 À, thế ra nhìn vào con số này cĩ thể biết xuất eKết quả (TTT2 số 108) 1Wg1 e4 2Wb6 wed [2 Èf3 3.We3#] 3.Wd6# Danh sách các em được giải kì 39: Nguyễn Hồng Minh, 9C, THCS Tản Đà, Ba Vì, Hà Nội; Dương Văn Đơ, 8A2, THCS Từ Sơn, Từ Sơn, Bắc Ninh; Lương Thế Sơn, 9A1, THCS Hồng Bàng, Hồng Bàng, Hải Phịng
LÊ THANH TÚ
21
xứ của hàng hĩa đấy nhé! Hay thật đấy! Thế đố bạn biết Inđơnêxia cĩ mã bao nhiêu? Xem đoạn trên cĩ thể đốn: 899
Số tới TTT sẽ cung cấp mã của các quốc gia, để các bạn cĩ “bảo bối” tra cứu xuất xứ hàng
hĩa
- 4 con số tiếp theo là mã doanh nghiệp Nhà
xuất bản Giáo dục cĩ mã là 4980 và 4994
- 5 con số tiếp theo là mã sản phẩm do doanh
nghiệp tự đặt cho các sản phẩm của mình
- Con số cuối cùng là số kiểm tra Số kiểm tra
này cũng tương tự như số kiểm tra của ISSN đã nĩi trong số trước, tuy nhiên cách tính cĩ khác
TTT sẽ giải mã chỉ tiết trong các số tới
Trang 23> yi PTAA RIF [oan hoc nho
BI TIM LO) GIAI TW NHIEN CHO BAI TOAN
KIEU ĐÌNH MINH (GV THPT Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ)
Trong cuộc sống chúng ta luơn mong muốn mọi thứ được diễn ra tự nhiên là tốt đẹp nhất Trong tốn học cũng vậy, chúng ta luơn thắc mắc tại sao lời giải lại như thế, và làm sao để nghĩ ra lời giải một cách tự nhiên?
Chúng ta bắt đầu tìm tịi cho bài tốn mở đầu sau
Bài tốn 1 (Bài 162(7) trang 64 sách Nâng
cao và phát triển tốn 9, tập một, NXBGD Việt Nam, năm 2011 của tác giả Vũ Hữu Bình) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = xÝ - 4x + 1 Lời giải trong quyển sách đĩ (trang 188) như sau: Ta cĩ x < |x| (xảy ra dấu bằng khi va chỉ khi x >0) nên -4x > - 4|x| Do đĩ A = xf - 4x + 1> x' - 4|x| + 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi với bốn số khơng âm ta cĩ x4 #141412 49x4 = 4|x| > x! -4|x|+1>-2 Từ đĩ minA = -2 © xÝ = 1 và x> 0 © x= 1
Thoạt trơng lời giải thì thật đơn giản! Nhưng phân tích kĩ thì chúng ta nhận thấy cĩ nhiều kiến
thức được sử dụng trong lời giải này như: Tính
chất của giá trị tuyệt đối; bất đẳng thức Cơsi cho bốn số, kĩ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cơsi Thực sự đây đều là những kiến thức nâng cao đối với đa số học sinh THCS Với mong muốn cĩ được lời giải đơn giản hơn, chúng tơi tìm được kết quả
A = (x2- 1)2 + 2(x - 1)2- 2 > -2 Từ đĩ tìm được minA = -2 tại x = 1
Chắc chắn bây giờ bạn đọc sẽ đặt câu hỏi làm sao lại nghĩ ra được phân tích đẹp như vậy? Đĩ là
cả một quá trình suy nghĩ và tìm tịi!
Suy nghĩ thơ sơ đầu tiên, chúng ta muốn viết được biểu thức đã cho dưới dạng
A= (x2 + ax + b)Ê + c(x + d)2 + e
Tiếp theo, nếu A đạt giá trị nhỏ nhất tại x = —d thì ta sẽ viết biểu thức dưới dạng A= (x + d)2(x + h)2 + c(x + d)2 + e Tới đây, ta đồng nhất các vế của đa thức để tìm ra các hệ số - 4x + 1= (x2 + ax + b)2 + c(x + d) + e = (x + d)*(x + h)? + c(x + d)^ + e Đầu tiên so sánh hệ số của x? ta được a = 0 Chú ý x2 + ax + b = (x + d)(x + h), suy ra h =-—d va d? = -b So sánh hệ số của x2 ta được 2b + c = 0 hay c = 2dÊ (1) Cuối cùng so sánh hệ số của x ta được -4 = 2cd © -4 = 4d © d = ~1 Từ đĩ c = 2, b =—-1,h= 1 và e = -2 Vi vay A = (x2 — 1)? + 2(x - 1)? -2 > -2
Cĩ lẽ đến đây vẫn cĩ nhiều bạn thắc mắc hoặc đặt câu hỏi như:
- Sao lại làm phức tạp như thế, lời giải trong sách ngắn gọn quá rồi cịn gì! - Đi thi cĩ phải trình bày như đã làm ở trên khơng? - Bài này quá đơn giản! Xin trả lời rằng:
- Mới nhìn vào thì thấy quả là phức tạp với các
tham số nhưng thực chất thì tư tưởng rất đơn giản
Trang 24
(chỉ là đưa về tổng các bình phương) và việc thực
hiện biến đổi là rất cơ bản
- Đi thi chỉ cần trình bày như sau:
Ta cĩ A = (x2 — 1)2 + 2(x - 1)2— 2 > -2 Từ đĩ tìm được minA = -2 tại x = 1
