So 75 76 Full re pdf
Trang 2Children’s Fun Maths Journal
Tan tuổi tÃo TRUNG HỌC CƠ SỞ
NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN
Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc:
NGƯT NGÔ TRẦN ÁI
Phó Tổng Giũm đốc kiêm Tổng biên tập:
TS NGUYÊN QUÝ THAO
HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP
Phó Tổng biên tập phụ trách tạp chí: ThS VŨ KIM THỦY
Thư kí tòa soạn: NGUYỄN XUÂN MAI
Ủy viên Hội đồng biên tập: PGS TS VŨ DUONG THUY, GS NGUYEN KHAC PHI, PGS TS TRAN KIEU, PGS TS NGND TON THAN, TS NGUYEN VAN TRANG, PGS TS VU NHO, TS TRINH TH] HAI YEN, ONG NGUYEN KHAC
MINH, ONG PHAM DINH HIEN, PGS TS NGO
HỮU DŨNG, TS TRẦN ĐÌNH CHAU, NGND vU
HỮU BÌNH, TS NGUYỄN MINH HÀ, PGS TSKH VŨ ĐÌNH HÒA, TS NGUYỄN MINH ĐỨC, PGS TS LÊ QUỐC HÁN, ÔNG ĐÀO NGỌC NAM, ONG NGUYEN DUC TAN, TS NGUYEN ĐĂNG QUANG, TS TRAN PHUONG DUNG, TS NGO
ANH TUYET, ONG TRUGNG CONG THANH
Biên tập: HOÀNG TRỌNG HẢO, PHAN HƯƠNG Trị sự - Phát hành: TRỊNH ĐÌNH TÀI, TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG, MẠC THANH HUYỀN, NGUYỄN HUYỀN THANH Chế bản: ĐỖ TRUNG KIÊN Mĩ thuật: TÚ ÂN
Đại diện tại miền Trung: ThS NGUYỄN VĂN
NHO, Ban Biên tập Toán Tin, NXB Giáo dục tại
TP Đà Nẵng, 15 Nguyễn Chí Thanh, TP Đà
Nẵng BT: 0511.3887548
Đại diện tại miền Nam: ÔNG TRẤN CHÍ HIẾU,
Giám đốc Công ti CP Sách - TBGD Bình Dương, 283 Thích Quảng Đức, TX Thủ Dầu Một, Bình Dương ĐT: 0650.3858330 ( Z (TRone SO NAY ® Kết quả cuộc thi Olympic Toán Hà Nội mở rộng 2009 (HMO)
Nguyễn Văn Mậu, Vũ Kim Thủy 4
® Giải tốn thế nào?
Một số bài toán về phân số tối giản
Cao Quốc Cường 8 ® Nhìn ra thế giới
Một số bài thi vô địch Toán Trung Quốc
Nguyễn Văn Nho 10
Đề kiểm tra Toán hết lớp 6 tại trường Nan
Hua, Singapore
VKT 12
® Hướng dẫn giải đề kì trước
Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên
Luong Van Tuy, Ninh Bình 18
Trang 3⁄ ® Tốn học và hội nhập Thuế thu nhập Vũ Kim Thủy 38 ® Phá án cùng thám tử Sê-lốc-cốc Nơi gặp nhau Phong Vũ 40 ® Thông tin trao thưởng Thi thơ Tết tồn T 43 ® Trò chơi toán học Với ba nhóm vòng tròn Đào Hồng 44 ® Thể lệ cuộc thi đặc biệt nhân 10 năm Tốn Tuổi thơ 46 ) ® Hướng tới kỉ niệm 10 năm Tốn Tuổi thơ 47 ® Những dấu ấn 10 năm Tốn Tuổi thơ 48 ® Đến với tiếng Hán Nguyễn Vũ Loan 50 ® Tìm hiểu ơ chữ Sudoku
Hồng Anh Kiệt 52
® Thể lệ cuộc thi truyện ngắn; bút kí, phóng sự về ngành giáo dục 56 ® Cuộc thi Mùa hè thật vui 2009 (Kì thứ ba) SỬ J TIN
e Ngay 23.03.2009 tai BG Giao dục
và Đào tạo, đã diễn ra Lễ phát động cuộc thi viết truyện ngắn; bút kí, phóng sự về ngành giáo dục do Bộ
Giao duc va Dao tạo, Hội Nhà văn Việt
Nam, Hội Nhà báo Việt Nam và Nhà
xuất bản Giáo dục Việt Nam đồng tổ
chức [xem thể lệ cuộc thi ở trang 5B
số này)
e Từ ngày 16 dén ngay 19.04.2009 tại trường Đại học Quang Binh, hon
B65) sinh viên của B8 trường đại học,
cao đẳng, học viện đã tham gia thi
Dlympic Toán sinh viên toàn quốc Các thí sinh thi 2 môn Giải tích và Đại
TỨC
số Hai sinh viên trường Đại học Vinh
và Đại học Bách Khoa Hà Nội đạt điểm
tuyệt đối mỗi môn
e Với trên 9B1% số học sinh tham du đoạt giải, Nam Định lần thứ 3 dẫn đầu
các tỉnh thành về số học sinh giỏi toàn quốc trong 4 lần thi từ khi Bộ Giáo
dục và Đào tạo thay đổi cách tổ chức
thi Năm nay Đà Nẵng và Hà Nội đứng
thứ nhì về số học sinh giỏi toàn quốc Hà Nội, Hải Dương, Vĩnh Phúc, Bắc
Ninh, Thanh Hóa, là các địa phương
có thành tích cao trong 4 năm trở lại đây về số học sinh giỏi
Trang 4
e-x:.„ KẾT QUÁ ĐẸP
Cho hình vuông ABCD Gọi I là trung điểm AD, E là điểm đối xứng
của A qua BI, F là giao điểm của BE với CD B C E F A JD
Tinh ti s6 ~ ta sẽ được một số đẹp Hỏi đó là số nào?
PHAM TUAN KHAI (11 Phù Đổng, Hải Phòng)
@ Két qua SỐ NAQ?P S (TTT2s673)
Giả sử ab là số tự nhiên có hai chữ số
thỏa mãn điều kiện bài toán
—2
Đặt P =ab“ = (a + b)”
Giả sử d là một ước nguyên tố bất kì của P Thế thì tổn tại các số tự nhiên n và Q thỏa mãn P = d"Q, với (Q, d) = 1
Vì P=ab“ nên n : 2
Vì P = (a + b) nên n: 3
Mà (2, 3) = 1 nên n : 6
Vì d là một ước nguyên tố bất kì của P
nên tồn tại số tự nhiên k để P = kề Suy ra ab = k và a + b = k2 Vi 2° = 8, 3° = 27, 49 = 64, 5° = 125 nên k = 3 hoặc k = 4 Nếu k = 3 thì ab = 27: thỏa mãn Nếu k = 4 thì ab = 64: loại Vậy số cần tìm là 27 Nhận xét Các bạn sau giải tốt và ngắn
gọn: Đào Anh Tuyến, bố là Đào Hữu Ánh,
Phòng TC-HC, Viễn thông Quảng Ngãi,
Quảng Ngãi; Nguyễn Văn Cường, 6D,
THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ
An; Nguyễn Thị Hảo, 9C, THCS Vĩnh
Trang 5Kết quả cuộc thi
Olympic Toan Ha Noi mo’ réng 2009 (HMO)
GS NGUYEN VAN MAU - Ths VU KIM THUY
Ngày 29.3.2009, tại Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội đã diễn ra cuộc thi Olympic Toán Hà Nội mở rộng 2009 Dự thi ở độ tuổi Junior có 50 học sinh, độ tuổi Senior có 70
học sinh Sau đây là danh sách các bạn đoạt giải và cũng là danh sách đội tuyển Việt
Nam dự thi Olympic Toán Singapore mở rộng 2009 ngày 2.6.2009 Junior
1 | Tran Thi Mai Phuong F 01031995 [Van Lang, Viet Tri, Phu Tho : 2 |Nguyen Thi Linh Chi F 21051995 | Van Lang, Viet Tri, Phu Tho
3 |Le Tuan Anh M 01011995 | Vinh Phuc
° 4 |Hoang Do Kien M 30101995 | Vinh Phuc : 5 |Hoang Minh Quang M 26121995 | Vinh Phục : 6 |Nguyen The Tung M 25101995 = | Vinh Phuc
° 7 |Pham Huy Hoang M 06101995 | Giang Vo, Ha Noi 8 |Dinh Phuc Ngoc M 11091995 | Giang Vo, Ha Noi ° 9 |Nguyen Huy Anh M 09121995 |Le Quy Don, Ha Noi : 10 |Phan Ngo Thuy Le F 05061995 |Le Quy Don, Ha Noi
: 11 | Nguyen Ha Phuong F 30011995 |Le Quy Don, Ha Noi
° 12 |} Pham Tien Long M 26031996 | Trung Vuong, Ha Noi 13 | Nguyen Minh Thang M 01051995 | Trung Vuong, Ha Noi : 14 |Ngo Anh Nhat M 05011995 |Ha Noi - Amsterdam
, 15 | Quach Tri Dung M 25021995 |Ha Noi - Amsterdam
: 16 |Ngo Dang Hai M 03061995 |Ha Noi - Amsterdam ; 17 |Le Nguyen Vuong Linh M 31031995 |Ha Noi - Amsterdam
18 | Pham Dinh Khoa M 27061995 |Ha Noi - Amsterdam
: 19 | Nguyen Dang Minh M 20081995 |Ha Noi - Amsterdam 20 | Tran Hieu Trung M 22121995 |Ha Noi - Amsterdam
Trang 6Senior
1 | Do Kim Tuan M 10121993 Ha Noi - Amsterdam
2 | Dao Tung Anh M 19041993 Ha Noi - Amsterdam
3 | Tran Hai Chau M 19091993 Ha Noi - Amsterdam
4 | Tran Thu Quynh F 27111993 Ha Noi - Amsterdam 5 | Hoang Tuan Anh M 24021993 Ha Noi - Amsterdam 6 | Nguyen Ngoc Linh M 30051993 Ha Noi - Amsterdam 7 | Hoang Tuan Anh M 24081993 Hung Vuong, Phu Tho 8 | Nguyen Thanh Khang M 22091993 Hung Vuong, Phu Tho 9 | Ta Hai Nam M 25081993 Hung Vuong, Phu Tho 10 | Nguyen Huy Thong M 30111993 Hung Vuong, Phu Tho 11 | Nguyen Ngoc Tu F 24081993 Bac Giang
12 | Giang Tho Anh M 11101993 Ha Long, Quang Ninh
13 | Hoang Minh Tuan M 14121993 Ha Long, Quang Ninh 14 | Ninh Duy Minh M 04041993 Hoang Van Thu, Hoa Binh 15 | Dinh Tien Dung M 06021993 Vinh Phuc
16 | Le Thi Tuyet Mai F 21011993 Vinh Phuc
17 | Do Hong Nhung F 04081993 Vinh Phuc 18 | Vu Kim Trung M 18061993 Vinh Phuc 19 | Nguyen Van Quy M 03011993 Bac Ninh
Trang 8Bài 4 aH ne D : E a = =m ac E F @e2@e@000200000000000000000000000000808808808808680 8
@ Két qua QUY LUAT NAO? (TTT2 sé 73)
) Ta có 6 = 2-3; 15 = 3-5; 35= 5.7; 77 = 7-11 Các bạn được thưởng kì này: Hà Giang
Mỗi số của dãy số này là tích của hai số Nam, 9A¿, THCS Lương Thế Vinh, TP Thái
nguyên tố liên tiếp tăng dần _ _ Bình, Thái Bình; Nguyễn Văn Cường, 6D,
Vậy số thứ 5 của dãy số trên là: THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ
11-13 = 143 An; Trịnh Anh Tuấn, bố là Trịnh Xuân
ii) Ta có 16 = 4; 25 = 52; 36 = 6”; 49 = 72 Trường, Công ti CP Khí công nghiệp, Tổ 5,
Dãy số trên là các số viết theo thứ tự P Trung Sơn, TX Tam Điệp, Ninh Bình;
ngược lại của bình phương các số tự nhiên Phạm Hùng Thiện, 8B, THCS Vĩnh Tường, tăng dần Vĩnh Phúc; Phạm Công Minh, 7A2, THCS
Vi 82 = 64 nên số thứ 5 của dãy số trên Lâm Thao,Phú Thọ _
là 46 NGUYÊN ĐĂNG QUANG
Trang 9~ a : ^ ñ tối 7” “2 CAO QUỐC CƯỜNG (GV THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc)
Khi học bài về phân số tối giản, một số học sinh lớp 6 thường lúng túng khi giải toán Các dạng toán chủ yếu của phần này là: Cho một phân số phụ thuộc vào một số nguyên, ta phải chứng minh đó là phân số tối giản (không tối giản) hoặc tìm điều kiện
để phân số đó là tối giản (không tối giản) Bài viết này sẽ hệ thống một số dạng toán cơ bản về vấn đề này Bài toán 1 Chứng minh rằng nếu n c Ñ dé B= 6n+7 không là phân số tối giản ~ a iw BR+T ,L › 3n+2
thì phân số tối gian ¬ ee ¬-
2n+3 Lời giải Gọi d là một ước nguyên tổ
Lời giải Gọi d là ước chung lớn nhất _ chung (nếu co) của 6n + 7 va Sn + 2
của n + 1 và 2n + 3 Vì (3n + 2) : d nên (6n + 4) : d
