Phương pháp nghiên cứu

- Phân tích, tổng hợp các tài liệu để tìm hiểu những vấn đề liên quan đến đề tài.

- Sưu tầm các đề thi học sinh giỏi Toán Quốc gia, khu vực và quốc tế có liên quan đến Lý thuyết đồ thị.

- Hệ thống hóa lý thuyết và các đề thi đã thu thập.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài này là tài liệu hữu ích cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi, đồng thời cũng là nguồn tham khảo quý giá cho học sinh chuyên Toán, sinh viên và giáo viên giảng dạy Toán, đặc biệt là những ai quan tâm đến Lý thuyết đồ thị.

Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành 3 chương.

Chương 1: Tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về đồ thị vô hướng.

Chương 2: Tác giả trình bày các kiến thức cơ bản về đồ thị có hướng.

Chương 3 đề cập đến các dấu hiệu nhận biết việc áp dụng phương pháp đồ thị trong giải quyết bài toán Tác giả hướng dẫn cách chuyển đổi từ bài toán ban đầu sang dạng bài toán đồ thị, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể Ngoài ra, chương còn áp dụng phương pháp này để giải quyết một số đề thi thực tế, giúp người đọc nắm vững kiến thức và kỹ năng cần thiết.

ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG 3 1.1 KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG

Định nghĩa

Các đỉnh trong đồ thị được ký hiệu bằng các chữ cái như A, B, C, hoặc bằng số thứ tự 1, 2, 3, Cạnh nối giữa hai đỉnh A và B được ký hiệu là AB hoặc BA Nếu tồn tại nhiều cạnh nối cùng một cặp đỉnh, chúng được gọi là cạnh kép hoặc cạnh song song.

Nếu hai đầu mút của một cạnh trùng nhau thì ta gọi cạnh này là khuyên

Hai đỉnh A và B được coi là kề nhau khi chúng được nối với nhau bằng một cạnh Trong khi đó, một đỉnh không nằm ở đầu mút của bất kỳ cạnh nào sẽ được gọi là đỉnh cô lập.

Một đồ thị vô hướng không có khuyên và không có cạnh kép được gọi là đồ thị đơn

Ví dụ về đồ thị vô hướng

Hình 1.1 cho một đồ thị vô hướng có 4 đỉnh A, B, C, D và 4 cạnh AB, BC,

CD, DA Đồ thị được biểu diễn bởi 2 cách khác nhau.

Hình 1.1: đồ thị vô hướng

Trong hình 1.2, đồ thị có 4 đỉnh A, B, C, D trong đó: AA là khuyên, cạnh AB là cạnh song song, C là đỉnh treo, D là đỉnh cô lập.

Hình 1.2: ví dụ về khuyên, cạnh song song, đỉnh cô lập, đỉnh treo.

Đồ thị đẳng cấu

Hai đồ thị G1(V1;E1) và G2(V2;E2) được coi là đẳng cấu nếu có một song ánh f: V1 → V2 tồn tại, sao cho hai đỉnh A và B kề nhau trong G1 thì f(A) và f(B) cũng kề nhau trong G2, và ngược lại.

Nhận xét Nếu hai đồ thị đẳng cấu với nhau thì chúng có cùng số đỉnh và số cạnh Điều ngược lại không đúng.

Ví dụ Hình 1.3 và hình 1.4.

Dùng ma trận để biểu diễn đồ thị

Định nghĩa 1.3 Cho đồ thị vô hướngG(V;E)cón đỉnh làA 1 ,A 2 , ,A n Ma trận kề củaG là ma trận vuông A= (ai j) nxn trong đó ai j là số cạnh (khuyên) nối

Ma trận kề của đồ thị vô hướng luôn có tính đối xứng qua đường chéo chính, điều này phụ thuộc vào cách đánh số thứ tự các đỉnh.

Ma trận kề của đồ thị đơn là ma trận 0 - 1, tức là ma trận chỉ có các số 0 và 1.

Đồ thị vô hướng G(V;E) với n đỉnh A1, A2, , An và m cạnh e1, e2, , em có thể được biểu diễn qua ma trận liên thuộc A = (aij) nxm Trong ma trận này, aij bằng 0 nếu cạnh ej không chứa đỉnh Ai, và aij bằng 1 nếu cạnh ej chứa đỉnh Ai.

Hình 1.3: Ví dụ về hai đồ thị đẳng cấu.