- Đúng! Nhưng nĩ chỉ đơn giản với những bạn học giỏi, đã rất thành thạo trong phân tích đa thức cũng như chứng minh bất đẳng thức
Với lối tư duy và chiến thuật như trên, chúng ta cùng đến với bài tốn 2 Một bài tốn mà đã làm
nhiều “cao thủ” bị gục ngã trong ky thi hoc sinh
giỏi Quốc gia THPT năm 2010
Bài tốn 2 (VMO 2010) Giải hệ phương trình
§ -y* =240
xŠ -2yŸ = 3(x2 —4y^) —4(x — 8y)
Lời giải Hệ đã cho được viết lại như sau
Ps =y* +240 (9
x3 -3x2 + 4x = 2y —12y2 + 32y (2)
Suy ra x4 - 4a(x3 - 3x2 + 4x)
= Y` - 4a(2y - 12y^2 + 32y) + 240 Giả sử sau khi thêm bớt, ta đưa vế trái của phương trình về dạng (x - a)*
Đồng nhất đa thức ta được
X' - 4ax3 + 12ax2 — 16ax
= XỈ - 4axŠ + 6a2x2 — 4xa Suy ra 12a = 6a2 Do đĩ a = 0 hoặc a = 2 Thử a = 2 ta được x4 — 8x3 + 24x? — 32x = y* — 16y? + 96y — 256y + 240 e (x - 2)* = (y- 4)" @x-2=y-4hoacx-2=4-y © y=Xx+ 2 hoặc y = 6 - x Thay y = X + 2 vào (1) ta được x4 = x4 4 8x3 + 24x? + 32x + 16 + 240 © XỔ + 3x2 + 4x + 32 = 0 © (x + 4)(x? -x + 8) =0 ©X=-4 (vix? -x+8>0)>y=-2 Thay y = 6 — x vào (1) ta được x4 = 64 — 4.65x + 6.62x? — 4.6x? + x4 + 240 «> x? — 9x2 + 36x — 64 = 0 © (X - 4)(X2 — 5x + 16) = 0 © X= 4 (VÌ X2 — 5x + 16 > 0) > y= 2 Vậy hệ đã cho cĩ hai nghiệm (x; y) là (4; -2) (4; 2)
Nhận xét Với cách làm này thì cho dù bài tốn cĩ các hệ số lớn chúng ta vẫn giải quyết được Cĩ
thể hình dung tác giả đã sáng tạo bài tốn như
sau: Xuất phát từ (x - 2)Ý = (y - 4)“ ta cĩ
x' — 8x3 + 24x? - 32x + 16
= y* — 16y? + 96y2 — 256y + 256 «> (x4 — y4 — 240)
= 8(x? — 3x2 + 4x — 2y3 + 12y2 — 32y)
Từ đĩ đưa về hệ phương trình đã cho
Nếu các bạn để ý một chút thì thấy rằng trong hệ khơng chứa đơn thức dạng x"y",
Do đĩ ta sẽ tách các ẩn riêng như trên và đưa về hằng đẳng thức
Sau cùng, các bạn thử đi tìm lời giải tự nhiên
cho các bài tốn sau nhé
Bài 1 Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng Bb? -a® 5c7-bÌ 5a”-c° <a+b+c ab+3b2 be+3c2 : ca + 3a Bài 2 Cho x, y, z> 0 va x + 4Jxy + 3/xy “=, Tìm giá trị nhỏ nhất của x + y + z
Bài 3 Cho x, y > 0 và 3x2 + 2xy + 3y2< 1 Tim
giá trị lớn nhất của biểu thức
M= 2x + 3x3y + 6x2y2 + 3xy3 + 2y
Bài 4 (VMO 2004) Giải hệ phương trình
ts + 3xy? =-49
x? -8xy+yˆ = 8y -17x
Trang 25
, ta al À
Lưu ý Bài tốn này là bài tốn tổng quát hơn của câu a) bài 3 đề thi học sinh giỏi tốn lớp 12
tồn quốc năm 2012 Trong bài thi cĩ cho trước ABCD là tứ giác nội tiếp, trong bài tốn này ta
chỉ cần ABCD là tứ giác lồi bất kì
Bài tốn Cho một tứ giác lồi ABCD cĩ các cặp cạnh đối cắt nhau tại M và N Gọi P, Q, S, T thứ tự là giao điểm các đường phân giác của các
cặp gĩc: MAN với MBN; MBN với MCN; MCN với MDN và MDN với MAN Chứng minh rằng bốn
điểm P, Q, S, T cùng nằm trên một đường trịn
Lời giải Ta chứng minh bài tốn cho trường
hợp các cạnh đối diện của tứ giác ABCD cắt
nhau như trong hình sau, các trường hợp khác chứng minh tương tự A xO
LOT GIAL BAI TOAN HINH HOC THIHOC SINH GIG! TOAN QUEL GIA 20K2
BANG KIEN THUC THCS
Trang 26ENGLISH FOR PHYSICS
LTS Theo két qua thăm dị ý kiến độc giả, nhiều bạn đề nghị muốn
cĩ chuyên mục Vật lí, người anh em của Tốn học Chúng tơi mở
chuyên mục này đáp ứng yêu cầu các bạn muốn học tốt cả tiếng Anh
Chương trình trình bày song song với SGK Việt Nam để hỗ trợ thêm
những kiến thức mới, bổ trợ Hệ thống kí hiệu dùng theo các nước nĩi UNIT 1 MASS, WEIGHT, DENSITY, VOLUME, tiếng Anh A MECHANICS C 8.0 mm D 11.3 mm E 13.3 mm 3) A cube with sides 2 cm long is made from a material of density 8 g/cm” 3 What is the mass of the cube? A.1g B.4g KINEMATICS C 16g D 32g I Formulae E 64 g W =mg 4) Which formula is used to caculate the density _m of an object?
