Nối tiếp phần 1, phần 2 của Giáo trình Toán 1 gồm 4 chương tiếp tục trình bày về tích phân, định thức và ma trận, không gian vectơ, hệ phương trình đại số tuyến tính,... Mời các bạn cùng tham khảo!
Tích phân bất định
Bảng các tích phân bất định cơ bản:
7 ³ cosx dx sinx C, ³ sinx dx cosx C
8 ³ 1 cos 2 x dx tanx C, ³ 1 sin 2 x dx cotx C
9 ³ sinhx dx coshx C, ³ coshx dx sinhx C
Ví dụ 7.2 Sử dụng bảng các tích phân cơ bản, tính các tích phân sau:
3 x 2 3x C (b) ³ tan 2 x dx ³ ptan 2 x 1 q dx ³ dx ³ 1 cos 2 x dx ³ dx tanx x C
(c) ³ 1 sin 2 xcos 2 x dx ³sin 2 x cos 2 x sin 2 xcos 2 x dx ³ 1 cos 2 x dx ³ 1 sin 2 x dx tanx cotx C
Bây giờ ta sẽ xét hai phương pháp cơ bản để tính tích phân bất định.
Phương pháp đổi biến: Giả sử f p t q là hàm liên tục, ω p x q là hàm có đạo hàm liên tục và ³ g p t q dt G p t q C Khi đó ta có: ằ g p ω p x qq ω 1 p x q dx G p ω p x qq C
Ví dụ 7.3 Tính các tích phân sau:
(a) ³ sin 3 xcosx dx ³ sin 3 x d p sinx q Đặtt sinx ³ t 3 dt t 4
Phương pháp tích phân từng phần là một kỹ thuật quan trọng trong giải tích, áp dụng cho hai hàm u(x) và v(x) có đạo hàm liên tục Theo quy tắc vi phân của tích, công thức được sử dụng là: ∫u dv = uv - ∫v du Phương pháp này giúp tính toán các tích phân phức tạp một cách hiệu quả.
Ví dụ 7.4 Tính các tích phân sau:
(a) ³ lnx dx Đặtu lnx, v x xlnx ³ x d p lnx q xlnx ³ dx xlnx x C (b) ³ x 2 cosx dx Đặtu x 2 , v sinx x 2 sinx 2 ³ xsinx dx Đặtu x, v cosx x 2 sinx 2 xcosx ³ cosx dx x 2 sinx 2xcosx 2 sinx C
Ví dụ 7.5 Chúng ta sẽ tìm công thức truy hồi để tính tích phân
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần vớiu 1 px 2 a 2 q n , v x, du 2nxdx px 2 a 2 q n 1 , dv dx, ta được:
J n x px 2 a 2 q n 2n ằ x 2 px 2 a 2 q n 1 dx x px 2 a 2 q n 2nJ n 2na 2 J n 1
Và do đó ta có công thức truy hồi:
1 aarctanx a Cnên ta có thể tính được:
Từ các công thức tích phân cơ bản và hai phương pháp trên ta có một số công thức quan trọng sau:
7.1 Tích phân bất định 91 7.1.2 TÍCH PHÂN CÁC HÀM HỮU TỈ
Hàm hữu tỉ, hay còn gọi là phân thức hữu tỉ, là tỉ số giữa hai đa thức Khi bậc của tử số nhỏ hơn bậc của mẫu số, hàm này được xem là hàm hữu tỉ thực sự Mọi hàm hữu tỉ đều có thể được phân tích thành tổng của một đa thức và một hàm hữu tỉ thực sự thông qua phép chia đa thức Do đó, trong phép tính tích phân, chỉ cần xem xét các hàm hữu tỉ thực sự.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các phân thức tối giản, bao gồm bốn loại chính: loại I (pI q A x a), loại II (p II q A px a q k), loại III (p III q M x N x 2 px q), và loại IV (p IV q M x N px 2 px q q k) Trong đó, A, M, N, a, p, q là các số thực Đặc biệt, đối với các phân thức thuộc dạng III và IV, chúng ta giả định rằng tam thức x² + px + q không có nghiệm thực, tức là điều kiện p² - 4q < 0 phải được thỏa mãn.
Các phân thức dạng (I) và (II) có thể dễ dàng lấy tích phân: pI q A ằ dx x a Aln | x a | C, p II q A ằ dx px a q k
1 px a q k 1 C, p k 2,3, q Đối với dạng (III) và (IV), trước tiên ta phân tích: x 2 px q x 2 2 p
Trở về biến cũx và thayabằng giá trị của nó, ta có: ằ
4q p 2 C Đối với trường hợp (IV) ta được: ằ
Tích phân thứ nhất có thể được tính nhanh chóng bằng cách sử dụng phép trừ t 2 a 2, trong khi tích phân thứ hai được tính theo công thức truy hồi như đã trình bày trong ví dụ cuối của mục trước (ví dụ 7.5).
Để lấy tích phân của các phân thức hữu tỉ thực sự, chúng ta cần áp dụng một định lý quan trọng Định lý này sẽ giúp chúng ta thực hiện các phép tính tích phân một cách hiệu quả và chính xác.
