TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU 3
Chương này tập trung vào việc thảo luận các nghiên cứu đã công bố liên quan đến ba vấn đề chính: chẩn đoán hư hỏng kết cấu tổng thể, chẩn đoán vết nứt trong kết cấu thanh thông qua dao động dọc trục, và trong kết cấu dầm thông qua dao động uốn Ngoài ra, chương cũng giới thiệu một số nghiên cứu về tần số phản cộng hưởng và ứng dụng của nó trong nhận dạng kết cấu, từ đó rút ra những vấn đề cần thiết cho các nghiên cứu tiếp theo.
1 1 Bài toán chẩn đoán hƣ hỏng kết cấu
Chẩn đoán kỹ thuật công trình là quá trình đánh giá trạng thái kỹ thuật của công trình, trong đó tính nguyên vẹn và khả năng làm việc được xem là cốt lõi Thuật ngữ "Giám sát sức khỏe kết cấu" thường được dùng thay thế cho việc đánh giá này Việc đánh giá tính nguyên vẹn nhằm phát hiện các thay đổi nội tại so với thiết kế ban đầu, thường là hư hỏng hoặc khuyết tật Hư hỏng có thể là sự thay đổi về hình học, tính chất vật liệu hoặc sai lệch trong liên kết các bộ phận Bài toán chẩn đoán hư hỏng kết cấu dựa trên dữ liệu thu thập từ khảo sát thực tế, với nhiệm vụ quan trọng là lựa chọn dấu hiệu chẩn đoán phù hợp Các tham số động lực học thường được chọn làm dấu hiệu chẩn đoán do sự thay đổi bên trong kết cấu sẽ thể hiện rõ ràng qua các đặc trưng này, như tần số dao động riêng, phản ánh sự phân bố độ cứng và khối lượng của kết cấu.
Nội dung chính của bài toán CĐHH bao gồm:
Lựa chọn các dấu hiệu chẩn đoán phù hợp và tiến hành thống kê để dự đoán sự thay đổi của chúng liên quan đến các hư hỏng cấu trúc Tất cả thông tin thu thập được về mối liên hệ giữa dấu hiệu chẩn đoán và hư hỏng thực tế sẽ tạo thành một cơ sở dữ liệu chẩn đoán.
Khảo sát, đo đạc ứng xử của kết cấu công trình thực để từ đ xác định dấu hiệu chẩn đoán thực tế của công trình
Công việc chính của chẩn đoán hư hỏng (CĐHH) bao gồm thu thập và xây dựng cơ sở dữ liệu chẩn đoán Quá trình này bao gồm khảo sát, đo đạc, và xử lý số liệu để xác định các dấu hiệu chẩn đoán thực tế Cuối cùng, CĐHH sử dụng các công cụ toán học để nhận dạng hư hỏng dựa trên những thông tin đã thu thập được.
Hiện nay, có hai phương pháp chính để tiếp cận bài toán chẩn đoán hư hỏng (CĐHH): chẩn đoán dựa trên mô hình và chẩn đoán dựa trên triệu chứng Phương pháp chẩn đoán dựa trên mô hình sử dụng một mô hình kết cấu với các giả định về hư hỏng của đối tượng cần chẩn đoán để xây dựng cơ sở dữ liệu chẩn đoán Trong phương pháp này, một mô hình tham số của kết cấu hư hỏng được xây dựng, trong đó các tham số hư hỏng được mô hình hóa và cơ sở dữ liệu chẩn đoán bao gồm các dấu hiệu chẩn đoán được tính toán dựa trên các tham số này Thông thường, trạng thái nguyên vẹn không hư hỏng tương ứng với giá trị không của các tham số hư hỏng, trong khi giá trị dương khác không của các tham số hư hỏng mô tả mức độ hư hỏng.
Phương pháp mô hình trong bài toán nhận dạng hư hỏng cho phép áp dụng các kỹ thuật hiện đại của lý thuyết nhận dạng hệ thống, mang lại lợi ích trong việc sử dụng các phương pháp tính toán và mô phỏng tiên tiến Kết quả chẩn đoán tạo ra một mô hình kết cấu phản ánh những hư hỏng thực tế, hỗ trợ trong việc đánh giá khả năng hoạt động và đề xuất biện pháp sửa chữa, gia cố Tuy nhiên, nhược điểm lớn nhất của phương pháp này là sự khác biệt giữa mô hình kết cấu hư hỏng và thực tế, điều này có thể dẫn đến sai lệch trong kết quả chẩn đoán do sai số đo đạc, thậm chí gây ra tình trạng vô nghiệm hoặc nghiệm không ổn định trong bài toán nhận dạng hư hỏng.
