So 80 Full re pdf
Trang 2Children’s Fun Maths Journal lan tuổi tÃo TRUNG HỌC CƠ SỞ NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM - BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CHỊU TRÁCH NHIỆM XUẤT BẢN
Phủ tịch HHIT kiêm Tổng Biám đốc IIRBBI) Uiệt Ilam:
NGƯT NGÔ TRẦN ÁI
Phú Tổng Biám đốc kiêm Tổng biên tập IIRBBD Uiệt [lam:
TS NGUYÊN QUÝ THAO
HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP
Phó Tổng biên tập phụ trách tạp chí: ThS VŨ KIM THỦY
Thư kí tòa soạn: NGUYỄN XUÂN MAI
Ủy viên Hội đồng biên tập: PGS TS VŨ DUONG THUY, GS NGUYEN KHAC PHI, PGS TS TRAN KIEU, PGS TS NGND TON THAN, TS NGUYEN VAN TRANG, PGS TS VU NHO, TS TRINH TH! HAI YEN, ONG NGUYEN KHAC
MINH, ONG PHAM DINH HIEN, PGS TS NGO
HỮU DŨNG, TS TRẦN ĐÌNH CHAU, NGND vU
HỮU BÌNH, TS NGUYỄN MINH HÀ, PGS TSKH VŨ ĐÌNH HÒA, TS NGUYỄN MINH ĐỨC, PGS TS LÊ QUỐC HÁN, ÔNG ĐÀO NGỌC NAM, ONG NGUYEN DUC TAN, TS NGUYEN ĐĂNG QUANG, TS TRAN PHUONG DUNG, TS NGO
ANH TUYET, ONG TRUGNG CONG THANH
Biên tập: HOÀNG TRỌNG HẢO, PHAN HƯƠNG Trị sự - Phát hành: TRỊNH ĐÌNH TÀI, TRỊNH THỊ TUYẾT TRANG, MẠC THANH HUYỀN, NGUYỄN HUYỀN THANH Chế bản: ĐỖ TRUNG KIÊN Mĩ thuật: TÚ ÂN
Đại diện tại miền Trung: ThS NGUYỄN VĂN
NHO, Ban Biên tập Toán Tin, NXB Giáo dục tại
TP Đà Nẵng, 15 Nguyễn Chí Thanh, TP Đà
Nẵng BT: 0511.3887548
Đại diện tại miền Nam: ƠNG TRẤN CHÍ HIẾU,
Giám đốc Công ti CP Sách - TBGD Bình Dương,
283 Thích Quảng Đức, TX Thủ Dầu Một, Bình Dương ĐT: 0650.3858330
( Z
ÉTRoNG SỐ NÀY
® Những nhân vật, những tác giả của TTT
Nhà thơ Trần Đăng Khoa Bìa 3
® Học ra sao? Một bài toán thú vị
Nguyễn Đúc Tấn 2 ® Giải toán thế nào?
Chứng minh giá trị của một biểu thức
không là một số nguyên
Thái Nhật Phượng 6
® Nhìn ra thế giới
Một số bài toán từ cuộc thi Toán liên quốc
gia thuộc Bắc Âu và Bắc Đại Tây Dương
Nguyễn Văn Nho 8
® Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương, Phú Thọ 11 ® Đến với tiếng Hán Nguyễn Vũ Loan 18 ® Lịch sử Tốn học Bảy miếng nghìn hình (Tangram) và biến dạng T của nó Trương Cơng Thành 20 ® Dành cho các nhà toán học nhỏ Vận dụng đường thẳng Sim-sơn để giải toán Thái Nhật Phượng 22 ® Kết quả Đố vui 24 ® Trò chuyện Campuchia Vũ Kim Thủy 28 Ảnh bìa 2:
Từ trái sang: GS Vũ Hoan, 6S Nguyễn Văn
Mậu, 6S Lê Tuấn Hoa, Th§ Vũ Kim Thủ
Trang 3MOT BAI TOAN THU VI
NGUYEN DUC TAN (TP Hồ Chí Minh)
Tình cờ, chúng tôi phát hiện ra một bài toán thú vị Bài viết này xin được trao
đổi cùng bạn đọc bài toán này
Bài toán Cho AABC nhọn Gọi O, |, H, Mà BI + Cl - BD - CE > 0 (do BỊ > BD và G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp,tâm Cl > CE) nên AB = AC (đpcm)
đường tròn nội tiếp, trực tâm và trọng tâm Nhận xét Bài toán vẫn đúng trong
của AABC trường hợp điểm X trùng với một trong ba điểm
Giả sử X c {O ;I; HH; G) Chứng minh là tâm đường tròn bàng tiếp của AABC Bạn rằng nếu XB + AC = XC + AB (*)thìAABC đọc tự chứng minh (tương tự như chứng
cân minh cau 2) Lời giải 1) Xét trường hap X = O C Khi đó OB = OC Từ (*) suy ra AC = AB (đpcm) A 2) Xét X = | Vẽ ID 1 AB, IE L AC (De AB,Eec AC) A E B x D 3) Xét X =H Gọi AM, BN là các đường cao của AABC | A N B C Ta thấy D, E thứ tự thuộc cạnh AB, AC và H ID = IE
Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam
giác BID và CIE ta có a
BI? — BD? = ID? = IE? = Cl? - CE? B M C
— BI2 — Cl? = BD? — CE2 Vì AABC nhọn nên H nằm trong tam giác
© (BI + CI)(BI - Cl) = (BD + CE)(BD - CE) và M, N theo thứ tự trên cạnh BC, AC
Từ (*) suy ra BI - Cl =AB - AC Ap dụng định lí Py-ta-go ta suy ra Mà BD - CE = AB - AC (vì AD = AE) nên BH2 — CH2 = BM2 — CM2 = AB2 - AC2
(BI + Cl)(AB - AC) = (BD + CE)(AB -AC)_ = (BH + CH)(BH - CH) = (AB + AC)(AB — AC) <> (AB — AC)(BI + Cl — BD - CE) = 0 Ma BH — CH = AB - AC (theo (*)) nên
Trang 4(AB — AC)(BH + CH - AB - AC) = 0 Từ đó suy ra (1)
Mặt khác ta có BH < BN < AB Tương tự 2(CA2 + CB2) =4CR2 + AB2 (2) Tương tự CH < AC Trừ theo vế của (1) và (2) ta suy ra
Suy ra BH + CH - AB - AC <0 3(AB2 - AC?) = 4(BQ2 - CR2) Do đó AB = AC (đpcm) ` 2_ Ac2_ 2_ a2
Nhận xét Nếu H,, H., H, lần lượt là 48 n° = (Ce GC*)
điểm đối xứng của H qua BC, CA,ABthìba (viBQ= 508: CR= 508)
điểm này nằm trên đường tròn ngoại tiế
AABC Khi đó bài toán vẫn đúng nếu Xe {H, Hy: Hy}: P 6 (AB+AC)(AB-AC) Ma AB — AC = GB - GC (theo (*)) nên = 3(GB + GC)(GB- GC) (AB ~ AC)[AB + AC - 3(GB + GC)] = 0 A Mặt khác ta có GB + GR > BR; GC + GQ>CQ Suy ra GB + GR + GC+ GQ > BR+ CQ H c© AB + AC - 3(GB + GC) <0 Do đó AB = AC (đpcm) ¬ Nhận xét Nếu €,, G., G thứ tự là điểm B C đối xứng của G qua P, Q, R thì bài toán vẫn đúng nếu X e {G; ; G, ; G.) Hl A 1 4) Xét X = G Gọi AP, BQ, CR là các đường trung tuyến của AABC ZL \ C G,
Kết luận 1) Điểm X thật đẹp, bài toán
thật hay và thú vị Hơn nữa, ý tưởng chung B B P C để chứng minh các kết quả trên là áp dụng Ta chứng minh định lí Py-ta-go và sử dụng bất đẳng thức 2(BA2 + BC2) = 4BQ2+AC2 (1) tam giác Đây là những kiên thức hình học
cơ bản của sách giáo khoa
That vay, gia sử N năm giữa ^ và Q(CáC ˆ 2) p¬¡ tốn trên chỉ sử dụng giả thiết trường hợp còn lại chứng minh tương tự) AABC nhọn trong trường hợp X = H Ba Theo định lí Py-ta-go ta có 2 2 _ (BN2 + AN2 BN2 + NC2 trường hợp còn lại vần ra kết quả đúng với ` Lk wee x BAS + BC“ = (BN“ + AN*) + (BN“ + NC*) AABC bất kì
= 2BN* + (AQ — QN)? + (CQ + QN)4 3) Ngoài bốn điểm O, I, H, G va các điểm
= 2BN? + 2AQ? + 2QN? (vi AQ = CQ) đã nói ở trên, theo các bạn còn có điểm X
2 2 2 nào khác có cùng tính chất như trên hay -2BQ2 + AC? (vi AQ = 1 AC) Các bạn hãy tìm thêm các bài toán kiểu
2 trên nhé
Trang 5Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác BCE ta có CE? = BC? - BE2 = BC? - AD2 = 132- 12ˆ = 25 = CE = 5 (cm) Do đó CD = CE + ED = CE + AB = 5 + T11 = 16 (cm) (AB+CD)AD (11+16)12 2 2 Vay Sapcp = = 162 (cm?) Theo các bạn thì lời giải trên đã đúng chưa?
