Tạp chí toán tuổi thơ 2 kỳ số 118

So 118 Full re pdf

Trang 1

NAM THU MƯỜI BA ISSN han 2740 Gia: Tum = 00 SỬ CUOC THI MOI

Trang 2

Children’s Fun Maths Journal ce) ` NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP: Tổng biên tập: ThS VŨ KIM THỦY

Thư kí tòa soạn:

NGUYEN XUAN MAI Uy viên: NGND VŨ HỮU BÌNH TS GIANG KHẮC BÌNH TS TRẤN ĐÌNH CHÂU TS VŨ ĐÌNH CHUẨN TS NGUYEN MINH DUC ThS NGUYEN ANH DUNG TS NGUYEN MINH HA PGS TS LE QUOC HAN HOANG TRONG HAO PGS TSKH VU DINH HOA TS NGUYEN DUC HOANG ThS NGUYÊN VŨ LOAN NGUYEN ĐỨC TẤN PGS TS TÔN THÂN TRƯƠNG CÔNG THÀNH PHAM VAN TRONG ThS HO QUANG VINH TOA SOAN:

Tang 5, số 361 đường Trường Chỉnh,

quận Thanh Xuân, Hà Nội

Điện thoại (Tel): 04.35682701 Điện sao (Fax): 04.35682702 Điện thư (Email): toantuoitho@vnn.vn

Trang mang (Website): http://www.toantuoitho.vn

DAI DIEN TAI MIEN NAM: TRAN CHi HIEU Giám đốc Công ti CP Sách - TBGD Bình Dương, 283 Thích Quảng Đức, TX Thủ Dầu Một, Bình Dương ĐT: 0650.3858330 Trưởng phòng Trị sự: TRỊNH ĐÌNH TÀI

Biên tập: HOÀNG TRỌNG HẢO, NGUYEN NGOC HAN, PHAN HƯƠNG Trị sự - Phát hành: TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG, MAC THANH HUYEN, NGUYEN HUYỀN THANH

Chế bản: ĐỖ TRUNG KIÊN

Mĩ thuật: TÚ ÂN

CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN

hủ tịch HBTU hiêm Tổng Biám dic NXBED Viet Nam: NGUT NGO TRAN Al

Tổng biên tập kiém Ph6 Téng Giam déc NABGD Viet Nam: TS NGUYEN QUY THAO

TRONG SO NAY

@ Hoc ra sao?

Về một loại tam giác đặc biệt (Tiếp theo kì trước) Lê Phúc Lữ ® Sai ở đâu? Sửa cho đúng So sánh phân số Cao Ngọc Toản ® Giải toán thế nào? Bắt đầu từ dấu bằng Nguyễn Ngọc Hân ® Com pa vui tính Số cạnh của một hình sao Thái Nhật Phượng ® Phá án cùng thám tử Sêlôccôc Đến thăm cô giáo cũ Phương Mai ® Đến với tiếng Hán Bài 36 Tôi đi máy bay đến Hà Nội Nguyễn Vũ Loan ® Dành cho các nhà toán học nhỏ Số học và những chú thỏ Lê Quốc Hán, Lê Thị Ngọc Thúy ® Ơn tập cùng bạn Ôn tập chương II (Đại số 9) Hàm số bậc nhất Nguyễn Văn Cần

Trang 3

Tinh chat 7

Goi O, I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp,

nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng tam giác AlO vuông tại l Lời giải O | D B H E M C K

Gọi H, D, M lần lượt là chân đường cao, đường

phân giác và đường trung tuyến tại đỉnh A của tam

giác ABC, E là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp

tam giác với cạnh BC Giả sử AD cắt OM tại K

Ta có HAB = OAC = 90° - ABC

Mà AI là tia phân giác của BAC, tức là

[AB =[AC nên ta có [AH = IAO

Mặt khác AH // OK nên [AH = ÍKO

Do đó [AO =[KO hay tam giác AOK cân tại O Ta tính được DE = DM = 1 nên DI = DK suy ra IK = 21D Theo định lí Talét ta có DÀ _ HẠ =3= A” —2— AI= 2DI DỊ IE DI = lA = lK VỀ MỘT L0ẠI

g@> TAM GIAC DAC BIỆT

(Tiếp theo kì trước)

= Ol la đường trung tuyến của tam giác cân AOK

LÊ PHÚC LỮ (SV Đại học FPT TP Hồ Chí Minh) — OI là đường cao của tam giác AOK

Vậy tam giác AOI vuông tại l

Il) Van dé dién tích nguyên của tam giác nguyên liên Trước hết ta tính diện tích của tam giác ABC theo n Từ tính chất 4, ta có HC =s[HC- HB) + (1C+HB)]= 1*Š — AHÊ _ AC? — Hc2 2 n+5 3 =(n+2)* (n+ 2) -| —~| ==(n+1?-3 (“> r4 ) = AH = sv3n +1)* -12 1 1 5 = Saac = FAHBC = (n+ 4)/3(n +1)? -12 Do S.sc là số nguyên nên A3(n+1)ˆ -12 là số nguyên Đặt m = +3(n + 12 —12 ;me Z = m2 = 3(n + 1)? - 12 (1)

Suy ram: 3, dat m = 3k, k € Z

ies vào (1) ta được = 3(n + 1)2— 12 © 3k2 = (n + 1)2 - 4 (2) Suy ra k và n + 1 có cùng tính chắn lẻ, nhưng : : chúng cũng không thể cùng lẻ vì khi đó diện tích ? Sage = zn +1)/3(n +1)? —12 ¢ Z Do đó k và n + 1 cùng chấn Đặt n + 1 = 2x, k= 2y, x, y€ Z,x> 2, thay vào (2) ta được 3(2y)2 = (2x)2 —- 4 © x2 - 3y^ = 1 (*)

Phương trình trên là phương trình Pel có

nghiệm nguyên dương nhỏ nhất là (x,; y,) = (2; 1)

và các nghiệm nguyên dương (X,; y,), (với

u c Ñ) được xác định như sau:

Trang 4

Xu + Yuv3 = (x4 +¥4V3)"

Từ đó ta xác định được các giá trị của n = 3,

13, 51, thì tam giác nguyên liên có diện tích là

số nguyên

II Một số bài tập liên quan tự luyện

Bài 1 Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 3, CA = 4 Trên đoạn thẳng CA lấy điểm D sao cho CD = CB

a) Chứng minh rằng tam giác ABC đồng dạng

với tam giác ADB

b) Chứng minh rằng ABC = BAC + 28CA

Bài 2 Cho tam giác ABC có đoạn thẳng nối

trọng tâm và tâm đường tròn nội tiếp song song với một cạnh của tam giác Chứng minh rằng ABC là tam giác nguyên liên nếu các cạnh của tam giác này là các số nguyên

Bài 3 Cho ABC là tam giác nguyên liên có diện tích S là một số nguyên Chứng minh rằng

S là số chan

Bài 4 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp

của tam giác nguyên liên thứ n và chứng minh

rằng không tồn tại tam giác nguyên liên có bán

kính đường tròn ngoại tiếp là số nguyên

Bài 5 Cho ABC là tam giác nguyên liên có

Két qua

(TTT2 số 116)

1 Wxg5+ 2.đÈxg5 f6+ 3.%:h4

[3.296 Zh6#] 3 g5#

Danh sach cac em hoc sinh giai đúng kì 45: Phạm Bảo Nguyên, 9A5,

THCS Nguyễn Đình Chiểu, Châu Đốc, An

Giang; Nguyễn Phùng Thái Cường, 8B,

THCS Hòa Hiếu II, Thị xã Thái Hòa, Nghệ An; Trịnh Đức Cảnh, 8E, THCS Vĩnh

Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Bùi Xuân

Long, 7D, trường Hà Nội - Amsterdam,

Cầu Giấy, Hà Nội; Dương Văn Đô, 9A2,

THCS Từ Sơn, Thị xã Từ Sơn, Bắc Ninh

LÊ THANH TÚ

AB < BC < CA Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, AC và AD là đường phân giác

của tam giác ABC Gọi I là tâm đường tròn nội

tiếp tam giác ABC

a) Chứng minh rằng IB L DM, IC DN

b) Chứng minh rằng đường tròn đường kính ID

Trang 5

A aw

Trong tiết học cộng trừ hai số hữu tỈ ở lớp 7, sau khi nêu kiến thức phân số

để áp dụng cho số hữu tỉ, thầy giáo cho học sinh phát biểu cách so sánh hai

phân số có cùng mẫu số hoặc có cùng tử số

Bài toán: So sánh _Z012 vỚi — 2012 2011 2013 Sau khi chuẩn bị, một học sinh đã lên bảng giải bài toán này như sau 2012-2012 2012 -2012 Ta viết lại — = „— = ` _ 011 2011 2013 2013 Hai phân số có cùng tử số là -2012, mẫu số 2011 < 2013 nên — 2, 2012 2012 Vay -—— >- 2011 2013' 2012 ` 2012 2011 2013 Theo bạn lời giải trên sai ở đâu? CAO NGỌC TOẢN (GV THPT Tam Giang, Phong Điền, Thừa Thiên - Huế) SILO

@ Két qua THIẾU HAY nu GA THIET (TTT2 số 116)

Nhận xét Tất cả đều chỉ ra được bài toán đã đủ giả thiết, lời giải đã cho chỉ là một trường hợp

riêng Có nhiều cách giải khác nhau được các

bạn gửi về như: giả thiết tạm, giải bằng lập phương trình (hệ phương trình), dùng dãy tỈ số bằng nhau, tính chất chia hết,

Sau đây là một lời giải gần với lời giải đã cho nhất Lời giải đúng

Goi x là số ô tô lớn tham gia vận chuyển (x e Z, 0 <x< 5) thì số ô tô nhỏ tham gia vận chuyển là 5—X Giả sử a là tổng số (tấn) hàng cần vận chuyển (a > 0) x x: Zz Ã" ^ gan N/ 2s 2, 1X a Theo dau bài ta có môi ô tô lớn phải chở là 4 (tấn) nên tổng số hàng do x ô tô lớn chở là = (tấn) Mỗi ô tô nhỏ phải chở là = (tấn) Tổng số hàng do5—xô tô nhỏ chở là a(5 — x) ` 6 Ta có phương trình (tấn) ax a(5— X) _ x 5- ——+ c—+ 4 6 4 Vậy thực tế số ô tô cần dùng là: 2 ô tô lớn và 3 ô tô nhỏ

Phần thưởng kì này được trao cho các bạn: Kim Thị Hồng Lĩnh, 6E1, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn Văn Cao, 7A,

THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội;

Nguyễn Hữu Tình, 6A3, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Bửi Trung Hoàng, 6A8, THCS Chu Văn An, Ngô Quyền, Hải Phòng; Nguyễn

Phùng Thái Cường, 8B, THCS Hòa Hiếu II, thị xã Thái Hòa, Nghệ An

Các bạn sau cũng có lời giải tốt: Lê Quang Trung, 7A4, THCS Giấy, Phong Châu, Phù Ninh; Tạ Phương Thủy, 7A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Lê Huy Khang, 7G, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nguyễn

Trang 6

oxiny D@ GIGC DEG Cho các đa giác đều như sau

Theo bạn hình kế tiếp sẽ là hình nào trong năm hình dưới đây? Nhớ

quan sát thật kĩ kéo nhầm đấy! O O O O O ©® ©® So@x<e®e® ©O®XOO ee O oe) O âđX%XOeđ, O e oO O e đ âđ oO đ âđ A B C D E QUANG HUY (sưu tầm)

@ Két qua HINH NAO CON THIEU? (TTT2 số 116)

Xét theo hành ngang (từ trái sang phải) và xét theo cột dọc (từ trên xuống dưới),

hình cuối cùng là phần chung của hai hình

đầu Vậy đáp án là hình (D)

Các bạn được thưởng kì này có đáp án

đúng, lập luận chính xác, ngắn gọn: Mẫn

Thị Hương Mai, Trương Thị Yến, 7A; Nguyễn Thị Duyên, 8B, THCS Yên Phong,

Yên Phong, Bắc Ninh; Huỳnh Tấn Hòa, 8/4, THCS Nguyễn Bỉnh Khiêm, Biên Hòa,

Đồng Nai; Trần Thị Hương Ly, 7B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh

Các bạn sau cũng được khen: Nguyễn

Mạnh Toàn, Nguyễn Thị Hoa, Nguyễn

Quang Huy, 9A2, THCS Từ Sơn, Từ Sơn,

Bắc Ninh; Nguyễn Thị Hồng Ngọc, 9A,

THCS Chu Văn An, Nga Sơn, Thanh Hóa

NGUYỄN XUÂN BÌNH

DAT MUA TAP CHi CA NAM HOC 2012 - 2013 TAI CAC CO SO BUU ĐIỆN TRONG CA NUUC

Trang 7

Trước hết chúng ta xét bài toán thi chọn đội

tuyển Vĩnh Phúc tham gia thi Olympic Toán Hà Nội mở rộng năm học 2011-2012

Bài toán 1 Cho các số thực x, y thỏa mãn

x? + 3xy + 4y? <i Chứng minh rằng x + y < 2 (Vinh Phuc Pre HOMO 2012-Junior Section) Lời giải Cách 1 Đặt X + y =f SUy ra X =f- y Do đó x? + 3xy + 4y? <i © (t—y)2 +3t—y)y+4y?~2 <0 ©2y2+ty+t2-“<0© 2y+ tÌ <7 RẺ 2- 2) 4 t? tÝ Suy ra 1-720 (vi 2:2] >0) =>t?< 4>x+y< 2 Dấu bằng xảy ra khi x+y=2 x+y=2 xe 2y + + =0 2y + Xx1y =0 _ 1 2 2 y= ay Cách 2 Hướng dẫn giải Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi x+y=2 x=3 =>x+5y =0 x2 +3xy +4y2 =ˆ 1 y 2 =2

Do đó ta sẽ biến đổi giả thiết về dạng

a(x + y)ˆ < -b(x + 5y)2 + 4a < 4a với a và b là

BAT BAU TY DAU BANG NGUYEN NGOC HAN

Trong một số bài toán chứng minh bất đẳng thức thì việc xác định dấu bằng xảy ra khi nào sẽ giúp chúng ta có được lời giải bài toán một cách dễ dàng Trong bài viết này chúng tôi sẽ nói đến cách giải bài toán có dạng:

Cho ax? + bxy + cy? < d, chứng minh mx + ny < p hoặc ngược lại

hai số dương nào đó Hay

(a + b)x2 + (2a + 10b)xy + (a + 25b)y2 < 4a Ta cần tìm a, b sao cho a+b 2a+10b a+25b 4a =—a=ïb 1 3 4 w 2 Ta chon a = 14; b=2 Lời giải Ta có x2 + 3xy + 4y2 <i 16x2 + 48xy + 64y2 < 56 © 14(x + y)? < -2(x + 5y)? + 4-14 <4.14—= (x+y)2<4—=Xx+y<2 Cách 3 Giả sử x + y > 2 = (x + y)2 > 4 = 7x2 + 1d4xy + 7y? > 28 (1) Ta lại có x? + 3xy + 4y? <i = -BX2 — 24xy — 32y2 > — 28 (2)

Cộng theo vế của (1) và (2) ta được

—XZ — 10xy — 25y >O0> (xt By)? < 0: vô lí

Do đó điều giả sử là sai

Vậy x + y <2

Bài toán 2 Cho các số thực x, y thỏa mãn

21x2 - 36xy + 44y2 < 27

Chứng minh rằng x + 2y > -3

Lời giải Cách 1 Đặt t = x + 2y > x =t- 2y

Trang 8

oo ap xen 2 = 9 (20y-6ty =0 |, Cách 2 Hướng dẫn giải Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi X+2y=-3 X= 2 2 - 21x“ - 36xy + 44y* = 27 3 an = 3X - 4y = 0

Do đó ta sẽ biến đổi giả thiết về dạng

a(x + 2y)2 < -b(3x - 4y)2 + 9a < 9a với a và b

là hai số dương nào đó Hay

(a + 9b)x2 + (4a - 24b)xy + (4a + 16b)y2 < 9a Ta cần tìm a, b sao cho a+9b 4a—24b 4a+16b Qa 21 -36 44 £4227 => 2a = 3b Ta chon a = 3; b= 2 Lời giải Ta c6 21x? — 36xy + 44y2 < 27 => 3(x + 2y)? < -2(3x — 4y)? + 27 < 27 = (x + 2y)? <9 =x + 2y >-3 Dau bang xay ra khi _ 6 Xx+2y=-3 KH 2 2 — 21x - 36xy + 44y* = 27 — 9 Y=~1g Cách 3 Giả sử x + 2y < -3 — -x - 2y > 3

=> (-x — 2y)* > 9 => 3x2 + 12xy + 12y2 > 27 (1) Ta lại có 21x2 - 36xy + 44y2 < 27

= -21x2 + 36xy — 44y2 > —27 (2)

—18x2 + 48xy — 32y2 > 0 — (3x — 4y)2 < 0: vô lí

Do đó điều giả sử là sai Vậy x + 2y >-3 Bài toán 3 Cho các số thực x, y thỏa mãn y - 5x<-3 Chứng minh rằng 78x2 —- 48xy + 9y^ > 18 Cách 1 Hướng dẫn giải Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi y -—5x =-3 bọ; 2 2_42 78x“ -48xy+9y“^=18 (|y=2 => 2x-y=0

Ta sé tim hai s6 a, b sao cho

a(y — 5x)? + b(2x — y)2 > a.32

= (25a + 4b)x2 — (10a + 4b)xy + (a + b)y2 > 9a Ta cần có 25a+4b -(10a+4b) a+b 9a 8 48 9 18 => 2a = 7b Ta chọn a = 7;b = 2 Lời giải Ta có y - 5x < —3 =5x-y> 3= 2(5x - y)2 > 2.32 = 50x? — 20xy + 2y? > 18 (1) Ta lai c6 7(2x — y)? >0 => 28x? — 28xy + 7y? > 0 (2) Cộng theo vế của (1) và (2) ta được 78x2 — 48xy + 0y2 > 18 Cách 2 Giả sử 78x2 - 48xy + 9y^ < 18 (1) Ta lại có 5x - y > 3 = 2(5x - y)2 > 2.32 = 50x2 —- 20xy + 2y? > 18 = —50x? + 20xy — 2y? < —18 (2)

28x2 - 28xy + 7yˆ < 0 = (2x — y)2 < 0: vô lí

Vậy 78x2 - 48xy + 9y2 > 18 Bài toán 4 Cho các số thực x, y thỏa mãn 5x + 3y > 2 Chứng minh rằng 187x? + 222xy + 66y? > 28 Cách 1 Hướng dẫn giải Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi 5x+3y =2 ca 2 2 - 187x2+222xy+66y2=28 Ìy=4 =>2x+y=0

Ta sẽ biến đổi giả thiết về dạng

a(5x + 3y)2 + b(2x + y)2 > a.22

(25a + 4b)x? + (30a + 4b)xy + (9a + b)y? > 4a

Ta sé tim hai s6 a, b sao cho

Trang 9

LTS Mỗi trường

được cử tối đa 6 thí

sinh tham gia Các thí

sinh đã đạt giải Olympic toán Quốc tế hoặc các

thí sinh đã đạt giải trong cuộc thi chọn năm trước được đăng kí dự thi ngoài danh sách 6 thí sinh

của trường

Thí sinh sinh vào ngày hoặc sau ngày 01 tháng 7 năm 1986 được tham gia dự thi cuộc thi

năm 2005 (thí sinh dự thi Olympic toán Quốc tế là

học sinh dưới 20 tuổi)

Thí sinh làm một bài thi gồm từ 15 đến 20 câu trong 3 giờ, các câu hỏi được ra rất đa dạng với

nhiều mảng kiến thức khác nhau, có nhiều câu dễ và cũng có những câu rất khó để phân loại tốt

các thí sinh

Các câu hỏi được trình bày song ngữ tiếng Anh

và tiếng Trung Các thí sinh phải trả lời tất cả các câu hỏi bằng tiếng Anh hoặc tiếng Trung

Các câu hỏi được ra với các khái niệm toán học mà các học sinh phổ thông đã được học, với

kĩ năng tư duy cao và giải quyết các vấn đề khó

về đại số, hình học, số học

Không sử dụng máy tính

Cuộc thi thường diễn ra vào đầu tháng 6 và trao giải vào giữa tháng 6

Thí sinh được giải thưởng sẽ được nhận huy

chương vàng, bạc hoặc đồng

Khi có kết quả, các thí sinh có thành tích cao sẽ được nhận vào các chương trình đào tạo IMO do Học viện giáo dục năng khiếu Hồng Kông tổ chức từ tháng 7 năm trước đến tháng 3 năm sau,

sau đó sẽ được tham gia tuyển chọn học sinh dự thi Olympic toán Quốc tế

4 Đặt a,, a., , a là các số nguyên (n > 1)

thỏa mãn a, + a., + + a, = a;a a = 2005 Tính giá trị nhỏ nhất có thể của n

2 Cho tam giác nhọn ABC D là điểm trên BC thỏa mãn BD : DC = 2: 3, trong khi E là điểm trên AC théa man AE : EC = 3: 4 AD va BE cắt nhau

Bề thi chụn hoe sinh du thi

Olympic toan fluốc tế của Hồng Rông

Ngày thi: 5.6.2005 - Thời gian làm bài: 3 giở

NGUYEN NGOC HAN (Dich và giới thiệu) tai F Tinh AF BE FD FE 3 Tính giá trị của 1 2 3 2 ,44 2547 234°" 14747 242°4+2° 34+3°+3 100 +—————.———_ 100 +1002 +1007 4 Một sinh viên có một khoản tiền 10000 đô la để làm một tấm biểu ngữ hình chữ nhật cho nhà trường Chiều dài và chiều rộng (tính bằng m) của

tấm biểu ngữ phải là các số nguyên Nếu mỗi mét

chiều dài có chỉ phí là 330 đô la trong khi mỗi mét

chiều rộng có chỉ phí là 450 đô la, hỏi giá trị lớn nhất của diện tích (tính bang m2) của tấm biểu

ngữ có thể làm được là bao nhiêu?

5 Trên mặt phẳng Oxy Tìm số các tam giác có

đỉnh có tọa độ nguyên (x, y) thỏa mãn 1 <x < 4 và 1<y<4 6 Nếu m là số nguyên dương không vượt quá 1000 va phan sé “+4 I› nhân số tối giản, có m2 +7

bao nhiêu giá trị mà m có thể nhận?

7 Một tam giác có hai trung tuyến có độ dài là

9 và 12 Tìm giá trị lớn nhất có thể của diện tích tam giác (Chú ý: Đường trung tuyến của tam giác

là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung

điểm của cạnh đối diện)

8 Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương k

sao cho phương trình 2xy — 3x — 5y = k có một số

lẻ các nghiệm nguyên dương

9 Trong tam giác ABC, ⁄⁄B = 60”, ⁄C = 909 và

AB = 1 BCP, CAO và ABR là các tam giác đều ở ngoài tam giác ABC QR cắt AB tại T Tìm diện

tích của tam giác PRT

40 Tìm các bộ ba số thực (a, b, c) sao cho

phương trình Jax + by + cz| + |bx + cy + az| + |cx + ay + bz| = |x| + ly| + |z| đúng với mọi số thực x, y, Z

11 Khi n con xúc xắc đồng chất được gieo,

xác suất để có được tổng các mặt bằng 2005 và xác suất để có được tổng các mặt bằng S là bằng

nhau và bằng số dương p Tim giá trị nhỏ nhất có

Trang 10

12 ABCD va EFGH Ia cac hinh vuéng co canh bang 1, va AB // EF Phần hai hình vuông chồng lên nhau có diện tích là = Tìm giá trị nhỏ nhất của

khoảng cách giữa hai tâm của hai hình vuông đó

43 Một con kiến bò dọc theo cạnh của một hình

lập phương có độ dài cạnh 1 đơn vị Bắt đầu từ một trong các đỉnh, trong mỗi phút kiến bò được từ một

đỉnh đến đỉnh liền kề với nó Sau khi bò được 7 phút, con kiến ở vị trí cách điểm bắt đầu /3 don vị độ dài Tìm số các đường đi con kiến có thể bò

14 Trong một trường học có 1000 sinh viên,

được đánh số từ 1 đến 1000 Một nhóm gồm 500 sinh viên được gọi là “nhóm hay” nếu có một sinh viên trong nhóm có số chia hết cho số của một sinh viên khác trong nhóm đó, và gọi là “nhóm tổi” nếu điều đó không thỏa mãn Ví dụ 500 sinh viên có số từ 1 đến 500 là một “nhóm hay” bởi vì 13 là

ước của 26 và cả 13 và 26 đều thuộc nhóm đó

Một “sinh viên hay” là sinh viên không thuộc bất kì “nhóm tồi” nào Tìm trong các “sinh viên hay” một

sinh viên có số lớn nhất

15 ABCD là một hình thoi với B = 609 P là điểm nằm bên trong hình thoi sao cho ⁄APC = 120°,

BP = 3 và DP = 2 Tìm hiệu của độ dài hai đoạn

thẳng AP và CP

46 Cho n là một số nguyên dương Khi n chia cho 902, 802 và 702 thì được số dư tương ứng là

602, 502 và 402 Tìm giá tri nhỏ nhất của số dư khi

chia n cho 2005

47 5555 trẻ em, được đánh số từ 1 đến 5555,

ngồi quanh một vòng tròn theo thứ tự Mỗi em có

một số nguyên trong tay Em mang số 1 có số nguyên là 1, em mang số 12 có số nguyên là 21, em mang số 123 có số nguyên là 321 và em mang

số 1234 có số nguyên là 4321 Ta biết rằng tổng

của bất kì 2005 số của 2005 em ngồi liên tiếp nào cũng bằng 2005 Hỏi em được đánh số 5555 giữ số nguyên nào?