Vì (n + 1) : d nên (2n + 2) : d Suy ra (6n + 7 - ồn - 4) : d hay 3 : d
Suy ra (2n + 3 - 2n - 2) : d hay 1: d Vì d là một số nguyên tổ nên d = 3
Vậy d = 1 Khi đó (3n + 2) : 3
+ Suy ra 2: 3, voli
ra cự R+T Cow os ; 2
Do đó phân số 5 tối gián (đpcm) Vậy không có số nguyên n để B là
phân số tối giản
Nhận xét Để chứng minh một phân số _ Bài toán 4 Tìm tất cả các số nguyên n
là tối giản, ta chứng minh tử số và mẫu sổ „ -18n+3 „
có ước chung lớn nhất là 1 dé phan so toi gian
Bai toán 2 Tim tat cả các số nguyên n ¬ 2'1n+
63 cóc Lời giải - SỐ c
để A = không là phân số tối giản Cách 1 Gọi d là một ước nguyên tổ
3n+ chung (nếu có) của 18n + 3 và 21n + 7
Lời giải Vì 63 = 3 x 7 nên A không phải vị (18n + 3) : d nên 7(18n + 3) : d
là phân số tối giản khi và chỉ khi 3n + 1 Vì (21n + 7) : d nên 6(21n + 7) : d
chia hết cho 3 hoặc 7 sa
Vì 3n + 1 không chia hết cho 3 nên od ra (126n + 42 — 126n — 21) : d hay
se ' pe 1 7 an 2 ở Vì d là số nguyên tố nên d e {3 ; 7)
Vig 7) ˆ 1 nên (n l 217 TH1 d= 3 Khi đó (21n + 7) : 3, vô lí
Vay a 7k 2 (với k 2 ậy n= 7k + 2 (với ke Z) TH2 d =7 Khi đó (18n + 3) : 7 ` Lo Nhận xét Để một phân số không phảilàa M4 en, ca ' ’ tần 3) 7
tối giản thì tử số và mẫu số phải có ít nhất „ A nt et ton — )if,
Trang 10Do đó n = 7k + 1 (với ke 2) Vậy khi n z 7k + 1 (với kc Z) thì phân „ 18n+3 số 21n + 7 Cách 2 Ta có tối giản 18n+3 _ 3(6n+†) 21n+7 7(3n+1) Gọi d là một ước chung của 3n + 1 và 6n + 1 Vì (3n + 1) : d nên (6n + 2) : d Suy ra (6n + 2 - 6n - †1) : d hay 1: d Tức là (3n + 1, 6n + 1) = 1 Mà (3n + 1, 3) = 1 nên T5?*Ở là phận 21n + 7 AT VAT 22 + x2 ON+ÍT,, L2 4 số tôi giản khi và chi khi là phân số
tối giản Tức là 6n + 1 không chia hết cho 7 Hay 7n - 6n - 1=n- 1 không chia hết
cho 7
Vậy n z 7k+ 1 (với ke Z2)
Nhận xét Bài toán về phân số tối giản
có thể được nâng cao ở mức độ khó hơn Sau đây là một số ví dụ Bài toán 5 Chứng minh rằng nếu n c Z 2 thì phân số — — tối giản n+1 Lời giải Gọi d là ước chung lớn nhất của nẺ và n + 1 Vì (n + 1) : d nên nín + 1): d hay (n2 + n) : d Mà nẺ : dnên (n^ + n— n2) : d hay n: d Mà (n + {) : d nên (n + 1—n) : dhay 1 : d Vậy d = 1 2 Do đó phân số ¬ tối giản (đpcm) n+ Bài toán 6 Tìm tất cả các số nguyên n ố 3n” +2n+3 để phân s
2n+1 không tối giản Lời giải Gọi d là một ước nguyên tố
chung (nếu có) của 3n2 + 2n + 3 và 2n + 1 Vì (3n2 + 2n + 3) : d và (2n + 1) : d nên [2(3n2 + 2n + 3) - 3n(2n + 1)] : d hay (n + 6) : d Suy ra (2n + 12) : d Mà (2n + 1) : d nên (2n + 12- 2n - 1) : d hay 11 : d Vì d là một số nguyên tố nên d = 11 Khi đó (2n + 1) : 11 Suy ra (2n + 1 - 11) : 11 hay 2(n— 5) : 11 Vì (2, 11) = 1 nên (n - 5): 11 Vậy n = 11k + 5 (Với ke Z) Bài tập tự luyên
Bài 1 Chứng minh rằng nếu n e Ñ thì
Trang 11
GIO! THIEU
Một số bài toán thi -
vo địch Toán Trunø Quốc
ThS NGUYỄN VĂN NHO (NXBGD)
Kì thi vơ địch Tốn Trung Quốc được tổ chức lần đầu tiên vào năm 1986 Trung Quốc là một đất nước có nền Toán học
phát triển rất sớm Định lí phần dư Trung
Quốc xuất hiện từ những năm đầu của thế
kỉ thứ II sau công nguyên nhưng cho đến
ngày nay vẫn còn là một đề tài hấp dẫn để
các nhà toán học nghiên cứu Nhiều dạng cải biên hoặc mở rộng của định lí này đã được áp dụng cho nhiều lĩnh vực Tốn học
và Cơng nghệ thơng tin
Các tài liệu cổ còn lưu lại cho thấy rằng
nhiều tác phẩm toán học ghi trên những
thanh tre ở Trung Quốc đã xuất hiện từ
những năm 400 trước công nguyên hoặc
có thể sớm hơn Thời cổ đại, họ đã dùng các kí hiệu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1000 và 10000 để diễn đạt các con số Ví dụ số 2034 được viết là 2,1000, 3,10, 4 (2 lần 1000 cộng 3 lần 10 cộng 4) Họ đã dùng các con số để tính toán và tìm ra các
quy luật thiên văn Tác phẩm gồm chín
chương nói về nghệ thuật Toán học - The Nine Chapters on the Mathematical Art -
(Jiuzhang Suanshu) xuat hiện khoảng
năm 100 trước công nguyên đến năm 50
sau công nguyên đã thu thập đến 246 bài toán từ đầu thời kì nhà Hán, trong đó bao gồm cả việc phát biểu, chứng minh và ứng
dụng trong Thiên văn học của định lí Py-ta-go; giải phương trình x? +ax=b (với
a, b là những số dương); việc sử dụng số
bằng 3,1415926;
Khi tham gia ở những kì thi vô địch Tốn Quốc tế, đồn học sinh Trung Quốc
thường đoạt giải rất cao Các bài tốn
trong những kì thi vơ địch Toán Trung
Quốc là những bài toán rất khó
Trong số báo này và hai số tiếp theo,
chúng tôi sẽ giới thiệu một số bài toán
được trích từ các kì thi vơ địch Tốn Trung
Quốc phù hợp với kiến thức của học sinh khá, giỏi bậc THCS ở nước ta
Bài 1 (Năm 1986) Mỗi điểm trong mặt
phẳng tọa độ được tô màu đen hoặc đỏ
Chứng minh rằng ta có thể tìm được ba điểm cùng màu mà mỗi cặp điểm có
khoảng cách bằng 1 hoặc có thể tìm được
ba điểm cùng màu mà mỗi cặp điểm có khoảng cách bang V3
Bài 2 (Năm 1987) Trong một giải bóng bàn, mỗi đấu thủ thi đấu với mọi đấu thủ
khác Mỗi ván chơi, kết quả sẽ là thắng
hoặc bại Giải thưởng sẽ được trao cho đấu thủ X nào đạt được tiêu chuẩn sau:
nếu đấu thủ Z thắng X thì phải có một đấu thủ Y sao cho X thang Y va Y thang Z
Biết rằng chỉ có một giải thưởng được
Trang 12
Một số bai thi hoc sinh øiỏi Toán fại Hunøarv
(Đề đăng trên TTT2 số 74)
Bài 1 Gọi số bé nhất và số lớn nhất trên bàn cờ lần lượt là a và b Khi đó trên bàn cờ
có nhiều nhất b — a+ 1 số được sử dụng
Một đường đi bất kì đi từ ô vuông chứa số
a đến ô vuông chứa số b đi qua không quá 2(n2 - 1) ô vuông Suy ra b — a< 2(n2 - †1)n Do đó trên bàn cờ có nhiều nhất 2(n2 - 1)n + 1 = 2nỶ - 2n + 1 số được sử dụng Vì n > (2n —2n+ 95 và trên bàn cờ có 4 wl na 2ø Z ở we ` n n n nˆ số nên phải có ít nhất là By Ơ vng chứa cùng một số (đpcm) Bài 2 C A M OD B
Gọi D' là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp AABC trên cạnh AB Ta có 2DP = DP + DM =DC - CP + DA—-AM = DC + DA - (CN + AN) = DC + DA - AC Tương tự 2DP = DC + DB - BC; 2AD' = AB + AC - BC (1) Suy ra DC + DA - AC = DC + DB - BC hay DA —- AC = AB - AD - BC Từ đó 2AD = AB + AC - BC (2) Tur (1) va (2) suy ra AD = AD’, Do đó D = D' (đpcm) Bài 3 Bài toán trở nên tầm thường khi xyn = 0 Xét xyn z 0 Vì 2 = 13+ 1; 32= 13+ 2 nên pe {2; 3 thỏa mãn Khi p > 3 ta xét số n nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện bài toán Ta thấy (x ; y) # (1 ; 1) Do đó x + y, x2 — xy + yˆ > 1 Ma (x + y)(x? - xy + y2) = p" và p là một số
nguyên tố nên (x + y) : p, (x2 - xy + y2) : p
Suy ra (x + y)? - (x? — xy + y2) = 3xy : p Do đó x : p hoặc y : p Mà (x + y) : p nên x: p và y : p SUY ra X, y>pvàn>3 3 3 Khi đó p"~3 [5 (2) : mâu thuẫn p p với việc chọn n nhỏ nhất Vậy p = 2 hoặc p = 3
Bài 4 Sử dụng kết quả |x| + ly| = |x + vị; 2(Ix| + ly) =Ik+ yl +[x-yL Vxye R (€)
Lần lượt thay x bởi các giá trị 1, —1 ta suy ra |a + b+ c + dị < 1; la -b+ c- d| < 1 Ap dung (*) ta dudc |a + c] + |b + dj < 1; |a| = la + c — c| < la + c| + |_c| <a + c| + |cl: Suy ra |a| —- |c| + |b + dị < 1 (1) Tương tự, thay x bởi các giá trị - —s ta Suy ra - |a| + 4|c| + |2b + 8d| < 8 (2) Nhân theo vế của (1) với 5 và (2) với 2 rồi
Trang 13
TAI TRUGNG NAN HUA, SINGAPORE BE HIEM TRA TOAN HET LOP 6 VKT (Giới thiệu)
LTS Gần đây, có một số ý kiến cho rằng chương trình học phổ thông ở nước ta quá tải Chúng tôi giới thiệu một đề thi thử hết tiểu học của một trường ở Singapore năm 2006 để bạn đọc tham khảo
Total Time For Booklets A & B: 2 h 15 min Booklet A
Section A (20 marks)
Questions 1 to 10 carry 1 mark each Questions 11 to 15 carry 2 marks each For each question, 4 options are given Only one of them is correct
Make your choice (1, 2, 3 or 4) Shade the correct oval in the optical answer sheet 1 Find the value of 12 + 30:3 x2 (1) 7 (2) 28 (3) 32 (4) 44 2 Express 5 kg 3 g in kg (1) 5.3 kg (2) 5.03 kg (3) 5.003 kg (4) 5.0003 kg
3 Which one of the following fractions is arranged in ascending order? 111 1 113 5 (1) “opt ml me (2) Tomo ed 67 89 425 8 33 4 4 9 17 3 1 (3) 7¬? m' ='n (4) —>.—.—.-~ 4 5 / 6 10 20 4 2 4 Simplify 6m + 17 - 2m - 30 (1) 8m + 47 (2) 6m + 47 - 2m (3) 4m + 13 (4) 4m - 13 5 Look at the number line below | 1 | | | | Ì 4.5 4.6 Ì | II Ì | 4.7 { 4.8 A What is the value of “A” in the number line? (1) 4.025 (2) 4.725 (3)4.75 (4) 0.775 6 A printer can print 15 pages a minute How many pages can it print in 3 hours?
(1)45 (2)180 (3)2700 (4)3000 7 The figure shows a square and a straight line OA Find Za A 65° oor L (1) 25° (2) 45° (3)1159 (4) 135°
8 Five girls have an average mass of 32 kg When a new girl joins the group, their average mass increases to 35 kg What is
the mass of the new girl?
Trang 14