Phương pháp chẩn đoán theo triệu chứng dựa vào dữ liệu đo để phát hiện hư hỏng, sử dụng công cụ xử lý số liệu hiện đại để nhận diện các hiện tượng bất thường trong tín hiệu Ưu điểm của phương pháp này là khả năng phát hiện nhanh chóng các hư hỏng trong kết cấu Tuy nhiên, việc đánh giá mức độ hư hỏng vẫn gặp khó khăn, đặc biệt khi sai số đo đạc không thể bỏ qua Do đó, trong thực tế, nhiều nghiên cứu đã được thực hiện theo hướng kết hợp cả hai phương pháp để tận dụng ưu điểm và khắc phục nhược điểm của từng phương pháp.
Hiện nay, nhiều tác giả lựa chọn các đặc trƣng động lực học làm tiêu chí chẩn đoán hư hỏng Những đặc trƣng này rất đa dạng và phong phú, bao gồm các thông số số như tần số dao động riêng và hệ số cản.
Các đặc trưng hàm số như dạng dao động riêng và hàm đáp ứng tần số đóng vai trò quan trọng trong việc đánh giá kết cấu Đặc trưng số n i chung dễ dàng đo đạc và chính xác ở nhiều vị trí, nhưng ít nhạy cảm với hư hỏng cục bộ Ngược lại, đặc trưng hàm dạng dao động riêng nhạy cảm hơn với các hư hỏng này, nhưng khó đo đạc chính xác bằng thiết bị thông thường Hàm đáp ứng tần số là một đặc trưng tổng hợp, bao gồm cả các đặc trưng tổng thể như tần số riêng và hệ số cản, cùng với các đặc trưng cục bộ như dạng dao động riêng.
Hàm đáp ứng tần số không thể đo đạc ở mọi vị trí trên kết cấu, vì nó phụ thuộc vào vị trí lực tác dụng và sự tương tác giữa các dạng dao động, điều này có thể làm che khuất các biểu hiện hư hỏng trong tín hiệu đo Để khắc phục những khó khăn này, cần biến các đặc trưng hàm thành các đặc trưng số nhưng vẫn giữ tính chất cục bộ, sử dụng vật liệu áp điện làm cảm biến phân bố Do đó, nghiên cứu thêm các đặc trưng số khác chứa thông tin cục bộ, như tần số phản cộng hưởng, là cần thiết Tần số phản cộng hưởng, được xác định là điểm không của hàm đáp ứng tần số, cung cấp thông tin về cả vị trí đo và vị trí lực tác dụng Việc áp dụng tần số phản cộng hưởng trong chẩn đoán hư hỏng sẽ được trình bày chi tiết trong phần sau của luận án này.
1 2 Chẩn đoán vết nứt trong kết cấu thanh, dầm bằng tần số riêng
Kết cấu một chiều là vật thể đàn hồi có kích thước lớn hơn nhiều so với hai kích thước còn lại Khi xem xét biến dạng dọc trục theo chiều kích thước lớn nhất, kết cấu này được gọi là thanh, thường là các trụ cột, cọc chịu kéo nén Dao động dọc trục trong thanh là sự truyền sóng đàn hồi dọc theo trục Nếu kết cấu một chiều chịu uốn, nó được gọi là dầm, với sóng ngang truyền trong kết cấu phản ánh trạng thái dao động uốn của dầm Trong luận án này, dao động dọc trục được áp dụng cho kết cấu thanh, trong khi dao động uốn áp dụng cho kết cấu dầm.
Vết nứt trong kết cấu thanh, dầm được nghiên cứu trong luận án này là dạng vết nứt cạnh, nằm vuông góc với trục thanh, luôn mở và không phát triển Vết nứt này đặc trưng bởi sự suy giảm độ cứng tại mặt cắt có vết nứt, gọi là vị trí vết nứt Khoảng cách từ mặt hở của vết nứt đến mũi vết nứt được gọi là chiều sâu vết nứt Nghiên cứu trạng thái ứng suất biến dạng trên bề mặt vết nứt ngang trong kết cấu một chiều theo lý thuyết cơ học phá hủy cho phép mô phỏng vết nứt này bằng các lò xo có độ cứng phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt.
Bài toán chẩn đoán vết nứt tập trung vào việc xác định vị trí, chiều sâu và số lượng vết nứt thông qua các số liệu đo đạc về ứng xử của kết cấu Có hai cách tiếp cận để thực hiện chẩn đoán: thứ nhất là xử lý trực tiếp các số liệu thu thập từ khảo sát và đo đạc trên kết cấu thực, bao gồm hình ảnh để phát hiện những thay đổi bất thường; thứ hai là sử dụng mô hình kết cấu với các tham số vết nứt chưa biết, xác định từ số liệu đo Luận án này áp dụng cách tiếp cận thứ hai, dựa vào mô hình kết cấu được mô tả bằng phương trình tần số để xác định các tần số riêng của kết cấu có vết nứt, với số liệu đo đạc là các tần số riêng thu được từ thử nghiệm dao động.