Hình 1.4: Ví dụ về hai đồ thị có cùng số đỉnh và số cạnh nhưng không đẳng cấu.

Nhận xét Ma trận liên thuộc phụ thuộc vào cách đánh thứ tự các đỉnh và các cạnh.

Ví dụ Đồ thị ở hình 1.7 có ma trận liên thuộc như hình 1.8.

Hình 1.7: Đồ thị Hình 1.8: Ma trận liên thuộc.

Đồ thị con, đồ thị thành phần, đồ thị sinh

Định nghĩa 1.5 Cho đồ thị G 1 (V 1 ;E 1 ) Đồ thị G 2 (V 2 ;E 2 ) được gọi là đồ thị con củaG nếuV 2 ⊆V 1 và E 2 ⊆E 1 Định nghĩa 1.6 Cho đồ thị G 2 (V 2 ;E 2 ) là đồ thị con của đồ thị G 1 (V 1 ;E 1 ).

Đồ thị G2 được xem là đồ thị thành phần của G1 nếu tất cả các cạnh của G1 nối hai đỉnh của G2 cũng là cạnh của G2 Theo định nghĩa 1.7, cho đồ thị G1 (V1; E1) và V2 ⊆ V1, ta có thể xác định đồ thị thành phần dựa trên tập hợp các đỉnh này.

G 2 của G 1 với tập đỉnhV 2 là đồ thị sinh ra bởi tập đỉnhV 2 trong G 1 , ký hiệu là

Đồ thị K5 trong hình 1.9 có một đồ thị con với các cạnh được tô đậm và bốn đỉnh nằm trên những cạnh đó Bằng cách thêm hai cạnh a và b vào đồ thị con này, chúng ta sẽ tạo thành một đồ thị thành phần mới.

CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ VÔ HƯỚNG

1.2.1 Bậc của đỉnh trong đồ thị

Trong đồ thị G(V;E), bậc của đỉnh được định nghĩa là số cạnh xuất phát từ đỉnh đó, với các khuyên được tính gấp đôi Bậc của đỉnh A được ký hiệu là deg(A), d G (A) hoặc d(A) Bậc nhỏ nhất của đỉnh trong đồ thị được ký hiệu là δ(G), trong khi bậc lớn nhất được ký hiệu là ∆(G).

Nhận xét.Từ định nghĩa trên ta có: Bậc của đỉnh là số nguyên không âm, đỉnh treo có bậc là 1, đỉnh cô lập có bậc là 0.

Ví dụ.Đồ thị G trong hình 1.10 cód(A) =0,d(B)3,d(C) =2,d(D) =3,δ(G) 0,∆(G) =3

Hình 1.10: Định lý 1.1 [1] Trong đồ thị vô hướng G(V;E), tổng số bậc của tất cả các đỉnh bằng hai lần số cạnh.

Mỗi cạnh AB trong đồ thị đóng góp một lần vào bậc của đỉnh A và một lần vào bậc của đỉnh B Vì vậy, tổng số bậc của tất cả các đỉnh trong đồ thị sẽ gấp đôi số cạnh hiện có.

Nhận xét Vì tổng số bậc bằng hai lần số cạnh nên tổng số bậc của các đỉnh trong một đồ thị bao giờ cũng là số chẵn.

Hệ quả 1.2[1] Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn.

Chứng minh GọiV 1 là tập đỉnh có bậc lẻ,V 2 là tập đỉnh có bậc chẵn Theo định lý trên ta có:

∑ v∈V 1 d(v) + ∑ v∈V 2 d(v) =2|E| Vì 2|E|chẵn, ∑ v∈V 2 d(v) chẵn nên ∑ v∈V 1 d(v) chẵn Mặt khác vìd(v) lẻ với v∈V 1 nên trong tổng ∑ v∈V 1 d(v) phải có chẵn các số hạng hay trongV 1 phải có chẵn đỉnh lẻ.

Nếu đồ thị G có số đỉnh lẻ, thì số đỉnh có bậc chẵn sẽ là số lẻ Theo Định lý 1.3, trong mọi đồ thị đơn với n đỉnh (n ≥ 2), luôn tồn tại ít nhất hai đỉnh có cùng bậc.