0X2 nay TINH DIEN TICH HIN THANG
Bai toan Tinh dién tich hinh thang ABCD biét: A =B=909, AB =11cm, BC =13 cm và AD =12 cm Lời giải Kẻ BE L CD (E c CD) Từ giả thiết suy ra ABCD là hình thang vuông nhận AB, CD là đáy và từ đó suy ra ABED là hình chữ nhật A 11 B cy a 4 D E C NGUYỄN TẤN NGỌC (GV THCS Nhơn Mỹ, An Nhơn, Bình Định) Nhận xét Có lẽ do đang kì nghỉ hè nên
không có bạn nào gửi bài về tòa soạn
Trong lời giải của bài toán này, ở trường
hợp 2, với m = 4, kết luận hệ vô nghiệm
nên không tổn tại giá trị nhỏ nhất của A là
sai Trong trường hợp này ta không thay
m = 4 vào hệ phương trình mà phải thay vào biểu thức A Ta có lời giải bổ sung cho trường hợp m = 4 như sau Với m = 4, thay vào A, ta được A = (4x + 4y - 3)^ + 9(x + y — 2) Đặt x + y = † thì A = (4t - 3)2 + 9(t — 2)? Khai triển rồi rút gọn, ta được A = 252 - 60t + 45 = (5t - 6)2 + 9 > 9
Trang 6
¢ Xi nay Tim SO hang thi 100
Ban hay tìm số hạng thứ 100 của mỗi dãy số sau: a) 1, 3, 4, 7, 6, 12, b) 1, 4, 9, 7, 7, 9 34/5 44/12 5+ J21 6+ 32 9172 12 1 2 Ta ie VŨ MINH TÚ (HS 9C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc) @ Két qua SONG Td Ổ NAO? (TTT2 số 77) Ta viết số chỉ giờ của các đồng hồ theo thứ tự thành dãy sau: 8, 4, 6, 5, 2 Ta thấy: Kể từ số hạng thứ 3 số hạng sau bằng trung bình cộng của hai số hạng liền trước Suy ra số thứ 5 là 5,5 Đồng hồ B thỏa mãn điều này Bạn Phùng Văn Mạnh trả lời bằng thơ: Nhìn hình vẽ thấy khó thay Sau rồi suy nghĩ quá hay còn gì Tổng hai hình trước là chỉ So hình sau đó tức thì gấp đôi 6, 5, 11 rõ rồi Sẽ là B đó khỏi ngồi loay hoay Nhận xét Rất nhiều bạn đưa ra phương án trả lời như trên Một số bạn đưa ra phương án số chỉ giờ là các số nguyên từ 4 đến 8 thiếu số 7 nên chọn
đồng hồ C Có bạn lại cho rằng: Nếu lấy
trục đối xứng là đường thẳng qua 2 điểm chỉ 6 và 12 giờ thì qua phép đối xứng này
đồng hồ 1 thành đồng hồ 2, và cho kết quả là C Ca hai phương án đó đều thiếu thuyết phục
Các bạn được thưởng kì này: Phùng
Văn Mạnh, 8A, THCS Vĩnh Yên, TP Vĩnh
Yên, Vĩnh Phúc; Phan Trần Bảo Thạch, 7A;, THCS Thốt Nốt, Q Thốt Nốt, TP Cần Thơ, Cần Thơ; Trần Thị Minh Khánh, 6Aa,
THCS Lâm Thao, Phú Thọ; Dương Tuấn Anh, 9A2, THCS Tân Xuân, TX Đồng Xoài, Bình Phước; Trần Thế Toàn, 7112,
THCS Kim Đồng, Q5, TP Hổ Chí Minh;
Nguyễn Thị Nga, 7D, THCS Cao Xuân
Huy, Diễn Châu, Nghệ An
NGUYỄN XUÂN MAI
Trang 7
CHONG MIN GIA TRI CQ MOT BICU THC
WHONG LA MOT $0 NGUYEN
THÁI NHẬT PHƯỢNG
(GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa)
Để chứng minh giá trị của một biểu thức A không phải là một số nguyên, ta có thể sử
dụng một số cách làm sau:
- Chứng minh n<A<n + 1, với n e Z
Trang 8va 2C <1+ 1 + 1 + 1+2 42+x3 1 1 + + J98+J/99 99 +100 —14/2 —J14+ 3 -V2 + +100 — 99 = 4100 =10 Suy ra 4 < C < 5, ta có đpcm
Bài toán 4 Chứng minh rằng với mọi số
tự nhiên x thì giá trị của biểu thức
D= x2 + 4x2 + ¥36x? +10x +3
khơng thể là một số nguyên
Lời giải Với x = 0 thì D không là một số
nguyên Khi x là số nguyên dương thì 36x < 36x? + 10x + 3 < 36x2 + 24x + 4 &> (6x)? < 36x + 10x + 3 < (6x + 2)2 = 6x < (36x27 +10x +3 <6x+2 = 4x2 +6x < 4x2 + 36x? +10x +3 < < 4x2 +6x+2 Ma (2x + 1)? < 4x2 + 6x va 4x? + 6x + 2 < (2x + 2)? nén 2X +1< 4x2 + 36x? +10x +3 <2x+2 Suy ra D>x2+2x+1=Aj(x+1)2=x+1 và D<xx2+2x+2< \|(x+ 2)2=x+ 2 Tức là x + 1<D<x+ 2, ta có đpcm
Bài toán 5 Chứng minh rằng với mọi số
tự nhiên n > 1 thì giá trị biểu thức E- 3n^ 1 2n+n-1 n+1 không thể là một số tự nhiên Lời giải Ta có E- ản^ ,.T1— 3n? +2n—1 (n+1)(2n-1) n+1 (n+1)(2n-1) _(n+†?)\(3n-'?)_ 3n-1 _(n+?2n-1 2n-1 Giả sử E c Ñ Suy ra (3n - †) : (2n - 1) Do đó (6n - 2) : (2n - 1) Mà (6n - 3) : (2n — 1) nên ((6n - 2) - (6n — 3)) : (2n - 1) hay 1 : (2n - 1): vô lí vì 2n - 1 > 1 Vậy giá trị của E không thể là một số tự nhiên, ta có đpcm Bài toán 6 Cho n là một số tự nhiên và số thực G thỏa mãn G3 =11111 1077777 781111111 1 nchits61 nchữsố7 n+1chữsố { Chứng minh rằng G không phải là một số nguyên Lời giải (vắn tắt) Biến đổi 9G? = (10"* 1-1) = 9999999 9° vvvvvvv ý n+ 1 chữ số 9 Suy ra G= Ÿ3 -3333333 3 n + 1 chữ số 3
Vì Ä3 là một số vô tỈ nên G là một số vô
ti Tức là G không thể là một số nguyên, ta
có đpcm
Bài toán 7 Cho p là tích của n số nguyên tố đầu tiên (n c Ñ*) Chứng minh rằng „jp+1 không là một số nguyên
Lời giải Vì p chấn nên p + 1 lẻ
Trang 9
GIO! THIEU
Một số bài toán
từ cuộc thi Toán liên quốc øia thuộc Bắc âu và Bắc Đại Tây Dương
ThS NGUYỄN VĂN NHO (NXBGDVN)
The Nordic Mathematical Competition
(viét tat la NMC), còn được biết với tên gọi
the Nordic Mathematical Contest, la cuéc
thi hằng năm, bắt đầu từ năm 1987 Sau
kì thi IMO (Olympic Toán học Quốc tế)
năm 1986, các trưởng đoàn của 5 nước thuộc khu vực NORDIC đã nhóm họp và
đi đến nhất trí về việc tổ chức một kì thi
chung cho 5 đội tuyển của 5 nước Cả 5 nước phải gánh vác chung trách nhiệm về
công tác tổ chức Hằng năm, mỗi nước
chọn ra một đội tuyển 20 học sinh THPT, ít hơn 20 tuổi Các học sinh sẽ thi tại chính
đất nước của mình dưới sự giám sát của đại diện 5 nước Bài thi được gửi về cho Ban tổ chức để quyết định điểm số sau
cùng và trao giải
Trong số báo này và hai số tiếp, chúng
tôi trích giới thiệu cùng các bạn THCS những bài toán tuy khó nhưng kiến thức
phù hợp với học sinh giỏi Toán THCS Chú thích: NORDIC là tên gọi chỉ khu
vực Bắc Âu và Bắc Đại Tây Dương, bao
gồm 5 nước Đan Mạch (Denmark), Phần Lan (Finland), Ai xo len (Iceland), Na Uy
(Norway) va Thuy Bién (Sweden)
Bài 1 (1996) Chứng minh rang tồn tại
một số nguyên dương chia hết cho 1996
mà có tổng các chữ số của nó bằng 1996
Bài 2 (1996) Giả sử mỗi điểm trong
mặt phẳng đều được tô bởi một trong hai
màu là xanh hoặc đỏ
Chứng minh rằng tồn tại một tam giác
vuông cân có 3 đỉnh cùng màu
Bài 3 (1996) Tìm tất cả các số thực x
sao cho với mọi số nguyên n ta có x" + x"
là một số nguyên
Bài 4 (2007) Cho một tam giác, một đường thẳng và ba hình chữ nhật sao cho mỗi hình chữ nhật có một cạnh song song
với đường thẳng đó Ngoài ra, 3 hình chữ
Trang 10
Một số bài todn thi vơ địch Tốn Trunø Quốc
(Dé đăng trên TTT2 số gộp 78+79) Bài 1 Giả sử 6 hình tròn có điểm chung
O Ta kí hiệu O,, O., , Oe là tâm các hình
tròn đó Các tâm trên theo thứ tự quay
quanh điểm O theo chiều kim đồng hồ Vì tổng 6 góc ở đỉnh O là O,OO,,
0,00,, O,00, bang 360° nén it nhat
một góc trong chúng không vượt qua 60°
Giả sử 0,00, < 60°; 00,0, > 00,0) Khi d6 00,0, > 60° > 0,005
Suy ra OO, > O,©
Do đó hình tròn có tâm O, đi qua điểm O
sẽ chứa tâm O; của hình tròn khác: vô lí
Trang 11Be THI TUYEN SINH LOP 10 THET HA NOI Năm học: 2009 - 2010 Bài L 1) A=—XX—_ 2) x= 25 ¬ A =Š Vx -2 3 1 1 1.2 3) A= — © VX =— © x =— (thoa man) 3 2 4
Bai II Gọi số áo tổ thứ hai may được trong một ngày là x (chiếc), xc Ñ*, thì số áo tổ
thứ nhất may được trong một ngày là x + 10 Ta có phương trình 3(x + 10) + 5x = 1310 © x = 160 (thỏa mãn) Bài II 1) Khi m = 1 ta được phương trình x°—4x+ 3= 0 Vì a+b+c=0 nên PT có hai nghiệm là X¿=†1vàx, =3 2) PT đã cho có hai nghiệm phân biệt X4, Xo © A >0<>2m - 1>0<>m> 1/2 Khi đó, theo định lí Vi-ét thì X, +X, = 2(m + 1) VA X4X_ =m? + 2 Vay x? +x =10o(x, + X5)* = 2X4Xp = 10 m =1(thda man) ©m2+4m-5=0 © m = -5 (loại)
Bài IV 1) Vì ABO = ACO = 1v nên tứ giác
ABOC nội tiếp đường tròn đường kính AO
2) Vi OB = OC va AB = AC nén AO la đường trung trực của BC Suy ra BE 1 OA
Áp dụng hệ thức lượng cho AABO vuông
tai B, ta dudc OE-OA = OB? = R?