(1) 38 kg (2) 18 kg (3) 50 kg (4) 53 kg 9 Which of the following has only 4 lines of symmetry? A) B) (1) A only (2) Aand B
(3) A, B and D (4) All of the above 10 Mrs Tan bought a handbag at a discount of 15% She paid $153 for it What was the original price of the handbag? (1)$160 (2)$180 (3) $1020 (4) $1100 11 Which of the following is not a NET of a cube? A) B) C) D) (1) B only (2) C only
(3) Band Conly (4) A and B only 12 What is the maximum number of circles of radius 3 cm that can be cut out from a rectangle 21 cm by 15 cm?
(1)6 (2)7 (3) 15 (4) 35
13 Between the numbers 10 and 100, how many times will the digit “6” appeart?
(1) 10 (2) 19 (3) 20 (4) 21
14 Express 35 g as a percentage of 4 kg
(1) 87.5 % (2) 8.75 % (3) 0.875 % (4) 0.0875 %
15 Mr Tan drove for 2 hours at an average speed of 85 km/h Then he reduced his average speed by 15 km/h and covered another 175 km What is his average speed for the whole journey?
(1) 76 km/h (2) TT km/h (3) 79 km/h (4) 158 km/h
Booklet B Section B (30 marks)
Questions 16 to 25 carry 1 mark each Write your answers in the spaces provided For questions which require units, give your answers in the units stated
16 Round off 18.067 to the nearest hundredth
5 5 5 5 5
17 24x—=14x—+—+—+4+ x— 9 9 9 Q 9
What is the missing number in the box? 18 lf a= 8, find the value of 3a2 - 4a - 29 19 In the rectangle ABDC, E & F are mid-points of AC & BD respectively A B E F C D
The shaded area is > of rectangle 20 15 copies of Teenage magazine cost $60 How much will 2 dozen copies cost?
21 Mrs Tan made some sardine and curry puffs She packed 3 sardine puffs and 5 curry puffs in each box Altogether she
Trang 15
had 20 boxes What fraction of the total number of puffs was the curry puffs?
22 The solid is made up of 2-cm cubes What is its volume?
23 Equal amount of water is poured into 2 empty tanks A & B as shown below If Tank A is half-filled, what is the height of the water level in Tank B? 16 cm A 5cm 24 cm 12 cm B 10 cm 16 cm
24 The table below shows the time bus leaves the interchange for the airport Leaves Bus Interchange | Arrives at Airport 08 30 09 15 08 45 09 30 09 20 10 05 09 45 10 30 10 30 11 15
Shady needs to arrive at the airport before 10 15 What is the latest time that she must board the bus so that she will be punctual?
25 Mrs Tan can sew a dress in 3 days Mrs Leong can sew a slimiar dress in 4 days How many days will they take to sew a dress if they sew the dress together?
Questions 26 to 35 carry 2 marks
each Show your working clearly in the
space below each question and write your answers in the spaces provided For questions which require units, give your answers in the units stated
26 The sum of three numbers is 766 The first number is twice the second number The third number is 54 more than the second number Find the second number
27 A wheel diameter 70 cm is rolled from wall A to wall B If the wheel takes 5 revolutions to reach wall B, what is the distance between wall A & wall B?
(Take z= =
A B
28 Simon and Tammy had a cycling race Simon cycled at an average speed of 15 km/h and Tammy cycled at an average speed of 18 km/h If Simon started 20 minutes earlier than Tammy, how long would she take to catch up with Simon?
29 A square has an area of 36y2 cm (a) Find the length of the square (b) Find the perimeter of the square 30 lf Adam gives Bobby 20 marbles, he
will have the same number of marbles as
Trang 16number of marbles he has will be 7 that of
Adams How many marbles has Bobby? 31 The rectangle is divided into 4 smaller retangles The ratio of their areas of A, B and D is 12 : 5: 2 respectively The area of D is 12 cm2 What is the area of C? D C
32 In the figure, not drawn to scale, ABCD is a rhombus Find Za B 84° 20° D
33 How many 3-cm cubes can be cut from a block of wood measuring 27 cm by 35 cm by 51 cm?
34 The pie chart shows the amount of money donated by each family If the amount of money donated by the Yeo family is $620, what is the amount donated by the Lim family? Lim Lee 10% Tan Yeo
35 There are 40 workers in Bata factory
and 35 workers in Reebok factory 30% of
the workers in Bata factory are male while 60% of the workers in Reebok factory are male The two factories closed down and all the workers went to work in Nike factory How many percent of the workers are male in Nike factory if there are no workers working in there before that? Sau đây là một dé thi khác thuộc phần C Cả ba phần A, B, C làm thành một đề thi hết cấp tiểu học Section C (50 marks)
For questions 36 to 48, show your working clearly in the spaces provided for each questions and write your answers
in the space provided
The number of marks available is
show in brackets [ ] at the end of the each question or part-question
Trang 17(a) Which face is opposite to that marked S? [1] (b)Which face is opposite to that marked H? [1] (c) Which face is opposite to that marked B? [1]
37 Rectangle ABCD is divided into 9 identical small rectangles as shown Given that the perimeter of rectangle ABCD is 90 cm, find its area [3] A B D C
38 Tessellate the shape on the grid provided Draw another 7 of the given shape [3] eo eee © © © © © © © S e e e ee e ee e e se e ee e e
39 School P has 180 more pupils than school Q If 60 pupils are being transferred from school Q to school P, there will be 4 times as many pupils in school P as school Q How many pupils are there in school P? [3] 40 The ratio of banana trees to papaya trees in an orchard is 4 : 1 When 50% of the banana trees were cut down, there were 420
more banana trees than papaya trees How
many trees were there at first? [3] 41 The figure shows a trapezium and a triangle Find, (a) Zx [1] (b) Zy [2] > 48° y > x 98° >
42 The sequence of patterns is formed with squares The first four patterns are shown below Pattern 1 Pattern 2 Pattern 3 Pattern 4 (a) How many squares are needed for Pattern 7? [1] (b) There are 100 squares and some of them are used to form Pattern 50
How many squares are left unused? [1] (c) Find the pattern that has a total of 205 squeres [2]
43 Mrs Chan travelled at 60 km/h from
her home to the office On the way home,
she increased her speed by 30 km/h and took 5 minutes less
What was the distance between her home and the office? [4]
Trang 18
10.2 kg Later Peter added 2 more files and 3 books into the box and the mass of the box with its contents became 19 kg
If the mass of one file was four times the mass of the book,
(a) find the mass of the box (Express your answer as a decimal) [2] (b) Peter could only lift a maximum mass of 13 kg What was the least number of files that he could remove from the box so that he was able to lift the box? [2] 45 In the figure below, O is the centre of the circle ABCO is a square and OD is
14 cm Quadrant OAC is equal to Quadrant
BAC Find the area of the shaded parts (Take 1 = 22 [5] 7 \ \ \ \ \ \ \ O A D C B 46 Eight identical 5-cm cubes are placed in an empty rectangular tank of length 75 cm and width 40 cm The tank is then filled with water running from a tap at the rate of 9 litres per minute It takes 11 min to fill up s of the tank
(a) How much more water is needed to fill up the tank to its brim? (Express your answer in litres) [3] (b) Find the height of the tank [2]
47 At first, Jonathan had = as many stamps as Kevan After Jonathan bought another 8 stamps and Kevan lost 5 stamps, Jonathan now has = as many stamps as Kevan
Find the number of stamps Jonathan had at first [5] 48 X and Y are two schools in the same cluster In school X, the ratio of the number of girls to the number of boys is 4: 1 In school Y, the ratio of the number of girls to the number of boys is 2 : 3 School X has twice as many pupils as school Y
Trang 19
pe li Tuyen SINH LOP (0 THPT CHUYEN LUNG YAN TUY NINH BINH Nam hoc 2008 - 2009 * *%x *% *% x *% *% x *% *% x *%* *% x * * *x * *% *x *% Câu 1 Điều kiện x > 0; x z 1 đi tham quan là 529 em oo -B^x+2 Cau 4 Đáp số: P =————— M Vx +3 E 2) Ta c6 P= gg Xx 42 1 2 Vx+3 2 N B r © VX =-LẰ&x=_—— (thỏa mãn) 11 121 2.2 Câu 2 Ta có q- 2 k A D (a—b)2 + 2ab 4 1) Vi MAN = MCN = 90° nên tứ giác MCAN = — wn 2 nội tiếp
4 Suy ra AMN = ACN = 45°
2 2,(a — b) 3b 4 Vậy AMAN vuông cân tại A (đpcm)
2) Vì EC = EA nên E thuộc đường trung trực của AC
Suy ra D, B, E thẳng hàng (đpcm) (theo bất đẳng thức Cô-si)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a-b=-“~ a-b=2 3) Vì EC = EA nên AEAC đều AE = AC
a” 7 lu =2 © AM =+x/2AC © AM =2AD @ AM? =4AD?