Trong đồ thị đơn n đỉnh, không thể tồn tại đồng thời một đỉnh bậc 0 và một đỉnh bậc (n – 1) Nếu một đỉnh B có bậc (n – 1), thì nó kết nối với (n – 1) đỉnh khác, bao gồm cả đỉnh A, dẫn đến A không thể có bậc 0 Ngược lại, nếu A có bậc 0, thì B chỉ có thể có bậc tối đa là (n – 2) Do đó, trong một đồ thị với n đỉnh, mỗi đỉnh chỉ có thể có bậc từ 0 đến (n – 2) hoặc từ 1 đến (n – 1) Theo nguyên tắc Dirichlet, điều này chứng tỏ rằng phải có ít nhất hai đỉnh có cùng bậc.

Theo định lý 1.4, trong một đồ thị đơn với n đỉnh (n > 2), nếu tồn tại hai đỉnh có cùng bậc, thì đồ thị đó sẽ có chính xác một đỉnh bậc 0 hoặc một đỉnh bậc (n−1).

Để chứng minh, ta xem xét đồ thị G có hai đỉnh cùng bậc Nếu bậc đó bằng 0, khi loại bỏ hai đỉnh cô lập, ta sẽ có đồ thị G’ với (n – 2) đỉnh có bậc đôi một khác nhau, điều này trái với định lý 1.3 Ngược lại, nếu bậc của hai đỉnh đó là (n – 1), đồ thị bù G” của G sẽ có hai đỉnh cùng bậc 0, điều này cũng không xảy ra vì vi phạm định lý 1.3.

Như vậy, G phải có đúng hai đỉnh cùng bậc là k (k6=0và k6= (n−1)) Suy ra

G phải có đúng một đỉnh bậc 0 hoặc có đúng một đỉnh bậc (n – 1) (nếu không thì

G phải có hai đỉnh nữa có cùng bậc j6=k, trái giả thiết). Định lý 1.5 [7] Cho đồ thị G(V;E) Khi đó ta có: ∑

Chứng minh Gọi X là đỉnh tùy ý trong G Giả sử các đỉnh kề với X làV 1 ,V 2 , ,Vn. Khi đód(X) =nvà các cạnh XV 1 ,XV 2 , ,XVn Do đó:

Tiếp tục thực hiện cho tất cả các đỉnh còn lại của đồ thị G, từ mỗi đỉnh X, tổng trong vế trái của đẳng thức cần chứng minh sẽ có đại lượng d(X) xuất hiện d(X) lần Do đó, điều này cần được chứng minh.

1.2.2 Đường đi Định nghĩa 1.9 Cho đồ thị vô hướng G(V;E) Một dãy các cạnh dạng ei (Ai,A i+1 )vớii=1,2, ,m−1được gọi là dãy cạnh liên tiếp Trong dãy cạnh liên tiếp các cạnh có thể lặp lại.

Ví dụ Trong hình 1.11, dãy các cạnh e 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 5 ,e 1 là dãy cạnh kế tiếp còn dãy cạnhe 1 ,e 2 ,e 3 ,e 4 ,e 5 ,e 6 không phải là dãy cạnh kế tiếp.

Trong đồ thị vô hướng G(V;E), một đường đi được định nghĩa là một dãy các cạnh liên tiếp \( (A_iA_{i+1}) \) với \( i = 1, 2, , m-1 \), trong đó các đỉnh \( A_1, A_2, , A_m \) là khác nhau Đường đi này được ký hiệu là \( H = (A_1, e_1, A_2, e_2, , e_{m-1}, A_m) \), với \( A_1 \) là đỉnh đầu và \( A_m \) là đỉnh cuối Đặc biệt, nếu đường đi này đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị, nó được gọi là đường đi Hamilton.

Trong trường hợp đồ thị G là đồ thị đơn thì đường đi H có thể được ký hiệu là

Số cạnh của đường đi H được gọi là độ dài của đường đi , ký hiệu là l(H).

Ví dụ.Trong hình 1.12, ta có một đường đi được tô đậm từ A đến G và đường đi này có độ dài bằng 4.

1.2.3 Liên thông Định nghĩa 1.11 Hai đỉnh A và B của đồ thị được gọi là liên thông nếu có một đường đi nối A và B.

Đồ thị G được xem là liên thông khi mọi cặp đỉnh trong G đều có thể liên kết với nhau Cạnh CD được gọi là cầu nếu việc loại bỏ cạnh này làm cho hai đỉnh C và D không còn liên thông nữa.

Nhận xét: Quan hệ liên thông của hai đỉnh có tính chất sau:

(a) Mỗi đỉnh A liên thông với chính nó.