48 Nếu 2(Ð~9) _ bíc ~3) b(c-—a) c(b-a)

49 Đặt O là gốc tọa độ, A,, A, Ag) la cac diém

=r var>O, timr

nằm trén duéng cong y = Vx va B,, B,, Bg la

các điểm nằm trên trục Ox sao cho các tam giác OB,A;, B,B.,A.,, B.,B.A„, là các tam giác đều,

với độ dài cạnh tương ứng là l;, I„, l„ Tính giá trị

cua |, +1, +1, + + loogs-

20 Dat x, y la các góc nhọn thỏa mãn

siny = 2005cos(x + y)sinx

Tìm giá trị lớn nhất có thể của tan y BAT BAU TU DAU BANG (Tiép theo trang 7) Ta lại có 3(2x + y)ˆ > 0 = 12x2 + 12xy + 3y2 > 0 (2) Cộng theo vế của (1) và (2) ta được 187x2 + 222xy + 66y2 > 28 Cách 2 Giả sử 187x2 + 222xy + 66y2 < 28 (1) Ta lại có 5x +3y > 2 = 3(2x + y)? > 7.22 => 12x? + 12xy + 3y? > 28 = -12x2 — 12xy — 3y? < -28 (2) Cộng theo vế của (1) và (2) ta được 175x2 + 210xy + 63y2 < 0 = 7(ðx + 3y) < 0: vô lí

Vậy 187x2 + 222xy + 66y2 > 28

Các bạn hãy giải các bài tập sau theo nhiều cách như trên nhé Bài tập tự luyện Bài 1 Cho các số thực x, y thỏa mãn 49x2 + 44xy + 36y^ < 20 Chứng minh rằng 3x + 2y < 2 Bài 2 Cho các số thực x, y thỏa mãn 165x? — 72xy + 14y2 < 75 Chứng minh rằng 7x — 2y > -5 Bài 3 Cho các số thực x, y thỏa mãn 4x - Ty <-2

Chứng minh rằng 22x2 - 74xy + 63y2 > 4 Bài 4 Cho các số thực x, y thỏa mãn

3y - 2x>3

Trang 11

uy BẠN NHÂN DAN TINH ĐIỆN BIEN

S0 GIAO DUC VA DAO 140

2

2 ee | :

Từ ngày 21 đến ngày 25 tháng 11 năm 2012 đoàn công tác của hai tạp chí Toán Tuổi thơ và Toán học và Tuổi trẻ đã có chuyến công tác tới các

tỉnh Tây Bắc tìm hiểu tình hình địa phương Sơn La,

Điện Biên, Lai Châu, Yên Bái Đoàn TTT gồm có

TBT Vũ Kim Thủy, TKTS Nguyễn Xuân Mai và KTT

Mạc Thanh Huyền

Chiều ngày 21 tháng 11, đoàn gặp thầy giáo

Nguyễn Việt Cường, GÐ Trung tâm Bồi dưỡng Chính trị Mai Sơn, Sơn La (nguyên TP GD Mai Sơn), trao đổi về tình hình giáo dục của huyện

Sáng 22 tháng 11, đoàn đã đến thăm trường

THPT chuyên của tỉnh Sơn La TBT Vũ Kim Thủy

Tây Bắc và Toán Tuổi thơ

và các thành viên trong đoàn đã trao đổi với thầy giáo Cấn Văn Thịnh, Hiệu trưởng nhà trường và

các thầy cô giáo trong tổ Toán

Sáng 23 tháng 11, đoàn đã đến thăm Sở GD - ĐT Điện Biên PGĐ Sở Nguyễn Sĩ Quân cùng lãnh đạo các phòng Khảo thí, Trung học, Tiểu học, đã

trao đổi cùng TTT về các vấn đề chuyên môn,

chuyên đề, bài soạn mẫu, phù hợp với giáo viên,

học sinh miền núi TBT Vũ Kim Thủy thông báo về cuộc thi dành cho các thầy cô giáo: Thi ra đề kiểm

tra, đề thi Toán do tạp chí tổ chức và mong muốn các thầy cô giáo Điện Biên hưởng ứng TTT mong muốn đoàn học sinh Điện Biên tham gia kì thi Olympic TTT lần thứ 9 dự kiến tổ chức tại Vĩnh

Phúc 2013 và các kì tiếp theo Tạp chí dự kiến sẽ

phối hợp cùng với Sở GD - ĐT Điện Biên thí điểm sử dụng tạp chí với một trường của tỉnh có phong trào học tập tốt, qua đó nhân rộng phong trào đọc TTT

Ngày 25 tháng 11 đoàn đã gặp gỡ và trao đổi với cô giáo Đặng Thị Hồng, Hiệu trưởng trường Phổ thông Dân tộc nội trú Văn Chấn, Yên Bái Được

biết học sinh của trường đã sử dụng các cuốn tổng

tập của tạp chí một cách hiệu quả thông qua Dự án Phát triển GD THCS II của Bộ GD và ĐT Đây là lần đầu tiên tạp chí đến với Tây Bắc TTT Be THI TUYEN SINH LOP 10 CHUYEN Tink BONG NA Nam hoc: 2012 - 2013 Mơn thi: Tốn chung - Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) %x %x %x %x *x%x *x*%*⁄ xxx x%x+*%x*%x*%x*%x*x*x*% Câu 1: (2,5 điểm) 1/ Giải các phương trình: al x* — x2 — 20 = 0 b/ Vx+1=x-1 2/ Giải hệ phương trình Ị xIzIy-3I=1 y -|x|=3 Cau 2: (2,0 diém) Cho parabol y = x2 (P) và đường thẳng y = mx (d), với m là tham số

1/ Tim các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau

tại điểm có tung độ bằng 9

2/ Tìm các giá trị của m để (P) và (d) cắt nhau tại 2 điểm, mà khoảng cách giữa hai điểm này bang V6 Cau 3: (2,0 diém) 1/ Tinh P =( 1 t ) 3-1, 2-/3 2+/3 3-3 2! Chứng minh a® + b° > a3b2 + a”b, biết rằng a+b>0 Câu 4: (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH

Vẽ đường tròn tâm O, đường kính AH, đường tròn

nay cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự tại D và E

1/ Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp được đường tròn

Trang 12

TRA LOI BAN DOC

TTT nhận được nhiều câu hỏi của bạn đọc về cách thức gửi bài viết, bài giải của học sinh, thời gian gửi, bài như thế nào thì được nêu tên trên báo,

Chúng tôi xin được trả lời chung như sau

Theo quy định, TTT không nhận bài giải chung Mỗi bạn (hoặc một nhóm bạn) phải viết

bài cho riêng mình, trình bày theo ý của mình, không sao chép bài của nhau Các tập thể lớp có nhiều bạn tham gia giải bài không giống hệt nhau và có câu trả lời đúng có thể được

trao giải tập thể

Bài giải của các cá nhân cần ghi rõ họ tên, lớp, trường, huyện (quận), tỉnh (thành phố)

hoặc địa chỉ gia đình, điện thoại (nếu có) trên phong bì và trong từng bài giải Không cần

đóng dấu của nhà trường

Mỗi bài giải theo chuyên mục phải viết trên một tờ giấy riêng vì mỗi bài giải sẽ do thầy

cô giáo phụ trách chuyên mục chấm Trong cùng một phong bì có thể bỏ nhiều bài giải với

các chuyên mục khác nhau, cũng có thể bỏ bài của nhiều bạn trên cùng một số tạp chí Các bài sao chép của nhau sẽ không được xét để trao giải

Bài thi gửi về tính thời gian theo dấu bưu điện Báo ra vào ngày 8 hàng tháng, cách một

số mới giải bài kì trước, thời gian nhận bài giải đến ngày 8 tháng sau

Hàng tháng, mỗi chuyên mục nhận được hàng trăm bài giải của các bạn, phần lớn có lời

giải tốt Muốn được đăng tên các bạn hãy cố gắng làm bài ở nhiều chuyên mục Trong cùng

một chuyên mục hãy cố tìm các câu trả lời khác nhau, nếu tìm được câu trả lời độc đáo thì càng dễ được chọn nêu tên Trình bày rõ ràng, mạch lạc, để thầy cô chấm bài hiểu được đúng ý của mình

Bài viết của các thầy cô có thể gửi qua bưu điện, gửi file qua mạng và ghi rõ tham gia

chuyên mục nào Trong bài viết cần ghi rõ địa chỉ nơi công tác và địa chỉ nhà riêng, điện

thoại để Tạp chí tiện liên hệ Hàng tháng, TTT đưa lên website foanfuoitho.vn danh sách

tác giả đã gửi bài Tác giả có thể liên hệ với Tạp chí để biết bài viết có được chọn đăng hay không Một bài viết không gửi nhiều lần và không gửi cho nhiều tạp chí

Trong hai số tháng 3 và tháng 10 năm 2012, tạp chí đã đăng cùng một đề Thi giải toán

qua thư (bài 1(109)) của tác giả Đoàn Cát Nhơn Thành thật xin lỗi bạn doc!

Thư và bài gửi về: Tạp chí Toán Tuổi thơ, tầng 5, số 361 Trường Chinh, Thanh Xuân, Hà Nội hoặc email: toanfuoitho@)vnn vn

TTT

Trang 13

Bài 1(116) Biết rằng 22 là một số có 9 chữ số

phân biệt Không dùng máy tính, hãy cho biết chữ

số nào không có mặt trong 22

Lời giải Ta thấy 2 = —1 (mod 9), suy ra 229 = 23-9,22 = (—1)9.4 = —4 = 5 (mod 9) Gọi S là tổng các chữ số của 223 Khi đó S = 5 (mod ®) (1) Vì 22 là số có 9 chữ số phân biệt nên 0+1+2+3+4+5+6+7+8<S<1+2+3 +4+5+6+7+8+9hay 36 < S < 45 (2) Từ (1) và (2) suy ra S = 41 Chú ý rằng 0 + 1 + + 9 = 45, ta thấy trong số 229 khong có mặt chữ số 45 - 41 là 4

Tóm lại, số 4 không có mặt trong 223

Nhận xét Các trường THCS Lâm Thao, Lâm

Thao, Phú Thọ; THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh

Phúc có các bạn tham gia rất đông và đều cho lời

giải đúng Vì khuôn khổ bài báo, xin nêu tên một

số bạn có lời giải gọn hơn cả: Nguyễn Ngọc Linh,

9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội; Nguyễn Thanh Tâm, 7B; Bùi Duy Cường, Nguyễn Việt Hoàng, 9E, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Nguyễn Thị Tố Diệp, 7A;

Nguyễn Hữu Nghĩa, Nguyễn Quang Minh, 9A,

THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh;

Nguyễn Lan Anh, Trần Thị Thu Huyền, Đào Tuấn

Minh, 6A3; Tạ Phương Thủy, 7A3; Tạ Mai Phương, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao; Nguyễn Dương Hoàng Anh, 6C, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Nguyễn Thanh Lâm, 7C, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu, Nghệ An

HỒ QUANG VINH

Bài 3(116) Giải phương trình

(1+ (14 x°) = 16

Lời giải Điều kiện x z 0

Phương trình đã cho tương đương với 3 (1423424 1y14x3) =16 X x? xì © (x3 +3x — +t—+2 -20 =0 X X X c© (x+-D3 +3(x +2 -20 =0 X X Đặt t=x+-, x Ta được phương trình t + 3t2 —- 20 = 0 © (t— 2)(2 + 5t + 10) = 0 Nhận thấy t? +5t410=(t+3)2 +> 0 nén phương trình có một nghiệm t = 2 Suy ra x+-=2@œ(x-12=0©x=1 X

Vậy phương trình đã cho có nhiệm duy nhất x = 1

Nhận xét Khi dat t = x + suy ra

x x?—tx+ 1=0

Điều kiện có nghiệm: A = t - 4 > 0 © jt] > 2

Trong lời giải, một số bạn đã sử dụng bất đẳng

thức Côsi để chứng minh (1+ KO +x?) >16 Diéu

đó là không đúng vì x có thể là một số âm

Các ban sau đây có bài giải tốt: Quản Đức Bình, Đinh Minh Hà, 8A1; Nguyễn Thị Ngọc Huyền, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú

Thọ; Nguyễn Thị Tú Linh, Nguyễn Minh Dương,

8A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc; Nguyễn Đức Thiện, 8A, THCS Bàn Giản, Lập Thạch, Vĩnh Phúc;

Nguyễn Thị Thanh Hương, Nguyễn Văn Minh, Lê Đắc Hùng, Nguyễn Thị Phương, 8A; Nguyễn