Trong một kết cấu xác định, nếu tồn tại n vết nứt tại các vị trí e1, e2, , en với các tham số độ lớn tương ứng là γ1, γ2, , γn, thì có thể mô hình hóa để xây dựng phương trình tần số cho kết cấu thanh và kết cấu dầm.
F (, e 1 , , e n , 1 , , n ) 0 (1 1) trong đ là tần số riêng phải tìm Rõ ràng là nghiệm của phương trình (1 1) đối với, tức tần số riêng 1 , , m , phụ thuộc vào các tham số vết nứt e 1 , , e n ,
1 , , n , cũng đƣợc viết ở dạng ẩn hoặc hiển nhƣ sau
k k (e 1 , , e n , 1 , , n ), k 1, 2,3, (1 2) Nhƣ vậy, về nguyên tắc nếu biết trong kết cấu có n vết nứt thì từ 2n tần số đo
trong thực tế phương trình tần số (1 1) rất phức tạp nên dạng hiển của tần số riêng
Gần đây, một phương pháp tiệm cận và công thức Rayleigh đã được tìm ra để giải quyết bài toán chẩn đoán vết nứt thông qua tần số riêng Tuy nhiên, vấn đề này vẫn chủ yếu được giải quyết bằng cách giải hệ phương trình siêu việt.
DAO ĐỘNG DỌC TRỤC CỦA THANH CÓ NHIỀU VẾT NỨT 16
Chương này đề cập đến hai vấn đề chính: Thứ nhất, thiết lập phương trình tần số tường minh cho dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt và kiểm tra tính khả thi của các phương trình xấp x tiệm cận trong việc tính toán tần số riêng; Thứ hai, trình bày công thức Rayleigh mở rộng cho dao động dọc trục trong thanh nứt và ứng dụng của nó trong việc tính toán tần số riêng của thanh bị nứt, đồng thời đánh giá khả năng áp dụng các công thức gần đúng so với phương trình tần số chính xác.
2 1 Phương trình tần số dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt
2 1 1 Hàm dạng dao động dọc trục tổng quát trong thanh có nhiều vết nứt
Xét một thanh đàn hồi đồng nhất với mặt cắt ngang không đổi, có các hằng số quan trọng như mô đun đàn hồi E (GPa), khối lượng riêng ρ (kg/m³) và chiều rộng mặt cắt ngang b.
Chiều dài thanh L (m), chiều cao h (m) và diện tích A (m2) được xác định, trong đó thanh chứa n vết nứt ngang tại các vị trí xj Tỷ số vị trí vết nứt so với chiều dài của thanh được tính bằng ej = xj / L, với điều kiện 0 ≤ e1 < e2 < < en ≤ 1 Chiều sâu của các vết nứt tương ứng là a1, a2, , an (m).
Hình 2 1 Mô hình vết nứt trong thanh
Để thay thế vết nứt tại vị trí e j trong cấu trúc thanh, ta sử dụng một lò xo dọc trục với độ cứng K j được tính bằng công thức K j = EA / L γ j, trong đó γ j là tham số chiều sâu của vết nứt, phụ thuộc vào chiều sâu a j của vết nứt.
(2 1) với ν là hệ số Poisson của vật liệu
Dao động tự do dọc trục của một phân tố thanh được mô tả bằng phương trình
( x) 2 ( x) 0, x (0,1), L / E với điều kiện biên tổng quát
0 (0) 0 (0) 0; 1 (1) 1 (1) 0 (2 3) với các tham số biên 0 , 0 , 1 , 1 được xác định tương ứng với các điều kiện biên khác nhau trong Bảng 2 1
Bảng 2 1 Các tham số tương ứng với một số điều kiện biên Điều kiện tại vết nứt
Ký hiệu j (x) là nghiệm của phương trình (2 2) giữa hai vết nứt (e j-1, e j ), j = 1, n+1 với e 0 = 0, e n+1 =1 có thể chứng minh đƣợc rằng các hàm j+1 (x) với x(e j , e j+1 ) đƣợc biểu diễn ở dạng
j1( x) j ( x) j j (e j )cos( x e j ), j 1, , n , (2 6) trong đ j (x) là nghiệm phương trình (2 2) trong đoạn (e j-1 , e j ) được mở rộng liên tục cho đoạn tiếp theo (e j , e j+1 )
Thật vậy, do j (x) được mở rộng để thỏa mãn phương trình (2 2) trong khoảng
(e j , e j+1 ) và hàm cos(x − e j ) luôn thỏa mãn phương trình (2 2) trong khoảng
(e j , e j+1 ), nên biểu thức (2 6) là tổng của hai nghiệm phương trình tuyến tính (2 2) trong khoảng (e j , e j+1) sẽ là nghiệm của phương trình (2 2) trong khoảng này Mặt khác sử dụng (2 6) và
STT Điều kiện biên Tham số Tham số
3 Một đầu ngàm một đầu tự do:
(0)=(1)=0 1 0, 0 1 0 0, 1 1 xe j (2 8) Vậy hàm (2 6) thỏa mãn điều kiện (2 5)
Xét công thức truy hồi (2 6) cho các trường hợp j = 1,2,3,… ta được có lần lƣợt:
j j [L 0 (e j ) j 1 sin(e j e j 1), e j x e j 1 Đƣa vào hàm số K(x) đƣợc xác định bằng:
Nghiệm tổng quát của phương trình (2 2) có thể được biểu diễn dưới dạng (2 11), trong đó n j1 và đ j được xác định theo công thức (2 9) Để chứng minh (2 11) là nghiệm tổng quát thỏa mãn điều kiện biên tại đầu trái của thanh và các điều kiện tương thích (2 5), cần chứng minh rằng biểu thức (2 11) trùng với (2 6) trong khoảng (e j , e j+1) Cụ thể, khi xem xét nghiệm (2 11) trong miền (0 < x < e 1), chúng ta có thể xác định tính chính xác của nó.