3) Ta có AP + AQ + PQ = AP + AQ + PK
+ KQ = AP + AQ + PB + CQ = (AP + PB) +
(AQ + CQ) = AB + AC = 2AB: không đổi 4) Vì BOC = 2POQ = 2AOC nên
POA = QOC — POM = OQN
Trang 12Be THI TUYEN SINH LOP 10
THPT CHUYEN HUNG VUNG, PHU THO
Mơn thi: Tốn chun Nam hoc: 2009 - 2010 Thời gian: 150 phút
Câu 1 (2 điểm) Cho hệ phương trình Me: (m là tham số)
x+my =5 (2)
a) Chứng tỏ hệ đã cho luôn có nghiệm
duy nhất với mọi m
b) Tìm m để hệ
nghiệm
c) Tìm m để hệ phương trình trên có
nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 5
Câu 2 (7 điểm) Tìm tất cả các số nguyên
dương x, y, z thỏa mãn x3— y? = z2, trong đó y là số nguyên tố và (z ; 3) = (z ; y) = 1 Câu 3 (3 điểm) a) Giải phương trình (x + 1)2009 + (x + 1)2008(x + 2) + + vá pesos =0 phương trình trên có + (X+ †1)(x + 2 +(x+2
b) Cho x, y là các số thực dương thỏa
man x+y =, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức A 4, 1
x 4y
Câu 4 (3 điểm) Cho AABC nhọn nội tiếp
đường tròn (O) và P là một điểm nằm trong tam giác sao cho BAP =PBC; CAP =PCB
Đường thẳng AP cắt canh BC tai M
a) Chứng minh rang M là trung điểm của
BC
b) Chứng minh rằng tứ giác BHPC nội tiếp trong một đường tròn (œ), trong đó H là
trực tâm AABC
c) Đường trung trực của PA cắt BC tại Q Chứng minh rằng QA tiếp xúc với (O) va QP tiếp xúc với (o)
Cau 5 (1diém) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 Chứng 1 1 + + <1 +2 b^ê+2 c2+2 minh rang 5 a = g_ 2/x(+y), 1-xy _ 2 x(1+y) vx Câu 4 a) Ta có A = (m - 1) > 0 Vậy PT đã cho luôn có hai nghiệm b) Ta có xạ = 3m - † và x„ = 2m 1—Xxy Vậy Xƒ + x2 =1 © (3m - 1)2 + 4m2 = 1 = 13m? - 6m =0 me {0; 6/13}
Cau 5 a) Vi AEH = AFH =1v va AEB = ADB = 1v nén suy ra dpcm
b) Vi AKC = ABC va ADB = ACK (= 1v) nén AABD œ› AAKC (g-g) Do đó AB = AD = AB-AC = 2R-AD AK AC 1 AB -BC-CA 4R Vay S= BBC AD = (đpcm)
c) Vì EFC = EBC = DFH nên
EFD = 2EBD = EMC Suy ra đpcm
d) Kẻ tiếp tuyến Cx của (O)
Vi xCB = A =EDC nên Cx // DE
Ma Cx | OC nén OC 1 DE
Suy ra 2(Soro † Sopc) = DE:OC = DE-R
Tương tự 2(Soza + Sora) = EF-R; 2(Sorg + Sopg) = FD-R
Cộng theo vế ba đẳng thức trên ta có đpcm
Trang 13
Bài 1(77) Cho số nguyên dương n thỏa mãn (3" — 4) : 22010, Chứng minh rằng n Lời giải Vì n > 0 nên đặt n = 2m (k, me N, mie); 32 =a Ta c6 3° — 1 =32™_4= (32 )™ 4
=am~ 1=(a - 1)(am-=1 „ ạm~^2+ + a + )
Vì các số 1, a, , am=^2 am ~† đều lẻ mà m lẻ nên tổng a"~† + ạm~2 + + a + 1 là một số lẻ Do đó (3n - 1) : 22010 =; (a - 1) : 22010, Mặt khác ta có a-1=32 -1=(32)?-1 = (37 | 132 “+1 =(32 13% 4132 49) = =(3-1(3 +1)(32 +4) (32 +4) = 23(32 + 1(32 +1) (82 +) Với mỗi số r e {2 ; 22 ; ;2K~T\ ta có 3F+ 1=(3f— 1)+2=[(@f~ ?)2— 1|+ 2 =(8f~1~ 4)(f~1+ 1)+2 Vì các số 3'~ † ~ 1 và 3'~ 1 + 1 déu chan nên (3F~† — 1)(3'~Í + 4): 4 Suy ra 3' + 1 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4, vr e {2 ; 22; ;2K~ 1, Bởi vậy (a - 1) : 22019 —; 2k~ 2 : 92010 = k—-2> 2010 k> 2008 — n : 22008, ta có đpcm
Nhận xét Có nhiều bạn tham gia giải bài toán này, với cách giải tương tự như trên
Các bạn sau có lời giải gọn và trình bày tốt:
Trần Tuấn Nghĩa, 9A, THCS Nguyễn Trãi, Thanh Xuân, Hà Nội; Lương Thế An, 8D; Nguyễn Văn Thắng, 9B, THCS Lý Nhật
Quang, Đô Lương, Nghệ An; Trịnh Hồng
: 22008
Ngoc, 8A,, THCS Lam Thao, Phu Tho; Nguyên Duy Khánh, 9A,, THCS Hai Bà Trưng, TX Phúc Yên, Vĩnh Phúc NGUYỄN ĐỨC HOÀNG Bài 2(77) Giải phương trình x? = yx? — x? + yx? —x (1) Lời giải Điều kiện: R -x? 20 b3 >0 P S S x x? -x >0 x(x —1) 20 21 Nhận thấy x = 0 là một nghiệm của (1) Xét trường hợp x > 1 Khi đó ()© 2x2 -2x|x3 -x2 -2A|x2—x =0 > (x? —2xVx—-14+x-—-1)+ + (x? -x-2 x* x +1)=0 ©(x-Xx~1)2+(\x2—x —1)2 =0 ton Pa S ©) 5 x? -x -1=0 x* -X=1 =>X— † =X+ †1: vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 0 Nhận xét Một số bạn giải bài toán bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cô-si hoặc Bu-nhia-cốp-xki để chứng minh: x? > x3 — x? 4.x? —x
Tuy nhiên, cách làm này phức tạp
Các bạn sau đây có lời giải tốt: Dương
Tuấn Anh, 9A2, THCS Tân Xuân, TX Đồng Xoài, Bình Phước; Ngô Sĩ Thanh, Nguyễn
Trang 14Lời giải Với x, y là các số thực dương An; Pham Viết Hoàng, 8D, THCS Lê Hồng
bất kì, theo bất đẳng thức Cô-si ta có Phong, TP Quảng Ngãi, Quảng Ngãi; x+y)C.+-) >2 /⁄y -2 | 14 Dương Tuan Anh, 9A*, THCS Tan Xuan,
xX y xy TX Đồng Xoài, Bình Phước
1 1,1 † = ⁄
suyra— <1, 1, NGUYỄN MINH ĐỨC
X + 4x y Bai 4(77) Cho AABC nhon ndi tiép
Từ đó ta có đường tròn tâm O Tia AO cắt BC tại D Gọi
222, 202 20” 221 1, M, N tương ứng là các điểm trên cạnh AB,
b+c c+a a+b 2b ốc AC thỏa mãn DM = DB, DN = DC Tiếp
bˆ.1 1 c1 1 tuyến tại A của (O) cắt DM, DN tương ứng tr Ga ca a tai P, Q Giả sử —— =m, tính —— AB MP 1a2 bˆ c2 1a2 b2 c2 AC NQ = —(— f+-_ — + —) + —(—_ + — + —), ` m3 2p c a ae a » Lời giải Q Vậy để chứng minh (1), ta chỉ việc chứng 2 42 2 22 12 c2 minh ah ea ee (2) ca b b c a Thật vậy, ta có (2) © aŸb + bẲc + cỔa < aŸc + bỔa + c?b © a3(b - c) + c?(a - b) + bỶ(c — a) < 0 a3(b — c) + c(a — b) —- bŸ(a —- b + b— c)<0 © (b - c)(a3 - b) + (a - b)(c3 - b) < 0 © (b— c)(a — b)(a2 + ab + b? — c? —- cb —b?) <0 © (b —- c)(a — b)[(a2 - c2) + b(a - c)] < 0: đúng do 0 < a <b <c
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vì DM = DB nên ADMB cân tại D
a=b=c Suy ra B = DMB = AMP (góc đối đỉnh)
Nhận xét Đây là bài toán dạng cơ bản Mà MAP — € (vì AP là tiếp tuyến của (O))
Các bạn sau có lời giải tốt: Đào Khánh Linh, nên APMA œ AABC (g-g) Va Tuan Anh, 9A,, THCS Lam Thao, Phu
x ~ MP PA
Tho; Nguyén Thi Lan Anh, Nguyén Anh Suy ra AB AC
Phuong, 9A, THCS Tam Dương, Vĩnh NQ QA
Phúc; Phạm Huy Hoàng, 9A., THCS Giảng Tương tự AC AB
Võ, Ba Đình, Hà Nội, Nguyễn Hồng Hạnh, Chia theo vế hai đẳng thức trên ta được
Lê Lan Hương, Lê Thị Phượng Định Thị Dạ MP AB2 PA > PA
Thảo, 9C, THCS Nhữ Bá Sỹ, Hoằng Hóa, NG Ac QA mM OA (1)
Thanh Hoa; Pham Van Quyén, 7B, THCS
Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu; Cao Minh
Sơn, 8D, THCS Cao Xuân Huy, Diễn Châu;
Lương Thế An, 8D; Nguyễn Văn Thắng, 9B, Do đó ADPQ cân tại D
THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ Mà DA L1 PQ nên AP = AQ (2)
43
Mặt khác, vì APMA œ2 AQAN (vì cùng
Trang 15` MP 2 Từ (1) và (2) suy ra No > m“
Nhận xét Tất cả các bạn tham gia giải
bài toán này đều giải đúng Các bạn có lời giải tốt: Nguyễn Thế Tiến, 8E, THCS Đặng
Thai Mai, TP Vinh; Phạm Văn Quyền, 7B,
THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu; Nguyễn Văn Thắng, 9B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ An; Phạm Quốc
Hung, 9Aa, THCS Lâm Thao, Phú Thọ; Phạm Viết Hoàng, 8B, THCS Lê Hồng
Phong, TP Quảng Ngãi, Quảng Ngãi; Trần
Tuấn Nghĩa, 9A, THCS Nguyễn Trãi, Thanh
Xuân, Hà Nội
NGUYEN MINH HA Lời giải Cuộc thi đặc biệt
NHÂN 10 NĂM TOÁN TUỔI THƠ
Bài 1SC Tìm các số nguyên dương x, y x?yˆ , , sao cho > ie là một số nguyên tổ x“ +y 2 x?yˆ Lời giải Giả sử 5 = 4 (1), với a là X“+Yy một số nguyên tố Biển đổi (1) trở thành x^(y2 - a) = ay? Suy ra ay? : x2 Mà x, y là các số nguyên dương và a là một số nguyên tố nên yˆ : x? hay y : x Tương tự x : y Do đó x = y Thay vào (1) ta suy ra 2a = x2, Do d6x:2,a: 2 Mà a là số nguyên tố nên a = 2 Vậy x = y = 2
Nhận xét 1) Ngoài cách giải trên, ta còn
cách giải khác là biến đổi (1) trở thành
(x2 - a)(yˆ - a) = a2 Với chú ý a là một số
nguyên tố thì a2 = 1-a^ = a-a, cũng tìm được
đáp số Một số bạn khác từ (1) suy ra
x2y2 = a(x2 + y2) Từ đó chứng minh được
x hoặc y chia hết a, rồi x và y đều chia hết
1 2
cho a Để suy ra 141412 Dan a x2 y2 a2 đến a < 2 > a = 2
2) Các bạn tham gia giải bài này đều cho
kết quả đúng Các bạn sau có lời giải tốt:
Trương Văn Nam, 8A,, THCS thi trấn Chờ, Yén Phong, Bac Ninh; Pham Huy Hoang,
9A;, THCS Giảng Võ; Vũ Quý Đăng, 9D, trường Hà Nội - Amsterdam, Ba Đình, Hà
Noi; Dao Khanh Chi, 8A, THCS Dang Thai
Mai, TP Vinh; Nguyễn Văn Thắng, 9B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương, Nghệ
An; Nguyễn Lê Minh Tiến, 8A, THCS Xuân
Trường, Nam Định; Dương Tuấn Anh, 9A2,
THCS Tân Xuân, TX Đồng Xoài, Bình
Phước; Phan Thị Như Quỳnh, 78 Phan
Đình Giót, TP Hà Tĩnh, Hà Tĩnh; Lê Thị Phương, 9A,; THCS Giấy, Phong Châu, Phù Ninh; Bùi Công Cường fA¡;: Trinh Hồng Ngoc, 8A,, THCS Lam Thao, Phd Tho
HOANG TRONG HAO
Bài 2SC Giả sử đường tròn tâm | bán kính r nội tiếp AABC và tiếp xúc với các
cạnh BC, CA, AB theo thứ tự tại M, N, P
Sanc _ lA:IB-IC
MNP ars
Lời giải Bố đề (định lí Ptô-lê-mê)
Trong một tứ giác nội tiếp ABCD ta có
AC-BD = AB.-CD + BC-AD
Áp dụng bổ đề trên cho tứ giác nội tiếp
Trang 16(Problems for Special Contest in celebration
of FUN MATHS Joarnal's 10th Anniversary)
Bai 5SC Cho a, b, c, m, n va p là các số nguyên dương
Đặt A= a+b+c+m+n+p, B= ab + bc + ca —- mn —- np —- pm và C = abc + mnp
Biết rằng cả B và C đều chia hết cho A Chứng minh rang A là hợp số
LÊ XUÂN ĐẠI (GV THPT chuyên Vĩnh Phúc)
Bài 6SC Cho M là một điểm nằm trong hình bình hành ABCD thỏa mãn MAB = 409, MBC =25°, MCD =65°, MDA =509 Tính các góc của hình bình hành
NGUYÊN MINH HÀ (GV THPT chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội)
tiếp AMNP nên MN:-NP-PM = 4TSWNP- Ngồi ra, theo cơng thức Hê-rông ta có Sasc = xjb(p —a)(p —b)(p —c) 8r -S^sc p = Br S so (Vì Sapc = Pr), suy ra đpcm A Do đó IA-IB-IC-4rS up = B M C
Nhận xét Các bạn sau có lời giải đúng: Lê Thị Phương, 9A,, THCS Giấy, Phong
Châu, Phù Ninh; Bùi Công Cường, TA,; Trinh Héng Ngoc, 8A,, THCS Lam Thao,
Phú Thọ; Vớ Quý Đăng, trường Hà Nội -
Amsterdam, Ba Dinh, Ha Ndi
HO QUANG VINH
15
Coie ban date uyên bh nay
Duong Tuan Anh, 9A2, THCS Tân Xuân, TX Đồng Xoài, Bình Phước;
Phạm Văn Quyền, 7B, THCS Hồ Xuân Hương, Quỳnh Lưu; Lương Thế An, 8D;
Nguyễn Văn Thắng, 9B, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương; Nguyễn Thế Tiến, 8E,
THCS Đặng Thai Mai, TP Vinh, Nghệ
An; Phạm Viết Hoàng, 8B, THCS Lê
Hồng Phong, TP Quảng Ngãi, Quảng
Ngãi; Trần Tuấn Nghĩa, 9A, THCS
Trang 17Ké lay trộm sách “ thành phố A có một hiệu sách rất nổi tiếng vì chuyên bán những
quyển tranh của các
họa sĩ lừng danh Mi-xê
- ông chủ hiệu sách - là người rất cẩn
thận Tối nào trước khi đóng cửa ông
cũng kiểm tra kĩ từng quyển trên giá, bởi
ông biết những quyển sách của mình rất đắt tiền, rất dễ bị kẻ gian lấy trộm
Hôm đó, tuy chưa đến giờ đóng cửa
nhưng ông Mi-xê đã thấy sốt ruột Ông
vội vàng kiểm tra sách và lập tức phát
hiện cuốn “Tranh thế kỉ 17” đã không cánh mà bay Sau ít phút hốt hoảng,
ông cố bình tĩnh nhớ lại mọi chuyện
Phải rồi hôm nay cửa hiệu rất vắng
khách Chỉ có hai người là ông Ben và
bà Li-sa, vốn là khách quen Chẳng lẽ
nào hai người quen ấy lại lấy trộm? Nhưng hôm qua rõ ràng cuốn sách ấy
vẫn còn, mà hôm nay cả ngày chỉ có
mỗi hai người đó đến mua sách thôi
Chẳng biết suy đốn thế nào, ơng Mi-xê
PHONG VŨ
đành cầu cứu thám tử Sê-lốc-cốc
Một lúc sau, thám tử đã có mặt tại
hiệu sách Thám tử hỏi:
- Hôm nay hai khách hàng quen của ông có mua quyển sách không?
- Có Ông Ben mua hai quyển về lịch
sử Bà Li-sa mua một cuốn tiểu thuyết Chính tôi đã lấy hộ cuốn đó vì bà ấy
quên kính, chẳng đọc được gì Lúc trả
tiền bà ấy cũng phải nhờ tôi nhìn hộ đấy
- Bà ấy có mang theo túi khơng? Ơng
có nhớ bà ấy đã làm gì lúc mua xong
sách không?
- Bà ấy có mang túi xách Lúc đưa
quyển tiểu thuyết cho bà ấy xong, tôi có
điện thoại nên chạy vào phía trong để
nghe
- Thế còn ông Ben thì sao, có mang
túi hay cặp gì đó không?
- Có, ông ấy xách chiếc cặp nhỏ Ông
ấy ra khỏi hiệu sách trước bà Li-sa Sau đó thám tử hỏi địa chỉ của hai khách hàng đó rồi đến gặp từng người
Trang 18khiến thám tử Sê-lôc-cốc tìm đến, ông
Ben rất tức giận Ông nói:
- Tôi là người đứng đắn, tôi đi mua
sách chứ không đi ăn trộm Mời thám tử
ra khỏi nhà tôi!
Tiếp theo là bà Li-sa Trái lại với ông
Ben, bà Li-sa tỏ ra rất hiếu khách cho dù thám tử đã nói lí do vì sao ông tìm
đến nhà bà
Vừa rót rượu mời thám tử, bà vừa nói
với vẻ ngạc nhiên:
- Lẽ nào ông lại nghi ngờ tôi là kẻ trộm được? Tôi nhớ là lúc đó trong hiệu
sách còn có một khách hàng nữa Anh
ta khá trẻ, đứng ngay gần tôi Tôi nhớ là
anh ta chăm chú xem cuốn “Tranh thế kỉ
Rất nhiều bạn đã “trổ tài” phán đoán
và bạn nào cũng đưa ra câu trả lời chính xác Bọn cướp đỗ xe trên nắp cống ngầm Chúng khoét một lỗ trên sàn xe, chui lên lấy túi tiền rồi lại chui xuống cống Xin chúc mừng những bạn sau được nhận phần thưởng kì này: Hoàng Hà Phương, 9B, THCS Vĩnh 17”, một cuốn sách rất dày và to Thám tử hỏi:
- Bà có chắc chắn như vậy không? - Chắc chứt Tôi nhìn rõ tên cuốn sách
mà, cả lô-gô nhà xuất bản nữa
Thám tử Sê-lốc-cốc trầm ngâm một lát rồi nói:
- Theo tôi thì bà nên trả lại cuốn sách cho ông Mi-xê đi! Như thế tốt hơn đấy!
Bà Li-sa tái mặt Bà ta không thể hiểu nổi vì sao thám tử lại biết sự thật? Thám tử đã căn cứ vào điều gì để kết luận như
vậy?