ab = 2 (với a >b >0) 2 2 2 3
© DM“ + AD“ = 4AD“ (theo định lí Py-ta-go
©a=x3+1,b=x/3 -1 ( y-ta-go)
© DM“ =3ADˆ ©DM =-/3AD (thỏa mãn)
Cau 5 1) Gọi S là diện tích tam giác
Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 4
Câu 3 Gọi số ô tô ban đầu là x (x € N, x > 1) thì số học sinh là 22x + 1 Khi đó Vì 2S = ch = 2pr nên — = ce c h a+b+c 2⁄11 Nc+22+-2eNĂ=-2 c7, Do đó ° x—†1 x-†1 x—†1 r 2 e Suy ra x - 1 là ước số của 23 > 5 bac” Or sath Vì x> 1 nênx— 1c {1;23}xe {2; 24} 2 `2 2
Vì mỗi ô tô chỉ chở khơng q 32học VÌ(&- B}⁄ > 0 nên a + bí > 2ab sinh nên x = 24 © 2(a^ + b^) > (a + b)*
Trang 20c> va" +b? > = 2) Biến đổi giả thiết ta được (x — 1)y = - x2 — 2009x + 5 = (x — 1)(x — 2008) — 2003 => (x — 1)(x — y — 2008) = 2003 Vix, ye Znén x - 1 là ước số của 2003 Mà 2003 là số nguyên tố nên x—1ec {+1 ; +2009) Từ đó (x; y) e {Œ ; -4009) ; (0 ; -5) ; (2004 ; -5) ; (2002 ; -2009))} 3) Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao ME 2009 Vì AMCE có MC < ME nên MEC < MCE Do đó MEC nhọn ` + PRA iw MC a a Vi ACME co CME va ti s6 ME không đổi —-(a+b) >— sa + b) (đpcm)
nên các góc không đổi hay BEC không đổi Suy ra các điểm B, C, E nằm trên một đường tròn cố định Ta kí hiệu đường tròn này là (S) Ta có 2008MB + 2009MC = = 2008MB + 2008ME = 2008BE Suy ra điểm M cần tìm thỏa mãn BE là đường kính của (S) Chú ý góc BEC nhọn nên luôn tìm được điểm E thỏa mãn we Ke RK W W% W% W W% W% W W WẰW W% W # W%
Be THI THU LOP 9 THES TRUNG VUNG HA NO
Nam hoc: 2008 - 2009 Thời gian: 90 phút * *% *x KR RRR RE KR RRR KR RR KK KR ERK Câu 1 Cho biểu thức A-|_1 _ 2-2 —|, _ *x+1 XYx-Nx+x-1 ( 2 (4) a) Rut gon A b) Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị là số nguyên Câu 2 Một nhóm thợ đặt kế hoạch sản
xuất 2400 sản phẩm Trong 5 ngày đầu họ
thực hiện đúng mức đề ra nhưng vì muốn
hoàn thành sớm 5 ngày nên trong những
ngày còn lại họ phải làm vượt mức 20 sản
phẩm mỗi ngày Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày họ cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Câu 3 Cho AABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD, BE, CF cắt
nhau tại H và cắt (O) tương ứng tại A', B', C'
a) Chứng minh rằng tứ giác ABDE nội tiếp
b) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn
nội tiếp ADEF
c) Chứng minh rằng EF-A'B' = DE.B'.C'
d) Giả sử (O), B, C cố định còn A thay đổi
trên cung lớn BC Chứng minh rằng bán
kính đường tròn ngoại tiếp AAEF không đổi
Trang 21Hoi
Bao bé em đã giõn sóng nơi đây
Bắt dã tràng và xây lâu đài cát Nay những ai nhớ lời biển hát Như lời ru nghe thuỏ thiếu thời Sầm Sơn 1989 BÍNH NAM HÀ Các nhà toán học Đàn ong làm phép trừ Trừ rét bằng mật ngọt Bây chim làm phép chia
Chia niềm vui, tiếng hót Tia nắng làm phép nhân Trời sáng cao rộng dần Vườn hoa làm phép cộng Số thành là mùa xuân ĐĂNG HẤN Sam San
Bãi tắm đang giữa lúc đông người Sắc áo đủ màu, tiếng cười rộn rã Hai bố con ông thuyền chài lăng lẽ Ăn nắm cơm sau chuyến biển về
BÍNH NAM HÀ
Cái bút bảo cái compa
Viết được nhiều chữ như ta mới tài Compa nghe thế mỉm cười
Chẳng thà viết một chữ thôi, nhưng tròn! ĐĂNG HẦN 20 Cầu nào cũng chữ I Nhưng chỉ là I ngắn Cầu quê em lạ lắm Làm hẳn chữ Y dài
Xoáy nước tung bọt cười Xuồng ghe trơi như hội Đồn người xe vồi vội
Chẳng lạc lối khi nào Ô! Người chỉ trêu chữ
Chữ nâng người lên cao
Trang 22tường tron
Mọi điểm trên đường tròn Không có điểm nào trước Không có điểm nào sau
Chẳng cần chen nhau bước
Mọi điểm trên đường tròn Không có điểm nào trên ⁄ Không có điểm nào dưới ề 4 Chẳng cần sự ưu tiên Ns 3 : Điểm đầu là điểm cuối 5 i Nhé bé va ménh méng ca Khi không còn tâm nữa Đường tròn thành số không PHẠM QUÝ HÙNG Trong dãy số tự nhiên Số không vốn tinh nghịch Cậu ta tròn núc ních Nhưng nghèo chẳng có gì Thêm đuôi bỗng phát phì Số không thành số chín Treo ngược lên mà đếm Số chín rơi mất ba Chơi “trồng nụ trồng hoa” Hai số không thành tám
Chống gậy đi thăm bạn
Số không hóa số mười
DƯƠNG HUY
Vẽ tròn nhất tớ: com pa
Thước khoe ngay thẳng thật thà ai hơn
Bút nghe nửa giận nửa hờn:
Nếu không có tớ, thẳng-tròn ai hay?