Tức (2 11) là nghiệm của phương trình (2 2) thỏa mãn điều kiện biên tại đầu trái của thanh Giả sử (2 11) là nghiệm của phương trình (2 2) trong đoạn
( x) C[L 0 ( x) j K ( x e j )] C[L 0 ( x) j cos ( x e j )] j ( x) (2 13) j1 j1 khi e j-1 < x < e j , cần phải chứng minh (2 11) là nghiệm tổng quát của phương trình
(2 2) trong đoạn (e j , e j+1 ), tức(x) = j+1 (x) với e j < x < e j+1 Do tính chất của hàm
j ( x) j j (e j ) cos ( x e j ) j 1( x) Trong tính toán trên đã sử dụng các công thức (2 9) và (2 12) cùng với đạo hàm của hàm số bên vế phải của (2 12): j 1 j 1 sin ( x e (2 15)
Biểu thức (2 11) và (2 9) đã được chứng minh là nghiệm tổng quát của phương trình (2 2), đáp ứng điều kiện biên bên trái và các điều kiện tương thích (2 5) tại các vết nứt Tham số vết nứt μ j được đưa vào công thức (2 11), xác định từ vị trí và chiều sâu của vết nứt theo công thức (2 9) Khi biết tất cả vị trí và chiều sâu vết nứt, tham số này có thể được tính toán bằng cách sử dụng các véctơ μ = (μ 1, , μ n) T và γ = (γ 1, , γ n) T, cho phép phương trình (2 9) được viết lại.
, (2 17) với s jk = j sin(e j e k ) Từ đ có thể tính đƣợc ( 1 , n ) từ ( 1 , n ) bằng công thức
Biểu thức (2 18) luôn xác định vì det A 1 Ngƣợc lại có thể tính ( 1 , n ) nếu biết ( 1 , n ) bằng công thức
Hàm (2 11) đã được xác định hoàn toàn, thể hiện dạng dao động tổng quát trong dao động dọc trục của thanh có nhiều vết nứt.
2 1 2 Phương trình tần số dao động dọc trục trong thanh có nhiều vết nứt
Hàm dạng dao động (2 11) đã thỏa mãn điều kiện biên ở đầu trái của thanh
(tại x = 0), nó cần phải thỏa mãn điều kiên biên tại đầu phải của thanh (x = 1) Thay
(2 11) vào điều kiện thứ hai trong (2 3) đƣợc n j1 trong đ S = cosx Để tồn tại C khác 0 cần phải thỏa mãn điều kiện n j1
Phương trình tần số của thanh có nhiều vết nứt được biểu diễn qua phương trình (2 21), được giải cùng với phương trình (2 9) để tìm các nghiệm k Tần số riêng được tính toán từ các nghiệm của phương trình (2 21) theo công thức đã định.
k ( k / L) E / , k 1, 2,3, Khi đ dạng riêng tương ứng sẽ được tính bằng công thức n j 1
(2 23) cùng với (2 9) khi k = Lúc ấy hằng số tùy ý C đƣợc xác định bằng điều kiện chuẩn hóa, có thể là max k ( x) 1 x
Xét một số trường hợp điều kiện biên
Thanh có một đầu ngàm và một đầu tự do, với đầu ngàm nằm tại x = 0 Các tham số điều kiện biên được xác định theo Bảng 2.3, cụ thể là 0 = 1 và 0 = 0 Hàm L 0 (x) cũng được định nghĩa trong bối cảnh này.