7.1 Tích phân bất định 92 Định lý 7.1 Mỗi phân thức thực sự đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng một số hữu hạn các phân thức tối giản.
Ví dụ 7.6 Tính tích phân:I ³ 2x 2 2x 13 px 2 qp x 2 1 q 2 dx.
Ta khai triển: 2x 2 2x 13 px 2 qp x 2 1 q 2
Dx E px 2 1 q 2 Hoá đồng mẫu số, ta đi đến đồng nhất thức dùng để xác địnhA, B, C, D, E:
2x 2 2x 13 A p x 2 1 q 2 p Bx C qp x 2 qp x 2 1 q p Dx E qp x 2 q
Từ đây ta có:A 1, B 1, C 2, D 3, E 4; và: ằ
2x 2 2x 13 px 2 qp x 2 1 q 2 dx ằ dx x 2 ằ x 2 x 2 1 dx ằ
2ln p x 2 q 2 x 2 1 4 arctanx C Chú ý rằng tích phân của hàm hữu tỉ bất kỳ được biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn các hàm hữu tỉ, logarithm và arctan.
7.1.3 TÍCH PHÂN MỘT SỐ HÀM VÔ TỈ
Trong phần này, chúng ta quy ước rằng R luôn là hàm hữu tỉ theo các đối số của nó Nguyên tắc chính để tính tích phân là áp dụng phép đổi biến thích hợp nhằm biến đổi tích phân về dạng hữu tỉ.
1 Tích phân các biểu thức dạngR x, m ax b cx d
Đặt: t ω p x q m ax b cx d, t m ax b cx d, x ϕ p t q dt m b a ct m Tích phân sẽ trở thành ³ R p ϕ p t q , t q ϕ 1 p t q dt và có dạng hữu tỉ.
Ví dụ 7.7 Tính tích phânI ³ dx
3 x 1 x 1 dx x 1 Ta đặt: t 3 x 1 x 1 ủ x t 3 1 t 3 1, dx 6t 2 dt pt 3 1 q 2 Khi đó: ằ
Có thể áp dụng phương pháp trên cho tích phân dạng tổng quát hơn: ằ
Để thực hiện phép biến đổi, chúng ta cần xem xét các số mũ r, s, là số hữu tỉ Gọi BSCNN là bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số của các số r, s, Bằng cách áp dụng phép đổi biến m ax b cx d, chúng ta có thể chuyển đổi tích phân về dạng hữu tỉ.
Ví dụ 7.8 Tính tích phânI ³ dx
? x ? 3 x Đặt t 6 x, dx 6t 5 dt, ta được: ằ dx
Tích phân của hàm vô tỉ dạng x^m * p * a * b * x^n * q * p, trong đó a, b là hằng số và m, n, p là các số hữu tỉ, có thể được hữu tỉ hóa theo các trường hợp nhất định Chebyshev đã chứng minh rằng chỉ trong những trường hợp cụ thể này, tích phân của hàm trên mới có thể được chuyển đổi thành dạng hữu tỉ.
: Nếup P Z thì đặtx t N với N là mẫu số chung củam vàn.
: Nếu m 1 n P Zthì đặt a bx n t N với N là mẫu số củap.
: Nếu m 1 n p P Z thì đặtax n b t N vớiN là mẫu số củap.
Do đó ? 4 1 x 4 tx t p t 4 1 q 1 { 4 và ằ dx
3 Tích phân các biểu thức dạng R p x,
? ax 2 bx c q Chúng ta sẽ sử dụng các phép thế Euler sau đây:
: Nếua ¡ 0thì đặt ? ax 2 bx c t ? ax.
: Nếuc ¡ 0 thì đặt ? ax 2 bx c xt ? c.
: Nếuax 2 bx c a p x λ qp x à q thỡ đặt ? ax 2 bx c t p x λ q
Ví dụ 7.10 Tính tích phân: ³ dx x
7.1 Tích phân bất định 94 Và ằ dx x
7.1.4 TÍCH PHÂN CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC Ở đây chúng ta xét các tích phân dạng ằ
1 t 2 ta đưa tích phân về dạng hữu tỉ: ằ
Ví dụ 7.11 Tính tích phân:I ³ dx
2 cosx Sử dụng phép thết tanx
Phép thế vạn năng cho tích phân dạng (7.1) có thể dẫn đến những tính toán phức tạp Tuy nhiên, trong một số trường hợp, chúng ta có thể áp dụng những phép thế đơn giản hơn để giải quyết vấn đề.
: NếuR p sinx,cosx q R p sinx,cosx q thì đặt t cosx.
: NếuR p sinx, cosx q R p sinx,cosx q thì đặt t sinx.
: NếuR p sinx, cosx q R p sinx,cosx q thì đặtt tanx.