LÊ QUỐC HÁN
Trang 23
Bài 1(73) Tìm tất cả các số tự nhiên mà
khi ta gạch bỏ đi một chữ số nào đó của số đó thì được số mới nhỏ hơn số cũ là 2009
don vi
Lời giải Nếu chữ số bị gạch bỏ của số
cần tìm không phải là chữ số hàng đơn vị thì
số mới sẽ có cùng chữ số tận cùng với số cũ Khi đó hiệu của hai số phải chia hết cho
10: vô lí vì 2009 không chia hết cho 10 Vậy chữ số bị gạch bỏ phải là chữ số hàng đơn vị Gọi chữ số cần tìm là Ax, với x là một chữ số, A là một số tự nhiên khác 0 Ta có Ax- A =2009 e› 9A + x = 2009 Vì 2009 chia 9 dư 2 và 9A : 9 nên x chia 9 dư 2 Mà x là một chữ số nên x = 2 Suy ra A = 223 Vậy số cần tìm là 2232
Nhận xét Nhiều bạn tham gia giải bài
toán này Hầu hết các bạn đều giải đúng Một số bạn cho rằng vì hiệu hai số là một số có bốn chữ số nên số cần tìm phải là một số có bốn chữ số Điều này không phải luôn
đúng Chẳng hạn 10000 — 1000 = 9000
Các bạn sau đây có lời giải ngắn gọn: Đặng Thắng Lợi, 8B, THCS Nguyễn Thượng Hiền, Ứng Hòa; Lê Minh Phúc, BA,, THCS Giảng Võ, Ba Đình, Hà Nội; Đính Hữu Minh
Khôi, 7H, THCS Trần Phú, TP Phủ Lí, Hà
Nam; Nguyễn Thị Ngọc Anh, 9B, THCS thị trấn Đông Hưng, Thái Bình; Nguyễn Văn Cường, 6D; Nguyễn Văn Thắng, 9B, THCS
Lý Nhật Quang, Đô Lương; Võ Duy Văn,
6A; Hoàng Danh Thắng, Hồ Khánh Duy, Hoàng Lan Hương, 7A, THCS Hồ Xuân
Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An; Đặng Duy
Linh, 9E, THCS Văn Lang, TP Việt Trì; Thạch Hoàng Giang, Vũ Thị Mai, 6A4; Vũ
Tuấn Linh, /A,, THCS Lâm Thao, Phú
Thọ; Nguyên Anh Dũng, 7C, THCS Hoàng Xuan Han, Duc Tho; Bui Van Vuong, 9B, THCS Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh; Nguyễn Thị Ngọc Ánh, 6A4, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên; Nguyễn Thị Hảo,
Nguyễn Ngọc Duy, 9C, THCS Vĩnh Tường; Lê Văn Tú, 9A,, THCS Yên Lạc, Vĩnh Phúc
HOANG TRONG HẢO
Bài 2(73) Giải phương trình
(3x + 1)ˆ +(4x+3)ˆ =J5x+7 +5
Lời giải Điều kiện: 5x + 7 >0 x> Ă
Trang 24V5x+7 =5y+3
Từ đó ta có hệ phương trình
(5x +3)* =5y +7
(5y +3)* =5x+7
2) Các bạn sau đây có bài giải tốt: Đặng
Duy Linh, 9E, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Hà Trung Hiếu, 8A, THCS Tam Dương; Lê Văn Tú, 9A,, THCS Yên Lạc;
Nguyễn Thị Hảo, 9C, THCS Vĩnh Tường,
Vĩnh Phúc; Nguyễn Tuấn Anh, 9A, THCS Phùng Chí Kiên, TP Nam Định; Trịnh Đức Lợi, 9E, THCS Giao Tân, Giao Thủy, Nam
Định; Tào Lê Minh, 9F, THCS Trần Mai
Ninh, TP Thanh Hóa, Thanh Hóa; Nguyễn
Văn Thắng, 9B; Nguyễn Văn Cường, 6D,
THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ
An; Lê Minh Thái, 8C, THCS Hoàng Xuân Hăn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Bùi Xuân Lộc, TA,
THCS Binh Tan, Tay Son, Binh Dinh
NGUYEN ANH DUNG
Bài 3(73) Giải hệ phương trình
x°+yˆ =2 (1)
x? +xy+y*-y =0 (2)
Lời giải (Của đa số các bạn)
Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn x
Khi đó A, = yˆ— 4(yˆ - y) = 4y - 3y
Từ đó (2) có nghiệm khi và chỉ khi
A.>0 © y(4 - 3y) >0 c>0<y<Š Suy ra yˆ <= (3) Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn y: (2) © y2 + y(x - 1) + x2 = 0 Ta 66 Ay = (x ~ 1)? ~ 4x* = — 3x? — 2x + 1 Khi đó A, > 0 < - 3x*- 2x +120 © (x + 1)(- 3x +1) >0 ee 1EKS— Suy ra x”< = (4) Tu (3) va (4) suy ra x3 + y? mm 27 9 27 Do đó (1) vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
Nhận xét Bài toán trên còn có một số
cách giải khác nhưng lời giải trên là ngắn
gọn nhất Các bạn sau có lời giải tốt:
Nguyễn Hữu Ánh, 9I, THCS Thành Cổ,
TX Quảng Trị, Quảng Trị; Lý Minh Hoàng,
Nà, THCS Thác Mơ, Phước Long; Dương
Tuấn Anh, 8A,, THCS Tan Xuan, P Tan
Binh, TX Đồng Xoài, Bình Phước; Định
Hữu Minh Khôi, 7H, THCS Trần Phú,
TP Phủ Lí, Hà Nam; Nguyễn Thị Ngọc Anh, 9B, THCS thị trấn Đông Hưng, Thái Bình; Nguyễn Như Bình, 8B, THCS Hoàng Xuân
Hãn, Đức Thọ, Hà Tĩnh; Đỗ Quốc Tiến, 9C,
THCS Thanh Thủy; Đặng Duy Linh, 9E, THCS Văn Lang, TP Việt Trì; Trần Thị
Tuyết Nhung, 9A., THCS Giấy, thị trấn
Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; Đậu
Hồng Quân, 7D, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu; Nguyễn Hồng Hạnh, Nguyễn
Văn Thắng, 9B; Lê Thị Phương Uyên, 9D,
THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương; Võ Duy
Văn, 6A; Phạm Văn Quyền, 6B; Hoàng Lan
Hương, Hoàng Danh Thắng, Vũ Văn
Tuệ, 7A; Phạm Văn Quân, 8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An; Hoàng
Minh Quang, 8C; Lê Trung Hiếu, Nguyễn
Hồng Quân, Phùng Quốc Toản, 9C, THCS
Trang 25Lời giải Số hạng thứ n của tổng trên bằng 1 , Với n = 1, 2, ., 669 (/3n -1 + -¥3n+2)° Với các số thực x z y bất kì ta có (x—y)?>0 = x2 + y2 > 2xy = (x + y)? > 4xy 1 Qiần-1+V3n+2)3 ` < 1 = 4./3n-1-V3n + 2(V3n-1+V3n +2) - 43n—1-A3n+2(3n+2—3n+1)- Do đó 1( 1 1 Ki rod Suy ra AaB +— 1 ts 2(42 v5 45 8 tu _ 1| — A2006 -/2009 1{ † 1 1 11 - AT mm 12/2 _ 138 (vi 11-12./2 =132-/2 >132-1,4 > 135) Bất đẳng thức đã được chứng minh
Nhận xét Đây là bài toán dạng cơ bản, quen thuộc với nhiều bạn học sinh Các bạn
sau có lời giải tốt: Nguyễn Thị Thúy Quyên,
6A, THCS Yên Phong, Bắc Ninh; Hà Trung Hiếu, 8A, THCS Tam Dương; Hoàng Minh Quang, 8C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc;
Đỉnh Hữu Minh Khôi, 7H, THCS Trần Phú,
TP Phủ Lí, Hà Nam; Nguyễn Thùy Linh, BA,, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định; Nguyễn Văn Cường, 6D, THCS
Lý Nhật Quang, Đô Lương; Nguyễn Thế
Tiến, 8E, THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh; Võ Duy Văn, 6A; Phạm Văn Quyền, 6B; Hồ
Khanh Duy, Hoang Lan Huong, Hoang Danh
Thắng, Vũ Văn Tuệ, 7A; Pham Văn Quân,
Quang Việt Thuân, 8C, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu, Nghệ An; Bùi Xuân Lộc,
7A,, THCS Binh Tan, Tay Sơn, Bình Định
NGUYỄN MINH ĐỨC
Bài 5(73) Cho hình bình hành ABCD
Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp AABC Biết
khoảng cách từ O đến A và hai đường thẳng
AD, AC tương ứng là 5, 4, 3 Tính diện tích
hình bình hành ABCD
Lời giải Giả sử đường tròn nội tiếp
AABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, CA tương ứng tại M, N, P K& OQ 1 AD (Qe AD) Có hai trường hợp cần xét TH1 Q thuộc đoạn AD A M B Qh 5 N P X X D C Từ giả thiết suy ra OA = 5, OQ = 4, và OM = ON = OP =3
Áp dụng định lí Py-ta-go cho các tam
giác QAO và MOA vuông tương ứng tại Q và M ta có
AQ? = AO? - 00? = 52 — 42 = 37 > AQ =3;
AM? = AO? - OM? = 52 - 32 = 42 > AM=4
Suy ra AM = QO, AQ = MO Do đó tứ giác AMOQ là hình bình hành Ma AMO = 909 nên AMOQ là hình chữ nhật Suy ra QAM = 909 Từ đó ta có ABCD là hình chữ nhật Đặt CP = CN = x
Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác ABC
Trang 26AP =AM=4, AB =AM + BM =7, ta có AC2=AB2 + BC2© (x+4)2= 72 + (x + 3)Ê Từ đó x = 21 và BC = 24 Vậy diện tích hình bình hành ABCD là 7-24 = 168 (đơn vị diện tích) TH2 Q nằm ngoài đoạn AD B X x M J A p C D Chứng minh tương tự trường hợp trên ta tính được ACB = 909, AC = 7, BC = 24 và từ
đó tính được S.secp = 168 (đơn vị diện tích)
Nhận xét Việc kẻ thêm đường phụ OQ L AD đặt ra cho ta hai khả năng là Q
thuộc đoạn AD hoặc Q nằm ngoài đoạn AD
Hầu hết các bạn chỉ xét một trong hai trường hợp trên Các bạn sau có lời giải tương đối
tốt: Hà Trung Hiếu, 8A, THCS Tam Dương,
Vĩnh Phúc; Đặng Duy Linh, 9E, THCS Văn Lang, TP Việt Trì Phú Thọ; Võ Duy Văn, 6A,
THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu; Nguyễn
Văn Cường, 6D, THCS Lý Nhật Quang, Đô
Lương, Nghệ An; Bởi Văn Vương, 9B, THCS Xuân Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh
HỒ QUANG VINH
Bài 6(73) Cho AABC có B = 359, € = 209,
BC = a và AC = b Tính bán kính đường tròn
ngoại tiếp AABC theo a và b
Lời giải Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC Kẻ đường kính CD của (O) A O Ta có BAC = 180° - ABC - ACB = 180° — 35° —20° =125° Suy ra BAD = 125° — 90° = 35° = ABC Do đó BD = AC = b Tu dé CD? = CB? + BD? = a? + b? (theo dinh li Py-ta-go) Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam Va? +b? a
Nhận xét 1) Bài toán này có nhiều bạn
tham gia giải và đều cho lời giải đúng Tuy nhiên, một số bạn vẫn phải tính toán dài
dòng Có bạn còn sử dụng định lí hàm số sin
(không có trong chương trình THCS) để
giải
2) Xin nêu tên một số bạn có lời giải tốt:
Hoàng Danh Thắng, Vũ Văn Tuệ, 7A, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu;
Nguyễn Văn Thắng, Nguyễn Hồng Hạnh,
9B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương,
Nghệ An; Nguyễn Thị Ngọc Anh, 9B, THCS Đông Hưng, Thái Bình; Lê Văn Tú, 9A,, THCS Yén Lac, Vinh Phuc
NGUYEN MINH HA
giac ABC bang
Trang 27
IIHIỆII #ÉT uà BÍIIW Biff NGUYỄN VĂN THẮNG
(HS 9D, THCS thị trấn Cao Thượng, Tân Yên, Bắc Giang) Giải phương trình (PT), hệ PT là các dạng toán được nhiều độc giả quan tâm Không chỉ vì cái hay của dạng toán này mà
đây còn là một phần của các đề thi quan trọng như thi vào lớp
10 THPT, thi vào các lớp chuyên, chọn Bài viết này giới thiệu một số cách giải PT hoặc hệ PT không mẫu mực bằng cách
nhận xét và đánh giá
Sau đây là một số ví dụ
Bài toán 1 Giải PT
|x - 2009|2009 + |x — 2010]7919 = 1 (1)
Phân tích - Phương trình này không thể giải được bằng các cách thông thường
- Nhẩm được (1) có hai nghiệm là x = 2009 và x = 2010 Lời giải TH1 x = 2009 hoặc x = 2010: thỏa mãn (1) TH2 x > 2010 Khi đó x - 2009 > 1 Suy ra |x —- 20092009 ~ 1, Mà |x - 2010|2019 > 0 nên (1) vô nghiệm TH3 x < 2009 Khi đó x - 2010 < -1 Suy ra |x — 20102019 > 4 Ma |x —- 2009|2099 ` 0 nên (1) vô nghiệm TH4 2009 < x < 2010 Khi đó 0 < x - 2009, 2010 — x < 1 Suy ra |x — 20092009 + Ix — 20102019 = = (x - 2009)2099 + (2010 — x)2919 < <x- 2009 + 2010 - x = 1 Tức là (1) vô nghiệm Kết luận (1) có hai nghiệm là x = 2009 và x = 2010 Bài toán 2 Giải PT (x + 2008)* +(x +2009)* = s (2)
Phân tích - Nếu khai triển thì (2) sẽ là
một PT bậc bốn phức tạp Hơn nữa việc
khai triển cũng không đơn giản
- Chú ý = = 273 va (2) duac viết lại dưới dạng (-x—2008)* +(x +2009)* = s với —X— 2008 +x+ 2009 = 1 Từ đó ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng 4 14 4 a'+b >[ 7”): thức 2 2 Lời giải Với các số thực a, b bất kì ta có (a - b)2 > 0 © a2 + b2 > 2ab > 2(a* + b?) > (a + b)? (*) Ap dung (*) ta c6 a* +b4 oe +b*)* > 1,1 22 _ Ï 4 >—(-(a+b 55! )*) = -(a +b) gì ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b Suy ra (x +2008)* +(x + 2009) = = (-x —2008)* +(x + 2009)* > > =(-x-2008 +x +2009)* = 1 3 Do dé -x-2008 = x+ 2009 x=
Vay nghiém ctia PT da cho la x = A017 Bài toán 3 Giải PT
Nx?+x+1+Ax2—x—1 =2|x| (3)
Lời giải Áp dụng (*) ta có
Trang 28
Ýx2+x+1+vx2~x—1< Bài toán 5 Giải hệ PT
x°+yˆ =2 (a)
<4|2(X2+x+1+x2~x~1) =4x2 =2|xỊ Vx ~ aly = (fy -lx)( 98 ; y2998), (p)
Do d6 (3) = Vx? +x+1 = Vx? —x-1 Lời giải Điều kiện: x, y > 0
=X?+X+1=xˆ-x-1€©x=-1 Tu (a) suy ra (x ; y) # (0 ; 0)
Thử lại thỏa mãn Suy ra x2008 + y2008 ` 0,
Vậy PT có nghiệm duy nhất là x = —1 Do đó nếu x > y thì VT(b) > 0 > VP(b): loại; Bài toán 4 Giải hệ PT nếu y > x thì VP(b) > 0 > VT(b): loại
*x+2+y-14 =4 Vậy x = y (thỏa mãn (b))
J+2+xx-14 =4 Thay vào (a) ta được x = y = 1
Vậy nghiệm của hệ PT đã cho là x = y = 1
Yon mm ne A >
Lới giải Điêu kiện: x, y > 14 Nhận xét Việc nhận xét và đánh giá
Ta có s|x+2 > x16 =4; sjy—14 > 0 giúp ta giải ngắn gọn một số PT, hệ PT
Suy ra Jx+2+ Jy -14 >4 không mẫu mực Thông thường, phương
Do đó x = y = 14 pháp này được dùng khi ta gặp một trong
các dấu hiệu sau ở đề bài:
- Chứa căn thức hoặc lũy thừa bậc cao
- Hệ đối xứng
- Có thể nhẩm nghiệm
Hi vọng các bạn sẽ giải tốt dạng toán
này Ther lai thoa mãn
Trang 29THACH DAU | THACH DAU DAY |
TRAN DAU THU SAU MUOI BAY
Người thách đấu Thái Nhật Phượng, GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghia, Cam Ranh, Khánh Hòa
Bài toán thách đấu Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [0 ; 4]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = /xy(x -y) + Jyz(y -z) + Vzx(z-x)
Xuất xứ Sáng tác
Thời hạn Trước ngày 15 - 07 - 2009 theo dấu bưu điện
Ret qua (TTT2 số 73)
Từ giả thiết suy ra TH2 a + b = 6 Tương tự ta được
100a + 10b +c= 9(a2+b2+c2) (1) a(11 - a) = 19: vô nghiệm
Suy ra (a+b+c) : 9 TH3 a + b = 4 Tương tự ta được
Vì 1<a<9,0<b, c< 9 (do a, b, c là các _— _ (a-3)(a-6) =0,
chữ số) nên 1<a + b+c< 27 Từ đóa =3,b = 1,c =5
Do đó a+b+cc {9; 18; 27) TH4 a + b = 2 Tương tự ta được
+ Nếu a+b+c= 27 thìa =b=c= 9: a(/ — a) = 23: vô nghiệm
không thỏa mãn (1) Vậy số cần tìm là abc = 315
+ Nếua+b+c= 18 thi Nhận xét Cách giải trên chỉ cần kiến
abc = 9(a2 + b2 + c2) = 3(a+b+c)2+ thức của lớp 8 Phương trình (2) có thể giải
b2: pm 2 với kiến thức của lớp 9 bằng cách đưa về
t(a-b}+ (b- + (c- aJ) phương trình bậc hai ẩn a
> 3(a + b + c)Ê= 3-187 = 972 Có 7 võ sĩ tham gia trận đấu này Tất cả Suy ra a = 9 và b> 7 các võ sĩ đều dẫn đến có ba trường hợp là Khi đó 9(a^ + b2 + c2) > 9(92+ 72) = 1170 at+b+ce {9; 18 ; 27} Có võ sĩ giải hay
Tức là abe > 1170, vô lí trường hợp a + b + c = 9 nhưng không hay
trường hợp a + b + c = 18 và ngược lại Bởi vậy, rất tiếc không có võ sĩ nào được đăng
quang trong trận đấu này _ NGUYÊN MINH ĐỨC +Xéta+b+c=9 Vì 100a + 10b + c= 9(11a + b)+a+b+c nên từ (1) ta được 11la+b+1=a2+b2+(9-a-b)^ (2) Xét các trường hợp a, b cùng hoặc khác tính chẵn, lẻ ta đều có a^ + b + (9 - a - b)^ là số lẻ Do đó 11a + b + 1= 10a +a+b+ 1 là số lẻ hay a + b là số chẵn Via+b<9néna+be {2;4;6; 8} TH1.a+b=8 Thay b = 8 - a vào (2) ta
được 10a + 9 = a2 + (8 - a)2 + 1
Tức là a2— 13a + 28 = 0 hay a(13 — a) = 28
Chú ý a là chữ số và 1 < a < 8 nên
Trang 30Két qua Thuế giá trị gia tăng của món hàng là 14 14% của $85 =———x$85 b $ 100 $ = $11,9 $ Tổng số tiền phải trả là: $85 + $11,9 = $96,9
Nhận xét Nhiều bạn tham gia giải bài
này Hầu hết các bạn đều tính đúng
Ngoài lời giải trên, ta còn có cách giải
khác như sau
Nếu giá gốc là 100 phần thì thuế giá trị gia tăng là 14 phần Do đó, giá gồm thuế
là 114 phần
Vậy giá phải trả khi mua món hàng trên
là 114% của $85 - _ 14 885 = $96,9 100
Các bạn được thưởng kì này: Đỗ Hồng
Đăng Hải, 8A, THCS Tản Đà, Ba Vì, Hà Nội; Nguyễn Nhật Linh, 8A4, THCS Giấy, thị trấn Phong Châu, Phù Ninh; Hà An Huy, 6H, THCS Văn Lang, TP Việt Trì,
(TTT2 số 73)
Phú Thọ; Trần Thị Hà, 7C, THCS Hòa
Hợp, Tam Dương, Vĩnh Phúc; Nguyễn
Thùy Linh, 8Aa, THCS Trần Đăng Ninh, TP Nam Định, Nam Định
HOÀNG ANH KIỆT
Cac ban dase thuaing bh nay
Dinh Hữu Minh Khôi, 7H, THCS Trần Phú, TP Phủ Lí, Hà Nam; Nguyễn Thị Ngọc Anh, 9B, THCS thị trấn Đông Hưng,
Thái Bình; Nguyễn Văn Cường, 6D;
Nguyễn Hồng Hạnh, Nguyễn Văn Thắng,
9B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương; Võ
Duy Văn, 6A; Hoàng Danh Thắng, Hồ
Khanh Duy, Hoang Lan Huong, 7A; Pham
Văn Quân, 8C, THCS Hồ Xuân Hương,
Quỳnh Lưu, Nghệ An; Đặng Duy Linh, 9E, THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú
Tho; Bui Van Vuong, 9B, THCS Xuan Diệu, Can Lộc, Hà Tĩnh; Hà Trung Hiếu, 8A, THCS Tam Dương; Lê Văn Tú, 9A,, THCS Yén Lac; Nguyén Thi Hao, 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc; Bui Xuan
Lộc, 7A., THCS Bình Tân, Tây Sơn, Bình Định
Trang 31Tiếp tục về
CAN BAC hai
NGUYEN BUC HAO (GV THCS Lam Sơn, Q 6, TP Hồ Chi Minh)
TTT2 số 68 đã giới thiệu bài viết Biến đổi căn bậc hai phức tạp dạng +M+2xN, với M =x+y,N~>=xy Bài viết này sẽ tiếp tục giúp các bạn giải một số bài toán khó hơn liên
quan đến căn bặc hai Sau đây là một số ví dụ Bài toán 1 Rút gọn biểu thức © (x— 3)(x3 + 3x2 — x + 4) = 0 An v3 2_ a= 4453 + 540107 +43 | Vi x >V5 nén x? + 3x?-x+4>0 , Suy ra X = 3
Lời giải Ta rút gọn biểu thức theo các Bài tập tương tự Tính
Trang 33\Ể š r U v > Ci ma Te d ‘ ~~
ể đăng kí học đại học tại Thai Lan,
+): sinh phải hoàn thành chương trình THPT hoặc tương đương lớp
12 Đơn đăng kí (form) gửi trực tiếp đến
trường (hoặc viện đại học) Một số trường
yêu cầu thí sinh phải thi kiểm tra GRE (Graduate Record Examinations), GMAT (Graduate Management Admission Test)
hoặc phỏng vấn
Năm học ở Thái Lan thường gồm hai học kì, mỗi học kì 16 tuần Học kì 1 thường bắt đầu từ tháng 6 đến tháng 10, học kì 2 từ tháng 11 đến tháng 3 (của năm sau) Tháng 4 và 5 là kì nghỉ hè Một số trường học từ tháng 9 đến tháng 5 Có trường chia một năm học thành ba học kì
Mỗi học kì, sinh viên học từ 9 đến 15 tín
chỉ và có vài ba bài kiểm tra giữa và cuối kì Để đạt trình độ cử nhân, sinh viên phải
hoàn thành khoảng 120 - 150 học phần, với