p= V A mass ~ volume — B mass x volume
v= § C mass + volune D mass - volume
{ E volume + mass 2
vu 5) The digram shows some cm _
a= ft) liquid in a measuring cylinder 40 -
s 1 What is the volume of liquid? “|
TT 201V) A 32 cm? B.33cm3 |, 7 v2 — u2 —2as C 34 cm? D 35 cm - E 36 cm” 30 -
s=ut+-Lat2 lll Physics Terms —~_———™
mass khối lượng
Chú ý p là kí hiệu mật độ (khối lượng riêng), weight trọng lượng
u là kí hiệu vận tốc ban đầu, Việt Nam dùng kí densify mật độ, khối lượng riêng hiệu v volume thể tích
II Worked examples formula cơng thức
1) What is a measuring cylinder used to formulae các cơng thức
measure? mechanics cơ học
A area B mass kinematics động học
C length D volume cylinder hình trụ, ống nghiệm
E weight hình trụ, xi lanh
2) The diagram shows a wooden cube being measuring cylinder ống đo hình tru
measurea using vernier calipers What is the length chiều dài
width of the cube, as recorded by the vernier wood gỗ scale? wooden cube A 1.6 mm B 2.6 mm
5mm 10 mm vernies calipers thước kẹp kĩ thuật đo
Trang 27
Từ xửa từ xưa đã cĩ số 1 Trong cuộc sống hàng ngày số 1 được dùng nhiều nhất, nĩ cĩ mặt ở khắp mọi nơi
Nếu zero là “trống rỗng” thì số 1 hồn tồn ngược lại: một điều tốt, một người thắng cuộc, một nhà lãnh đạo, một điều thú vị Người ta dùng một với hàm nghĩa “tự thân”
Đặc biệt, nếu em tình cờ gặp Nữ hồng của
nước Anh thì đĩ là “một điều thú vị” Tuy nhiên 1 là số cơ đơn! Người Trung Hoa tin rằng 1 là số khơng may mắn
“Đơn độc” cĩ nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp “monos”cũng cĩ liên quan đến số một:
Monochrome - don sac
Monotheism - chủ nghĩa độc thân
Monomamia - sự sỉ mê quá mức
Số 1 theo truyền thống là số trên áo của thủ mơn một đội bĩng Số này xuất hiện lần đầu tiên ở giải bĩng đá của liên đồn bĩng đá Anh vào năm 1928 Số áo của các cầu thủ được đánh số từ 1 đến 11 Ý tưởng về việc đánh số các đội tham gia giải đấu được giới thiệu vào năm 1954 Ở cup thé giới vào năm 1978 ở Argentina, điều này được nới rộng hơn bằng cách đánh số đội tham gia cup
thế giới theo thứ tự alphabet Điều này hàm nghĩa
TRƯƠNG CƠNG THÀNH rằng: trung vệ nổi tiếng Norberto mang áo số 1 Số đội ở các câu lạc bộ đỉnh cao lần đầu tiên cũng được nêu ra ở Anh vào năm 1993 Hệ thống đánh số này vẫn cịn hiệu lực cho đến ngày nay
BẠN CẦN BIẾT
LI TTT1 s6 139 + 140 va TTT2 s6 111 + 112
là số gộp hai thang 5 va 6 phát hành từ ngày 10.5 2012 Ngồi các chuyên mục thường kì
trong số này cịn cĩ:
® TTT1: Đề thi chọn đội tuyển dự Olympic
TTT hoặc đề dự tuyển của các tỉnh; Đề Kangaroo; Các đề Tốn vui hè; Đề tự ơn tập
và kiểm tra cuối năm; Chuyện dạy và học
tốn; Trị chơi Tốn; IQ; Ảnh về các hoạt động
Olympic Tốn Tuổi thơ tại các địa phương; Vui cười; Thơ
® TTT2: Kết quả, đề thi Olympic Tốn Hà Nội mở rộng (HMO) 2012; Đề thi chọn đội
tuyển dự Olympic TTT hoặc đề dự tuyển của các tỉnh; Đề thi Singapore; Các đề Tốn vui
hè; Trị chơi Tốn; Lịch sử Tốn học; IQ; Ảnh
về các hoạt động Olympic TTT tại các địa
phương; Vui cười ; Thơ
HTTT1 số 140 + 141 và TTT2 số 112 + 113 là số gộp hai tháng 7 và 8 phát hành cuối
tháng 8 2012 Ngồi các chuyên mục thường
kì trong số này cịn cĩ: Kết quả thi Olympic TTT lần thứ 8 tại Cà Mau; Đề thi và đáp án
Olympic TTT lần thứ 8; Các tin, bài, ảnh xung
quanh cuộc thi này; Kết quả cuộc thi Vui hè;
Trị chơi Tốn; Lịch sử Tốn học; IQ; Thơ; Vui
Trang 28
Doan văn dưới đây rất giàu cảm xúc nhưng nếu đọc kĩ, bạn sẽ phát hiện cĩ những chỗ cần sửa lại Khi Loa Kèn trắng đang dần vắng bĩng trên những chiếc xe bán hoa rong cũng là lúc Bằng Lăng tím bắt đầu nở bung để làm đẹp cho đường phố Khơng rực rỡ, ồn ào như Phượng đỏ, Bằng Lăng tím hồng, vừa đủ sáng bừng khơng gian, vừa đủ dịu dàng, đằm thắm, để những người khơ khan nhất cũng phải nao lịng
Mùa đơng, Bằng Lăng lặng lẽ ngủ yên Xuân tới, Bằng Lăng cựa mình tỉnh giấc Những chồi non khỏe khoắn vươn mình bật dậy Nhựa sống tràn trề, để tới cuối xuân đầu hạ, những chùm nụ bắt đầu ẩn hiện đâu đĩ trên tán lá xanh Chưa ai chú ý đâu, nhưng chỉ vài ngày sau, sáng dậy ra đường mọi người sẽ ngỡ ngàng khi thấy cả khung trời bỗng bừng sáng một màu tím hồng phơn phớt Cả cây Bằng Lăng được che phủ bởi
những chùm hoa chen nhau khoe sắc dưới
nắng vàng cuối hạ Màu tím của hoa Bằng Lăng tươi thắm trong nắng sớm, rực rỡ dưới
oXindy In lơi nhé, Băng Lăn!