Ví dụ 7.12 Ta xét một số ví dụ sau:
1 Xét tích phân ³ sin 2 xcos 3 x dx Bằng phép thết sinx, ta được: ằ sin 2 xcos 3 x dx ằ t 2 p 1 t 2 q dt t 3
Tích phân xác định
2 Sử dụng phép thết cosxđối với tích phân ³ dx sinxcos 2x , ta được: ằ dx sinxcos 2x ằ dx sinx p 2 cos 2 x 1 q ằ dt p1 t 2 qp 1 2t 2 q
3 Xét tích phân: ³ sin 2 x cos 6 x dx Đặtt tanx: ằ sin 2 x cos 6 x dx ằ sin 2 x cos 2 x
7.2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT Định nghĩa 7.2 Cho hàmf p x q xác định trên r a, b s Chia r a, b s thànhnđoạn nhỏ bởi các điểm chia: a x0 x1 x2 xn 1 xn b (7.2) Đặt∆xi xi 1 xi, p i 0,1, , n 1 q và gọi λ max i 1 ,n 1
∆xi Trên mỗi đoạn con r xi, xi 1 s ta lấy điểmci tuỳ ý và lập tổng: σn n 1 á i 0 f p ci q ∆xi
Nếu tồn tại giới hạnI lim λ ẹ 0σn khụng phụ thuộc vào cỏch chia (7.2)của đoạn r a, b s , thỡI được gọi là tích phân xác định của hàmf p x q trên đoạn r a, b s và ký hiệu:
Khi đó hàmf p x q được gọi là khả tích trên đoạn r a, b s , còn a, btương ứng được gọi là cận dưới và cận trên của tích phân.
Về lớp các hàm khả tích, ta có định lý sau: Định lý 7.2 Ta có:
1 Hàm liên tục trên một đoạn thì khả tích trên đoạn đó.
2 Hàm bị chặn trên một đoạn và có một số hữu hạn các điểm gián đoạn thì khả tích trên đoạn đó.
3 Hàm đơn điệu bị chặn thì khả tích.
Chúng ta dễ dàng chứng minh các tính chất sau của tích phân xác định:
1 Nếu hàmf p x q khả tích trên r a, b s thì nó cũng khả tích trên đoạn r b, a s và: b ằ a f p x q dx a ằ b f p x q dx
Hệ quả của tính chất này là nếu tích phân xác định có cận trên và cận dưới bằng nhau thì tích phân bằng không.
2 Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến lấy tích phân Nghĩa là: b ằ a f p x q dx b ằ a f p t q dt
3 Nếu hàm f p x q khả tích trong các đoạn r a, c s và r c, b s thì nó cũng khả tích trong đoạn ra, b s và: b ằ a f p x q dx c ằ a f p x q dx b ằ c f p x q dx
4 Các tính chất đại số của hàm khả tích Giả sửf p x q , g p x q khả tích trên r a, b s vàC là hằng số Khi đó: b ằ a
Cf p x q dx C b ằ a f p x q dx b ằ a f p x q g p x q dx b ằ a f p x q dx b ằ a g p x q dx
5 Nếu hàmf p x q khả tích trên r a, b s , không âm vàa b, thì: b ằ a f p x q dx ¥ 0
6 Nếu hai hàm f p x q vàg p x q khả tích trên r a, b s và x P r a, b s , f p x q ¤ g p x q , thì: b ằ a f p x q dx ¤ b ằ a g p x q dx
7 Nếu hàmf p x q khả tích trên r a, b s vàa b, thì hàm | f p x q| cũng khả tích trên r a, b s và: b ằ a f p x q dx ¤ b ằ a
8 Nếu hàmf p x q khả tích trên r a, b s vớia bvà x P r a, b s , m ¤ f p x q ¤ M, thì m p b a q ¤ b ằ a f p x q dx ¤ M p b a q
9 Định lý về giá trị trung bình Giả sử hàm f p x q khả tích trên r a, b s với a b và x P ra, b s , m Ô f p x q Ô M Khi đú sẽ tồn tại số à, p m Ô à Ô M q sao cho: b ằ a f p x q dx à p b a q
10 Định lý mở rộng về giá trị trung bình Giả sử hai hàm f p x q , g p x q khả tích trên r a, b s với a bvà x P r a, b s , m Ô f p x q Ô M Khi đú sẽ tồn tại số à, p m Ô à Ô M q sao cho: b ằ a f p x q g p x q dx à b ằ a g p x q dx
7.2.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Tích phân xác định được xem như là hàm của cận trên Nếu hàm f(p, x, q) khả tích trên đoạn [a, b], thì nó cũng khả tích trên đoạn [a, x] với x là giá trị tùy ý thuộc đoạn [a, b] Biểu thức Φ(p, x, q) = ∫[a, x] f(p, x, q) dx sẽ là hàm của biến x và có các tính chất đặc biệt.
Nếu hàm p(x, q) khả tích trên đoạn [a, b], thì hàm Φ(p(x, q)) sẽ là hàm liên tục theo x trên đoạn đó Hơn nữa, nếu hàm p(x, q) liên tục tại điểm x0 thuộc [a, b], thì tại điểm x0, hàm Φ(p(x, q)) có đạo hàm và có giá trị bằng Φ'(p(x0)) = f(p(x0)).