điểm trung bình từ 2,0 trở lên (trên tối đa là 4,0) Điểm số và mức độ đánh giá thường
được tính như sau: Mức độ Xếp loại Điểm số A Xuất sắc 4,0 B” Rất tốt 3,5 B Tốt 3,0 C” Tương đối tốt 2,5 C Trung bình 2,0 D” Yếu 1,5 D Rất yếu 1,0 F Kem 0
Sau khi hoan thanh bac dai hoc, dé hoc cao học, thí sinh phải hoàn thành thêm tối DE HOC TAP TAI THAI LAN VU KIM THUY thiểu 36 tín chỉ, với điểm trung bình từ 3,0 trở lên Còn nếu muốn học nghiên cứu sinh
thì phải hoàn thành thêm tối thiểu 72 tín chỉ,
chưa kể việc đăng bài trên các tạp chí khoa học và làm luận án Riêng thạc sĩ làm nghiên
cứu sinh cần học ít nhất 48 học phần
Sinh viên học tập tại Thái Lan có thể vào mang UniNet (Inter University Network) lién kết các trường với các thư viện Mạng này
cũng kết nối với mạng internet toàn cầu,
Internet 2, STAR, TAP, APAN, với trên 1000
trường đại học lớn trên thế giới Ngoài ra,
sinh viên có thể vào mạng EdNet (National Education Network) của Bộ Giáo dục Thái Lan
Học tập tại Thái Lan, sinh viên được phép làm thêm Học phí và các chi phí khác
khoảng 400 đến 750 nghìn bạt cho một
năm học ở bậc đại học (giá phòng ở kí túc xá khoảng 5 đến 8 nghìn bạt mỗi tháng)
Hồ sơ xin học ở Thái Lan gồm: - Form đã điền đầy đủ - Hộ chiếu còn hạn ít nhất 6 tháng và một bản phôtô - Hai ảnh 4 x 6 cm - Thư giới thiệu - Visa nhập cảnh
Từ năm 2000, Ủy ban Giáo dục Thái Lan (CHE), Bộ Giáo dục Thái Lan bắt đầu
Chương trình trao đổi giảng viên và sinh viên giữa Thái Lan và các nước lân cận
bằng cách tài trợ chỉ phí đi lại, ăn ở, sinh
hoạt Các hoạt động bao gồm: học một học kì, nghiên cứu chung, phát triển chương
trình giảng dạy, nâng cao trình độ dạy và
học
Triển lãm giáo dục Thái Lan lần thứ nhất đã được tổ chức tại TP Hồ Chí Minh và Hà Nội nam 1999
Trang 34
Thái Lan đã tổ chức Hội thảo về Xây
dựng nguồn nhân lực vì sự thịnh vượng
trong khu vực, tập trung vào các lĩnh vực:
Công nghệ thông tin và truyền thông, Du
lich và ngôn ngữ Thái Lan cũng đã tổ chức tại Việt Nam Hội thảo giữa những nhà quản lí của các trường đại học hai nước với chủ
đề: Tầm nhìn và những hành động chung vì
sự phát triển bền vững và thịnh vượng
Một số trường của Thái Lan đã có quan
hệ với một số trường ở Việt Nam như với Đại
học Quốc gia Hà Nội, Viện đại học Mở Hàng chục suất học bổng của Thái Lan đã được trao mỗi năm cho các sinh viên Việt
Nam đủ điều kiện Nhiều suất học bổng
toàn phần dành cho chương trình cao học
Một số chú ý khác: Nhiệt độ ở thủ đô Băng Cốc từ 25°C đến 359C Thời tiết có
gió mùa từ tháng 5 đến tháng 9, ôn hòa và mát mẻ đến tháng 2 và nóng đến tháng 4 Trong năm, nhiệt độ cao nhất vào tháng 3, 4 và thấp nhất là tháng 12, tháng giêng Thời gian theo múi giờ GMT + 7 (Greenwich Mean Time)
Thái Lan là nước quân chủ lập hiến, có
Vua Đa số dân Thái Lan là người Thái Một
số ít người gốc Hoa, Ấn Độ và các dân tộc
khác Dân số ở Băng Cốc khoảng 8 triệu
người Tôn giáo chính ở Thái Lan là đạo
Phật (với 95% dân số) Ngoài ra có một số
dân theo đạo Hồi, Thiên chúa, Hindu và các
đạo khác Hầu hết người dân nói tiếng Thái Ngoài ra, tiếng Anh và tiếng Hoa được dùng
trong kinh doanh Ở các thành phố lớn, dân
chúng hiểu và nói được tiếng Anh khá nhiều
Kil THI OLYMPIC TOA HEC
KHU VUC CHAU A - THAI BINH DUGHE
HAM 2009 (APMOSP)
Kì thi do Học viện Hwa Chong, Singapore tổ chức với sự hợp tác của Tập đoàn Giáo dục
Quốc tế KinderWolrd tại Việt Nam
Kì thi gồm 2 vòng thi, thể hiện bằng tiếng Anh Đây là kì thi dành cho học sinh lớp 6 sinh từ ngày 1.1.1997 đến ngày 30.6.2007 và lớp 7 sinh từ ngày 1.7.1996 đến ngày 31.12.2006 Thí sinh đăng kí tham dự kì thi này tại trường nơi mình đang theo học Ban Giám hiệu
mỗi trường đề cử tối đa 20 thí sinh đại diện cho trường tham dự kì thi này và gửi danh sách vào ngày 10.3.2009 Thí sinh được lựa chọn sẽ đăng kí trực tiếp với điều phối kì thi và nộp
phí đăng kí là 150 000 đồng
Tại Việt Nam, vòng 1 thi tại Hà Nội vào ngày 25.4.2009, do học sinh một số trường chất
lượng cao tham dự Công bố kết quả ngày 9.5.2009 Địa điểm đăng kí và dự thi vòng 1: Trường Quốc tế Uniworld, khu C3, Phú Thượng, Tây Hồ, Hà Nội
Những thí sinh có kết quả vòng 1 cao nhất khu vực châu Á - Thái Bình Dương sẽ tham dự
vòng 2 tại Học viện Hwa Chong, Singapore ngày 30.5.2009 Chi phí đi lại và ăn ở vòng 2
của thí sinh được tài trợ toàn bộ Kết quả được công bố ngày 30.5.2009 Có 40 giải cá nhân trao cho 40 thí sinh suất sắc nhất vòng 2 gồm huy chương và tiền mặt (cao nhất $1000)
PV TTT
Trang 35c ‘4 Danhchocacnha
toan hoc nho %4
BA THỨP BAT KHA QUY LA Gi?
NGUT PGS TS LÊ QUỐC HÁN (Khoa Toán, Đại học Vinh)
Để hiểu bài viết này, bạn cần biết khái niệm
đa thức, bậc của đa thức và khái niệm phân tích một đa thức thành tích các đa thức
Trong bài viết này, các đa thức được xét
đều là những đa thức với hệ số hữu tỉ
Định nghĩa 1 Đa thức f(x) được gọi là bất
khả quy nếu nó không thể phân tích được
thành tích của hai đa thức có bậc nhỏ hơn nó
Trong trường hợp ngược lại, f(x) được gọi là đa thức khả quy
Nhận xét + Rõ ràng các đa thức bậc
nhất là những đa thức bất khả quy và các
đa thức bậc hai là bất khả quy khi và chỉ khi
nó không có nghiệm hữu tỉ Đối với các đa
thức bậc cao hơn, tình hình trở nên phức tạp
hon Chang han, da thtic f(x) = x* + x2 + 1
không có nghiệm hữu tỉ nhưng khả quy Thật vay, vi f(x) > 0, V x € R nén f(x) khéng
có nghiệm hữu tỉ Hơn nữa, f(x) khả quy vi
f(x) = (x2 + 1)? — x? = (x2+x+ 1)@&2T— x + 1)
+ Ngoài ra, tính khả quy của các đa thức
f(x) và f(x + m) là như nhau nếu m là một số
hữu tỈ
+ Giả sử f(x) là một đa thức với hệ số hữu
fÏ và m là bội chung nhỏ nhất của mẫu số
các hệ số của f(x) Khi đó đa thức g(x) = mf(x)
có tất cả các hệ số đều là những số nguyên
Định nghĩa 2 Gia sử f(x) là một đa thức
với hệ số nguyên Khi đó f(x) được gọi là
nguyên bản nếu ước chung lớn nhất của các hệ số của f(x) bằng 1
Nhận xét Nếu f(x) là một đa thức với hệ
số nguyên và d là ước chung lớn nhất của
các hệ số của f(x) thi f(x) = dg(x), trong đó g(x) là một đa thức nguyên bản
Bài toán 1 Chứng minh rằng tích của hai đa thức nguyên bản là một đa thức nguyên bản Lời giải Giả sử u(x) = ao + a;X+ + a.X” va v(x) = bọ + b„x + + b„ x”" là các đa thức nguyên bản và f(x) = u(x)v(x) Giả sử f(X) = cọ + CạX + + Cl vmX" TT, Để chứng minh f(x) là đa thức nguyên bản ta chỉ cần chứng minh nếu p là một số nguyên tố bất kì thì tồn tại ít nhất một hệ số của f(x) không chia hết cho p
Thật vậy, ta xét các trường hợp sau
TH1 ao và bạ đều không chia hết cho p Khi đó cọ = aobạ, là số không chia hết cho p (vì p là số nguyên tố)
TH2 Chỉ một trong hai số au hoặc bạ chia hết cho p
Không mất tính tổng quát, ta có thể giả Sử ao : p và bạ không chia hết cho p
Vì u(x) là đa thức nguyên bản nên p không
thể là ước số của tất cả các hệ số của u(x) Suy ra tồn tại số tự nhiên r thỏa mãn đồng
thời các điều kiện: r < n; các số 8g, 8a, 8,
chia hết cho p và a, , ; không chia hết cho p Xét hệ số c, „ Đây là tổng của các tích a,b„, với 0 <i <r + 1;0<k<mvài+k=r+t 4Po không chia hết cho p, các thừa số còn lại đều chia hết cho p Suy rac, , ,
Trong tổng này, ngoại trừ an,
không chia hết cho p
Trang 36
Tương tự như TH2, ta chứng minh được
tồn tại các số tự nhiên r, s thỏa mãn đồng
thời các điều kiện: r < n; s < m; các số Ap;
Ay, -,@,, Do, b,, ., b, chia hét cho p; cac
số a, ;, b , ; không chia hết cho p Từ đó
SUY ra › không chia hết cho p (đpcm)
Bài toán 2 Cho f(x) là đa thức với hệ số
nguyên, g(x) là đa thức nguyên bản và số hữu tỉ k thỏa mãn f(x) = kg(x)
Chứng minh rằng k là một số nguyên
Lời giải Giả sử k =< là phân số tối giản
(với d > 0) và f(x) = ao + a¿X + + a.XỈ, Q(x) = by + b,x + + bx" Véi moiic {(0;1;2; ; n}tacd a; =<b = da; =cb; Do do cb, : d Vì (c, d) = 1 nénb, : d Ma g(x) la da thức nguyên bản nên d = 1 Do đó k là một số nguyên (đpcm)
Nhận xét Theo chứng minh trên ta có
a,: c hay a,: k, Vie {0;1;2; ;n} Tức
là k là ước của ước chung lớn nhất các hệ số cla f(x)
Bài toán 3 Cho f(x) là một đa thức khả quy với hệ số nguyên Chứng minh rằng f(x) phân tích được thành tích các đa thức có
bậc nhỏ hơn f(x) với hệ số nguyên
Lời giải Vì f(x) là đa thức khả quy nên