k ( x) C[L 0 ( x)K ( x e j j )]k Đầu phải của thanh là tự do nghĩa là biên tự do tại x = 1 nên các tham số điều kiện biên c được theo Bảng 2 3 là 1 = 0, 1 = 1; do đ phương trình tần số
Phương trình (2 25a) được giải cùng với phương trình (2 9), kết quả tham số vết nứt là j1
Khi đ các tham số điều kiện biên theo Bảng 2 1 là 0 = 1 = 1, 0 = 1 = 0, và L 0 (x) = sin x; do đ phương trình tần số (2 21) trong trường hợp này sẽ là n j1 (2 26a)
Phương trình (2 26a) được giải cùng với phương trình (2 9), kết quả tham số vết nứt là j 1
+ Thanh hai đầu tự do
Trong trường hợp này, các tham số điều kiện biên theo Bảng 2 1 là
0 = 1 = 0, 0 = 1 = 1 và L 0 (x) = cosx Do đ phương trình tần số (2 21) trong trường hợp này là n j1 (2 27a)
Phương trình (2 27a) được giải cùng với phương trình (2 9), kết quả tham số vết nứt là j1
Bây giờ viết lại phương trình tần số (2 21) dưới dạng n j 1
Viết lại biểu thức (2 9) nhƣ sau cos j j sin (1 e ) 0 sin j jcos (1 e ) 0 ; sin j j sin (1 e ) 0 ;
Thay các biểu thức vào phương trình (2 28) cho phép chúng ta xác định mối quan hệ giữa các biến trong hệ thống Cụ thể, d0(λ) được biểu diễn như tổng của α1L0(λ) và β1L0(λ), trong khi các hàm d1, d2, d3, và dn mô tả sự tương tác giữa các biến e j, e k và e r thông qua các hàm sin và L0 Phương trình (2 29) đã được phát triển để thể hiện sự phụ thuộc của tần số vào vị trí và chiều sâu của vết nứt, cung cấp một công cụ hữu ích cho việc giải quyết các bài toán liên quan đến thanh có nhiều vết nứt Mặc dù Shifrin đã đề xuất một dạng khác của phương trình cho thanh có nhiều vết nứt, phương trình này vẫn giữ vai trò là hàm ẩn đối với chiều sâu vết nứt.
Từ phương trình (2 29), nhận được phương trình tần số chính xác trong các trường hợp riêng sau đây:
+ Thanh không có vết nứt
+ Thanh có một vết nứt
+ Thanh có hai vết nứt
+ Thanh có ba vết nứt
Trong trường hợp vết nứt nhỏ, các xấp x tiệm cận của phương trình tần số
+ Xấp xỉ tiệm cận bậc nhất
+ Xấp xỉ tiệm cận bậc hai j
+ Xấp xỉ tiệm cận bậc ba j1 j2 k 1 n n j1 n n j 1 n j 1 k 1 j 3 k 2 r 1
Các phương trình xấp x thu được từ điều kiện biên tổng quát (2 25) tương ứng với sự kết hợp các tham số điều kiện biên trong Bảng 2 1 Do đó, hàm L(x) và d() được xác định dựa trên các trường hợp điều kiện biên này.
+ Thanh hai đầu tự do và do đ
L 0 ( x) 2 sin x; H 1 ( x) sin x d 1 (, e) 3 sine sin (1 e); d 2 (, e 1 , e 2 ) 3 sine 1 sin (e 2 e 1 )sin (1 e 2 )
L 0 ( x) cos x; H 1 ( x) cos x d 1 (, e) cos (1 e)sine; d 2 ( , e 1 , e 2 ) cos (1 e 2 )sin (e 2 e 1 )cos e 1
+ Thanh một đầu ngàm một đầu tự do và
L 0 (x) = λ cos(λx); H 1 (x) = -λ sin(λx) Các tham số d 1 (λ, e) = -λ² sin(λ(1 - e)) cos(λe) và d 2 (λ, e 1, e 2) = -λ² sin(λ(1 - e 2)) sin(λ(e 2 - e 1)) cos(λe 1) được xác định trong trường hợp cả hai đầu của thanh có lò xo dọc trục với độ cứng K 0, K 1 Các tham số vết nứt (α 0, β 0, α 1, β 1) được lấy từ Bảng 2.
2 d 1 (, e)[cos (1 e) 1 sin (1 e)](cose 0 sine); d 2 (, e 1 , e 2 )[cos (1 e 2 ) 1 sin (1 e 2 )](cose 1 0 sine 1 )sin (e 2 e 1 )
(2 41) Ngoài ra, trong trường hợp vết nứt nhỏ, các xấp x tiệm cận bậc nhất của phương trình tần số cho một số trường hợp điều kiện biên là:
+ Thanh hai đầu tự do n j 1
+ Thanh một đầu ngàm một đầu tự do n j1
2 1 3 Kết quả số và thảo luận
Để kiểm nghiệm tính đúng đắn và khả năng ứng dụng của các phương trình tần số đã được thiết lập, chúng tôi tiến hành tính toán tần số riêng.