nắng trưa và thật dịu dàng trong nắng chiều Sau những cơn mưa rào, màu tím ấy lại biêng biếc thêm, khiến cả khung trời như tươi mát hơn, lịng người như dịu nhẹ hơn
Bằng Lăng khoe sắc đúng vào dịp lũ học trị chúng tơi vừa thi xong Bận rộn với bài vở, với lưu bút, với những buổi đi chơi, chúng tơi chẳng mấy chú ý đến nhưng chùm hoa đang
làm đẹp cho sân trường và cho tuổi học trị
Để rồi, bất chợt, cĩ lúc thấy mình cĩ lỗi Xin lỗi nhé, cây bằng lăng nhỏ ở gĩc sân trường!
Suốt mấy mùa bạn chào đĩn chúng tơi bằng những chùm hoa tím biếc, vậy mà chúng tơi cứ vơ tâm, chẳng đến bên bạn thì thầm lời
khen ngợi và cảm ơn THU HIEN MAU DON, CHUM GT, MAI e đ e â Xt qui Gid ra chơi ^ i O chữ Ná M MỚI (TTT2 số 108)
Các từ (từ trên xuống): CÚC, HỒNG, ĐÀO, LOA KÈN, VAN THỌ, PĂNG XÊ, MƯỜI GIỜ,
Tiếc quá kì này khơng cĩ bạn nào được nhận quà của TTT rồi Nhiều phần quà đang chờ các bạn, hãy nhanh tay gửi bài về Tốn Tuổi thơ nhé
HUYỀN THANH
Trang 29
Xuan!
Buổi sáng trời se lạnh, thức dậy trong tiếng lá cây xào xạc ngồi cửa sổ, đơi chim bồ câu gật gù gọi nhau, lịng ao ước được hít thở những hơi dài sâu lắng, muốn đi chân trần
trên nền nhà để thấm ướt khơng khí cuống quýt ngày cuối năm, loanh quanh trong sân vườn ngắm cỏ cây, hoa lá cịn vương những giọt sương chưa tan, tự nhiên nhớ bàn tay được sưởi ấm trong bàn tay, nhớ cái ơm của mẹ và những nụ hơn mềm mại để lại hương thơm trong giĩ
Những hạt mưa lây phây vừa mới hơm qua,
tưởng chừng như bất tận cuối cùng cũng đã ngưng Bầu trời vẫn cịn nhiều mây nhưng đã nhẹ nhõm và trong sáng hơn Và nắng Như một cơ gái đang độ tuổi trăng trịn, e ấp và tinh nghịch, dẫu đã xa lâu ngày nhưng nắng vẫn khơng vồn vã mà nhấp nháy trốn tìm, chơi trị đuổi bắt phía ngồi hiên Chợt nao lịng với những câu thơ trong bài Xuân về của Nguyễn Bính:
Đã thấy xuân về với giĩ đơng
Với trên màu má gái chưa chồng Bên hiên hàng xĩm cơ hàng xĩm Ngước mắt nhìn giời đơi mắt trong
Đố ai biết được cơ đang nghĩ gì? Rất cĩ thể
cơ đang vui vì mùa xuân đang đến, và cơ cũng đang ao ước Mùa xuân là thời khắc để
Xuan qua, hank phadc ở lại
con người dệt những ước mơ, hồi bão Đĩ cĩ
thể là những mơ ước giản dị về một mái ấm nhỏ xinh, một cơng việc ổn định, một cuộc sống bình yên hay đơn giản là sức khỏe dồi
dào cho những người thân yêu và chính minh O ma cũng cĩ khi cơ chẳng nghĩ gì, cơ chỉ thấy bâng khuâng với những nỗi niềm khơng thể diễn tả bằng lời
Hạnh phúc là gì thì chẳng ai biết được,
nhưng sau bao tháng ngày chờ đợi, mùa
xuân đến, dẫu xuân qua lịng bỗng lâng lâng những dư vị ngọt ngào Hạnh phúc biết bao nhiêu!
Trang 30
exinie Cong dich nhái
Đây là bài thơ tả cảnh rất hay Ban hay dịch nhé! Cần nhớ rằng: để dịch thơ, chúng ta khơng cần máy mĩc “từ sang từ” Giữ được
“hồn” của bài thơ là quan trọng nhất Chúc bạn thành cơng! Two rainbows There’s a rainbow in my garden
Yes, indeed, it’s true:
Rose and orange, primrose, green Mauve and deepest blue
Rainbow colours everywhere Where my flowers grow All from very tiny seeds
Planted long ago
There’s a rainbow in my garden See how the colours shine! A rainbow in the sky soon fades
The one that lasts is mine!