Hàm Φ p x q được xác định theo (7.4) là một nguyên hàm của f p x q Nếu F p x q là nguyên hàm của f p x q được tìm bằng phương pháp tích phân bất định, thì có thể viết Φ p x q = F p x q + C, trong đó hằng số C được xác định từ điều kiện Φ p a q = F p a q + C = 0 Từ đó, khi áp dụng định lý Newton-Leibnitz, ta có công thức: ∫[a,b] f p x q dx = F p b q - F p a q = Φ p x q | từ a đến b.
Ví dụ 7.13 Xét tích phân:I
1 px cosα q 2 sin 2 α dx 1 sinαarctanx cosα sinα
1 sinα arctan1 cosα sinα arctan1 cosα sinα π
2 Phương pháp đổi biến Giả sửf p x q liên tục trong đoạn r a, b s Xét hàmx ϕ p t q thoả các điều kiện sau:
(a) ϕ: r α, β s í ẹ r a, b s là hàm liờn tục cựng với đạo hàm của nú.
Khi đó ta sẽ có công thức đổi biến: b ằ a f p x q dx β ằ α f p ϕ p t qq ϕ 1 p t q dt (7.6)
Khi tính tích phân xác định theo công thức (7.6), không cần quay về biến cũ x như trong tích phân bất định, vì tích phân xác định chỉ là một số.
Ví dụ 7.14 Tính tích phân π ằ
Bằng phép thếx π tvớitbiến thiên từ π
2 đến 0trong tích phân cuối ta sẽ dẫn đến dạng: π ằ π { 2 xsinx
Tích phân suy rộng
3 Phương pháp tích phân từng phần Nếu các hàm u p x q , v p x q liên tục cùng với các đạo hàm của chúng, thì ta có công thức: b ằ a u p x q v 1 p x q dx u p x q v p x q b a b ằ a u 1 p x q v p x q dx
Ví dụ 7.15 Bằng phép thếx π
2 t, ta dễ dàng chứng minh được rằng:
Bằng cách lấy tích phân từng phần, ta tìm được:
Thaycos x 1 sin 2 xtrong tích phân cuối ta đi đến công thức truy hồi:
2, nếu m chẵn pm 1 q !! m!! , nếu m lẻ
Từ công thức (7.7) dễ dàng đưa ra công thức Valix nổi tiếng, được công bố năm 1655 dùng để tính gần đúng giá trị của sốπ thời bấy giờ Với0 x π
2, ta cósin 2 n 1 x sin 2 n x sin 2 n 1 x Lấy tích phân bất đẳng thức trên đoạn r 0,π
2 s và áp dụng (7.7) ta được:
Vì hiệu của biểu thức hai bên:
2 í n ẹ 8 0 nên sử dụng định lý kẹp ta có công thức Valix: π
7.3 Tích phân suy rộng 100 §7.3 T ÍCH PHÂN SUY RỘNG
Trong bài viết này, chúng ta sẽ mở rộng khái niệm về tích phân xác định từ trường hợp đoạn hữu hạn [a, b] sang trường hợp khoảng lấy tích phân vô hạn hoặc hàm f(x) không bị chặn Điều này giúp hiểu rõ hơn về các tính chất và ứng dụng của tích phân trong các tình huống phức tạp hơn.
7.3.1 TÍCH PHÂN SUY RỘNG VỚI CẬN VÔ HẠN
Giả sử hàmf p x q xác định trong khoảng r a, 8q và khả tích trong một đoạn bất kỳ r a, A s với
A ¡ a Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của tích phân A ³ a f p x q dx khi A ẹ 8 thỡ giới hạn đú được gọi làtích phân suy rộngcủa hàm f p x q trong khoảng r a, 8q và ký hiệu:
Tích phân (7.8) được gọi là hội tụ khi giới hạn của nó tồn tại và là một số hữu hạn Ngược lại, nếu giới hạn là vô hạn hoặc không tồn tại, tích phân sẽ được xem là phân kỳ Tương tự, tích phân suy rộng có thể được định nghĩa trong các khoảng p8, a s và p8, 8q.
Chú ý rằng nếuF p x q là nguyên hàm của hàmf p x q trong r a, 8q và tồn tại lim
A ẹ 8 F p A q thỡ ta có thể viết lại (7.8) như sau (và tương tự cho các trường hợp khác):
1 x 2 khả tích trong đoạn hữu hạn tuỳ ý r 0, A s , p A ¡ 0 q nên:
(b) Các hàme ax sinbxvàe ax cosbxkhả tích trong r 0, 8q và:
0 e ax sinbx dx asinbx bcosbx a 2 b 2 e ax
0 e ax cosbx dx bsinbx acosbx a 2 b 2 e ax
Ví dụ 7.17 (Ví dụ cơ bản) Xét hàm 1 x α trong khoảng r a, 8q , a ¡ 0 Với α 1,
8 Tích phân phân kỳ Trường hợpα 1, ta có:
Nếuα ¡ 1thì1 α 0nên tích phân hội tụ Cònα 1tích phân phân kỳ Vậy ta có:
# hội tụ nếuα ¡ 1 phân kỳ nếuα ¤ 1 (7.9)
Trong một số trường hợp, việc khảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng là cần thiết Các định lý liên quan cung cấp cơ sở để thực hiện điều này Cụ thể, Định lý 7.3 (Tiêu chuẩn so sánh 1) chỉ ra rằng nếu hàm số f(x) nằm trong khoảng giữa hai hàm số g(x) và h(x) với điều kiện nhất định, chúng ta có thể đánh giá sự hội tụ của tích phân.