tồn tại các đa thức u(x), v(x) có hệ số hữu ti va bac nhỏ hơn bậc của f(x) sao cho
f(x) = u(X)v(x)
Gọi a, b thứ tự là bội chung nhỏ nhất của mẫu số các hệ số của u(x), v(x)
Khi đó au(x), bv(x) là những đa thức có hệ số nguyên Gọi c, d thứ tự là ước chung lớn nhất của các hệ số của au(x), bv(x) au(X) bv(x) Khi d6 —— =u,(x), 7 v4(x) là những Cc đa thức nguyên bản Ta có f(x) = u(x)V(x) = —w(x)w@)
VÌ u;(x), v;@) là những đa thức nguyên bản nén theo bai toan 7 thi u,(x)v,(x) là một da
thức nguyên bản
Theo bài toán 2 thì = là một số nguyên
a
Vậy f(x) có thể phân tích thành tích hai
đa thức có bậc nhỏ hơn f(x) với hệ số nguyên là ou (x) va v,(x) (đpcm) a Bài toán 4 Chứng minh rằng nếu n c Ñ” thì f(x) = x(x - †1)(x - 2) (x - n) - 1 là đa thức bất khả quy
Lời giải Giả sử f(x) là đa thức khả quy Theo bài toán 2 thì tồn tại các đa thức g(x) và h(x) có hệ số nguyên và có bậc nhỏ hơn n + 1 (là bậc của đa thức f(x)) thỏa mãn f(x) = h(x)g(x) Dat k(x) = h(x) + g(x) Khi đó, với mỗi số ¡ e {0 ; 1; 2; ; nìta có f(i) = h()g() = -1 Mà hí(), g() là các số nguyên nên hí() = 1, g() =—1 hoặc h(i) = -1, g(i) = 1 Do dé k(i) = 0 Vì g(x), h(x) là các đa thức có bậc nhỏ
hơn n + 1 nên nếu k(x) có bậc thì bậc của
đa thức này phải nhỏ hơn n + 1 Mà k(x) có n + 1 nghiệm là 0, 1, 2, , n nên k(x) = 0 Tức là h(x) = - g(x) Suy ra f(x) = — (h(x))Ê Do đó hệ số bậc cao nhất của f(x) là số âm: vô lí vì hệ số đó bằng 1, là một số dương (đpcm)
Nhân xét + Trong chứng minh trên, ta đã sử dụng kết quả quen thuộc: Đa (hức bậc n (với n c Đ”) có khơng q n nghiệm thực
+ Như vậy, việc xét tính bất khả quy của
các đa thức bậc cao nói chung không đơn giản Nhà toán học Aidenstainơ đã đưa ra
một điều kiện đủ để nhận biết tính bất khả quy của các đa thức với hệ số hữu tỈ
Tiêu chuẩn Aidenstainơ
Giả sử f(x) = ao + a;X + + a,x” (với n > 1)
là một đa thức với hệ số nguyên và p là một
Trang 37
số nguyên tố thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: ¡) a không chia hết cho p l)a.:p,Vie {0;1; ;n-— 1}
iii) a› không chia hết cho p
Khi đó f(x) là một đa thức bất khả quy Lời giải Giả sử f(x) là một đa thức khả quy Khi đó tổn tại các đa thức g(x), h(x) với
hệ số nguyên và có bậc nhỏ hơn n thỏa man f(x) = g(x)h(x) Giả sử g(%) = bọ + bạx + + b„x” và h(x) = cọ + CX + + GXỈ, Ta có 3g = DoCạ; a, = boc, + b,Cp; ¬ a, = boc, + b,c, _, + + DuCọ; ¬ bc Vi a, : Pp Nén boc, : p Ma p là số nguyên tố nén b, : p hoặc cọ : p Không mất tính tổng quát, ta có thể giả SỬ bạ : p
Vì bocg không chia hết cho pˆ nên Co
không chia hết cho p Mà a, = b,c, + b,c, chia hét cho p nén Cứ tiếp tục như trên ta suy ra các số bụ, bạ, ., b„, chia hết cho p Do đó g0) là đa thức có các hệ số nguyên p Suy ra f(x) = p22) là đa thức có các hệ số chia hết cho p: vô lí vì a, không chia hết cho p
Vậy f(x) là đa thức bất khả quy (đpcm)
Nhận xét + Theo tiêu chuẩn Aidenstainơ
thì đa thức f(x) = 3x4 + 2x? + 8x? + 6 la bat
khả quy vì có số nguyên tố p = 2 thỏa mãn: 3 không chia hết cho 2; các hệ số 2, 8 và 6
đều chia hết cho 2; 6 không chia hết cho 4
+ Áp dụng tiêu chuẩn Aidenstainơ và
công thức nhị thức Newton cho khai triển lũy
thừa của tổng: (a+ b)" = Cha" + chan~†pb + + + O*a"~KpbK + + Chp", với ne Ñ* và n! ta có kí hiệu nl = 1-2- n, CR =n’ in — K)!
bai toan sau
Bài toán 5 Cho p là một số nguyên tố và fx) =xP~†+xP~2+ +x + 1 Chứng minh răng f(x) là đa thức bất khả quy Lời giải Đặt y = x - 1 thì x = y + 1 p_ p_ Khi do f(x) - 2 - Yt 1_ x—1 y = CpyP “Ty Chy? —2 4 4+ Cry? Tk-T + + CŨ ~^y + CP ~Í = g(y), Với mọi ke {1 ;2; ;p-— 1} thì ck _ PP —1) (p —k + Ÿ) P k! Ma (p, k†) = 1 (Vì p là một số nguyên tố) là một số tự nhiên nên CS : p Ma Có = 1, là số không chia hết cho p và Ch -1_p, la sé khéng chia hét cho p2 nén theo tiêu chuẩn Aidenstainơ thì g(y) là đa thức bất khả quy Do đó f(x) là đa thức bất khả quy (đpcm) Nhận xét Cho đến nay, một điều kiện cần và đủ để đa thức là bất khả quy vẫn chưa được phát hiện Bài tập tự luyện Bài 1 Chứng minh rằng các đa thức sau đây bất khả quy a) x' + 6x3 — 18x2 + 42x + 12 b) x4 — 8x3 + 12x? - 6x + 3 c) x*- x3 +x + 1 Bài 2 Tìm điều kiện cần và đủ của các số nguyên p và q để đa thức xf + px2 + q bất khả quy
Bài 3 Chứng minh rằng nếu a,, a., , a là các số nguyên phân biệt (với n c Ñ*)
thì fX) = & - a;)Œ& - a.) X— a,) - 1 là đa
Trang 38
@ Ki nay ,
Lam the
on khơng?
Bài tốn Cho hình thang ABCD đáy AB Hãy xác định vị trí của đường thẳng d song song với AB sao cho các cạnh bên và các đường chéo của hình thang định ra trên d những đoạn thẳng bằng nhau
Lời giải Gọi O là giao điểm của AC và Đường thẳng d qua Q song song với AB BD Đường thẳng qua O song song vớiAB cắt AD, BD, BC tương ứng tại P, R, S cắt AD, BC tương ứng tại M và N Ta có đường thẳng d cần tìm
Gọi Q là giao điểm của AO và BM Thật vậy, theo định lí Ta-lét ta có OM DO CN_ ON AB DB CB AB Suy ra OM = ON Tuong tu PQ = QR QR BhR SR Ma — = — =— OM BO ON Tuc la PQ = QR = RS (dpcm) Theo ban, lời giải trên có ổn không? PHAM LIEN (GV THCS Mai Dịch, Hà Nội) @ Két qua LOI GIẢI ĐÃ TRỌN VEN? (TTT2 số 73) Nhận xét Cả hai trường hợp cần xét
của đường thẳng d đều đúng nhưng ta
phải so sánh 2AM với BC để tìm ra đâu là
tổng lớn nhất của BB' + CC A
Với kiến thức lớp 9, ta thấy ngay A nằm
trong đường tròn đường kính BC (vì góc A tù) Suy ra AM < MB Tức là 2AM < BC Tuy nhiên, ta có thể chứng minh 2AM < BC , + f f bằng kiến thức đơn giản hơn như sau B M C nên QR = RS A B Vậy đường thẳng d cần dựng vuông góc với BC D Hạ CD L AB (D c AB) Vì M là trung điểm BC nén MB = MC = MD
Vi BAC là góc tù nên D thuộc tia đối của tia AB
Suy ra MAD > MBA =MDA Do d6 MD > MA= 2MD > 2MA
Hay BC > 2MA
Các bạn hãy làm bài toán tương tự trong trường hợp góc A vuông hoặc nhọn nhé
Các bạn được thưởng kì này: Nguyễn Văn Cường, 6D, THCS Lý Nhật Quang, Đô
Lương, Nghệ An; Nguyễn Thị Như Quỳnh,
8B, THCS Kiều Phú, Quốc Oai, Hà Nội
ANH KÍNH LÚP
Trang 39
ce i) “THUÊ: wu THU NHAP VU KIM THUY ® — _
Thuế thu nhập là thuế đánh trên số tiền nhận được từ trong nước hoặc từ các tổ chức ngoài nước trong thời gian bắt đầu từ ngày 1 tháng 1 đến hết này 31 tháng
12 (during the year started 1St January and ended 34! December) Thué thu nhập
phải trả tính toán dựa trên thu nhập chịu thuế của mỗi người:
Số tiền giảm trừ bao gồm giảm trừ cá nhân, giảm trừ cho vợ (chồng), con, phí
bảo hiểm nhân thọ, tiền đóng cho quỹ dự phòng quốc gia (CPF) và quà tặng cho
các tổ chức từ thiện dưới dạng tiền mặt, v.v
Số lượng thuế thu nhập phải trả được tính theo suất thuế
Ví dụ Năm 1998, IDR Singapore gửi tới những người đóng thuế bảng suất thuế như sau:
Số tiền đầu tiên 7 500 2 150
Số tiền tiếp theo đến 12 500 5 625
Số tiền đầu tiên 20 000 775
Số tiền tiếp theo đến 15 000 8 4 200
Số tiền đầu tiên 35 000 4975 Số tiền tiếp theo đến 15 000 12 1 800
Bài toán Năm 1998, Richard có tổng thu nhập là $48 000 Tính thuế thu nhập
anh ấy phải trả nếu được giảm trừ như sau: cá nhân $3 000, vợ $1 500, ba con mỗi
người $1 500, anh trai bị khuyết tật $2 500, bảo hiểm nhân thọ và đóng góp quỹ
dự phòng quốc gia CPF $5 000, quà tặng từ thiện $200 Lời giải Tổng số tiền giảm trừ là:
Trang 40Thu nhập chịu thuế là: $48 000 - $16 700 = $31 300 Ta có
Thu nhập chịu thuế Thuế
Số tiền đầu tiên $20 000 $775,00 Số tiền tiếp theo đến $11 300 suất 8% $904,00
$31 300 $1 679,00
Thuế thu nhập Richard phải đóng $1 679
Bài tập A married man with three children, one of whom is handicapped, earned $24 000 last year Given that his wife is not working and that he contributed $3 660 to wards CPF as well as paid $720 on his life insurance policy, find the income tax
he has to pay Use the following information: Reliefs: personal, $3 000; wife, $1 500;
children, $1 500 each; handicapped children, $2 500
Lời giải Chờ các bạn gửi về
TỪ TIẾNG ANH THƯỜNG GẶP
chargeable income thu nhap chiu thué
relief giảm trừ, giảm nhẹ
charitable từ thiện
insurance bảo hiểm, tiền đóng bảo hiểm
premium phi bao hiém contribution tiền đóng góp provident tiét kiém, lo xa
according to theo
tax rate suat thué
gross tax payable tổng lượng thuế phải trả