MINH HA
@ Két qua BOOK - MaGNNECLFS ansé108)
Tất cả các bạn đều dịch đúng nghĩa, tuy Quyền, Hải Phịng; Bùi Trung Anh, 8A1, nhiên, cĩ lẽ vì quá phụ thuộc vào bản tiếng THCS Trung Vương, Mê Linh, Hà Nội
Anh nên các bạn chưa “Việt hĩa” bài thơ Hãy giữ gìn sách!
Nếu bạn vẽ linh tính vào sách Nhìn nĩ sẽ nhem nhuốc làm sao! Đây một nét, kia một hình
Đúng là bức tranh ngớ ngẩn!
Nếu muốn tập vẽ, bạn ơi
Xin hãy dùng giấy hoặc bảng!
Chủ Vườn sẽ gửi quà đến những bạn sau: Nguyễn Minh Cơng, 7E, THCS Vĩnh Tường, Vinh Tường, Vĩnh Phúc; Phạm Anh Quân,
Trang 31ăm 1968, Gabriele Nieves mét nha vật lí trẻ người Ý, đang
làm việc tại trung tâm hạt nhân
của châu Âu, CERN, đặt
tại Geneva, Thụy Sĩ, vơ cùng
ngạc nhiên khi nhận thấy rằng
Hàm Beta Euler của nhà tốn hoc ngudi Thuy Si Leonard Euler xay dựng trước đĩ hơn
hai trăm năm mơ tả được nhiều tính chất của các hạt cấu trúc nguyên tử Veneziano sử dụng hàm Beta và các dạng tổng quát hĩa của nĩ để mơ tả một chuỗi những dữ liệu thu
được từ thực nghiệm Hàm Beta Euler sau đĩ được sử
dụng rất hiệu quả trong vật lí hiện đại, nhưng khơng
một ai khi ấy hiểu được tại sao nĩ lại như vậy
Mãi tới năm 1970, những cơng trình của Yoichiro Nambu ở Đại học Chicago, Holger Nielsen thuộc Viện Niels Bohr và Leonard Susskin ở Đại học Stanford mới chỉ ra được ý nghĩa vật lí ẩn sau cơng thức Euler Hai nhà vật lí này đã chứng minh được rằng, nếu một hạt
sơ cấp được mơ hình hĩa như các dây nhỏ bé một
chiều dao động, thì tương tác mạnh của chúng cĩ thể được mơ tả chính xác bởi hàm Beta Euler Theo lập luận của họ, nếu các dây này đủ nhỏ thì chúng vẫn được xem là các hạt điểm và do vậy phù hợp với những quan sát thực nghiệm
Trình tự cấu tạo vật chất của vũ trụ theo Lí thuyết
dây:
e2: say LÍ thuyết dây
1 Các vat thé vĩ mơ (chính xác hơn, các vật thể thơng thường hàng ngày quan sát được bằng mắt thường) 2 Cấu trúc phân tử 3 Cấu trúc nguyên tử với hạt nhân (proton và nơtron) với điện tử 4 Các hạt cơ bản 5 Các quark 6 Các dây
Năm 1974, Schwarz và Joel Scherk ở trường Cao
đẳng Sư phạm Paris đã nghiên cứu đặc điểm của những mốt dao động và nhận thấy rằng những tính chất này phù hợp tuyệt đối với hạt truyền tương tác giả
định của trường hấp dẫn, cĩ tên là graviton Mặc dù hạt truyền tương tác này chưa từng được quan sát, nhưng các nhà lí thuyết tiên đốn một cách vững chãi về một
số đặc tính cơ bản mà graviton cần phải cĩ
Mọi chuyện khơng cĩ gì khả quan hơn cho đến năm 1984, trong một bài báo cĩ tính chất hội tụ nỗ lực của 12 năm nghiên cứu căng thẳng, mà phần lớn khơng cĩ ai ngĩ ngàng, Michael Green và John Schwarz đã chứng minh được rằng lí thuyết dây mà họ
xây dựng cĩ đủ tầm vĩc để bao quát tất cả các lực cơ bản của tự nhiên và vật chất Khi tin đồn về kết quả
thành cơng này đến tai cộng đồng vật lí trên thế giới, hàng trăm nhà vật lí hạt đã bỏ cơng việc nghiên cứu đang làm của họ để lao vào một cuộc tấn cơng với quy
mơ lớn hơn, và họ nghĩ rằng đây sẽ là trận chiến cuối
cùng trong cuộc chỉnh phục những bí mật của vũ trụ
Theo Lí thuyết dây, vũ trụ chúng ta cĩ thể cĩ nhiều chiều hơn con người cĩ thể cảm thấy, hoặc cĩ thể cĩ
nhiều vũ trụ đang tồn tại song song với nhau mà khơng
thể liên hệ qua lại được
Từ năm 1984 đến năm 1986 được biết đến như “cuộc cách mạng lí thuyết dây lần thứ nhất” Trong 3
năm, hơn một ngàn bài báo nghiên cứu về thuyết dây đã được viết bởi các nhà vật lí trên khắp thế giới Theo
lời của Micheal Green, chỉ cần làm quen với lí thuyết dây, thì mọi người sẽ thấy rằng hầu như tất cả các thành tựu vĩ đại nhất của vật lí trong một thế kỉ qua đều được xuất hiện, cùng với vẻ đẹp thanh nhã đến tự
nhiên
Năm 1995, trong bài giảng làm nức lịng người tại Hội nghị Siêu dây được tổ chức tại Đại học Nam
California, một bài giảng khiến cho cử tọa ít ỏi gồm những chuyên gia hàng đầu thế giới về lí thuyết dây
phải kinh ngạc, Edward Witten đã châm ngịi cho cuộc cách mạng siêu dây lần thứ hai Từ ngày đĩ, các nhà lí thuyết dây đã làm việc hết sức mình để tìm kiếm những phương pháp mới hứa hẹn, vượt qua được những trở ngại trước đây
Những khĩ khăn cịn ở phía trước sẽ thử thách nghiêm khắc sức mạnh kĩ thuật của các nhà vật lí dây
trên khắp thế giới, nhưng ánh sáng ở cuối đường hầm,
mặc dù cịn mờ xa, nhưng rồi cuối cùng cũng sẽ nhìn
thấy được
Trang 32
Hỏi: Em chưa hiểu thế nào là viết trên một mặt giấy (để cịn cắt ghép gì đĩ?) Viết giấy
đơi vở thì viết như thế nào hả anh?