Các thám tử “tuổi Hồng” có thể giải
thích cho bà Li-sa không? Những phần
quà hấp dẫn đang chờ các bạn đấy!
(TTT2 số 77)
Yên, Vĩnh Phúc; Hoàng Thị Phương
Thảo, 6A, THCS Cao Xuân Huy;
Nguyễn Xuân Đông, xóm 10, Cầu Đò, Diễn Lộc, Diễn Châu, Nghệ An; Lưu
Nhật Vy, mẹ là Lê Thị Nga, tổ 4, tiểu
khu 6, Nam Lý, Đồng Hới, Quảng
Bình
Thám tử Sê-lốc-cốc
Trang 19qĐến với tiếng Han
Bài 4 Ôn tập
Trong bài này chúng tôi tổng kết những mẫu câu đã được giới thiệu trong các bài trước để bạn đọc ThS NGUYEN VU LOAN
tap hdi thoai
Các mẫu câu cơ bản khi giới thiệu về bản thân trong giao tiếp:
1 fR#‡ ! (ní hăo) 2 PR EFAS 2 (ni hao ma?)
3 FRI (Wo hén ho)
HRY 4+? (Ni jiao shénme?)
4 3È +0 +‡†242 ABM ‡†4? (Tã jiào shénme?)
4&IH/]hS (Wõð jiào xiăo lán)
5.X,Ä +M+22# AMY Jone (Tä jiào Jone)
Ais BB ILE] AL? (Ni shi nar gud rén?)
6 FA +e + ABLE A? fi SO JL] A? (Ta shi nar gué rén?)
$3 A (W6 shi Yuénan rén)
TSK +E+HA+A AFL ELA (Ta shi Zhongguo rén)
Vs RAED JL (Ni jia zai nar?)
8 FRA + FR + HE + BL? fh AEB IL (Ta jia zai nar?)
RAR FLIAA (Wo jia zai HENEi)
9 FEA + + FE + RE AREAL (Ta jia zai B&iding)
Từ mới:
FA, (mou rén): Nguoi nao dé
FE HW (mou di): Nơi nào đó
Ngữ âm:
Nhóm thanh mẫu môi răng có thể kết hợp với 6 vận mẫu đơn như bảng sau (chỗ bỏ trống tức là trong
tiếng Hán không có âm tiết như vậy) Ví dụ: không có âm tiết “be” hay “pe” Các bạn tập đọc từng âm
Trang 20Ket qua VAAN PAU THU SAU MUO TAM (wrrasẽzn Hạ IH L AB (H c AB) và dat OH = x L MH O, B A O, O Ta có 0,0, =", +1, =¢; OO, = 1; OO, =1',; O,H =r, t+ x, OH =F, +X, tuy theo MA> MB hay MA < MB (nghĩa là Mc OB hoặc Me OA); c - Ol = O¿Í - r, = O,Ì— r- =F
Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam
giác O, IH, OIH va O,IH, ta có (f + r,)? —(r, + x)? =(c- r)? - x2 = (r+ ry)? — (r, + x) (= IH') Khai triển rồi rút gọn ta được (C+ n)f = + rạX + Cr› l +2) =T+hXx+Cn, Khử x và c, với chú ý c = r + r„, ta được 2Chr hf›(f¿ +Fr: =~ 2 ~ = tall 2) hay Cc +h +f H + GP +2 1 1 1 1 Cc 4c 4 —-_-+—=——+4+— = = 2 22~ [ €© H lộ Hộ c-(ny-rạ)/ © C >r<- Vay Fmex” “G- © =I -F oMs0 Nhận xét 1) Chỉ có ba võ sĩ tham gia
trận đấu này và đều giải đúng Tuy nhiên,
chỉ võ sĩ Đoàn Duy Đức, 8C, trường Hà Nội
- Amsterdam, Ba Đình, Hà Nội có lời giải ngắn gọn hơn cả và lời giải đó gần với đáp án nêu trên của tác giả (thay vì xét đầy đủ vị trí tương đối của điểm M trên đoạn thẳng
AB, ban Duc da gia stir, <r.)
2) Bạn Vũ Quý Đăng, 9D, trường Hà Nội
- Amsterdam cũng chỉ xét hai tam giác OIO, và O,IO, như bạn Đức nhưng biến
đổi tương đương quá dài Còn bạn Trần
Nguyễn Tài Quốc, 9', THCS Đặng Văn
Ngữ, TP Huế, Thừa Thiên - Huế chỉ xét
Trang 21II0affilT0p› In i 22 L—- If
A Bay miéng nghin hinh
Đây là một trò chơi cổ của người Trung
Quốc và là một bài toán được đề cập đến
trong sách giáo khoa phổ thông ở nhiều nước Từ một hình vuông ban đầu, ta cắt thành 7 mảnh để ghép lại thành những hình khác nhau
Năm 1942, hai nhà toán học Trung
Quốc là Fu Traing Wang và Chuan Chih
Hsiung đã chứng minh được rằng chỉ tồn
tại 13 đa giác lồi Tangram khác nhau Về sau, người ta cũng đã chứng minh được rằng không có đa giác lồi Tangram có
nhiều hơn 8 cạnh B Biến dạng T
Thay hình vuông ban đầu bởi một tam
giác đều và cắt thành 7 mảnh để ghép lại thành đa giác lồi T
BAY MIENC NCH HUW (TANCRAM)
VA BIEN DANG T CUA NO
Trang 22eee (Tiếp theo bìa 2)
ĐẠI HỆ
Đại hội đã tổng kết các hoạt động trong
nhiệm kì IV, đưa ra các đề án hoạt động
nhiệm kì V, thông qua Điều lệ Hội Toán
học Hà Nội, lô gô của Hội
Ban Chấp hành mới được bầu gồm 18
người (9 người được tái cử và 9 người được
bầu mới):
1) GS TSKH Nguyễn Văn Mậu
2) PGS TS Bùi Quang Diệu
3) GS TSKH Lê Hùng Sơn
4) ThS Nguyễn Hữu Độ
5) TS Dinh Si Dai
6) O Tham Ngoc Khué
Cac ban hay tim thém cac cach ghép
tam giác T khác nữa nhé TH2 n = 4 Suy ra x = y = 2 Khi đó T sẽ là hình bình hành hoặc hình thang cân: THả3 n = 5 Suy ra x = 1; y = 5 Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta không thể tìm được cách ghép để có ngũ giác T 7) GS TSKH Phan Dinh Thanh 8) Ô Lê Vĩnh Thọ 9) ThS Vũ Kim Thủy 10) PGS TS Trần Huy Hổ 11) GS TSKH Đỗ Ngọc Diệp 12) PGS TS Nguyễn Minh Tuấn 13) TS Nguyễn Đức Hoàng 14) ThS Chử Xuân Dũng 15) ThS Hoàng Thanh Hà 16) ThS Lê Thanh Hằng
17) Ô Nguyễn Khắc Tuấn 18) Ô Kiều Hải
PV TTT THA4 n = 6 Suy ra x = Ô; y = 6
Ta tìm được cách ghép sau thỏa mãn:
Như vậy, chỉ có thể có bốn hình đa giác lồi của biến dạng T là tam giác đều, hình
bình hành, hình thang và hình lục giác
Các bạn hãy chứng minh các kết quả trên với gợi ý sau: Nếu chia tam giác đều
ban đầu thành 16 tam giác đều bằng nhau thì các biến dạng của T đều được ghép bởi
16 tam giác đều nhỏ này
Chúc các bạn thành công!