Ví dụ 7.18 Khảo sát sự hội tụ của tích phân:
Tích phân đầu tiên hội tụ vì hàme x 2 liên tục trên đoạn r 0,1 s Để khảo sát sự hội tụ của tích phân thứ hai, ta chú ý rằng: x P r 1, 8q , x Ô x 2 ủ x 2 Ô x ủ 0 e x 2 Ô e x
Nếu hai hàm số f(x) và g(x) hội tụ và tồn tại giới hạn lim x → ∞ f(x)/g(x) = k (với k > 0), thì cả hai tích phân ∫ f(x) dx và ∫ g(x) dx cũng hội tụ Điều này được khẳng định bởi Định lý 7.4, tiêu chuẩn so sánh 2.
8 ³ a g p x q dxcùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.
Trong tiêu chuẩn so sánh 2, vai trò của tích phân cần so sánh là rất quan trọng và thường được xem xét trong ví dụ cơ bản (7.9) Điều này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc phân tích và áp dụng đúng định lý trong quá trình so sánh tích phân.
Nếu k = 0, sự hội tụ của tích phân \( \int_{a}^{8} g(p(x), q) \, dx \) dẫn đến tích phân \( \int_{a}^{8} f(p(x), q) \, dx \) cũng hội tụ Ngược lại, nếu k = 8, sự phân kỳ của tích phân \( \int_{a}^{8} f(p(x), q) \, dx \) sẽ kéo theo tích phân \( \int_{a}^{8} g(p(x), q) \, dx \) cũng phân kỳ.
Ví dụ 7.19 Khảo sát sự hội tụ của tích phân:
2x 3 3x 1 Chọn g p x q 1 x Ta có lim x ẹ 8 f p x q g p x q lim x ẹ 8 x
1 dx x phân kỳ nên tích phân của chúng ta cũng phân kỳ.
Trong trường hợp tổng quát, nếu tích phân ³ 8 a f p x q dxhội tụ thì tích phân ³ 8 a
|f p x q| dx chưa chắc hội tụ Nhưng điều ngược lại là đúng Nghĩa là nếu tích phân ³ 8 a
|f p x q| dxhội tụ thì tích phân ³ 8 a f p x q dx chắc chắn hội tụ Khi đó ta nói tích phân ³ 8 a f p x q dxhội tụ tuyệt đối.
Ví dụ 7.20 Xét tích phân
0 cosax k 2 x 2 dx Bởi vì cosax k 2 x 2 ¤
Nếu \(1 < p < 2\), \(x \in [0, 8q]\) và tích phân của hàm ở vế phải hội tụ, thì tích phân của hàm ở vế trái cũng hội tụ Do đó, tích phân đang xét hội tụ tuyệt đối.
(a) Hàmf p x q có nguyên hàmF p x q x ³ a f p t q dtbị chặn trong r a, 8q (b) Hàmg p x q đơn điệu giảm, tiến về khụng khix ẹ 8
Ví dụ thích hợp nhất để áp dụng định lý trên là các tích phân
8 ³ a cosx x α dx, p a ¡ 0 q hội tụ vớiα ¡ 0.
7.3.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG CỦA HÀM KHÔNG BỊ CHẶN
Xét hàm f(x) xác định trong khoảng hữu hạn [a, b], với điều kiện lim x→b f(x) = 0 Giả sử f(x) khả tích trong đoạn [a, b] với ε > 0 tùy ý nhỏ Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của tích phân từ a đến b-ε của f(x) dx khi ε → 0, thì giới hạn này được gọi là tích phân suy rộng của hàm f(x).
7.3 Tích phân suy rộng 103 đoạn r a, b s và ký hiệu: b ằ a f p x q dx lim ε ẹ 0 b ε ằ a f p x q dx (7.10)
Tích phân được coi là hội tụ khi giới hạn của nó tồn tại và hữu hạn Ngược lại, nếu giới hạn là vô hạn hoặc không tồn tại, tích phân được gọi là phân kỳ Điểm kỳ dị của tích phân là những điểm mà tại đó tích phân có thể không hội tụ Để mở rộng định nghĩa về tích phân cho các điểm kỳ dị khác, chúng ta có thể sử dụng giới hạn của tích phân khi tiếp cận những điểm này.
Nếu \( F(p, x, q) \) là nguyên hàm của hàm \( f(p, x, q) \) trong khoảng \( [a, b] \) và tồn tại giới hạn \( \lim_{x \to b} F(p, x, q) \), ta có thể viết lại công thức như sau: \[\int_a^b f(p, x, q) \, dx = \lim_{x \to b} \left( x \to a \int f(p, t, q) \, dt \right) = \lim_{x \to b} F(p, x, q) - F(p, a, q)\] Điều này cũng áp dụng cho các trường hợp khác tương tự.