L 0 (x) được định nghĩa là sin(λx) + λβ₀cos(λx) và L 0 (x) = λcos(λx) - λβ₀sin(λx) Đối với d₀(λ), công thức là λ(β₀ + β₁)cos(λ) + (1 - λβ₀β₁)sin(λ) Các phương trình gần đúng được thiết lập, bao gồm sin(λ) - λ∑γ₉j sin(λ)e sin(λ)(1 - e) = 0 và cos(λ) - λ∑γ₉j cos(λ)e j cos(λ)(1 - e₉) = 0 Những phương trình này được so sánh với kết quả từ phương trình chính xác Cuối cùng, các phương trình gần đúng (2 35–2 37) được áp dụng để xác định tần số của thanh có nhiều vết nứt, phụ thuộc vào chiều sâu vết nứt và so sánh với phương trình chính xác.
Nghiên cứu này đưa ra các kiến nghị về điều kiện sử dụng các phương trình gần đúng để tính toán tỷ số ba tần số đầu của tần số cộng hưởng của thanh có vết nứt so với thanh không nứt (/ 0) trong ba trường hợp điều kiện biên khác nhau: thanh hai đầu ngàm, thanh một đầu ngàm một đầu tự do, và thanh hai đầu tự do Kết quả tính toán được trình bày trong các Hình 2.2 đến 2.10, với các ký hiệu: A1 – kết quả từ phương trình xấp xỉ bậc nhất; A2 – kết quả từ phương trình xấp xỉ bậc hai; A3 – kết quả từ phương trình xấp xỉ bậc ba.
CHẨN ĐOÁN VẾT NỨT TRONG THANH BẰNG TẦN SỐ PHẢN CỘNG HƯỞNG 44
Chương này tập trung vào việc nghiên cứu tần số phản cộng hưởng của thanh có nhiều vết nứt, đồng thời kết hợp với các tần số riêng đã được phân tích trước đó.
Chương 2 bắt đầu bằng việc thiết lập phương trình để xác định tần số phản cộng hưởng, tương tự như phương trình tần số đã được trình bày trước đó Sau đó, phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh có vết nứt được áp dụng để nghiên cứu sự phụ thuộc của tần số này vào các tham số của vết nứt Cuối cùng, cả hai phương trình tần số đã được thiết lập sẽ được sử dụng để phân tích sâu hơn.
Chương 2 của bài viết này thiết lập phương trình tần số phản cộng hưởng nhằm giải quyết bài toán chẩn đoán một và hai vết nứt trong thanh thông qua tần số cộng hưởng và tần số phản cộng hưởng.
3 1 Phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh có vết nứt
3 1 1 Hàm đáp ứng tần số của thanh có nhiều vết nứt
Xét dao động cƣỡng bức của thanh bị nứt chịu tác dụng của lực tập trung tại x 0 , được mô tả bằng phương trình trong miền tần số dạng
( x) 2 ( x) Q 0 ( )a 0 ( x x 0 ), a 0 L / EF , 0 x 0 1 Nghiệm tổng quát của phương trình trên c dạng x
0 trong đ 0 (x,) là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (2 2) và h( x) (1/ )sin x
(3 3) Tính tích phân bên phải phương trình (3 2) được
Sử dụng nghiệm tổng quát (2 11) của phương trình thuần nhất (2 2), có thể viết lại biểu thức trên ở dạng n j1 Áp điều kiện biên bên phải cho nghiệm (3 4) đƣợc
Từ phương trình cuối tìm được hằng số tích phân C bằng
Nhƣ vậy cuối cùng nghiệm (3 4) bằng
( x, ) Q 0 ( )a 0 h( x x 0 ) g (1 x 0 )L( x) / D( ) (3 5) với các hàm số h( x) (1 / )sin x; g (1 x 0 ) 1 h( x x 0 ) 1 h(1 x 0 ); n k1 n j 1 và các hàm số d 0 ( ) , L 0 ( x) và H ( x) đƣợc cho trong công thức (2 41)
Theo định nghĩa hàm đáp ứng tần số đƣợc xác định bằng tỷ số giữa biên độ dao động với biên độ lực tác dụng
Khi đ , sử dụng công thức (3 5) nhận đƣợc biểu thức tổng quát của hàm đáp ứng
Nếu điểm đo phản ứng (x) và điểm tác dụng lực (x 0 ) trùng nhau và bằng 1,
(x = x 0 =1) thì hàm đáp ứng tần số (3 6) có dạng là
Từ phương trình (3 7) xét một số trường hợp cụ thể như sau:
+ Trường hợp 1 : Điều kiện biên là thanh ngàm tại đầu trái x = 0 và tự do ở đầu phải x = 1, phương trình hàm đáp ứng tần số (3 7) có dạng
+ Trường hợp 2: Điều kiện biên là thanh hai đầu tự do thì phương trình hàm đáp ứng tần số (3 7) có dạng
Nếu điều kiện là đáp ứng ở đầu phải tại x = 1 và lực tác dụng tại đầu trái tại x = 0 là 0, thì hàm đáp ứng tần số của thanh hai đầu tự do sẽ có dạng như sau.