(b) Nếu A liên thông với B thì B liên thông với A.

Nếu đỉnh A liên thông với đỉnh B và đỉnh B liên thông với đỉnh C, thì đỉnh A cũng sẽ liên thông với đỉnh C Quan hệ liên thông này phân chia tập đỉnh của đồ thị thành các lớp có những đặc điểm nhất định.

(1) Các đỉnh cùng thuộc một lớp thì liên thông với nhau.

(2) Các đỉnh không cùng một lớp thì không liên thông với nhau.

Các lớp đỉnh trong đồ thị G được xác định là các đỉnh của những đồ thị thành phần liên thông, và chúng được gọi là thành phần liên thông của đồ thị đã cho.

Ví dụ Trong hình 1.13 ta có một đồ thị gồm hai thành phần liên thông.

1.2.4 Chu trình của đồ thị Định nghĩa 1.12 Cho trước đồ thị G với tập đỉnh V và tập cạnh E Một dãy cạnh dạngei = (Ai,A i+1 )vớii=1,2, ,mđược gọi là một chu trình nếu các đỉnh

Trong lý thuyết đồ thị, một chu trình Hamilton là chu trình đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị mà không lặp lại đỉnh nào, với các đỉnh được ký hiệu là A1, A2, , Am Chu trình này thường được ký hiệu là H = (A1, e1, A2, e2, , Am, Am+1 = A1), trong đó Ai là các đỉnh khác nhau và Am+1 trở về đỉnh đầu tiên A1.

Một chu trình trong đồ thị có độ dài 1 là khuyên, trong khi một đồ thị có chu trình độ dài 2 sẽ có cạnh kép Vì vậy, trong đồ thị đơn, chu trình sẽ có độ dài tối thiểu là 3.

MỘT SỐ ĐỒ THỊ ĐƠN VÔ HƯỚNG

1.3.1 Đồ thị đầy đủ Định nghĩa 1.15 Một đồ thị đơn vô hướng được gọi là đồ thị đầy đủ nếu hai điểm bất kỳ của nó luôn được nối bởi đúng 1 cạnh.

Đối với một số tự nhiên n (n≥2), tồn tại duy nhất một đồ thị đầy đủ với n đỉnh, được ký hiệu là K_n Đặc biệt, khi n = 3, K_3 được gọi là tam giác.

Đối với một đồ thị G đơn không đầy đủ, có thể bổ sung thêm các cạnh để biến G thành đồ thị đầy đủ Đồ thị mới G sẽ có tập đỉnh giống như G, và các cạnh bổ sung được gọi là đồ thị bù của G Theo Định lý 1.16, mỗi đỉnh trong đồ thị K_n có bậc (n−1) và K_n có tổng cộng n(n−1)/2 cạnh.

Chứng minh Vì mỗi đỉnh nối với (n−1)còn lại nên bậc của mỗi đỉnh là (n−1) và xuất phát từ mỗi đỉnh ta có(n−1)cạnh.

Vì mỗi cạnh AB được tính 2 lần (một lần xuất phát từ A và 1 lần xuất phát từ B)

Hình 1.16: Các đồ thị đầy đủK 2 ,K 3 ,K 4 ,K 5

Hình 1.17: Đồ thị không đầy đủ

Hình 1.18: Đồ thị đầy đủ sau khi bổ sung cạnh (là các đường nét đứt)

Trong đồ thị bùG của G, số cạnh của đồ thị K_n được tính là n(n−1)/2 Theo định lý Mantel, một đồ thị G có n đỉnh mà không chứa tam giác sẽ có số cạnh lớn nhất là ⌊hn^2/4⌋.

Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

Vớin=1,n=2,n=3 thì định lý đúng.

Giả sử định lý đúng đếnn−1 (n ∈N,n≥ 2) Xét đồ thị G gồm n đỉnh, gọi X và

Trong đồ thị G, hai đỉnh kề nhau là X và Y Đặt H là phần bù của {X,Y} trong G, tức là loại bỏ hai đỉnh này cùng với các cạnh liên kết với chúng Khi đó, H còn lại n−2 đỉnh và không chứa tam giác, vì nếu có tam giác trong H thì tam giác đó cũng sẽ nằm trong G Theo giả thiết quy nạp, số cạnh của H không vượt quá (n−2) 4 2 cạnh.