Ví dụ 7.22 (Ví dụ cơ bản) Tương tự như ví dụ cơ bản trong phần trước, ta cũng có kết quả cơ bản sau đây: b ằ a dx pb x q α sẽ
# hội tụ nếuα 1 phân kỳ nếuα ¥ 1 (7.11)
Chú ý rằng các định lý so sánh 7.3, 7.4 và định lý 7.5 cũng áp dụng trong trường hợp này Chúng ta sẽ không lặp lại các định lý đó mà sẽ trình bày các tiêu chuẩn dựa trên chúng cùng với ví dụ cơ bản 7.11 Định lý 7.6 chỉ ra rằng nếu hàm p(x) và q(x) là các hàm cựng lớn bậc α với α > 0 so sánh với hàm b(x), thì tích phân từ b đến a của f(p(x), q(x)) dx hội tụ nếu α < 1 và phân kỳ nếu α ≥ 1.
Ví dụ 7.23 Xét các ví dụ sau đây:
Ứng dụng của tích phân
Hàm dưới dấu tớch phõn khix ẹ 1là vụ cựng lớn bậc 1 4 Do đú tớch phõn hội tụ.
Nếup ¡ 0thì điểm kỳ dị là π
Khi p = 0, điểm kỳ dị là 0 Trong cả hai trường hợp, biểu thức dưới dấu tích phân có giá trị rất lớn với bậc |p| Do đó, tích phân sẽ hội tụ khi |p| < 1 và phân kỳ khi |p| ≥ 1.
Vớia 1điểm kỳ dị là0, vớib 1điểm kỳ dị là1 Chia tích phân đó thành hai, chẳng hạn, như sau:
Nếu hàm dưới dấu tích phân có giá trị cận lớn bậc 1, thì tích phân thứ nhất chỉ tồn tại khi điều kiện a > 0 được thỏa mãn; tương tự, tích phân thứ hai tồn tại khi b > 0 Do đó, tích phân sẽ hội tụ chỉ khi đồng thời a > 0 và b > 0.
Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày các công thức ứng dụng của tích phân xác định mà không đi sâu vào việc giải thích và chứng minh chi tiết.
1 Tính diện tích hình phẳng.
Diện tích S của hình phẳng ABCD giới hạn bởi các đường cong y f p x q , y g p x q và các đường thẳngx a,x bđược tính theo công thức:
7.4 Ứng dụng của tích phân 105
Giả sử đường cong kínC bao quanh diện tích
S được cho bởi phương trình tham số: x x p t q , y y p t q , p t0 ¤ t ¤ T q sao cho khi theo chiều tăng củat, điểm p x, y q chạy ngược chiều kim đồng hồ và diện tíchS luôn nằm bên trái.
Bây giờ nếu diện tích S của hình phẳng bị chặn bởi đường cong r r p ϕ q trong toạ độ cực và các đường thẳng ϕ α và ϕ β Khi đó ta có công thức:
2 Tính độ dài cung. Độ dài cung đường congy f p x q , p a ¤ x ¤ b q được tính theo công thức: s b ằ a a
Bây giờ nếu đường congC được cho bởi phương trình tham số:x x p t q , y y p t q , p t0 ¤ t ¤
Cuối cùng đường congr r p ϕ q cho trong toạ độ cực bị chặn trong các đường thẳngϕ α vàϕ β Khi đó ta có công thức: s β ằ α a r 2 p ϕ q r 1 2 p ϕ q dϕ
3 Tính thể tích vật thể tròn xoay Cho hình phẳng giới hạn bởi0 ¤ y ¤ y p x q vớia ¤ x ¤ b. Thể tích vật thể thu được khi quay hình phẳng quanh trụcOxlà
Bài tập chương 7 106 Còn khi quay quanh trụcOy thì
Câu 1 Sử dụng phép đổi biến thích hợp, tính các tích phân sau: pa q ằ x
? a 2 sin x b 2 cos 2 x dx pg q ằ d ln p x
Câu 2 Sử dụng phương pháptích phân từng phần, tính các tích phân sau: pa q ằ lnx x
This article discusses various integrals involving functions such as \( x^2 \), \( \arctan(x) \), and \( \arccos(x) \) It covers the integration of \( \sin(x) \ln(p) \tan(x) \) and \( \sin^{-1}(x) \), as well as expressions involving \( x \) and \( \tan(x) \) Additionally, the article explores integrals of \( x^2 \) multiplied by other functions, including logarithmic and trigonometric components like \( \cos(p \ln(x)) \) and \( e^x \cos(x) \) The content emphasizes the importance of understanding these integrals for advanced calculus and mathematical analysis.
Câu 3 Tính tích phân các hàm hữu tỷ sau: pa q ằ x x 3 3x 2 dx pb q ằ x 2 1 px 1 q 2 p x 1 q dx pc q ằ
1 px 1 qp x 2 1 q dx pd q ằ x px 1 q 2 p x 2 2x 2 q dx pe q ằ 1 x 4 1 dx pf q ằ 1 p1 x qp 1 x 2 qp 1 x 3 q dx pg q ằ x 2 x x 6 1 dx ph q ằ 1 x p x 10 2 q dx pi q ằ x 2 1 x 4 x 2 1 dx pj q ằ x 4 1 x 6 1 dx
Câu 4 Với những điều kiện nào của các hệ số thì tích phân ằ αx 2 2βx γ pax 2 2bx c q 2 dx là một hàm hữu tỷ?