3 1 2 Phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh có nhiều vết nứt
Trong lý thuyết dao động, tần số cộng hưởng là tần số ngoại lực tạo ra đáp ứng dao động với biên độ tối đa, tương ứng với tần số dao động riêng của hệ khi không có cản Ngược lại, tần số phản cộng hưởng là điểm không của hàm đáp ứng tần số Việc xác định tần số cộng hưởng đã được trình bày trong Chương 2 qua các phương trình đặc trưng ở dạng ẩn và hiển Phần này sẽ thiết lập các phương trình tương tự để xác định tần số phản cộng hưởng của thanh có nhiều vết nứt.
Thay hàm h( x) (1/ )sin x vào biểu thức tổng quát (3 6) của hàm đáp ứng tần số có phương trình để tìm tần số phản cộng hưởng ở dạng sin ( x x 0 )
Việc lựa chọn điểm đo đáp ứng và điểm kích động x, x0 là rất quan trọng để xác định hàm đáp ứng tần số của kết cấu, đặc biệt đối với thanh có vết nứt Điểm đo và kích động thường được đặt ở các đầu thanh, nhưng điều này trở nên khó khăn khi thanh có hai đầu ngàm Do đó, bài viết này sẽ xem xét thanh hai đầu tự do và thanh một đầu ngàm một đầu tự do, với các điểm đo thuận tiện Hàm đáp ứng đơn giản nhất xảy ra khi điểm đo trùng với điểm kích động ở đầu phải của thanh, tức là x = x0 = 1 Trong trường hợp này, phương trình để tìm tần số phản cộng hưởng λ sẽ có dạng cụ thể.
Hay viết dưới dạng trong đ n j 1 n j 1 (3 12)
(3 13) d 0 ( ) 0 sin 0 cos ; H ( x) cos x Phương trình (3 13) có cùng dạng với phương trình (2 28) trong đ d 0 (),
H(x) được thay thế bằng d0(λ), trong khi H(x) và các thông số μj không thay đổi trong cả hai phương trình tần số cộng hưởng và phản cộng hưởng Do đó, phương trình tần số phản cộng hưởng có dạng: n ∑ k=1 1 ≤ 1 < i2 < ik ≤ n trong đ d1(λ, ej) = H(1 - ej)L0(λ ej).
0 d 0 ( ) j [ 1 cos (1 e j ) 1 sin (1 e j )] sin cos (1 e d 0 ( ) H (1 e j ) j 0 , d 0 ( ) ( ) k 1 d k ( , e i1 2i e , , e ik ) i1 2i ik 0, i
Từ (3 14), có thể xác định tần số phản cộng hưởng của thanh với một, hai và ba vết nứt thông qua các phương trình đặc trưng chính xác.
Trường hợp có một vết nứt d 0 ( ) 1 d 1 ( , e 1 ) 0 (3 16)
Trường hợp có hai vết nứt d 0 ( ) 1 d 1 ( , e 1 ) 2 d 1 ( , e 2 ) 1 2 d 2 ( , e 2 , e 1 ) 0 (3 17)
Trường hợp có ba vết nứt d 0 ( ) 1 d 1 ( , e 1 ) 2 d 1 ( , e 2 ) 3 d 1 ( , e 3 ) 1 2 d 2 ( , e 2 , e 1 )
Từ phương trình (3 14), có thể xác định tần số phản cộng hưởng cho thanh có nhiều vết nứt thông qua các xấp x bậc nhất, bậc hai và bậc ba Cụ thể, các giá trị j và k được tính toán theo công thức j = n - 1 và k = 2, với r = 1.
Nghiên cứu này tập trung vào ảnh hưởng của vết nứt đến tần số phản cộng hưởng của thanh hai đầu tự do Để kiểm chứng lý thuyết, tần số phản cộng hưởng được tính toán theo phương trình (3 16) và so sánh với kết quả thực nghiệm trong tài liệu [64] Thanh được xem xét có các đặc trưng hình học và vật liệu với EA = 5.454 × 10^8 (N), A = 20.4 (kg/m), và L = 2.474 (m) Kết quả được trình bày trong Bảng 3.1, thể hiện tỷ số tần số phản cộng hưởng của thanh có vết nứt so với thanh không nứt (/0) trong hai kịch bản D1 và D2.
Bảng 3 1 Tỷ số tần số phản cộng hưởng tính toán cho thanh không nứt và thanh nứt so với giá trị đo
Kết quả khảo sát trong Bảng 3.1 cho thấy rằng tần số cộng hưởng giảm khi vết nứt lớn xuất hiện trong cấu trúc thanh Đối với các thanh không có vết nứt, tần số phản cộng hưởng tính toán gần như trùng khớp với giá trị đo đạc, với độ chênh lệch nhỏ hơn 1% Điều này cũng áp dụng cho các vết nứt nhỏ theo giả thiết D1, ngoại trừ tần số đầu tiên có sai số lên đến 7% Sự khác biệt này có thể là do mô hình tính toán không phù hợp với cấu trúc trong thí nghiệm.