Khánh Thi, 7A, THCS Yên Phong, Yên Phong,

Bắc Ninh; Trần Thị Thùy Linh, Nguyễn Phan

Thao Chi, 6B; Hoang Thi Ngoc Thuy, 8B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Phùng Thái Cường, 8B, THCS Hòa Hiếu II, thị xã Thái Hòa, Nghệ An; Trương Hoàng Việt, 8/4

THCS Thị trấn Cầu Quan, Tiểu Cần, Trà Vinh

NGUYEN ANH DUNG

Trang 14

Bài 4(116) Cho a, b là các số thực dương thỏa

mãn a + b = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a b + Vb? +1 a? +1 Lời giải Với mọi số thực dương x, ta có P- 2 — vx3 +4 = V(x + N(x? —-X +1) ——= _ x* +2 > Từ đó, kết hợp với bất đẳng thức Bunhiacopxki a b \a(b2+2) xjb(a2+2) cho hai bộ số và (|a(b2 + 2); xjb(a? + 2)), với a + b =4, ta có p=—3_„ b xa _8 b Nb°+1 va3+1 (bÊ+2 a2+2 2 2 2 =2 a(b“ +2) b(a“ +2) 5 T 3 >2—2 ee a(b“ +2) +b(a“ +2) 2 32 8 > 8 4 “ab(a+b)+2(a+b) ab+2 “a+b2,2 7 2 (do áp dụng bất đẳng thức Cési cho hai số dương) 3

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là =

Nhận xét Mấu chốt của bài này là đánh giá mẫu và sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Đây

là bài tốn hay và khơng quá khó vì vậy có đông

đảo các bạn tham gia giải bài Hầu hết các lời giải đều đúng Tuy nhiên, có một số lập luận quá dài và

không tìm dấu bằng xảy ra

Các bạn sau đây có lời giải tốt: Ngô Mai Hương,

8C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nguyễn Thu Giang, 7H1, THCS Lê Lợi, Hà Đông;

Nguyễn Thanh Lan, Nguyễn Ngọc Linh, Nguyễn Thúy Hằng, 9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội; Nguyễn Hữu Mai Linh, 7A1; Nguyễn

Đức Thuận, Vũ Thùy Linh, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Hoàng Thị Ngọc Thúy, 8B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Nguyễn Thanh Tâm, 7B, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh

Tường; Nguyễn Thị Nga, Nguyễn Thị Tâm, 8A1,

THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc; Đỗ Nguyễn

Vĩnh Huy, 9A1, THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa, TP Hồ Chí Minh; Nguyễn Trường Phong, 9A1,

THCS Hồng Bàng, Hồng Bàng, Hải Phòng;

Nguyễn Ngọc Quyền, 9A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh

CAO VĂN DŨNG

Bài 5(116) Có một khu văn phòng gồm 12 phòng làm việc Biết rằng hai phòng có chung

cạnh đều thông nhau Hỏi có bao nhiêu cách đi từ

phòng A sang phòng B mà ởi qua đúng 7 phòng? B A

Lời giải Để đi từ phòng A đến phòng B ta phải

đi qua phòng €C và phòng D (xem hình dưới) B A Ta thay Có 2 cách để đi từ phòng A dén phong C Có 2 cách để đi từ phòng C đến phòng D Có 2 cách để đi từ phòng D đến phòng B Vậy có tất cả 2 x 2 x 2 = 8 cách để đi từ phòng A qua 7 phòng đến phòng B

Nhận xét Đây là bài tốn khơng khó, có rất nhiều bạn tham gia giải bài Các bạn sau có lời giải tốt: Hoàng Thị Hạnh, Lê Thị Anh, Nghiêm Thị Mai, Nguyễn Thị Phương Nhung, Mẫn Thị Phương

Thư, 6A3; Nguyễn Thị Thanh Tâm, Nguyễn Vân

Anh, 6A2, THCS Yên Phong, Yên Phong; Nguyễn Quang Huy, 9A2, THCS Từ Sơn, Từ Sơn, Bắc Ninh; Nguyễn Phương Quỳnh, 7A2; Tập thể lớp 8A1, THCS Yên Lạc, Yên Lạc; Nguyễn Thanh Tâm, 7B; Nguyễn Quốc Nghiên, 8A; Phan Đăng Nam, 9C; Trần Công Anh, Bùi Duy Cường, 9E, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Phan Duy Phúc, 9C; Trần Hữu Bình Minh, 8C, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Phạm Thị Ngọc Hà, Nguyễn Việt Hoàng, 9/3, THCS Lê Quý

Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương; Tập thể lớp 7A1,

Trang 15

8A1, 8A3, THCS Lâm Thao, Lam Thao, Phú Thọ;

Nguyễn Thu Giang, 7H1, THCS Lê Lợi, Phú Lãm, Hà Đông; Nguyễn Thanh Lan, 9B, THCS Nguyễn

Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội; Trần Thị Hương

Ly, 7B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà

Tĩnh; Đỗ Nguyễn Vĩnh Huy, 9A1, THPT chuyên

Trần Đại Nghĩa, TP Hồ Chí Minh; Vũ Thu Trang, Bùi Đức Nhật, Nguyễn Văn Mạnh, 6A; Hoàng Thị Thu Hương, Nguyễn Thị Quỳnh Nga, 6B, THCS Đại Thắng, Tiên Lãng, Hải Phòng

NGUYEN NGOC HAN

Bài 6(116) Cho tứ giác lồi ABCD Biét rằng

AB.CD = AD.BC Chứng minh rằng

ABD + ACB = ACD + ADB

Lời giải Lấy điểm E sao cho các tam giác

AEC, ADB đồng dạng (1) A E

C

Dễ thấy các tam giác AED, ACB đồng dạng

Do do PEA? AED BC AB - AGE (2) ` AD DC Tu (2), chu y rang —— (2) ¥ Tand 7 Be = —, taco Suy ra DE = DC

Do đó ADCE cân tại D nên DCE = DEC (3) Vậy ABD + ACB = ACE + AED (do (1) và (2)) = ACD —DCE + AEC +DEC

=ACD + AEC (vi (3)) = ACD + ÁDB (vì (1) Nhận xét Không bạn nào vẽ hình chính xác DE BC _ pc BC Để có một hình vẽ chính xác, ta có thể làm như sau:

+ Vẽ tam giác ABD không cân tại A

+ Vẽ đường phân giác trong AX, đường phân giác ngoài AY của tam giác ABD

+ Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa A, lấy

điểm C thuộc đường tròn đường kính XY sao cho tứ giác ABCD lồi

+ Tứ giác ABCD được vẽ như trên thỏa mãn

điều kiện

Các bạn sau đây có lời giải ngắn gọn: Phạm Thị Ngọc Hà, 9/3, THCS Lê Quý Đôn, TP Hải Dương,

Hải Dương; Vũ Thùy Linh, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Mẫn Bá Tuấn, 8A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh

Các bạn sau đây cũng có lời giải tốt: Nguyễn Trường Phong, 9A1, THCS Hồng Bàng, Hải

Phòng; Nguyễn Trọng Đức, Nguyễn Kiểu Linh, Nguyễn Huy Tuyển, 9A3, THCS Lâm Thao, Lâm

Thao, Phú Thọ

NGUYEN MINH HA

Thi giải toGn qua thu

Nguyén Ngoc Linh, Nguyén Thanh Lan, 9B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội;

Nguyễn Thanh Tam, 7B; Bui Duy Cường, 9E, THCS Vinh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Trương Hoàng Việt, 8/4 THCS Thị trấn Cầu Quan, Tiểu Cần, Trà Vinh; Vũ Thùy Linh, 8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Hoàng Thị Ngọc Thúy, 8B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà

Tĩnh; Đỗ Nguyễn Vĩnh Huy, 9A1, THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa, TP Hồ Chí Minh; Nguyễn Trường Phong, 9A1, THCS Hồng Bàng, Hồng Bàng, Hải

Phòng; Phạm Thi Ngoc Ha, 9/3, THCS Lê Quý

Đôn, TP Hải Dương, Hải Dương

MICROSOFT VIỆT NAM cùng BAN CHÍ ĐẠO PHONG TRÀO THỊ ĐUA “XÂY DỤNG TRƯỜNG

HỌC THÂN THIỆN, HỌC SINH TÍCH CỤC” của Bộ Giáo dục & Đào tạo và tạp chí

Trang 16

Trên một đường tròn lấy 2012 điểm phân biệt là Ay, Ap.» 1 Agg4g theo thar tu

chiều kim đồng hồ Ta thực hiện việc nối các điểm với nhau như sau: Bắt đầu từ

A, nối với A;; Tiếp theo nối A;; với A Cứ tiếp tục như thế, Aso:;- Sau đó, ta tiếp tục nối A„ax; với Ao, rồi Ao với A¿o

qua 9 điểm (theo thứ tự kim chiều đồng hồ) Sau một số bước ta sẽ nối A.„.ax với

A, Hỏi hình sao này có bao nhiêu cạnh?

ta nối A5001 với

Nghĩa là ta luôn bỏ

THÁI NHẬT PHƯỢNG

(GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa)

® 4£ qua CHIN DO! DIEN TICH TAM GING tro sẽ +16

Phân tích Giả sử dựng được đường thẳng d

qua | khác AM chia tam giác ABC thành hai phần có cùng diện tích + Xét trường hợp d cắt cạnh BC tại P và cắt cạnh CA tại Q A BP M C

Vì M là trung điểm BC nên Sagm = Samc

Mà Sappo = Scpq NEN Sauic = Scpo:

Suy ra Savig = Spa: Do dé AP // MQ Theo định lí Talét ta có —— CA Vậy c =_-CA (1) Dựng hình Dựng điểm Q thuộc tia CA thỏa mãn (1) Dựng P thuộc AB sao cho AP // MQ Ta được đường thẳng PQ qua I cần dựng Chứng minh Từ (1), kết hợp với AP // MQ suy IM CQ MQ a —==~—=— vàÍiMQ = [AP IA CA AP Do đó AIMQ œ AIAP (c.g.c) =MIQ = AIE Vay I, P, Q thang hàng

Lai vi IM < IA nên cQ =TẠ.CA <CA,

Do đó điểm Q thuộc cạnh CA Vì AP // MO nên CE -.ÂP _ AI CM ~ MQ ~ 1M" Ma Al ein nén €P 2—cp<cg 2 CM Do đó P thuộc cạnh BC

Biện luận Ta có thể dựng được đường thẳng d

qua I cắt cạnh AB tại Q và cạnh BC tại P thỏa mãn

BQ = "BA va AP // MQ

Vậy bài tốn ln dựng được và có 2 nghiệm

hình

Nhận xét Kì này là một bài toán dựng hình Có lẽ không phải sở trường nên không có nhiều bạn

tham gia Phải chăng chúng ta đang yếu về dựng

hình?

Phần thưởng kì này trao cho bạn: Phí Thị Nhung, 9A, THCS Han Thuyén, Luong Tai, Bac

Ninh; Trần Thị Bích Ngọc, 9A, THCS Lê Lợi, Thị

xã Tam Diệp, Ninh Bình

Trang 17

ĐẾN THĂNM CÔ GIÁO CíÏ PHƯƠNG MAI ôm nay thám tử Sêlôccôc quyết

định đi thăm một cô giáo cũ Cùng ởi với ông còn có hai người

bạn nữa Từ ngày nghỉ hưu, cô giáo chuyển nhà ra ngoại ô, cách trung tâm thành phố

không xa lắm Vừa lái xe, thám tử vừa nhớ

lại những ngày còn là học sinh lớp 7 Năm

đó, cô Mai là giáo viên dạy văn và chủ

nhiệm lớp Cô dạy rất hay, lại luôn hiểu tâm lý học trò nên bạn nào cũng kính trọng và

quý mến Là một cậu bé hiếu động, tinh

nghịch nên thám tử Sêlôccôc có khá nhiều

kỉ niệm với cô Giờ đây, những câu chuyện

trẻ thơ ngày ấy bỗng ùa về và hiện lên thật

rõ nét Quãng đường như ngắn lại bởi những suy nghĩ miên man Chẳng mấy chốc xe đã

tới cánh cổng màu nâu Nhà cô Mai đây rồi!