ĐÀO PHƯƠNG THU HIỀN
(H123/46/15 Lê Trung Đình, TP Quảng Ngãi,
Quảng Ngãi) Đáp:
Viết trên một mặt giấy
Là nguyên tắc xưa nay
Mặt sau để giấy trắng
Sang tờ khác bắt đầu
Giấy đơi cĩ 4 trang Viết 1 và 3 nhé
Hỏi: Anh Phĩ ơi! Em rất thích học các mơn tự nhiên nhưng lại ghét học mơn xã hội nên điểm các mơn này lúc nào cũng thấp Anh cĩ cách nào giúp em với! NGUYỄN ĐÌNH THÀNH (8C, THCS Hồng Xuân Hiãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh) Muốn được chơi cùng bạn Thì phải thích sử, văn
Nĩi chuyện tồn phương trình Chịu làm sao cho nổi
Muốn học xã hội giỏi Phải đọc sách nhiều thơi
e®606Ằ6/66666666 66666666666
Hỏi: Ở lớp em cĩ bạn bị nấm da mà bạn ấy cứ chạm vào người em Làm thế nào để bạn ấy khơng chạm vào em nữa đây?
Trang 33Bài 1(110) Chứng minh rằng nếu tồn tại số nguyên dương x thỏa mãn
(x + 1)(2x + 1)
là một số chính phương thi x là hợp số
2012 ĐỒN CÁT NHƠN (GV THCS Nhơn Lộc, An Nhơn, Bình Định)
Bài 2(110) Giải phương trình nguyên: (x+y^/5)Z = 1+ V5
THÁI NHẬT PHƯỢNG
(GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khanh Hoa)
Bài 3(110) Cĩ 5 bạn nam A, B, C, D, E và 3 bạn nữ M, N, P ngồi quanh một bàn trịn Hai cách ngồi được coi là trùng nhau nếu cĩ một phép quay quanh bàn
để hai cách xếp trùng nhau
a) Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi?
b) Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi mà nam A khơng ngồi cạnh nữ M? c) Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi khơng cĩ hai nữ ở cạnh nhau?
VŨ ĐÌNH HỊA (Đại học Sư phạm Hà Nội)
Bài 4(110) Cho a, b, c và d là các số thực dương thỏa mãn: 1 + { + 1 + | <1
Chứng minh rằng abcd > 1 (a+19ˆ“ (b+192 (c+19“ (d+192-
NGUYỄN ĐỨC TẤN (TP Hồ Chí Minh) Bai 5(110) Cho tam giác ABC vuơng tại A Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác, Milà trung điểm BC, N là giao điểm của MI với AB Biết BNM = 75°, hãy tính gĩc B
NGUYÊN KHÁNH NGUYÊN (GV THCS Hồng Bàng, Hải Phịng)
Bài 6(110) Cho tam giác ABC vuơng tại A Các tứ giác MNPQ và AXYZ là các hình vuơng sao cho: M thuộc cạnh AB; N, P thuộc cạnh BC; Q thuộc cạnh AC; X, Y, Z tương ứng thuộc cạnh AB, BC, CA Chứng
minh rang MN < AX ;
NGUYEN MINH HÀ (GV Trường THPT Chuyên Đại học Sư phạm Ha Nội)
CORRESPONDENCE PROBLEM SOLVING COMPETITION Translated by Nam Vũ Thành (x + 1)(2x +1) 1(110) Prove that if there exist a positive integer x such that 2012 is a composite number
2(110) Solve the following integer equation: (x + yv5)7 = 1+ V5
3(110) There are 5 boys called A, B, C, D, E and 3 girls called M, N, P sitting at a round table Two seating arrangements are considered identical if shifting one arrangement around the table results in the other
a) Find the total number of possible seating arrangements
is a perfect square, then x
Q b) Find the number of seating arrangements such that the boy A does not sit next to the girl M
pee eee ee c) Find the number of seating arrangements such that no two girls sit next to PHIẾ|) IÌIlb HI S40), Lei a, b, c and d be positive real numbers such that
THAM II ae l me , oF , ay
CUOC THI GIAl Prove that abcd 2 1
TOAN QUA THU NAM HOC
5(110) Let ABC be a right angle triangle with the right angle at A Let / be the intersection of the interior angle bisectors of the triangle, M be the mid-point of
Oe ee ee ee ee al
<1
BC, and N be the intersection of the line M/ and the line AB Given that BNM = 75°, find the measure of the angle B
6(110) Let ABC be a right angle triangle with the right angle at A Let the quadrilaterals MNPQ and AXYZ be squares such that: M is a point on AB; N and P are points on BC; Q is a point on AC; and X, Y, and Z are points on AB, BC and CA respectively Prove that MN < AX