Với mỗi đỉnh A trong H, có nhiều nhất một cạnh nối với X và Y ( vì nếu có cạnh

AX, AY thì sẽ có tam giác AXY, vô lý ) Do đó từ các đỉnh trong H nối với X, Y nhiều nhấtn−2 cạnh Vậy G sẽ chứa không quá (n−2)

Để chứng minh rằng 4 + (n−2) + 1 = n 4 2 cạnh, ta cần hiểu định nghĩa về đồ thị t-free, tức là đồ thị không chứa một đồ thị con đầy đủ K_t Theo định lý Turan, số cạnh lớn nhất của đồ thị G với n đỉnh và t-free được xác định bởi công thức t−2 t−1 × n^2 / 2.

Chứng minh Ta chứng minh bằng quy nạp.

Dễ kiểm tra định lý đúng vớin=1; 2.

Giả sử định lý đúng đếnn−1, ta chứng minh định lý cũng đúng với n.

Giả sử G có n đỉnh và không chứa K t, thì G phải chứa K t−1 Nếu G không chứa K t−1, việc thêm một cạnh vào G sẽ không làm G chứa K t, nhưng số cạnh lại tăng lên, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng G là đồ thị có số cạnh lớn nhất có thể có.

Gọi B là phần bù của K t−1 trong G (hình 1.21) Vì B cón−t+1 đỉnh và không chứaK t nên theo giả thiết quy nạp, số cạnh của B là|E B | ≤ t t −1 −2 × (n−t+1) 4 2

Từ mỗi đỉnh K thuộc B, có thể nối nhiều nhánh t−2 cạnh với các đỉnh của K t−1 Nếu K được nối với tất cả t−1 đỉnh của K t−1, sẽ tạo ra K t, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng G không chứa K t Do đó, số đỉnh của G sẽ bị giới hạn.

Ta có điều phải chứng minh.

Định lý Turan cung cấp giá trị tối đa về số cạnh của đồ thị G, đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết các bài toán cực trị tổ hợp Hơn nữa, mệnh đề phản đảo của định lý này đưa ra điều kiện cần thiết để đồ thị G chứa đồ thị con đầy đủ Kt.

1.3.2 Đồ thị đều Định nghĩa 1.16.Một đồ thị đơn vô hướng G được gọi là đồ thị đều bậc t nếu mỗi đỉnh của đồ thị G có bậc là t.

Nhận xét Đồ thị đầy đủK n là đồ thị đều bậc (n−1). Định lý 1.19 [12] Số đỉnh của đồ thị đều bậc lẻ luôn là số chẵn.

Chứng minh Định lý này được suy ra hiển nhiên từ hệ quả 1.2. Định lý 1.20 [12] Cho G là đồ thị đều bậc g với n đỉnh và l cạnh Khi đó ta có:l= n.g 2

Chứng minh Giả sử G có tập đỉnh là V và tập cạnh là E Theo định lý 1.1 ta có: l =|E|= 1 2 ∑ v∈V d G (v) = n.g 2

1.3.3 Đồ thị lưỡng phân Định nghĩa 1.18 Đồ thị lưỡng phân là đồ thị G(V;E) mà tập đỉnh V có thể phân hoạch thành hai tập hợp X, Y sao cho tập cạnh E chỉ gồm các cạnh nối các đỉnh không cùng thuộc một tập hợp Ta còn ký hiệu đồ thị lưỡng phân này là

Đồ thị lưỡng phân G(X,Y;E) được gọi là đồ thị lưỡng phân đầy đủ K m,n nếu giữa hai đỉnh bất kỳ không cùng lớp luôn có đúng một cạnh nối Trong đó, m đại diện cho số đỉnh của lớp X và n đại diện cho số đỉnh của lớp Y.

(i) Đồ thị biểu diễn một buổi nhảy (các đôi nhảy luôn là người khác phái) là đồ thị lưỡng phân.

(ii) Đồ thị có sắc số 2 là đồ thị lưỡng phân ở đây, các đỉnh cùng màu sẽ tạo nên một lớp đỉnh.

Đồ thị lưỡng phân đầy đủ K3,3 được thể hiện trong hình 1.22 Theo định lý 1.21, một đồ thị G được coi là đồ thị lưỡng phân nếu và chỉ nếu tất cả các chu trình của G đều có độ dài chẵn.