Thám tử và hai người bạn chưa kịp bấm

chuông thì cô Mai đã xuất hiện Cô già đi nhiều, tóc bạc, lưng còng nhưng nụ cười

và ánh mắt vẫn như xưa Ấm áp, đôn hậu biết baol

Mấy chục năm trôi qua, cô Mai không thể

nhận ra từng học trò cũ Thám tử và hai

người bạn đã nhắc lại họ tên, trường lớp,

năm học Rồi cô Mai dần dần nhớ ra từng

cậu học trò tinh nghịch năm nào Cô lấy từ

tủ sách 2 bức ảnh lớn:

- Bức này là ảnh lớp mình ngày ra trường

Thỉnh thoảng cô vẫn xem lại đấy

Thám tử Sêlôccôc thích thú ngắm từng

gương mặt bạn bè Ông reo lên khi nhớ ra

tên từng bạn trong lớp Chỉ vào bức ảnh thứ hai, thám tử hỏi cô Mai:

- Thưa cô, còn đây là ảnh lớp nào ạ? - À, đó là lớp sau bọn em hình như 4,5 năm thì phải Cô cũng có rất nhiều kỉ niệm với lớp ấy Rồi cô Mai vui vẻ chỉ từng người trong ảnh Ai cô cũng nhớ tên và nhớ cả tính nết nữa

Mấy cô trò đang nói chuyện thì chuông

điện thoại reo vang Cô Mai nghe máy rồi nói:

- Hôm nay quả là một ngày tốt lành! Mấy

học trò cũ vừa gọi điện, hẹn đến thăm cô Các bạn ấy đang trên đường tới đây, chắc mươi phút nữa là tới

- Thế a? Mấy bạn ấy cùng lớp em hay lớp

khác a?

- Lớp khác Lớp mà cô vừa cho em xem

Trang 18

Một lúc sau, bốn học sinh cũ của cô Mai xuất hiện Tặng hoa và quà cho cô xong, một người hỏi: - Thưa cô, cô có nhận ra từng đứa chúng em không a? Cô Mai chưa kịp trả lời thì một người khác đã nói đùa: - Cô mà nhận ra thì sẽ có thưởng ạ! Phần thưởng bí mật Cực kì thú vi day a! Tất nhiên là sau mấy chục năm cơ giáo © Xt qua ALLA KE KH

Rất nhiều bạn tham gia và bạn nào cũng

trả lời đúng: Tanki là kế khả nghỉ Mônđôva

là một nước thuộc châu Âu mà anh ta lại nói

Mai chẳng thể nhận ra từng học trò cũ của mình Thấy cô bối rối, thám tử Sêlôccôc đã nhanh chóng trổ tài thám tử của mình để

giúp cô Và kết quả là cô Mai đã được nhận

phần thưởng bí mật mà nhóm học trò vừa

tuyên bố

Đố các thám tử Tuổi Hồng biết: Vì sao

Sêlôccôc lại giúp được cô Mai nhận ra từng học trò cũ? Ông đã dựa vào đâu để làm việc

đó?

Á NGHI? ere ss 116

nước này thuộc châu Á Hiểu biết về vị trí địa

lí của các quốc gia luôn giúp ích cho mỗi

chúng ta, đúng không các bạn?

Chúc mừng những bạn sau được nhận

phần thưởng kì này: Trần Quế Nhi, 7l, THCS

Nguyễn Công Trứ, Hà Nội; Phạm Thị Thu Hoài, 7A, THCS Tam Tường, Vĩnh Bảo, Hải

Phòng; Phạm Thanh Loan, 8A, THCS Lê Hữu Lập, thị trấn Hậu Lộc, Thanh Hóa; Nguyễn Vĩnh Tài, 7D, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ An; Nghiêm Sỹ Hoàng, 6B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh

Thám tử Sêlôccôc

Trang 19

Hen vdi tigng Han

ThS NGUYEN VU LOAN

Bai 36 AB EMA WA Tôi đi máy bay đến Hà Nội

'Từ mới

482 zšnme: [châm ma] thế nào 4#zuò: [tọa] ngồi, đáp, đi

Ÿ{# qìchẽ: [khí xa] xe ô tô, xe buýt 3# kãichẽ: [khai xa] lái xe ô tô

1% ở qìchẽzhàn: [khí xa trạm] bến xe, trạm xe bus ï[fỊ hénèi: [hà nội] Thành phố Hà Nội

HARSHA TH hGzhiming shi: [hồ chí ming thị] Thành phố Hồ Chí Minh

Ƒˆ Hl guăngzhõu: [quảng châu] Thành phố Quảng Châu

In J jianada: [gia nã đại] nước Canada †# x#l|F àodàlìyà: [áo đại lợi á] nước Úc

Mẫu câu và hội thoại

1 A: fREAHIAA 2 (Nizénme qh Hénéi?) Ban di bằng gì đến Hà Nội B: RAB KALE (W6 zu feji qu.) Tôi đi bằng máy bay

B: HUA ABRRAKS MH (Jiéjie zud giché qu Guangzhou.) Chi di xe buyt tdi Quang Chau

Đọc và nối

ARAKI a) Me di bang xe buyt

2)12® E2 am b) Bạn đi Úc bằng gì?

3) HGH AB AK Uk FEE RR c) Anh trai lái xe đi Thượng Hải

4)1818214®+ d) Chị gái lái xe đi thành phố Hồ Chí Minh

5) PEA AIA KAI ? e) Bồ cậu đi bằng gì đến Canada?

6) See CKPAMER f) B6 di may bay dén Canada

Trang 20

THACH DAU! THACH DAU DAY!

TRAN DAU THU MOT TRAM LINH HAI

Người thách đấu Dương Đức Lâm, SV K59 CLC-Toán Tin, Đại học Sư phạm Hà Nội Bài toán thách đấu Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng: | a b Cc Ì 14abc + + + > b+c c+a a+b (a+b)(b +c)(c+a) Xuất xứ Sáng tác Thời hạn Trước ngày 8.2.2013 theo dấu bưu điện RB + aw Ket qua (TTT2 sé 116) Lời giải 2 x“ -12x +9 2 2 ors (49 +.2(x? 12x +9) =7-~ —*** (2) Điều kiện lề: +48x—27 >0 2 4

2x — 24x +6720 + Nếu x2 -12x +9 > 0 thi VT (2) > VP (2) (loại)

Đặt a = V2x2 + 48x — 27; b = A|2x2 —24x + 67 + Nếu xế ~12x + 9 < 0 thì VT (2) < VP (2) (loại) Suy ra a2 + b2 = 4x2 + 24x + 40 (1) + Nếu x2 -12x +9 = 0 thì VT (2) = 2 = VP (2)

Từ phương trình đã cho ta có a + xb = 4x + 6> a = 4x + 6- bx Thay vào (1) ta được

(4x + 6 — bx)? + b? = 4x2 + 24x + 40

Kết hợp với điều kiện ta được x = 6— 32/3

Vậy phương trình đã cho có tập hợp nghiệm là © 16x2 + 36 + b2x? + 48x — 12bx — 8bx? + b? = 4x? S= (12#3v2 6-33}

+ 24x + 40 2

> (x? + 1)b* — (8x2 + 12x)b + 12x? + 24x - 4 =0 Nhận xét Bài toán này yêu cầu giải phương

c „_ ÔXẺ + 12w ~2 lại kì sau - -

Trang 21

CUOC THI DANH CHO CAC THAY CO GIAO TOAN

THI RA DE KIEM TRA, DE THI TOAN

I MUC DICH CUOC THI

- Phổ biến, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy toán Tiểu học và THCS giữa các thầy cô giáo

trong cả nước

- Phát hiện những nhà giáo tâm huyết, có phương pháp sư phạm, có kĩ năng giảng dạy tốt môn toán

- Tạo điều kiện để các thầy cô giáo giao lưu, học hỏi, nâng cao tay nghề

II ĐỐI TƯỢNG DỰ THỊ

- Các thầy cô giáo đang giảng dạy toán Tiểu học, THCS, các cán bộ quản lí giáo dục và các thầy cô giáo từng dạy toán Tiểu học, THCS trong toàn quốc

Ill NOI DUNG VA THỂ THỨC THI

- Ra dé kiểm tra học kì, kiểm tra một tiết ở cuối mỗi chương, kiểm tra 15 phút các lớp 6, 7, 8

và 9 ở THCS, đề kiểm tra giữa học kì, cuối học kì các lớp 2, 3, 4 và 5 ở Tiểu học, đề thi học

sinh giỏi cấp trường, cấp huyện các lớp 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9, cấp tỉnh các lớp 5 và 9 - Đề ra được đánh máy trên khổ giấy A4, có đáp án va thang điểm chỉ tiết

- Đề dự thi chưa từng đăng trên sách, báo và chưa từng là đề của một cuộc thi nào

- Mỗi người tham gia cuộc thi của cấp học nào thì phải có đề của tất cả các lớp của cấp học

đó (Ví dụ ra đề cho cấp THCS thì cần ra cho mỗi lớp 6, 7, 8 và 9 một đề, tức là ít nhất phải có 4 đề) Mỗi người có thể gửi dự thi nhiều bộ đề

IV GIẢI THƯỞNG

- Cuộc thi trao giải cá nhân và giải tập thể (dành cho đơn vị có nhiều thầy cô dự thi) gồm Bằng

chứng nhận, Cup, tiền thưởng

- Những đề được đăng trên Tạp chí được hưởng nhuận bút

- Bài viết tham dự thuộc bản quyền công bố tác phẩm của Toán Tuổi thơ

V THỜI HẠN NHẬN BÀI VÀ TRAO GIẢI

- Ngoài phong bì đề: Bài dự thi ra đề kiểm tra, đề thi toán

Tạp chí Toán Tuổi thơ, tầng 5, số 361 Trường Chinh, Thanh Xuân, Hà Nội hoặc email: toantuoitho@vnn.vn - Thời hạn nhận bài: Từ tháng 1 năm 2013 đến hết ngày 31 tháng 12 năm 2014

theo dấu Bưu điện

- Danh sách đoạt giải dự kiến được đăng trên Tạp chí số tháng 3 năm 2015 và

trang web: toantuoitho.vn

- Giải thưởng dự kiến được trao vào tháng 6 năm 2015

Ban tổ chức mong các thầy cô giáo, Ban Giám hiệu các trường, các cán bộ

quản lí và các Sở Giáo dục - Đào tạo tham dự, cổ vũ, động

viên cuộc thi này

Toán Tuổi thơ

Trang 22

KI 7

Bạn hãy thay mỗi chữ cái bởi một chữ số sao cho được phép tính

đúng, biết rằng các chữ cái khác nhau biểu thị các chữ số khác nhau

AT TED

+ EAST SNIP + HAS SEND , DONALD WEST NIPS GOOD MORE GERALD SOUTH PINS TASTE MONEY ROBERT

TRƯƠNG CÔNG THÀNH (Hà Nội) @ Két qua KI 5 (TTT2 số 116) 96233 + 62513 = 158746 7441 + 7021 = 14462 94553 + 98821 = 193374 5227 + 7248 = 12475

Các ban được thưởng kì này: Phạm Thị Hà,

8D, THCS Lê Quý Đôn, TP Lào Cai, Lào Cai; Nguyễn Ngọc Sơn, 6B, THCS Nguyễn Thượng

Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội; Phạm Bảo Nguyên,

9A5, THCS Nguyễn Đình Chiểu, Châu Thới, Châu Đốc, An Giang; Hoàng Ngọc Hải Linh, 7A, THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mĩ, Hưng Yên; Hà Thị Kiều Oanh, THCS Tân Long, TP Thái Nguyên, Thái Nguyên

TTT cũng khen các tập thể và cá nhân sau giải tốt: Dương Lâm Anh, 6A2; Tập thể lớp 7A; THCS Yên Phong; Nguyễn Đức Nam, 6C, THCS Trung Nghĩa, Yên Phong; Nguyễn Sĩ Đăng, 9A,

THCS Lê Văn Thịnh, Gia Bình, Bắc Ninh; Trần Thị Quỳnh Trang, 8C, THCS Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh; Nhóm bạn Trần Thiện Nam,

Nguyễn Thanh Lan, Nguyễn Ngọc Linh, 6B,

THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội

HOÀNG NGUYÊN LINH

Trang 23

AN S Danhchocacnha

toan hoc nho

SO HOC VA NHUNG CHU THO

PGS.TS LÊ QUỐC HÁN (Bai hoc Vinh)

ThS LÊ THỊ NGỌC THÚY (Cao đẳng Sư phạm Nghệ An)

1 Những chú thổ và dãy số Fibonaci Leonardo Fibonaci (1170 - 1250) là nhà toán

học thiên tài Italia thời trung cổ Ông đã để lại

nhiều tác phẩm giá trị cho kho tàng toán học

nhân loại Nổi bật nhất là tác phẩm Liber Abaci

được hoàn thành vào năm 1202 Trong tác phẩm

này ông trình bày nhiều kết quả sâu sắc về số

học và đại số sơ cấp, vượt quá tầm hiểu biết của

các học giả cùng thời Một trong những bài toán được trình bày trong tác phẩm Liber Abaci là bài

toán sau đây về những chú thỏ

Bài toán 1 Một cặp thỏ mỗi tháng sinh một lần, cho một cặp thỏ con (một đực, một cái) Mỗi

cặp thỏ con mới sinh ra sau hai tháng lại bắt đầu

sinh một cặp thỏ con nữa Giả sử tất cá các thỏ

sinh ra đều sống Hỏi nếu một cặp thỏ con nuôi

từ tháng giêng và đẻ con vào tháng hai thì cuối

năm sẽ có bao nhiêu cặp thỏ tất cả?