Câu 5 Tính tích phân các hàm vô tỉ sau: pa q ằ 1 x p 1 2
Câu 6 Tính tích phân các hàm lượng giác sau: pa q ằ sin 6 x dx pb q ằ sin 5 xcos 5 x dx pc q ằ
? tanx dx pd q ằ sin 3 2xcos 2 3x dx pe q ằ
1 p2 cosx q sinx dx pf q ằ cos 2 x pa 2 sin x b 2 cos 2 x q 2 dx pg q ằ sinx sin 3 x cos 3 x dx ph q ằ sin 2 xcos 2 x sin 8 x cos 8 x dx pi q ằ sinx cosx sinx 2 cosx dx pj q ằ 2 sinx cosx
3 sinx 4 cosx 2 dx pk q ằ sinx 2 cosx
1 4 sinxcosx dx pl q ằ sinx cosx a
Câu 7 Tính các tích phân sau: pa q ằ x 5
1 x 2 dx pb q ằ ln p 1 x x 2 q p1 x q 2 dx pc q ằ ax 2 b x 2 1 ln x 1 x 1 dx pd q ằ xlnx p1 x 2 q 2 dx pe q ằ
Câu 9 Tính các tích phân xác định sau: pa q
0 dx a 2 sin 2 x b 2 cos 2 x p ab 0 q pd q π ằ
Câu 10 Sử dụng công thức Euler cosx e ix e ix
2 tính các tích phân sau (n là số tự nhiên): pa q π ằ
Câu 11 Tính các tích phân suy rộng sau: pa q
8 dx pax 2 2bx c q n p ac b 2 ¡ 0 q pk q
Câu 12 Khảo sát sự hội tụ của các tích phân suy rộng sau: pa q
Câu 13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
Câu 14 Tính độ dài các cung sau:
Câu 15 Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi:
(c) x a p t sint q , y a p 1 cost q , y 0 p 0 ¤ t ¤ 2π q xoay quanhOx vàOy.
(d) x asin 3 t, y acos 3 t, p 0 ¤ t ¤ 2π q xoay quanhOx vàOy.
C HƯƠNG T ÁM ĐỊNH THỨC VÀ MA TRẬN
8.1 Ma trận 111 8.2 Định thức 114 8.3 Ma trận nghịch đảo 118 8.4 Hạng của ma trận 120 Bài tập chương 8 121 §8.1 M A TRẬN
8.1.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA Định nghĩa 8.1 Một ma trận cấpm ntrên trườngK là một bảng chữ nhật các số thuộcK, được sắp xếp thànhm hàng,ncột: a11 a12 a1 n a21 a22 a2 n
Ma trận thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa như A, B, C, và có thể được biểu diễn dưới dạng A = [a_ij] với i = 1, 2, , m và j = 1, 2, , n Các số a_11, a_12, , a_mn là các phần tử của ma trận, trong đó phần tử ở hàng thứ i và cột thứ j được ký hiệu là a_ij Tập hợp tất cả các ma trận có cấp m x n được ký hiệu là M(m, n).
Ma trận cấp m n có tất cả các phần tử bằng không được gọi là ma trận không, ký hiệu là O Ma trận cấp 1 n được gọi là ma trận hàng hoặc vectơ hàng, trong khi ma trận cấp m 1 được gọi là ma trận cột hoặc vectơ cột Hàng thứ i của ma trận A được ký hiệu là A_i và cột thứ j của ma trận A được ký hiệu là A_j.
Nếu m nta có ma trận dạng a11 a12 a1 n a21 a22 a2 n
Ma trận 112 là một ma trận vuông với cấp n được gọi là ma trận A Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu là M n p K q Các phần tử chéo của ma trận A bao gồm a11, a22, , a nn Tổng các phần tử chéo này được gọi là vết của ma trận A và được ký hiệu là tr p A q = a11 + a22 + + a nn.
Ma trận vuông cấp n với các phần tử chéo bằng 1 và các phần tử còn lại bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu là I_n hoặc I.
Ma trận vuông cấp n có các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 được gọi là ma trận chéo và kí hiệu làdiag p α1, α2, , α n q , nghĩa là: diag p α1, α2, , α n q α1 0 0
Nếu A là ma trận phức, thì ma trận liên hợp của A được ký hiệu là A* Trong trường hợp A là ma trận thực, thì A* sẽ bằng A Từ đây trở đi, chúng tôi sẽ chỉ trình bày các khái niệm và tính chất mà không kèm theo chứng minh, và các chứng minh này có thể được sinh viên tham khảo trong tài liệu [6].
8.1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN
1 Ma trận bằng nhau: Hai ma trậnA p a ij q , B p b ij q có cùng cấp m nđược gọi là bằng nhau nếua ij b ij , i 1, m, j 1, n.