Trang 34FONT TUN TIC Wh, CHOWN CONG Tlic BEN TAY” NEUEN
Phĩ Giám đốc Sở GD-ĐT Lâm Đồng Tạ Quang Vũ, Tổng biên tập TTT Vũ Kim Thủy trong buổi làm việc của Số và Tap chi
Để Tốn Tuối thơ đến với được nhiều độc giả, Tạp chí vừa cĩ chuyến cơng tác tới các
tỉnh Tây Nguyên Đay là lần dau tiên Tạp chí cĩ
chuyến đi đến với vùng đất cao nguyên này
Tây Nguyên gồm các tỉnh: Lam Đơng, Đắk Nong, Dak Lak, Gia Lai va Kon Tum Tây
Nguyên cĩ Da Lạt và Buơn Ma Thuột là hai thành phố lớn Trải qua một đoạn đường đèo dốc quanh co trong địa bàn Lam Đơng, Tây
Nguyên bỗng trải trước mắt một địa hình khá bằng phẳng, đúng như tên gọi của nĩ, một cao nguyên Những hàng cao su trồng thẳng tắp,
những rừng cà phê hoa nở trắng xĩa, những
cọc trồng tiêu lơ xơ ngút ngát tàm mắt
Chiều 9.5.2012 tại Sở Giáo dục và Đào tạo
Lam Đồng, Phĩ Giám đốc Sở Tạ Quang Vũ; Phĩ phịng Tiểu học Nguyễn Chí Dũng; Phĩ phịng Trung học Tran Hải đã cĩ buổi làm việc với Tốn Tuổi thơ
Rộng 9765 kmZ với 1 200 000 dan, Lam
Đơng cĩ 4O dân tộc anh em sinh sống Lam Đỏng cĩ Đà Lạt, thành phố loại 1 thuộc tỉnh, một trong hai trung tâm vùng Tây Nguyên, cĩ
thế mạnh vẻ du lịch và đang từng bước quan
tâm đến giáo dục Trường chuyên Thăng Long
là một điểm sáng của ngành giáo dục Lâm Đồng Thây Tuyết, vốn là một giáo viên tốn đã phát biểu các ý kiến nhận xét vẻ tạp chí Tốn
Phĩ Giám đốc Sở GD-ĐT Đắk Lắk
Nguyễn Ngọc Quang tiếp đồn tạp chí Tốn Tuổi thơ
Tuổi thơ và cho biết tác dụng tích cực của Tạp chí với phong trào dạy và học tại địa phương
Sáng 12.5.2012 tại Sở Giáo dục và Đào tạo Dak Lắk, Phĩ Giám đốc Nguyễn Ngọc Quang;
Phĩ phịng Tiểu học Trương Vũ Hải Yến; Phĩ
phịng Trung học Đồn Xuân Dũng đã gặp
đồn cơng tác của Tốn Tuổi thơ Với diện tích hon 13000 km? va gan 1 800 000 dân, quy mơ giáo dục của Đắk Lắk chỉ đứng sau TP Hồ Chí Minh và Đỏng Nai nếu tính ở miền Nam
Buơn Ma Thuột là thành phố thuộc tỉnh xếp hạng đơ thị loại I và là một trung tâm của vùng Tây Nguyên Tỉnh cũng cĩ 4O dân tộc anh em sinh sống Với gân nửa triệu hoc sinh, Dak Lắk là tỉnh cĩ phong trào giáo dục phát triển Được giới thiệu vẻ kì thi Olympic Tốn Tuổi
thơ, Sở Giáo dục và Đào tạo Đắk Lắk đã nhiệt
tình tham gia ngay, là đại biểu đầu tiên của
các tỉnh Tây Nguyên tham gia Olympic Tốn Tuổi thơ Chuyến đi để lại ấn tượng tốt đẹp cho đồn vẻ vùng đất cao nguyên đỏ au mặt
đất, xanh trong bau trời, bạt ngàn xanh cao su, cà phê, cây điều và hạt tiêu trong ngút ngàn gid
Sáng 15.5.2012 đồn tiếp xúc với nhà giáo Nguyễn Đức Tấn, một cộng tác viên nhiệt
huyết của Tốn Tuổi thơ tại TP Hỏ Chí Minh
Trang 35THE LE CUOC THI VIET GIGI THIEU SACH THÁM KHẢO
CUA NHA XUAT BAN GIAO DUC VIET NAM
Nhân kỉ niệm 55 năm thành lập, Nha xuất bản Giáo dục Việt Nam (Bộ Giáo dục và Đào tạo) tổ chức Cuộc thi viết giới thiệu sách tham khảo cua NXBGDVN voi thé lệ như sau:
1 Mục đích Cuộc thỉ
- đĩp phản đẩy mạnh văn hĩa đọc trong nhân dân nĩi chung đặc biệt trong thanh thiếu niên học sinh, sinh viên và giáo viên các cấp học
- Tuyên truyền và giới thiệu nhiều loại sách tham khảo hay, thiết thực cho các tảng lớp nhân dân, giáo viên, sinh viên, học sinh và thư viện trường học
2 Nội dung - Thể loại - Yêu cầu
- Trên cơ sở đọc, suy nghĩ và cảm nhận, người dự thi sẽ viết giới thiệu về cuốn sách hoặc bộ sách tham khảo của NXBGDVN ma minh da đọc (Giới thiệu vẻ nội dung, hình thức sách ; phân tích cái hay, cái đẹp, tác dụng của cuốn sách,
bộ sách)
- Bai du thi khơng quá 1000 chữ, dưới dạng viết tay hoặc đánh máy Khi đánh máy, dùng font chữ Times New Roman, cỡ 14, in trên khổ qiấy A4
- Bài dự thi chưa đăng tải trên sách báo, chưa sử dụng trên các phương tiện thơng tin đại chúng khác