Sử dụng ngôn ngữ toán học ngày nay, ta có thể trình bày lời giải của Fibonaci như sau: Kí hiệu Fn

là cặp thỏ có được sau tháng thứ n kể từ đầu năm

Trong tháng giêng có một cặp thỏ, F¿=1

Vào đầu tháng hai, cặp thỏ này đẻ ra một cặp

thỏ mới Vậy F, = 2

Vào đầu tháng thứ ba, cặp thỏ đầu tiên đẻ ra

cặp thỏ thứ ba, còn cặp thỏ thứ hai mới một tháng

tuổi nên chưa đẻ được Vậy F2 = 3

Sau tháng thứ n + 1 sẽ có F„ cặp thỏ ban đầu

cộng thêm F„ _ ¡ số cặp thô sau tháng thứ n - 1

đẻ ra, vậy F„„ 4= Fn + Fn_ ¿ (1)

Dùng công thức (1), tính được F„ = Fa + F- = 3

+2=5,F, =F„+Fa=5+3=8, F¿ = 13, F„ = 21,

F, = 34, Fy = 55, F,, = 89, F,, = 144, F,, = 233

Như vậy cuối năm có tất cả 233 cặp thỏ Từ lời giải bài toán trên, ta đưa ra định nghĩa: Dãy số F,„ thỏa mãn các điều kiện Fo = F¿ = 1, F;

=-2vaF,,,=F,+F._

dương được gọi là dãy sé Fibonaci

Người ta đã chứng minh được rằng ¡: với n là số nguyên n n " 1+5 _fƒ1-w5 , vn >1 (2) Vil 2 2 Nếu đặt a=ˆ 2 Ổ,p= “XỔ tị a + b =1, ab = —1 Do đó a và b là nghiệm của phương trình x? -x - 1=0 (3) 1 —~(a" —b") (4) V5

Phương trình (3) được gọi là phương trình đặc

trưng của dãy số Fibonaci Công thức (4) được gọi là công thức Binet

Lời giải Với k > 1, ta có

Trang 24

luận về sự sinh trưởng của các cành trên trên một cây non như sau: Một cây non sau hai năm mọc ra một cành mới, năm thứ ba cành mới chưa sinh trưởng còn cành cũ đâm chổi, sau đó cành cũ

đâm chồi cùng với cành đã “nghỉ ngơi” một năm

để sinh trưởng, cành mới sinh năm sau đó thì

năm sau nghỉ ngơi để sau đó sinh trưởng Quy

luật này trong sinh học gọi là Định luật Lut Weige Căn cứ vào quy luật này, số lượng của một cành cây qua các năm chính là dãy số Fibonaci: 1, 1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, Từ công thức (2), ta thấy dãy số Fibonaci liên 5 -1 2 vàng và được ký hiệu bởi ọ Như vậy = = ~ 0,618 Thực ra ọ chính là số đo cạnh của thập giác đều nội tiếp đường tròn đơn vị (bán kính bằng 1)

* Trong kiến trúc người ta cho rằng hình chữ

nhật có tỈ số chiều rộng và chiều dài bằng ọ là

hình chữ nhật cân đối nhất Nó được gọi là hình

chữ nhật vàng

Một vài ví dụ khác: Điện thờ Parthenon của thành phố Athens (Hy Lạp) hay Kim tự tháp vĩ đại ở Giza (Ai Cập) được xây dựng từ 4000 năm trước

công nguyên đều có tỈ số giữa chiều cao của một mặt với nửa cạnh đáy là tỉ số vàng

2 Nguyên lí Điríchlê - Những chú thổ và

những chiếc lồng

Nguyên lí Điríchlê mang tên nhà toán học thiên tài người Đức Peter Gustav Lenjeune Dirichlet

(1805 - 1859) được phát biểu khá đơn giản như

sau: Không thể nhốt 7 chú thô vào 3 chiếc lồng mà mỗi lồng có không quá 2 chú thỏ Nói cách khác nếu nhốt 7 chú thỏ vào 3 chiếc lồng thì tồn

tại ít nhất 1 lồng có từ 3 chú thỏ trỏ lên

Nguyên lí Điríchlê có nhiều ứng dụng trong giải

toán số học, đại số tổ hợp, hình học hữu hạn

Trong bài viết này chúng tôi chỉ trình bày một số

ứng dụng của nguyên lí Điríchlê trong giải toán số học Các bài toán này thường gặp dưới dạng:

Trong n + 1 số tự nhiên bất kì luôn luôn tìm được hai số có cùng số dư khi chia cho n (hoặc tương

đương hiệu của chúng chia hết cho n)

Bài toán 4 Chứng minh rằng trong 101 số

nguyên, tồn tại hai số có hai chữ số tận cùng

giống nhau

Lời giải Chia các số a¡, 8, , 8;o; cho 100, ta được 101 số dư r¿, r., , ro; với 0 < r, < 100 Theo nguyên lí Điríchlê, tổn tại hai số dư r, và r quan chặt chẽ với số Số này gọi là TỈ số

sao cho i < j và r; = r Khi đó aị — 8i chia hết cho

100 nên a, và a, có hai chữ số tận cùng giống

nhau

Bài toán 5 Chứng minh rằng có thể tìm được

số tự nhiên có dạng 20122012 2012 (viết nhiều số tự nhiên 2012 liên tiếp nhau) chia hết cho 2013

Lời giải Xét dãy 2014 số 2012, 20122012, ,

20122012 2012 (số cuối cùng có 2014 bộ số

2012) Đem chia mỗi số này cho 2013, ta nhận được các số dư thuộc tập hợp {0, 1, 2, , 2012)

Có 2014 số chia cho 2013, được 2014 số dư, trong đó có nhiều nhất 2013 số dư khác nhau

Theo nguyên lí Điríchlê, tồn tại 2 số a và b gồm n

và m bộ 2012 chia cho 2013 có cùng số dư Với m > n ta có a—b = 20122012 2012.10 ^n (gồm m - n bộ 2012) chia hết cho 2013 Ma 104" và 2013 nguyên tố cùng nhau nên 20122012 2012 (gồm m - n bộ 2012) chia hết cho 2013

Bài toán 6 Cho a, n là các số tự nhiên sao cho

a,a+n,a+ 2n đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh n chia hết cho 6

Lời giải Vì a, a + n, a + 2n đều là các số nguyên tố lớn hơn 3 nên chúng là những số lẻ và không chia hết cho 3

Suy ra n = (a + n) - a là số chẵn nên n chia hết

cho 2

Theo nguyên lí Điríchlê, nếu chia ba số a, a + n,

a + 2n cho 3 thì nhận được 2 số dư bằng nhau

Xây ra một trong 3 khả năng sau:

Khả năng 1 Nếu a và a + n chia cho 3 có cùng

số dư thì n = (a + n) - a chia hết cho 3

Khả năng 2 Nếu a + n và a + 2n chia cho 3 có

cùng số dư thì n = (a + 2n) — (a + n) chia hết cho 3

Khả năng 3 Nếu a và a + 2n chia cho 3 có

cùng số dư thì 2n = (a + 2n) - a chia hết cho 3 Khi

Trang 25

I Kiến thức cần nhớ

4 Nếu đại lượng y phụ vào đại lượng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định được chỉ một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số của x và x được gọi là biến số

2 Hàm số thường được cho bằng bảng hoặc

công thức

3 Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các

điểm biểu diễn các cặp giá trị tương ứng (x ; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ Oxy

4 Hàm số có dạng y = ax + b với a z 0 được gọi là hàm số bậc nhất đối với biến x

5 Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x và có tính chất:

Hàm số đồng biến trên R khi a > 0, nghịch biến

trên trên R khi a < 0

6 Góc œ tạo bởi đường thẳng y = ax + b (a #

0) và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong

đó A là giao điểm của đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đường thẳng y = ax + b và có tung độ dương Y? y=ax+b 4 / 9 x Trường hợp a > 0 y = ax +y y=ax+b xX Trường hợp a < 0 xy 7 a được gọi là hệ số góc của đường thẳng y =ax + b (a z 0) 8 Với đường thẳng y = ax + b (d) và y=ax + b (d'), trong đó a và a' khác 0, ta có:

ÔN TẬP CHUONG II (DAI SO 9)

HAM SO BAC NHAT NGUYEN VAN CAN

(GV.THPT Định Thành, Đông Hải, Bạc Liêu) a # a' © (d) và (d) cắt nhau; a = a và b z b (d) và (d) song song với nhau; a = a và b = b` © (d) và (d) trùng nhau; a - a =— †1 c (d) và (đ) vuông góc với nhau 9 Vẽ đồ thị hàm số y = ax chỉ cần xác định một điểm A(1; a) rồi nối A với O Đường thẳng OA là đồ thị của hàm số y = ax 40 Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a z 0) ta có thể xác định hai điểm A(0; b), B(—Ð; 0) Đường a thẳng AB là đồ thị của hàm số y = ax + b II Bài tập 4 Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất? a) y = 2x? - 3x +1 ; b)y=-3x+1; c)y=1; e) y=14+ V5x 2 Với những giá trị nào của m thì hàm số sau là hàm số bậc nhất? _ 2010 1m 7 a — x+2011;b) y= X+—; )y m-4 dy 2+m 4 c) y=V¥5—m(x+1); d) y= (m*-1)x +5 3 Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = 3x + 6G; b) y=-2x+5; c) y= 7x - 10; d)y=—x-2 4 Cho hai hàm số bậc nhất y = 2x - 5 và

y=2- 3x Hàm số nào là hàm số đồng biến?

Hàm số nào là hàm số nghịch biến? Vì sao?

5 a) Với những giá trị nào của m thì hàm số bậc nhất y = (m - 1)x + 3 đồng biến? b) Với những giá trị nào của k thì hàm số bậc nhất y = (5 - k)x + 1 nghịch biến? m-†1 6 Cho đường thẳng y= x+3 (d,) và đường thẳng y = 3 x-1 (d.) với m # 1 m+1

Tìm điều kiện m để cho (d;) song song với (d.)

7 Với những giá trị của m thì đồ thị các hàm số y= 2x + (m +3) và y = 3x + (5 — m) cắt nhau tại một điểm trên trục tung?

Trang 26

trùng nhau y = kx + (m - 2), (kz 0) va y = (5 — k)x + (4 - m), (kz 5)

9 Cho hai hàm số bậc nhất y = (k +1)x + 3 và y=(3- 2k)x +1

a) Với những giá trị nào của k thì đồ thị của các hàm số trên là hai đường thẳng song song với nhau? b) Với những giá trị nào của k thì đồ thị của các

hàm số trên là hai đường thẳng cắt nhau?

c) Hai đường thẳng trên có trùng nhau được không? Vì sao? 40 Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ` 1 1 y=2x-3vay 5 X 2 Có nhận xét gì về vị trí tương đối của hai đường thẳng trên? 41 Vẽ đồ thị các hàm số y = -2x và y = -2x + 1 trên cùng một hệ trục tọa độ

a) Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng trên với hai trục tọa độ?

b) Có nhận xét gì về vị trí tương đối của hai đường thẳng trên?

412 a) Vẽ đồ thị các hàm số y = x (d) va

y = -x (đd) trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Có nhận xét gì về hoành độ và tung độ của các điểm thuộc đường thẳng (d), hoành độ và tung độ của các điểm thuộc đường thẳng (d’)?

c) Nhận xét về vị trí của đường thẳng (d) trong góc phần tư thứ I và vị trí của đường thẳng (d)

trong góc phần tư thứ II

43 Xác định hàm số y = ax + b Biết:

a) a = 2 và đồ thị hàm số cắt trục hoành tại

điểm có hoành là 3 Có nhận xét gì về góc giữa

đường thẳng đó với tia Ox?

b) a = 3 và đồ thị hàm số đi qua điểm (2; 1) Có nhận xét gì về góc giữa đường thẳng đó với tia Ox? c) Đồ thị hàm số song song với đường thẳng y =x va di qua điểm (1; 3) Có nhận xét gì về góc

giữa đường thẳng đó với tia Ox?

d) Đồ thị hàm số đi qua điểm M(2; 3) và vuông

góc với đường thẳng y = 2x - 1 Có nhận xét gì về

góc giữa đường thẳng đó với tia Ox?

e) Đồ thị hàm số đi qua điểm N(-1; 2) và song

song với đường thẳng y = x + 2 Có nhận xét gì về

góc giữa đường thẳng đó với tia Ox? 14 Cho hàm số y = ax - 3 a) Tìm hệ số a biết rằng khi x = 5 thì y = 2 b) Vẽ đồ thị hàm số vừa tìm được 15 Cho hàm số bậc nhất y = (1—/3)x —1 a) Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R2 Vì sao?

b) Tính giá trị của y khi x = 1+ 4/3

c) Tính giá trị của x khi y = 43 46 Cho các hàm số f(x) =ax +3 (a z 0) và g(x) = (a2 + 1)x — 1 Chứng minh rằng: a) Cac ham sé f(x) + g(x) va g(x) — f(x) déng bién trén R b) Hàm số f(x) - g(x) nghịch biến trên R 17 Cho hàm số y = f(x) = (m - 1)x + 2m - 3, m là số thực khác 1 a) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R b) Xác định m để hàm số đồng biến trên R c) Biết f(1) = 2, tính f(2) d) Biết f(—3) = 0 khi đó hàm số y = f(x) đồng biến hay nghịch biến?