2 Ma trận chuyển vị: Cho A là ma trận cấp m n Ma trận chuyển vị của A, ký hiệu là
A T , là ma trận cấpn m thu được từA bằng cách đổi hàng thành cột Nghĩa là:
Nói cách khác p A T q ij p A q ji Chuyển vị của vectơ cột là vectơ hàng và ngược lại Cho nên sau này để thuận tiện ta thường viết
X r x1, x2, , xn s T thay cho cách viết X x1 x2
Dễ dàng thấy rằng p A T q T A Ma trận vuôngAđược gọi là đối xứng nếuA T A.
Nhân ma trận với một số là phép toán trong đó ma trận A có kích thước m x n được nhân với một số α Tích của số α với ma trận A được xác định bởi ma trận mới αA, trong đó mỗi phần tử của ma trận A được nhân với α, tức là p αA q ij = α a ij với mọi i, j Phép nhân này giữ các tính chất quan trọng trong đại số ma trận.
Cộng hai ma trận A và B có cùng kích thước m x n được ký hiệu là A + B, trong đó tổng của các phần tử tương ứng được tính bằng công thức p A + B q ij = aij + bij Phép cộng này tuân theo các tính chất cơ bản của đại số ma trận.
Nhân hai ma trận là quá trình tính tích của ma trận A cấp m x p và ma trận B cấp p x n, trong đó số cột của ma trận A phải bằng số hàng của ma trận B Kết quả của phép nhân này sẽ tạo ra một ma trận mới, được ký hiệu là tích của hai ma trận A và B.
AB, có cấpm nvà xác định như sau: pAB q ij p á k 1 pA q ik p B q kj
Chú ý rằng nói chungAB BA, nghĩa là phép nhân hai ma trận không có tính giao hoán. Tuy nhiên nó có những tính chất sau đây:
(b) A p B C q AB AC và p B C q A BA CA
Do phép nhân hai ma trận có tính kết hợp, ta chấp nhận các định nghĩa sau:
A P M n p K q , A 0 I, A n A loo oo A A omo ooo on n nhân tử
8.2.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Định nghĩa 8.2 Cho tập N t 1,2, , n u Một đơn ỏnh p:N ẹ N được gọi là một phộp thế bậcn.
Ta thường ký hiệu phép thế pnhư sau: p
1 2 n i1 i2 in với p p k q i k P N Bằng qui nạp ta có thể chứng minh được rằng có tất cản!phép thế bậcn.
Trong phép thế p, nếu i j thuộc p i q và p j q tạo thành một nghịch thế khi i j thuộc p i q ¡ p p j q, thì phép thế được phân loại thành chẵn hoặc lẻ Cụ thể, nếu tổng số nghịch thế trong phép thế là chẵn, nó được gọi là phép thế chẵn; ngược lại, nếu tổng số nghịch thế là lẻ, nó được gọi là phép thế lẻ.
Ví dụ 8.3 Phép thế cấp4:p
1 4 3 2 là phép thế lẻ (tổng số nghịch thế bằng3), còn phép thế p
Phép thế chẵn 2 1 4 3 có tổng số nghịch thế bằng 2 Định nghĩa 8.3: Cho A là ma trận vuông cấp n, với các phần tử thuộc trường K Định thức của ma trận A, ký hiệu là det A hoặc | A |, được xác định bởi công thức: det A = ∑ (p1, q) σ(p) a1,p1 q a2,p2 q a n,pn q, trong đó tổng được tính khi p chạy qua n! phép thế bậc n Giá trị σ(p) bằng 0 nếu p là phép thế chẵn và bằng 1 nếu p là phép thế lẻ.
Chú ý rằng ta có thể viết tường minh định thức của ma trậnA như sau: detA a11 a12 a1 n a21 a22 a2 n
Ví dụ 8.4 ( a) Định thức cấp hai: a11 a12 a21 a22 a11a22 a12a21
(b) Định thức cấp ba: a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11a22a33 a12a23a31 a13a32a21 a11a23a32 a22a31a13 a33a12a21 Định thức có các tính chất sau đây:
Tính chất của định thức ma trận cho thấy rằng mọi mệnh đề liên quan đến hàng của ma trận cũng sẽ áp dụng cho cột và ngược lại.
2 Đổi chỗ hai hàng cho nhau thì định thức đổi dấu Từ đây suy ra rằng ma trận có hai hàng bằng nhau thì định thức bằng không.
Từ tính chất này ta suy ra một số hệ quả áp dụng sau:
Nghĩa là thừa số chung của một hàng có thể mang ra khỏi dấu định thức.
(c) Ma trận có một hàng bằng không thì định thức bằng không.
(d) Ma trận có hai hàng tỉ lệ thì định thức bằng không.
4 detA 0 khi và chỉ khi các hàng của ma trậnAphụ thuộc tuyến tính.
5 ChoA, B P M n p K q , khi đó ta có: det p AB q detAdetB.
6 Định thức không thay đổi nếu ta thêm vào một hàng nào đó của nó một tổ hợp tuyến tính của các hàng khác.