Trang 235 S Danhchocacnha toan hoc nho VAN DUNG DUONG THANG SIM-SON ĐỂ GIẢI TOAN (GV THCS Nguyễn Văn Trỗi, Cam Nghĩa, Cam Ranh, Khánh Hòa) THÁI NHẬT PHƯỢNG Đường thẳng Sim-sơn
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O)
và M là một điểm bất kì trên (O) Gọi D, E, F
lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên
các đường thẳng AB, BC, CA Chứng minh D, E, F thẳng hàng
Đường thẳng đi qua D, E, F có tên là
đường thẳng Sim-sơn ứng với điểm M của AABC
Chứng minh Xét trường hợp AABC nhọn và MBA >MCA (các trường hợp khác chứng mìiinh tương tự)
Khi đó D thuộc tia đối của tia BA, E và F
tương ứng nằm trên cạnh BC, CA A B C D M
Vì các tứ giác MDBE, ABMC và MCFE nội
tiếp nên MED =MBD = ACM =180° -MEF
= MED +MEF =180° <= DEF =180°
Do đó D, E, F thẳng hàng (đpcm)
Bây giờ ta vận dụng định lí trên để giải một số bài toán sau
Bài toán 1 Cho AABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) H là trực tâm AABC, D là
một điểm nằm trên cung nhỏ BC Gọi E, F
lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên
các đường thẳng AB, BC
a) Chứng minh rằng EF đi qua trung
điểm của DH
b) Xác định vị trí của D để EF lớn nhất
Lời giải a) Xét trường hợp BAD >BCD
(các trường hợp khác chứng minh tương tự) Khi đó E thuộc tia đối của tia AB và F
nằm trên cạnh BC
Hạ DI L AC (le AC) Khi đó EF là đường
thẳng Sim-sơn ứng với điểm D của AABC
Hơn nữa, l nằm giữa E và F
Gọi P, Q thứ tự là điểm đối xứng của D
qua các đường thẳng AB, AC
Vi APB = ADB = ACB =180° —AHB nên
tứ giác AHBP nội tiếp > AHP = ABP = ABD
Tương tự CHQ = CBD
Suy ra AHP + AHC + CHQ
= ABD + AHC + CBD = 180°
Do đó P, H, Q thẳng hang
Mà IE là đường trung bình của ADPQ nên IE di qua trung điểm của DH hay EF đi
Trang 24
qua trung diém ctia DH (dpcm) b) Vi DEI = DAI va DFI = DCI nén
ADEF cœ› ADAC (g-g)
Suy ra EF = ED <1
AC AD
Do dé EF lớn nhất bằng AC và xảy ra khi
và chỉ khi BD là đường kính của (O)
Bài toán 2 Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B Một cát tuyến thay đổi qua A cat (O) va (O’)
tương ứng tại C và D Gọi E, F thứ tự là hình
chiếu vuông góc của B lên tiếp tuyến của (O) tại C và tiếp tuyến của (O©) tại D
Chứng minh rằng EF tiếp xúc một đường tròn cố định Lời giải Đặt T = CE ¬ DF Giả sử TCB > TDB Hạ BI L CD (1c CD) T Vi CBD = CBA+DBA = TCD + TDC nên CBD + CTD = 1809
Do đó tứ giác TCBD nội tiếp
Suy ra EF là đường thẳng Sim-sơn ứng
với điểm B của ATCD
Do đó I, E, F thẳng hàng Mà tứ giác
BICE nội tiếp nên BIE =BCE =BAC
Vậy EF tiếp xúc với đường tròn đường
kính AB cố định (đpcm)
Bài toán 3 Cho ngũ giác ABCDE nội tiếp một đường tròn Gọi M,N,P,Q,R,S, T và U lần lượt là hình chiếu vuông góc của
E trên các đường thẳng AB, BC, CD, DA, MN, NP, PQ và QM Chứng minh rằng R, S, T, U thẳng hàng Lời giai Ha El 1 AC (I € AC)
Đường thẳng Sim-sơn ứng với điểm E
của các tam giác ABC, ACD va IMQ cho ta
cac cap diém M, N, I, R; P, Q, |, T va R, U, T
thang hang
Tương tự R, S, T thẳng hàng, ta có đpcm
Bài tập tự luyện
Bài 1 Cho AABC nhọn nội tiếp đường
tròn (O) M là một điểm bất kì trên (O), H là
trực tâm AABC Chứng minh rằng H và các
điểm đối xứng của M qua AB, BC, CA thẳng
hàng
Bài 2 Cho lục giác ABCDEF nội tiếp
đường tròn đường kính AD và BC = EF Gọi H, K lần lượt là giao điểm của AC với BD và
AE với DF; P, Q và R, S lần lượt là hình
chiếu vuông góc của H trên các đường
thẳng AF, DE và K trên các đường thẳng
AB, CD Chứng minh rằng RS, PQ, HK
đồng quy
Bài 3 Cho đường tròn (O) và một điểm
A cố định nằm ngoài (O) M là một điểm thay đổi trên đường thẳng qua A vuông góc
với AO Gọi MB, MC là các tiếp tuyến của
(O) (B, C là các tiếp điểm) Kẻ AE | MB, AFL MC (E € MB, F € MC) Chéng minh
rang EF di qua mét diém cé dinh
Bài 4 Cho AABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) M là một điểm thay đổi trên cung
nhỏ BC Kẻ ME L AB, AF L MC (E c AB, F c AC)
Trang 25
Kot qua Để ƯMi (TTT2 số 77)
Câu 1 Trả lời Ông Môhamat cần ít nhất
hai người ởi tiếp tế Cách tiếp tế như sau Sau ngày thứ nhất, mỗi người còn thức
ăn dùng đủ trong 3 ngày Cho một người về thì người này mang theo thức ăn dùng đủ trong 1 ngày, để lại thức ăn dùng đủ trong 2
ngày của mình cho 2 người
Như vậy, 2 người này sẽ có thức ăn dùng đủ trong 4 ngày
Sau ngày thứ hai, mỗi người (ông Môhamat và người đi tiếp tế còn lại) còn
thức ăn dùng đủ trong 3 ngày Cho người đi
tiếp tế còn lại này về thì người này mang
theo thức ăn dùng đủ trong 2 ngày, để lại thức ăn dùng đủ trong 1 ngày của mình cho
ông Môhamat
Lúc này, ông Môhamat có thức ăn dùng đủ trong 4 ngày, vừa đủ để ông về đến quê
Câu 2 Hai người chỉ cần mang hai cái áo
vừa mua đem phơi nắng một lúc Cái áo
màu đen sẽ nóng hơn vì hấp thụ nhiệt tốt hơn cái áo màu trắng
Câu 3 Có nhiều cách điền thêm đơn vị
vào sau mỗi số để có những phép tính
đúng Sau đây là một số cách điền:
2 tháng + 1 tháng = 1 quý
3 ngày + 4 ngày = 1 tuần
4 giờ + 9 giờ = 1 gid
S tháng + 7 tháng = 1 năm hoặc 5 + 7 = 1 tá
6 giờ + 18 giờ = 1 ngày
Câu 4 Ông An xem giờ đồng hồ của
mình lúc ông ra khỏi nhà và khi về sẽ biết thời gian đồng hồ này chạy được trong khoảng đó được bao lâu Ta giả sử là x giờ Cũng vậy, ông xem giờ đồng hồ của nhà hàng xóm lúc ông đến và khi ra về sẽ biết thời gian đồng hồ này chạy được trong
khoảng đó được bao lâu Ta giả sử là y giờ Như vậy, thời gian ông đi từ nhà mình
sang nhà hàng xóm là > giờ
Giả sử đồng hồ của nhà hàng xóm khi ông ra về là † giờ thì khi về đến nhà, ông sẽ
X—y
chỉnh đồng hồ của minh la t+ giờ Câu 5 Bài toán có hai cách điền Sau đây là một trong hai cách điền đó: ‘ eee© e ° el( | © oO âeđđ@ ell ee el|le e O â â e ele @ elle SG Ó „J 4 © e©e (e se YC ` Q Q O O ele eœj|e e elÍoe e@|e ee o © Q e ° elle e ` ẢÓ 3
Câu 6 Gọi số điền ở ô F, G tương ứng là
x, y Khi đó số điền ở các ô C, A, E, H,I, D v aB lần lượt là 6 - x, x + 1,x+ 4, 7 -x, 10 - y, 17—y,y- 2 Suy ra x < 6 và 2 < y < 10 Từ đó xe {0;1;2;3;4;5;6}và ye {2;3;4;5;6;7;8;9; 10} Ta có tất cả 63 cách điền khác nhau Nhận xét Có ít bạn làm đủ cả 6 câu trên
Các bạn sau được nhận phần thưởng: Phùng Văn Mạnh, 8A, THCS Vĩnh Yên, Vĩnh Phúc; Đặng Hồng Thái, 6A„, THCS Giấy, Phong Châu, Phù Ninh, Phú Thọ; Lê Thị Lan Anh, 8A, THCS Thanh Hồng, Thanh Bích, Thanh Hà, Hải Dương; Trần Nguyễn Thiên Trang, mẹ là Nguyễn Thị Thái
Bình, hòm thư số 3CB38, khoa Cơ bản, trường Sĩ quan Lục quan Il, Tam Phước,
Long Thành, Đồng Nai 2 ;
Trang 26DUANE UL tn với 1000 Vẻ nói: A nhỏ hơn 1000
so sánh giá trị của biểu thức A -(
°Xinay LON HON
Ha€Y NHO HON?
Nhân kỉ niệm 1000 năm Thang Long - Hà Nội, Vui muốn 1 1 1) "¬ 401 10° 10! 1029 Còn Vui nói: Nếu thay dấu “—” trước phân số của biểu thức trên bởi dấu “+” thì biểu thức sẽ lớn hơn 1000 Theo bạn thì ai nói đúng? PHẠM TUẤN KHẢI (29/67 Giáp Bát, Hà Nội) Gọi số có ba chữ số cần tìm là abc Từ giả thiết ta có
Sabc = acb + bac + bca + cab + cba
Khai triển và rút gọn ta được 7a = 3b + ác © 7(a - b) = 4(c — b) Suy ra (c -b) : 7 Do d6c-— be {7;0; 7} Ta có ba trường hợp sau TH1 a-b=-4 bo eb=c+7=at4 Vì b < 9 nên c < 2 Suy ra 0 <c< 2 c-b=0 a-b=0 TH2 | Sa=be=c aah mm ĐỀ xa S a-b=4 a=b+4 Vì c < 9 nên b< 2 Suy ra 0 <b <2 Vì b, c là các chữ số nên —9 < c —- b <9 Từ đó ta được abc © {370 ; 481 ; 592) Vì 1<a<9 nên abc e {111 ;222; ; 999) ® X£t „u¿ SỐ TRUNG BÌNH CỘNG «n:-zzn Từ đó ta được abc e {407 ; 518 ; 629) Kết luận Vậy có tất cả 15 số có ba chữ số thỏa mãn yêu cầu của bài toán là: 370, 481, 592, 111, 222, 333, 444, 555, 666, 777, 888, 999, 407, 518, 629
Nhận xét Có rất nhiều bạn tham gia
giải bài toán này Tuy nhiên, nhiều bạn đã
không tìm đủ 15 số như trên hoặc tìm ra số không thỏa mãn yêu cầu của bài toán Các bạn sau được thưởng kì này: Đỗ
Hồng Quân, 7D, THCS Cao Xuân Huy,
Diễn Châu, Nghệ An; Dương Tuấn Anh, 9A2, THCS Tân Xuân, TX Đồng Xoài,
Bình Phước; Nguyễn Huyền Trang, 8B,