18 a) Vẽ đồ thị hai hàm số sau trên cùng một hệ trục tọa độ y = 0,5x + 2 và y = 5 - 2x

b) Gọi giao điểm của các đường thang

y = 0,5x + 2 va y = 5 - 2x với trục hoành theo thứ

tự là A, B và gọi giao điểm của hai đường thẳng

đó là C Tìm tọa độ của các điểm A, B, C

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là cm, làm tròn đến chữ

số thập phân thứ hai)

19 a) Vé đồ thị của các hàm số sau đây trên cùng một hệ trục tọa độ y = 2x (d), y = 0,5x (d.)

va y = -x + 6 (d,)

b) Gọi các giao điểm của đường thẳng (d.) với hai đường thẳng (d;) và (d.) theo thứ tự là A và B

Tìm tọa độ của hai điểm A và B

c) Tính các góc của tam giác OAB (làm tròn

đến phút)

20 a) Vẽ đồ thị hàm số y = x33

b) Tìm tung độ các điểm M, N thuộc đồ thị hàm số trên và có hoành độ tương ứng là -1; 2

Trang 27

y* DUONG CONG BAC SAU CUA CAYLEY CAYLEY SEXTIC

Phương trình trong hệ tọa độ Descarter vuông góc A(x? + y? - ax)? = 27a?(x2 + y2)ˆ

3 6

Phương trình cực: r = 4acos 3

Lần đầu tiên Maclaurin nghiên cứu nhưng Cayley là người

1} nghiên cứu một cách chỉ tiết

Tên gọi đường cong bậc sáu của Cayley là do R.C Archibad

đặt, người đã gắng công phân loại các đường cong trong một bài báo xuất bản ở Strasbourg vào năm 1900

Đường pháp bao của đường cong bậc sáu Cayley là một

đường hình thận (nephroid) Hình vẽ ứng với a = 1

TRƯƠNG CÔNG THÀNH (Hà Nội)

SỐ HỌC VÀ NHỮNG CHÚ THỦ 165100 vero 29

Bài 2 Cho 5 số tự nhiên a, b, c, d, e Chứng

minh rằng hoặc tồn tại một số chia hết cho 5

hoặc một vài số có tổng chia hết cho 5

Bài 3 Cho một hình ô vuông kích thước 5x5 ô, người ta điền vào mỗi ô của lưới một trong các

số —1, 0, 1 Xét tổng của các số theo từng cột,

theo từng hàng và theo từng đường chéo Chứng

minh rằng trong tất cả các tổng đó luôn tồn tại

hai tổng có giá trị bằng nhau

Bài 4 Cho 5 số nguyên dương đôi một khác

nhau và đều nhỏ hơn 8 Chứng minh rằng luôn

tồn tại một số bằng tổng hai số còn lại (hai số

còn lại này có thể bằng nhau hoặc khác nhau) Bài 5 Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên

liên tiếp luôn tìm được một số mà tổng các chữ

số của nó chia hết cho 11

Bài 6 Chứng minh rằng trong 12 số nguyên

tố phân biệt, luôn chọn được 6 số kí hiệu bởi a,

A>, Az, Ay, Ae, Ag SAO Cho (a, — a,)(aa — a;)(a; — ae)

chia hét cho 1800

Bài 7 Một tổ học tập có 5 học sinh Khi viết

chính tả, chỉ có bạn An mắc nhiều lỗi nhất là 5 lỗi Chứng minh rằng trong 5 bạn đó có ít nhất 3

bạn đã mắc một số lỗi như nhau hoặc không mắc lỗi nào

Bài 8 Ở một vòng chung kết cờ vua có 8 đấu thủ tham gia Mỗi đấu thủ đều phải gặp 7 đấu

thủ còn lại, mỗi người đấu một trận Chứng minh

rằng trong một thời điểm bất kì giữa các trận

đấu, bao giờ cũng có hai đấu thủ đã đấu một số trận như nhau hoặc hai đấu thủ chưa đấu trận

nào

Bài 9 Trong một cuộc thi học sinh giỏi toán bao gồm học sinh của 6 trường Danh sách các

thí sinh gồm 1978 người được đánh số báo danh

từ 1 đến 1978 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một thí sinh có số báo danh gấp đôi số báo danh

của một thí sinh khác cùng trường hoặc bằng tổng hai số báo danh của hai thí sinh khác cùng

trường với mình

Bài 10 Có 6 nhà khoa học viết thư trao đổi với

nhau (mỗi người viết cho 5 người kia) về một

trong hai đề tài: Bảo vệ môi trường và Chương

trình dân số Chứng minh rằng có ít nhất 3 nhà

khoa học trao đổi cùng một đề tài

Trang 28

oO 0| Z|:m| —= x} Ul Z | Mm ce Từ 18.12.1972 đến 29.12.1972 Hà Nội đã

diễn ra trận đánh máy bay tập kích chiến lược

vào thủ đô nước ta của không quân Hoa K

Hà Nội lập nên một Điện Biên Phủ trên không, bắn rơi 23 máy bay B52, 2 chiếc F111 và

nhiều máy bay phản lực trong tổng số 81 máy

bay (34 B52) bị quân dân miền Bắc bắn rơi

Hàng trăm giặc lái bị bắt sống Bạn hãy từ cột dọc ĐIỆN BIÊN PHỦ và các gợi ý sau để giải

ô chữ nhé, các sự kiện liên quan tới tháng 12

1 Tên sông được khơi dòng tháng 12.1390

dưới triều Trần, nay gọi là sông Đuống

cứ THẮNG12 ~

ONAN BGT BIG PHU TREA RAOMG

2 Tháng 12.1724 nước ta tổ chức thi học vị

này cho quan võ

3 Ngày 29.12.1972, thần tượng pháo đài

bay B52 bị

4 Nơi tổ chức Đại hội thể thao châu Á

12.1998 mà Việt Nam tham dự

5 Trận thắng 12.1964 của quân dân miền

Nam đánh dấu sự phá sản của chiến lược Chiến tranh đặc biệt cla Hoa Ki

6 Pháo đài ngày 22.12.1946 bắn rơi chiếc

máy bay đầu tiên của Pháp trên bầu trời Hà Nội

7 Tên cứ điểm Pháp mà 12.1953 Bộ Chính

trị Trung ương Đảng quyết định mở chiến dịch tấn công

8 Tên tỉnh tháng 12.1904 được Tồn quyền

Đơng Dương đổi thành từ tỉnh Cầu Do

9 Thành phố quê hương Trạng Trình (mất

12.1585) Đây cũng là nơi góp phần vào

thắng lợi 12.1972

10 Tên trường Trung học được Toàn quyền

Đông Dương lập 12.1908 tại Hà Nội

11 Tháng 12.1972 báo chí nhiều nước gọi

là thủ đô của phẩm giá con người

Trang 29

Dam sen

ao nhiêu lần cùng bạn bè đứng trước

B đầm sen mình tự hỏi: Vì sao loài hoa

ấy lại được mọi người yêu thích?

Sen mọc từ bùn, những bông hoa chưa nở

cụm lại đầm ấm, lúc nở mỗi cánh phớt hồng

như bàn tay thân thiện, khi rơi xuống mặt

nước thì thả hàng ngàn con thuyền trông thật nên thơ

Câu ca dao xưa Trong đầm gì đẹp bằng

sen / Lá xanh bông trắng lại chen nhị vàng /

Nhị vàng bông trắng lá xanh / Gần bùn mà

chẳng hôi tanh mùi bùn dù đi vào lòng người nhưng câu hỏi vì sao vẫn cứ day dứt, thôi thúc mình Có bao nhiêu loại hoa đáng quý, đáng

yêu sao hoa sen mọi người lại ưa thích

Kìa cả đầm sen đang dạt dào, một cảnh

tượng vui nhộn với bao sắc màu:

Lá xanh, bông trắng, lại chen nhị vàng

Nhị vàng, bông trắng, lá xanh

Làn gió thổi qua như là “kẻ” khởi xướng cho

cảnh tượng vui nhộn ấy, cũng là “ké” đùa

nghịch

Thì ra, cái điều lâu nay mình tự hỏi giờ đã

có câu trả lời, chính nhờ có làn gió thổi qua mà cả đầm sen lay động, tha thướt, sinh động một cách khác thường Nhờ có làn gió mà làn

hương thoang thoảng bay xa muôn nơi Cái làn gió ấy cũng làm rịn bao giọt mồ hôi của người nông dân những lúc nghỉ ngơi bên

cánh đồng, làm dịu mát những nỗi vất vả nắng mưa của nghề nông Không phải ngẫu

nhiên những đầm sen thường ở bên những cánh đồng, những rìa làng và chính người

nông dân là tác giả của câu ca dao ấy, của vẻ

đẹp đầm sen Chính làn gió đã gợi lên bao cảm xúc chân thành, tha thiết của họ với quê hương, với xóm làng

Đọc lại hai câu số 2, số 3 mà xem:

Lá xanh bông trắng lại chen nhị vàng

Nhị vàng, bông trắng, lá xanh

Sự lặp lại ấy không phải vô tình, cũng

không phải là sự lay động của mắt nhìn cơ

học mà là sự lay động từ tâm hồn, từ xúc cảm thiên nhiên gần gũi, gắn bó

Cảm ơn ngàn lần làn gió mơ hồ kia

Trang 30

a7 en eh mmamn - — Qa eh "\J J J|ỊA|M|H|A|N|N|SIC|IỊE B AlS|LB|U|T|IT|E|R|OIT B ElIA|IDI I|E|E|O|jN|IF|B N TỊS|GIB|A|A|R|CIFNIH M NIE|R|A|L|W|IA|T|EIER P AIAI|IA|NIP|LI|N|R|IE|Y T P|LIIP|A|LI|IC|IGIC|IT|IO A PIN|IE|N|LZ|E|E|H|IU|ỊCG M L/K|S|A|Z|M|M|EIENHh R E|IG|G|S|A|E|H|E|I|U C R|IE|A|L[|T|O|A|IS R S UiIS|A|IG|IE|S|M|E|NỊT

Nhiều đồ ăn thức uống đang chờ bạn phát hiện ra đấy!

Xem ai tinh mat nao?

NGUYEN THI THANH THUY (174/492 Thiên Lôi, Lê Chân, Hải Phong)

@ Két qua Bal toan vui (TTT2 số 116)

Chủ Vườn rất vui vì tất cả các bạn đều hiểu

rõ bài toán Đề bài quả là không khó chút nào, đúng không? Tuy nhiên, qua bài này,

chắc hẳn kiến thức Tiếng Anh của các bạn đã

được mở mang thêm “Their ages are eleven

and nine years” là đáp án của Chủ Vườn,

cũng là đáp án mà tất cả các bạn đã tìm ra Phần thưởng được gửi tới: Tạ Phương Mai,

8A3, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ;

Trần Thị Hồng Nhung, 7E1, THCS Vĩnh

Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Hoàng Ngọc Hải Linh, 7A, THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ,

Hưng Yên; Nguyễn Xuân Tân, 6A2; Mẫn Thị

Mỹ Duyên, /A, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh

2

Trang 31

@ Ki nay

Bạn thường nghe các phát thanh viên đọc các cụm từ nước ngoài hay các

từ viết tắt như gï đi pi (GDP),

dap liu ti Au (WTO), Bai

này sẽ giúp các bạn hiểu

rõ hơn các cụm từ viết tắt

đó

Sau đây là các cụm từ kí hiệu thường gặp ADB Ngân hàng Phát triển châu Á, thành lập

1966 có 63 nước và vùng lãnh thổ (45 thuộc

châu Á Thái Bình Dương)

APEC Tổ chức Hợp tác Kinh tế châu Á Thái

Bình Dương, thành lập 1989

ASEAN Hiệp hội các quốc gia Đông Nam Á, thành lập 1967, nay gồm 10 nước Việt Nam gia nhập 1995

AU Liên minh châu Phi, thành lập 2002 EU Liên minh châu Âu, thành lập 1992

G7 Bảy nước Canada, Pháp, Đức, Ý, Nhật Bản, Anh, Mỹ thành lập 1975 G8 Thành lập 1994 gồm 8 nước: Canada, Pháp, Đức, Ý, Nhật Bản, Nga, Anh, Mỹ GDP Tổng sản phẩm quốc nội INTERPOL Cảnh sát Quốc tế IMF Quỹ tiền tệ Quốc tế, thành lập 1945 có 184 nước