- Bài dự thi khơng được sao chép lại lời giới thiệu hoặc lời mở đâu đã in trong sách hoặc sao chép lại của người khác
- Tác giả cĩ thể gửi dự thi nhiều bài viết (dưới
5 bài) khác nhau (mỗi bài viết giới thiệu một cuốn hoặc một bộ sách)
- Tác giả ghi rõ tên (khơng ghỉ bút danh), địa chỉ, số điện thoại liên lạc (nếu cĩ) Các bài được xét giải thưởng sẽ bị loại nếu khơng xác định được địa chỉ và tên thật của tác giả
- Ban tổ chức cuộc thi sẽ qửi kèm theo Bản thể lệ này cùng danh mục một số sách, bộ sách tham khảo của NXBGDVN dé ngudi du thi lua chọn Ngồi ra, người dụ thi cĩ thể chọn diới thiệu các cuốn sách xuất bản những năm gân đây (từ năm 2008 đến nay) nằm ngồi danh mục này
- Người dự thi cĩ thể chọn giới thiệu một số hoặc một số sách tham khảo khác mà mình tâm đắc ngồi danh mục nêu trên
5 Đối tượng tham gia
- Mọi người Việt Đam đang sinh sống, học tập, làm việc ở trong và ngồi nước; người nước ngồi đang sinh sống học tập và làm việc tại
viét Nam
- Đặc biệt khuyến khích, động viên các thầy giáo, cơ giáo đang đúng lớp giảng dạy hoặc đã nghỉ hưu, cán bộ thư viện, cac em hoc sinh, sinh viên tham gia
- Cán bộ nhân viên ĐXBGDVN tham gia Cuộc thi nếu đạt giải sẽ được xem xét trao giải thưởng nội bộ, khơng liên quan đến cơ cấu giải thưởng trong Thề lệ này
4 Thời gian nhận bài du thi
- Từ ngày 2/4/2012 đến hết ngày
50/11/2012
- Bài dự thi gửi trược tiếp hoặc qua bưu điện theo địa chỉ: Ban tổ chúc Cuộc thỉ viết giới thiệu sách tham khảo của Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 81 Trần Hưng Đạo, Hà Nội hoặc gửi qua email: gioithieustk@nxbgd vn
- Thời gian nhận bài dự thi được xác định theo dấu bưu điện hoặc ngày nhận email
5 Quyên lợi và giải thưởng
- Bài dự thi cĩ chất lượng cao sẽ được Ban tổ chức giới thiệu đăng tải trên Chuyên san Sách - Thư viện - Thiết bị giáo dục và các tạp chí của NXEGDVN, một số báo và tạp chỉ khác (người viết được hưởng nhuận bút theo quy định) Bản quyền sử dụng các bài dự thi do Ban tổ chúc qiữ
- Cuộc thi gồm các giải thưởng sau đây: Giải Nhất : mỗi giải 5 triệu đồng
Giải Nhì : mỗi giải 5 triệu đơng
Giải Ba : mỗi giải 2 triệu đồng Giải Khuyến khích : mỗi giải 1 triệu đồng Ban tổ chức sẽ dựa vào chất lượng bài dự thi đề quyết định số lượng mỗi loại giải nêu trên
- Ngồi ra Ban tổ chức sẽ trao các giải thưởng đặc biệt (mỗi giải trị giá 1 triệu đồng) cho thi sinh nhỏ tuổi nhất và thí sinh lớn tuổi nhất, thí sinh người nước ngồi, thí sinh cĩ bài viết ấn tượng nhất, tập thể cĩ nhiều người tham gia nhất
G Lễ trao giải thưởng
Lễ cơng bố và trao giải thưởng sẽ được tổ chúc tại Hà Nội vào Quý I năm 2015
Trang 36Ban đã bao giờ được chiêm ngưỡng những dịng nước cuộn trào tung bọt trắng xĩa từ trên vách đá cao dội xuống Trời mây, non nước thật la hung vi Bạn hãy viết một bài
viết ngắn tả về thác
nước này Nếu biết tên và địa chỉ của thác nữa thì thật là tốt
MORIT VŨ
Ảnh: Mạc Thanh Huyền
© Két qua Chaa Pho Minh (TTT2 số 108)
Ở Việt Nam, những tháp giống tháp Phổ Minh (Nam Định) gồm: tháp chùa Trấn Quốc, tháp Bình Sơn (Vĩnh Phúc), tháp chủa Thiên Mụ (Thừa Thiên - Huế) hay cịn gọi là tháp Phước Duyên, tháp Báo Ân (Hồng Mai, Hà Nội), tháp chùa Cổ Lễ (Nam Định) Quà tặng trao cho các bạn: Cao Việt Tùng, 7E, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Đỗ Qúnh Trang, 7A, THCS Lê
Văn Thịnh, Bắc Ninh; Nguyén Duy
Phúc, 9A, THCS Văn Thanh, Yên Thành, Nghệ An; Nguyén Thi Hong Hạnh, 7B, THCS Hồng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh VŨ NAM TRỰC Tháp chùa Cổ Lễ
Giấy phép xuất bản: số 31/GP-BVHTT, cấp ngày 23/1/2003 của Bộ Văn hĩa và Thơng tin Mã số: 8BTT110M12 In tại: Cơng ty cổ phần in Diên Hồng
In xong và nộp lưu chiểu tháng 04 năm 2012