THCS Từ Sơn, Bắc Ninh; Tạ Diệu Ly, Triệu Quốc Đạt, TA3; THCS Lam Thao,
Phú Thọ
ANH COM PA
Trang 27
Publishing House)
Problem E54 (Proposed by Ngo Anh Tuyet, Hanoi Education Let a be the sum of the digits of an arbitrary 2008-digit multiple
of 9 Let b be the sum of the digits of a, and c be the sum of the digits of b Determine c 2 Ss | = œ = Ee = 2 a Š & + - sắp {› a o —
w Solution E52 Drop the perpendicular from B to AC meeting AC at Q A =a /
Then ZAQB = 90°, and thus Q lies on C,
Similarly, Q lies on C Thus, Q=P Now, AABP ~ AACB Thus BP BC x 12 60 ——=——_—-——>kx-— AB AC 5 422 4.52 13 Therefore, 2400 = 2400 = = 520 35, Bến Ngự, TP Nam Định, Nam Định LÊ THANH TÚ
Nhận xét Nhìn chung, về nội dung Toán các bạn đều giải đúng, theo những cách khác nhau và cho đúng đáp số Tuy nhiên
các bạn viết tiếng Anh còn thiếu chuẩn xác,
kể cả về từ vựng lẫn ngữ pháp Chẳng hạn, viết “hydrothesis” thay cho “hypothesis”, “P is belonged to AC” thay cho “P belongs to AC”, “ABC is right triangle at A”, Có bạn
do sơ suất còn nhầm lẫn số liệu đề bài
Các bạn: Nguyễn Thế Tiến, 8E, THCS
Đặng Thai Mai, TP Vinh; Nguyễn Văn
Thắng, 9B, THCS Lý Nhật Quang, Đô
Lương, Nghệ An có bài làm tương đối tốt
Bài của các bạn sau đây đáng được khích lệ: Lưu Hoàng Long, 230 Trần Đăng
Ninh, Vân Đình, Ứng Hòa, Hà Nội; Vũ Minh Tú, 9C, THCS Vinh Tường; Phan Huy Hoàng, 8A, THCS Tam Dương, Vĩnh Phúc
NGÔ ÁNH TUYẾT
eKết quả THÊ CỜ (Kì 15) (r2 sẽ 577
1.h3 gxh4+ 2.24 95+ 3.2f5 g4 4.hxg4#
Các bạn được thưởng kì này: Phan Trần
Bảo Thanh, fA„, THCS Thốt Nốt, Cần Thơ;
Phạm Công Minh, Nguyễn Anh Dũng, 8A., THCS Lâm Thao, Phú Thọ; Dương Tuấn
Anh, 9A2, THCS Tân Xuân, TX Đồng Xoài, Bình Phước; Lê Quang Trung, số nhà 2 ngõ
Trang 28
Ai về Phú Thọ, Phú Điền Nhớ đây Bà Triệu trận tiền xung phong Bắc Kạn có cặp rồng vàng
Nhất Bùi Hữu Nghĩa, nhì Phan Tuấn Thần Đông Anh có suối đãi vàng
Có Hồ Ba Bể, có nàng áo xanh Ai về qua huyện Ba Đình
Ghé thăm phong cảnh Loa thành Thục Vương
Ai về Biền Thượng - Gò Công
Nhớ Lê Thái Tổ chặn đường quân Minh
Có chàng Công Tráng họ Dinh
Vĩnh Long dựng lũy đắp thành đánh Tây Ai về Hậu Lộc cùng ta
Vui ngày Giỗ Tổ tháng ba mùng mười
Lam Sơn anh dũng tuyệt vời
Ông Trương đám lá tối trời đánh Tây
Địa danh nổi tiếng xưa nay Mà bị nhầm lẫn, nhờ ai sửa giùm MAI ĐÌNH PHẨM (45 Tân Lâm, Ý Yên, Nam Định)
@ Két qua lao! Hay moi tôi Uä0 bếp! (TTT2 số 77)
Hầu hết các bạn “tuổi Hồng” đều chưa
phải “đâm nhiệm” vai trò nội trợ trong gia
đình, thế nhưng các bạn đã tỏ ra khá am hiểu về các đồ dùng nhà bếp Tất cả bài dự thi đều trả lời đúng Xin chúc mừng! Các từ lần lượt cần điền là: thớt, chày, xô,
bát, chảo, đũa, đĩa, tô, rế, chõ, muỗng,
muôi, mâm, rổ, rá, dĩa, lồng bàn, rây,
ấm Phần thưởng kì này được trao cho
những bạn sau: Bửùi Thị Minh Ngọc, 8A-, THCS Phú Thái, Kim Thành; Trần Thị
Uyên, thôn Lương Giản, Quốc Tuấn, Hải
Dương; Nguyễn Nam Sơn, 7B,, THCS
Lạc Viên, Lê Lai, Ngô Quyền, Hải Phòng;
Quản Thị Bích Ngọc, /A„ THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyên Thị Nga, con bố Nguyễn Xuân Hùng, Đông
Lộc, Diễn Ngọc, Diễn Châu, Nghệ An
PHÚ BÌNH
Trang 29
Campuchia
VU KIM THUY
Những câu thốt nốt suu tư Những câu câu có thần rắm
xếp hàng theo thời gian nghin ndm
bén Angko Thom, bén Angko Vat Bước chân tôi chạm dấu xa xăm Phnom Pénh vdi dong séng 4 mat Chú uoi bước nhấn nha trên hè phố
Một nga chdy vé Tonle Sap Chiếc đồng hô bên chùa ba Pénh
mênh mang Thong thd nhd kim xoay tron
Hiền héa nhiing ngdi nha san trén bãi cô Những chú bò gầu màu trắng Campuchia hồi sữnh thật rồi
Bông hoa cau đó phơi màu trong nắng Đâu cũng một màu xanh
Béng da chiéu diu dat apxala Bên hoàng cung, đàn bô câu
Mặt trời hông xuống ruúi Bakheng vd canh an binh
Campuchia nông nan va ki bi Campuchia 19 - 23.7.2009
Những tháp dén hung vi Hà Nội 27.7.2009
LTS Campuchia là đất nước láng giéng gan gũi với chúng ta Bạn sẽ như được cùng tác giả đi thăm đất nước
của Angko Thom, Angko Vat hùng vĩ Tác giả muốn các bạn trò chuyện về Campuchia qua mấy câu hỏi sau:
® Dịch sang tiếng Việt, Angko Thom, Angko Vat có nghĩa là gì?
® Người Việt Nam mình thường gọi Tonle Sap là gì?
® Tác dụng chính của cây thốt nốt?
® Chiếc đồng hổ bên chùa bà Pâênh có gì đặc biệt?
Tác giả mong nhận được bài trò chuyện của các bạn
gửi về Bài viết đúng, trình bày đẹp, gửi sớm (theo dấu bưu điện) sẽ có phần thưởng của tạp chi
Trang 30nay nhe! Fun in Grammar
Voice on the phone: “Are your father and mother at home?” Little Johnny: “They was, but they isn’t now.”
Voice: “They was but they isn’t! Where’s your grammar?” Johnny: “She is out too.”
Bạn hãy giải thích xem tại sao lại có câu chuyện buồn cười @ Ki nay _ TUYET LAN @ Két qua 6 chữ XE DAP (TTT2 số 77)
Với số đông bạn đọc của Toán Tuổi thơ
2, chiếc xe đạp là bạn đồng hành trên con
đường đến lớp Hầu hết các bạn đều hiểu
rất rõ về “người bạn” của mình Vào thăm
Vườn Anh kì này là dịp để các bạn thể hiện sự hiểu biết đó (tất nhiên là phải kèm theo chút “vốn liếng” về tiếng Anh)
Các từ hàng ngang từ trên xuống: BRAKE - phanh (ham); RIM - vành bánh xe; BRAKECABLE - day phanh; TYRE - lốp xe; CHAIN - xich; VALVE - van; WHEEL -
banh xe
Chủ Vườn sẽ gủi quà tặng tới các bạn
sau: Nguyễn Tuấn Hiệp, /A;, THCS Thị
trấn Vũ Thư, Vũ Thư, Thái Bình; Trần Thu
Quỳnh, 8À¿, THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ; Nguyên Thi Trang, 7A, THCS
Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Đỗ Thị Vân Thúy, 8C, THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường; Phan Huy Hoàng, 8A, THCS Tam
Dương, Tam Dương; Nguyễn Thị Hà, 9A.,
THCS Yên Lạc, Yên Lạc, Vĩnh Phúc
Trang 31a °Ainay 0 chữ r “2 PAG va QUAN DAG Viet Nam C Or»
Trong ô chữ này có tên 11 đảo và quần đảo của nước ta Các bạn hãy tìm và cho biết đảo đó thuộc những tỉnh nào nhé!
TRẦN VĂN NGỌC TÂN
(Thôn Phong Thử 1, Điện Thọ,
Điện Bàn, Quảng Nam)
Các từ hàng ngang được sắp xếp theo
thứ tự sau (từ trên xuống dưới): Bế Văn
Đàn, Tô Vĩnh Diện, Nguyễn Viết Xuân, Võ Thị Sáu, Trần Văn Ơn, Phan Đình Giót
Có rất nhiều bạn đã lập ô chữ với tên
các liệt sĩ khác như: Đặng Thùy Trâm,
Nguyễn Văn Thạc, Mạc Thị Bưởi, Nguyễn Văn Tiỗi, TTT rất vui vì thấy các bạn
khá am hiểu về những con người đã làm
_ nên một thời hào hùng của dân tộc Xin r @ Kéet qua Tw lap O chư (TTT2 số 77) ` chúc mừng các bạn: Quản Thị Bích Ngọc,
TAs, THCS Lam Thao, Lâm Thao, Phú
Thọ; Đỗ Thị Hương Ly, số 28/99 Nguyễn
Lương Bằng, TP Hải Dương, Hải Dương;
Phạm Thị Giang, 9A, THCS Diễn Ngọc, Diễn Châu, Nghệ An; Lương Thị Minh Thảo, 9C, THCS Yên Phong, Yên Phong, Bắc Ninh; Nguyễn Thị Diệu Linh, số 129, khu 5, thị trấn Hậu Lộc, Thanh Hóa
Trang 32
Hỏi: Anh Phó ơi! Em đã gửi thư về TTT mấy lần rồi mà vẫn chưa nhận được tin tức
gì Em chẳng hiểu tại sao Em có thắc mắc
là: Không biết gửi thư vào lúc nào thì kịp
cho một số Em muốn gửi thư trả lời số 73
thì gửi lúc nào cho kịp hả anh? Em gái NHT (7A, THCS Bắc Bình, Lập Thạch, Vĩnh Phúc) Đáp: Bài hay thì đăng sớm Không hay cứ từ từ
Muốn bài đăng tháng tư Gửi bài tu’ thang mot
eẹe®ẴẰG69669666666666 6666666666
Hỏi: Anh Phó ơi! Em đọc TTT thì em thấy
răng: Hễ ai tham dự cuộc thi “Giải toán qua
thư” thì phải cắt phiếu tham dự cuộc thi Tại
sao phải như thế hả anh? Nếu cắt đi thì phí
mặt bên kia mất Mà anh ơi, khi trả lời học sinh, em toàn thấy anh trả lời bằng thơ Hay
lần này, anh trả lời bằng văn nhé! Em rất
muốn thưởng thức văn của anh
PHAM MINH HIỀN
(6B, THCS Đồng Giao, Tam Điệp, Ninh Bình)
Đáp: Anh làm thơ quen rồi nên trả lời bằng văn khó quá Muốn các em dán phiếu
dự thi là để phân biệt người đọc báo nhiều
với người đọc báo ít Nếu mọi người có kết
quả giống nhau mà không có cách gì phân biệt thì thật khó Đành chọn cách này vậy
e®896666666 6666666666666 666
Hỏi: Anh Phó ơi! Em có cái tật nói lắp rất
khó sửa ạ Có bài thuốc nào đặc trị bệnh
này không hả anh?