Bảng 3 2 Các hàm số và tham số của phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh với các điều kiện biên
Do phương trình tần số phản cộng hưởng không xác định cho thanh hai đầu ngàm, bài viết này sẽ tập trung vào việc phân tích tần số phản cộng hưởng của thanh hai đầu tự do và thanh một đầu ngàm một đầu tự do.
Xây dựng phương trình tần số phản cộng hưởng xấp x bậc nhất cho thanh trong hai trường hợp điều kiện biên: thanh hai đầu tự do và thanh một đầu ngàm một đầu tự do Đầu tiên, cần tính các hệ số theo các công thức (3 15) cho hai trường hợp này.
Thanh không nứt Giả thiết vết nứt D 1 Giả thiết vết nứt D 2 Đo đạc [64]
Tính toán (sai số, %) Đo đạc [64]
Tính toán (sai số, %) Đo đạc [64]
5098 5 (4 76) Vết nứt D 1 , D 2 có chiều sâu tương ứng (0 6% and 15%) ở vị trí e = 0 55/2 747 = 0 2 Điều kiện biên Tham số biên d 0 ( ) L ( x) 0
Một đầu ngàm một đầu tự do 0 1 0, 0 0, 1 1 sin sin x
Hai đầu tự do 0 1 0, 0 1 1 cos cos x
L 0 ( x) ( 0 sin x 0 cos x); d 0 ( ) ( 0 sin 0 cos ) hợp điều kiện biên nêu trên Sử dụng hàm số L 0 (x) đã cho trong Bảng 3 2, tính đƣợc các hệ số d 0 ( ) , d 1( , e) nhƣ sau
Trường hợp thanh một đầu ngàm một đầu tự do d 0 ( ) sin ; d 1 ( , e) cos (1 e) cos vì vậy n j 1 (3 22)
Trường hợp thanh hai đầu tự do d 0 ( ) cos ; d 1 ( , e) 2 cos (1 e)sin( e) nên n j1 (3 23)
Xét trường hợp thanh không nứt, tần số cộng hưởng xác định từ phương trình
(3 16) trong hai điều kiện biên là:
Tần số phản cộng hưởng của thanh hai đầu tự do: d0 ( ) cos 0 cos 0 k (2 k 1)
Tần số phản cộng hưởng của thanh một đầu ngàm và một đầu tự do được xác định bằng công thức d 0 ( ) = sin = 0, dẫn đến sin = 0 và k = k , với k = 1, 2, 3 Trong trường hợp thanh có một vết nứt, phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh sẽ được điều chỉnh theo các điều kiện biên đã nêu.
Phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh hai đầu tự do: cos 1 cos (1 e)sin( e) 0 (3 26)
Phương trình tần số phản cộng hưởng của thanh một đầu ngàm một đầu tự do: sin 1 cos (1 e)cos( e) 0 (3 27)
Trong các Hình 3 1 – 3 6 trình bày nghiệm của các phương trình (3 26) và
Tỷ số tần số phản cộng hưởng của thanh có vết nứt so với thanh không nứt phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu của vết nứt Trong hai trường hợp điều kiện biên là thanh hai đầu tự do và thanh một đầu ngàm một đầu tự do, sự thay đổi tần số phản cộng hưởng do vết nứt không khác nhiều so với tần số cộng hưởng Các tần số phản cộng hưởng có những điểm nút mà vết nứt không làm thay đổi, gọi là điểm nút tần số phản cộng hưởng, và những điểm này không trùng với các điểm nút của tần số cộng hưởng Sự tồn tại của các điểm nút tần số phản cộng hưởng làm phức tạp thêm việc chẩn đoán vết nứt thông qua các phương trình tần số phản cộng hưởng, thậm chí cần kết hợp cả phương trình tần số cộng hưởng và tần số phản cộng hưởng.
Hình 3 1 Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ nhất của thanh một đầu ngàm một đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt
Hình 3 2 Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ hai của thanh một đầu ngàm một đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt
Hình 3 3 Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ ba của thanh một đầu ngàm một đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt
Hình 3 4 Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ nhất của thanh hai đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt
Hình 3 5 Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ hai của thanh hai đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt
Hình 3 6 Tỷ số tần số phản cộng hưởng thứ ba của thanh hai đầu tự do phụ thuộc vào vị trí và chiều sâu vết nứt
3 2 Chẩn đoán vết nứt trong thanh bằng tần số cộng hưởng và phản cộng hưởng
3 2 1 Phương trình và thuật toán chẩn đoán
Giả thiết một thanh có m vết nứt ở các và vị trí (e 1 , ,e m ) và có chiều sâu