NAM Phong trào Không liên kết

NATO Tổ chức Hiệp ước Bắc Đại Tây Dương, thành lập 1949 OAU Tổ chức Thống nhất châu Phi Trước đây là AU OPEC Tổ chức các nước xuất khẩu dầu lửa, thành lập 1960 UN Liên hiệp quốc, thành lập 1945 (UNITED NATIONS) WB Ngân hàng Thế giới WTO Tổ chức Thương mại Thế giới, thành lập 1995 WWF Quỹ bảo tồn Thiên nhiên Thế giới, thành lập 1961 UNICEF Quỹ Nhi đồng Liên hiệp quốc

GIUP BAN XEM TI VI VA BOC BAO

Các cụm viết tắt sau ít gặp hơn: ACC Hội đồng Hợp tác Ả rập ACP Các nước châu Phi, vùng biển Caribê và Thái Bình Dương ACS Hiệp hội các nước vùng biển Caribê, thành lập 1994 AfDB Ngân hàng phát triển châu Phi, thành lập 1964 AFESD Quỹ phát triển Kinh tế và Xã hội các nước Ả rập, thành lập 1968

AL Liên đoàn các nước Ả rập, thành lập 1945

ALADI Hiệp hội Hội nhập châu Mỹ La tỉnh,

thành lập 1960 (12 nước Trung và Nam Mỹ)

Am€C Hội đồng Hợp tác Amazon, thành lập 1978 gồm 8 nước khu vực Amazon

AMF Quy tién té A rap

AMU Lién doan Hop tac A rap

ANZUS Hiệp ước an ninh Úc, New Zealand,

Mỹ

AOSIS Liên minh các đảo quốc nhỏ

AP Cộng đồng các nước vùng núi Andes BADEA Ngân hàng A rap phat trién tai chau

Phi

BDEAC Ngân hàng phát triển các nước Trung

Phi

BOAD Ngân hàng phát triển Tây Phi

BRIC Nhóm các nước mới nổi: Brazil, Nga, Ấn

Độ, Trung Quốc

BRICS Nhóm 5 nước mới nổi: Brazil, Nga, Ấn Độ, Trung Quốc và Nam Phi

BSEC Tổ chức Hợp tác Kinh tế biển Den

CAEU Hội đồng Thống nhất Kinh tế Ả rập

CEFTA Hiệp định Mậu dịch Tự do Trung Âu

G20 Các nước phát triển và mới nổi: Úc,

Canada, Ẩrập Xêut, Ấn Độ, Nga, Nam Phi, Thổ Nhĩ Kỳ, Áchentina, Brazil, Mêhicô, Pháp, Đức,

Italia, Anh, Trung Quốc, Inđônêsia, Nhật Bản, Hàn Quốc và nước chủ nhà (quay vòng) Câu hỏi dành cho bạn: Hãy nói về UNESCO,

Trang 32

Hoi:

Em thay nhiéu ban rat hay

Sắp thi chuyển cấp, suốt ngày chơi game

Mà chẳng lo học hành thêm

Cứ ngồi chít chát, chuyên cần online

Đến khi toàn một với hai

Mong anh khuyên giúp mấy bài thơ văn

NGUYỄN QUỐC ANH

(9A, THCS Liên Hương, Vũ Quang, Hà Tĩnh) Đáp:

Bạn ấy sẽ đỗ vào khoa

Chít thuộc ngành chát của trường online

Suốt ngày chỉ học game thôi Lương là tiền ảo sống đời siêu nhân

Rồi ra mắt cận teo chân

Mỗi tay mỗi gối tuổi xuân mất rồi Tiếc ngồi gọi: Tuổi xuân ơi!

e®6/66666666 666666666666

Hỏi: Anh Phó ơi! Hai hay nhiều bạn có thể

viết bài giải trên cùng một tờ giấy và gửi về TTT được không? THÁI NGUYỄN NGỌC UYÊN (8B, THCS Hoàng Xuân Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh) Đáp: Số bạn là mẫu n Tử chỉ có một món quà mà thôi Gửi quà thì muốn đến nơi n bằng một dễ tìm nơi gửi về e®96/06/666666 6666666666666

Hỏi: Anh Phó ơi! Thời hạn gửi bài là bao nhiêu ngày kể từ khi tạp chí phát hành ạ? PHÙNG KIM CÚC (7C, THCS Tần Đà, Ba Vì, Hà Nội) Báo ra ngày mồng 8 Tính từ ở thủ đô Tính thời gian vi vu Thêm 10 ngày là đến Cả những nơi xa tít Hà Giang và Cà Mau

Thêm cho 3 tuần sau Bài trả lời về báo

Hạn gửi bài là thế

Ngày mồng 8 tháng sau

Hỏi: Muốn mua sách của TTT thì phải làm

như thế nào ạ? Mua ít có được không a? Một bạn quên ghi tên

Đáp:

Ít nhiều đều đặt được

Em cứ ra bưu điện

Làm phiếu chuyển tiền về

Trên phiếu ghi rõ ra

Mua quyển gì để biết Có tiền ngày hôm trước Hôm sau gửi sách liền

Tàu xe đi một tuần

Thế là em nhận được

ANH PHÓ

Trang 33

Q Lr ========= points on the sides AB and

Bài 1(118) Tìm các số nguyên dương x và y thỏa mãn

2X + (x2 + 1)(y2 - 6y + 8) = 0

CAO NGOC TOAN (GV THPT Tam Giang, Phong Điền, Thừa Thiên - Huế)

| Bài 2(118) Tồn tại hay không số nguyên dương n thỏa man 2"*+1 - 1 và

2n - 1(2n ~ 4) đều là lập phương của các số nguyên?

CHU TUẤN (GV THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa, Hà Nội)

Bài 3(118) Giải phương trình x? — 5x4 + 6x3 + 10x? — 21x - 27 = 0

BUI HAI QUANG (GV THCS Van Lang, TP Viét Tri, Phu Tho)

Bài 4(118) Cho a, b và c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3 1+3a + 1+3b 1+3c

4+b? 1402 1+a2

| LẠI QUANG THỌ (Phòng Giáo dục Tam Dương, Vĩnh Phúc) Bài 5(118) Trên các cạnh AB, BC của tam giác ABC lấy các điểm K, M tương ứng Biết rằng CKM > BKM, chứng minh AMK < BMK Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = NGUYỄN ĐỄ (Hải Phòng) Bài 6(118) Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Gọi M, N là chân đường vuông góc hạ từ H xuống DE, EF tương ứng MN cắt AH tại K

Chứng minh rang SDEK = tg ee ~ -

2 NGUYÊN ĐỨC TẤN (TP Hồ Chí Minh)

SOLVE VIA MAIL COMPETITION QUESTIONS

Translated by Nam Vad Thanh

1(118) Find all positive integers x and y such that 2” + (x? + 1)(y2 —6y+8)=0

2(118) Does there exist a positive integer n such that 2"* 1 ~ 4 and 2"~ 12" ~ 1) are both perfect

cubes?

3(118) Solve the equation x° — 5x* + 6x? + 10x? - 21x - 27 = 0

4(118) Let a, b and c be positive real numbers such that ab + bc + ca = 3 Find the minimum 1+3a + 1+3b 14+3¢c

1+b2_ 1+c2 1+ia2

5(118) Let K and M be the

value of the expression P =

BC of a triangle ABC Given that ZCKM > ZBKM, prove that ZAMK < ZBMK

DANG Ki G 6(118) Let ABC be an

acute angle triangle with its l I I I l

THAM DỰ j¡ " ạ§ altitudes AD, BE and CF

CUOC THI |! intersecting at H Let Mand N I I I I I I I PHIẾU

be the foot of the heights GTQT dropped from H onto DE and

Trang 34

Ban hay cung doc 8 cau sau day

Mỗi câu bạn hãy nhấn vào chữ đã in đậm nhề 1 Tớ không nói là bạn bài của tớ 2 Tớ không nói là bạn ấy bài của tớ 3 Tớ không nói là bạn ấy bài của tớ 4 Tớ không nói là bạn bài của tớ 5 Tớ không nói là bạn ấy bai cúa tớ G6 Tớ không nói là bạn ấy bài của tớ Z Tớ không nói là bạn ấy bài của tổ 8 Tớ không nói là bạn ấy - ấy chép chép chép chép chép chép chép bài của tớ Các câu ấy thể hiện các ý khác nhau: 1 Một người khác nói 2 Tôi KHÔNG nói, nhất định là như thế 3 Chỉ phỏng đoán chứ chưa NÓI 4 Người khác chép 5 Không phải là CHÉP mà nói việc khác 6 Có thể là chép thơ, chép nhac không phải copy bài kiểm tra

Z Bài của người khác không phải của tôi

8 Câu đây đủ ý

Như vậy, điều gì phải chính tai

bạn nghe mới thật chính xác Bạn đừng vội tỉn vào một câu chuyện

người khác kể lại nếu đó là chuyện

một người khác nữa nói về chính

mình Rất có thể người đưa câu

chuyện đó đã nghe sai vì chọn từ

nhấn của người nói chưa chính xác Bạn cũng nên hạn chế nói về một

bạn qua một bạn khác nếu có việc

Trang 35

Merry Christmas Greevaneionc rit k= HONG HA Luu trayén thing - Viet tong lai and Happy New Year! š ene

Co sd |: 25 Lý Thường Kiệt, Hà Nội

Cơ sở II: 672 Ngô Gia Tự, Long Biên, HN Tell: 04 3652 4302 * Fax: 04 3652 4157 Email: congty@vpphongha.com.vn Website: www.vpphongha.com.vn cor Giấy trống tự nhiên chống lod, méi mat CHÍ NHÁNH TP.HCM

47 đường Độc Lập, P Tân Thành, Q Tân Phú, TP HCM Điện thoại: 08 6267 5820 * fax: 08 6267 5821

CHI NHÁNH ĐÀ NẴNG

23 - 25 dường Yên Thế, P Hòa An, Q Cẩm Lệ, TP Đà Nẵng

Trang 36

Ngôi chùa là biểu tượng

của nước bạn Lào Hình dáng thanh thoát và cao vút với màu vàng đặc trưng còn thấy ở các tháp khác bạn sẽ gặp trên đất nước Triệu Voi Bạn có thể viết cảm nhận và hiểu biết về bức ảnh và ngôi tháp này nhé VU MORIT Ảnh: VKT

Hoa phong lan, một loài hoa sang trọng và

quý phái Đây cũng là loài hoa được rất nhiều người yêu thích không chỉ riêng đất nước Singapore Cũng như cái tên của nó, loài hoa này thật đẹp, nó đẹp đến khó tả Ñó mang một màu trắng tỉnh khiết, màu trắng mà

thiên nhiên ban tặng Hoa mọc thành chùm

như những con bướm nhỏ đậu trên thân cây

gay quộc, nhiều đốt Mỗi bông hoa gồm có 6

cánh Cánh hoa hình bầu dục, mềm mại như nhung Những cánh hoa nắm tay nhau xếp thành vòng tròn, ở giữa là nhị hoa cùng màu

với cánh, rung rỉnh trong gió Từ những bông

hoa phong lan ấy tỏa ra một mùi hương ngào

ngạt, dễ chịu Hương thơm ấy bay bồng, lan tỏa khắp khu vườn, làm lay động những đá

rêu, dương xỉ và các loài cây khác Ñó thu

hút rất nhiều loài ong bướm đến Tô điểm cho màu trắng của hoa là màu xanh của lá phong lan Lá dày nhưng không cứng mà rất mềm mại Chúng thon dài, đầu nhọn như những lưỡi qươm, lưỡi kiếm bé nhỏ Những cây hoa phong lan như những ngôi sao tỏa sáng trong vườn Những tỉa nắng vàng cũng

® Xết quá Đẹp quy phai (TTT2 số 116)

rất thích thú trước vẻ đẹp của phong lan nên

cú nhảy nhót trên những chiếc lá cây gan đó

Vẻ đẹp của hoa là vẻ đẹp tỉnh khiết, dịu dàng và giản dị Vì vậy, em cũng rất yêu quý

loài hoa này, một loài hoa sang trọng và quý phái

Có hàng trăm loài hoa phong lan khác

nhau Hoa ưa không khí ẩm vừa phải, nhiệt

độ không quá nóng và quá lạnh, thường sống

trên các cây cổ thụ của rừng qià Việt Nam va

Thái Lan có nhiều phong lan tự nhiên

Singapore có nhiều phong lan trông và có hẳn một khu vườn lớn như rừng gọi là Vườn

lan Khách đến Thái Lan thường được tặng hoa phong lan Các nguyên thủ quốc gia nước bạn than thiết với Singapore thường

được đặt cho tên các loài hoa lan quý và mới

Nguyễn Thi Thu Phuong

Nhận xét Bạn Nguyễn Thị Thu Phương,

7A; Chu Thj Hanh, 7B; Ng6 Thu Trang, 7C,

THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh có

bài viết tốt được nhận quà tặng của tòa soạn

BH

Định dạng
Số trang	36
Dung lượng	8,32 MB