Em trai hay hỏi (Vĩnh Phúc) Đừng sợ khi cần nói Chớ nghĩ mọi người cười Nghĩ kĩ câu cần nói Dần dần bớt lắp thôi se@œ@eẴẰG9Ằ@96Ằ66666666666 6666666 666
Hỏi: Theo em biết thì từ số 8 năm 2003, TTT2 có chuyên mục “Các dạng toán thi
học sinh giỏi Giải toán trên máy tính điện tử
Casio” nhưng em không biết làm thế nào để
tìm được các số báo có chuyên mục đó
Mong anh chỉ cách giùm Chân thành cảm ơn anh VÕ HÀ PHƯƠNG (9A, THCS Lý Thường Kiệt, Hà Trung, Thanh Hóa) Đáp:
Muốn có bài tham khảo Thì nên mua báo nhiều Việc của anh rất nhiều Tìm báo cũ mệt lắm
Trang 33
Bai 1(80) Cho sé tu nhién n > 1 va d la mét udc s6 cla n* + 2n? + 2
sao cho d > n2 + 1 Chứng minh rằng d > nˆ+1+xn^ +1
NGUYỄN KHÁNH NGUYÊN (GV THCS Hồng Bàng, Hải Phòng) 1 1 1 —+—+—=2 xy yz Z ` xy*z z7 Bài 2(80) Giải hệ phương trình
VŨ VĂN DŨNG (GV THCS Nam Sơn, Nam Trực, Nam Định) Bài 3(80) Cho a, b và c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1
bc ca 1
Chứng minh rằng ab + + <—
c+1 a+1 bi+1 4
ĐOÀN THANH SƠN (Việt Thuận, Vũ Thư, Thái Bình) Bài 4(80) Cho tam giác ABC d là một đường thẳng thay đổi cắt các cạnh AB, AC thứ tự tại M, N sao cho nh ~ = 2009 Chứng minh rằng d luôn đi qua một điểm cố định
KIỀU ĐÌNH MINH (GV THPT Thanh Ba, Phú Thọ)
CORRESPONDENCE PROBLEM SOLVING COMPETITION
English version translated by Pham Van Thuan
1(80) Suppose that d is a factor of n* + 2n? + 2 such that d > n? + 1, where rn is
some natural number n > 1 Prove that d > n* +1+ Vn? 1 1 1 2 1 2(80) Solve the simultaneous equations —-+—- + — = 2, 2z” 4 Xy ye 2 xXy°Z Z
3(80) Let a, b, c be non-negative real numbers such that PHIEU a+b+c= 1 Prove that ab + be + ca s1 <—
c+i a+1 b+1 4
ĐANG Ki 4(80) Given a triangle ABC, d is a variable line that TH AM DU intersects AB, AC at M, N respectively such that AB/AM +
Trang 34Sang 20.9.2009, tại trường Đại học Khoa
học Tự nhiên Hà Nội đã diễn ra Đại hội đại
biểu Hội Toán học Hà Nội nhiệm kì V (2009 - 2014) QS Vũ Hoan, Phó Chủ tịch Liên hiệp các Hội Khoa học Kĩ thuật Hà Nội, GS
TSKH Lê Tuấn Hoa, Chủ tịch Hội Toán học Việt Nam, PGS TS Tống Đình Quỳ, Phó
Chủ tịch, Tổng Thư kí Hội Toán học Ứng
dụng, gần 100 đại biểu của trường Đại học
Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà
Nội, Viện Toán học Việt Nam, Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam, Viện Công nghệ
Thông tin, Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ, Tạp
AAS
ID]
chí Tốn Tuổi thơ, Cơng ty CP Dịch vụ Xuất
bản, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, Sở
Giáo dục - Đào tạo Hà Nội, các giáo viên từ các tỉnh: Vĩnh Phúc, Phú Thọ, Hà Giang,
Tuyên Quang, Lào Cai, Yên Bái, Hòa Bình,
Cao Bằng, Lạng Sơn, Thái Nguyên, Bắc
Giang, Bắc Ninh, Quảng Ninh, Thái Bình,
các trường Đại học: Bách Khoa Hà Nội, Sư
phạm Hà Nội, Thủy lợi, Giao thông Vận tải,
Điện lực, Lao động Xã hội, Đông Á, các
trường Cao đẳng: Sư phạm Hà Nội, Sư
Trang 35llhing nhân uật những tác tá của Ì Ï Ï
LTS Kể từ số 75+76, tạp chí sẽ lần lượt giới thiệu các giáo sư, tiến sĩ, nhà
giáo, nhà báo, nhà quản lí có nhiều đóng góp uào sự phát triển của Toán Tuổi
tho 10 nam qua
Nha tho TRAN DANG KHOA
Nha tho, nha van, nha bao Tran Dang Khoa sinh ngay 26 thang 4 nam 1958,
quê ở Trực Trì, Quốc Tuấn, Nam Sách,
Hải Dương
Năm 1968, khi mới 10 tuổi, Trần Đăng
Khoa đã có tập thơ đầu tay Từ góc sân nhà em được NXB Kim Đồng xuất bản Tập thơ tiếp theo là Góc sân và khoảng
trời, được xuất bản năm 1973 Tháng 2 năm 1975, khi đang học lớp 10 (tương
đương lớp 12 hiện nay), nhà thơ Trần Đăng Khoa nhập ngũ, là lính bộ binh rồi
hải quân, có mặt tại Trường Sa khi quần
đảo này vừa được giải phóng Năm 1984 nhà thơ theo học Trường Viết văn Nguyễn Du và được cử sang học tại Viện Văn học Thế giới mang tên M Gorki Tốt nghiệp về nước, ông công tác tại Tạp chí
Văn nghệ quân đội Từ năm 2004, khi đã
mang quân hàm thượng tá Quân đội
nhân dân Việt Nam, ông chuyển sang
Đài tiếng nói Việt Nam, làm trưởng ban
Văn học Nghệ thuật Hiện nay nhà thơ
Trần Đăng Khoa là Giám đốc kênh truyền hình của Đài TNVN, là trưởng Ban
tổ chức, Ủy viên BCH Hội Nhà văn Việt
Nam
Những tác phẩm nổi bật của Trần
Đăng Khoa:
e Từ góc sân nhà em, 1968
e Góc sân và khoảng trời, tập thơ, 1968, tái bản khoảng 30 lần, được dịch và xuất bản tại nhiều nước trên thế giới
e Khúc hát người anh hùng, trường ca,
1974
e Bên cửa sổ máy bay, tập thơ, 1986
e Chân dung và đối thoại, tiểu luận
phê bình, 1998, tái bản nhiều lần
e Bài "Thơ tình người lính biển" đã
được Hoàng Hiệp phổ nhạc
e Đảo chìm, 2000, tập truyện - kí (đến đầu năm 2009 đã tái bản 25 lần)
Các tác phẩm của Trần Đăng Khoa
được dịch và xuất bản tại nhiều nước
trên trế giới
Ông đã 3 lần được tặng giải thưởng
thơ của báo Thiếu niên Tiền phong (các
năm 1968, 1969, 1971), Giải nhất báo
Văn nghệ (1982) và Giải thưởng Nhà
nước về văn học nghệ thuật (năm 2001)
Nhà thơ Trần Đăng Khoa đã nhiệt tình
cộng tác với Tạp chí Toán Tuổi thơ trong nhiều năm liên tục Chuyên mục "Chát với Trần Đăng Khoa" xuất hiện đều đặn
hàng tháng trên Toán tuổi thơ đã trở
thành một "món ăn khối khẩu" của
đơng đảo bạn đọc bởi cách trò chuyện dí
Trang 36Một hơm gia đình
nhà tốn học nổi tiếng người Ba Lan phải chuyển
nhà Khi mang đồ xuống đường, vợ ông ta dặn: "Ông phải nhớ đếm cẩn thận nhé,
nhà mình có 10 thùng đồ Tôi đi gọi tắc xi
tải" Khi bà vợ quay lại thì thấy nhà toán học hốt hoảng nói: - Chết thật, sao tôi đếm đi đếm lại nhà mình chỉ có 9 thùng đồ thôi! Để tôi thử đếm lại nhé: 0, 1, 2, 3,
Hai người bạn dạo chơi bằng khinh
khí cầu Được một lúc thì họ bị lạc hướng
nên phải hạ thấp xuống để hỏi đường
Nhìn thấy có người phía dưới, một người hỏi: "Xin anh cho biết, chúng tôi đang ở đâu đây?" Người dưới đất đáp: "Các anh
đang ở trên một cái khinh khí cầu" Người
ở trên: "Anh là dân toán à?" "Đúng vậy"
Người aa i ee a hdi: "Sao
| sete yui ve ôn toốn
"Trời! Sao mà anh lại đếm được nhanh
thế?" Chủ doanh nghiệp thán phục hỏi Anh bạn dân toán trả lời: "À, tôi đếm tất cả chân rồi chia cho 4 là xong" e f g h Z 7 mm Wy, 7 8 2 Ú | 2 2⁄4 3248 WY, : I), Z7 2 : HH HH | A, A, 2T 2T 2 2 l2 ⁄ ⁄ ⁄ 2 2 2 2 a bc def gih
Địa chỉ gửi thư và liên hệ: Tầng 5, số 361 đường Trường Chinh, quận Thanh Xuân, Hà Nội
Điện thoại (Tel): 04.35682701 (Biên tập); 04.35682702 (Phát hành - Trị sự); 04.62914981
(Phó Tổng biên tập - Thư kí Tòa soạn)
Điện sao (Fax): 04.35682702 Điện thư (Email): toantuoitho@vnn.vn Trang mạng (Website): http:/www.toantuoitho.vn
Giấy phép xuất bản: số 31/GP-BVHTT, cấp ngày 23/1/2003 của Bộ Văn hóa và Thông tin
Mã số: 8BTT80M09 In tại: Công ti cổ phần in Sách giáo khoa tại TP Hà Nội
In xong và nộp lưu chiểu tháng 10 năm 2009