Chứng minh Giả sửG(V;E)là đồ thị lưỡng phân Khi đó dọc theo chu trình bất

Trong đồ thị K 3,3 kỳ của G, các đỉnh thuộc tập X và Y lần lượt kế tiếp nhau, dẫn đến việc để trở về đỉnh xuất phát đầu tiên, ta phải đi qua một số chẵn các đỉnh Điều này có nghĩa là số cạnh (bằng số đỉnh) của chu trình cũng là một số chẵn Ngược lại, nếu G là một đồ thị mà tất cả các chu trình của nó đều có độ dài chẵn, thì điều này cũng được khẳng định.

Ta chứng minh tất cả các thành phần liên thông của G là lưỡng phân và do đó G là lưỡng phân.

Giả sử G 1 là một thành phần liên thông của đồ thị G và P 0 là một đỉnh trong G 1 Đối với mỗi đỉnh P của G 1, ta sẽ xác định một đường đi W nối đỉnh P 0 với P Nếu độ dài của đường đi W là chẵn, thì đỉnh P sẽ thuộc tập X; ngược lại, nếu độ dài W là lẻ, thì đỉnh P sẽ thuộc tập Y.

Sự phân loại các đỉnh của đồ thị G1 không bị ảnh hưởng bởi cách chọn đường đi W Cụ thể, nếu tồn tại một đường đi W có độ dài chẵn, thì không thể có đường đi W' với độ dài lẻ, vì điều này sẽ mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.

ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG 25 2.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ SỞ

Định nghĩa đồ thị có hướng

Một đồ thị được gọi là đồ thị (hữu hạn) có hướng khi tất cả các cạnh của nó đều có hướng, được gọi là cung Đồ thị có hướng được ký hiệu là G[V,E], trong đó V là tập đỉnh và E là tập cạnh.

Cung u được xác định bởi hai điểm, điểm đầu X và điểm cuối Y, ký hiệu là [X,Y] Trong đó, X là đỉnh xuất phát và Y là đỉnh đích Cung u được gọi là liên hợp hướng ra ngoài đối với đỉnh X và liên hợp hướng vào trong đối với đỉnh Y.

Các cung có cùng đỉnh xuất phát và đỉnh đích được gọi là các cung song song

Nếu đỉnh xuất phát và đỉnh đích của cung trùng nhau thì ta gọi cung này là khuyên có hướng

Khi các cung trong đồ thị có hướng được thay thế bằng các cạnh, ta sẽ thu được một đồ thị vô hướng Đồ thị vô hướng này được gọi là đồ thị lót của đồ thị có hướng tương ứng.

Một đồ thị có hướng được coi là đầy đủ nếu nó không chứa khuyên và mỗi cặp đỉnh đều được kết nối bởi đúng một cung.

Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc ra

Định nghĩa 2.2.Cho đồ thị có hướngG[V,E]và đỉnhA∈V Nửa bậc vào của

A, ký hiệud − (A), là số cung đi ra từ đỉnh A; nửa bậc ra của A, ký hiệu d + (A), là số cung đi tới đỉnh A Bậc của A bằng bậc của A trong đồ thị lót tương ứng, nói cách khác: bậc của đỉnh A bằng tổng nửa bậc vào và nửa bậc ra.

Một đỉnh được gọi làcô lậpnếu nó có nửa bậc vào và nửa bậc ra đều bằng 0.

Dây chuyền - liên thông

Một dây chuyền trong đồ thị có hướng được định nghĩa là một chuỗi các cung liên tiếp Khi loại bỏ hướng của các cung này, nó sẽ chuyển đổi thành một chuỗi các cạnh liên tiếp trong đồ thị vô hướng tương ứng.

Một băng chuyền là một dây chuyền mà đỉnh đích của một cung là đỉnh xuất phát của cung kế tiếp.

Một dây chuyền cơ bản và băng chuyền cơ bản là những cấu trúc trong đồ thị mà mỗi đỉnh chỉ xuất hiện một lần Đặc biệt, một băng chuyền cơ bản bao gồm tất cả các đỉnh của đồ thị và được gọi là băng chuyền Hamilton.

Một băng chuyền khép kín, trong đó mỗi đỉnh là điểm xuất phát của một cung, được gọi là chu trình có hướng Nếu chu trình này bao gồm tất cả các đỉnh của đồ thị, nó được gọi là chu trình Hamilton.

Trong lý thuyết đồ thị, một đồ thị có hướng được gọi là liên thông yếu nếu các đỉnh của nó có thể kết nối với nhau thông qua một chuỗi Đồ thị được xem là liên thông (yếu) khi mọi cặp đỉnh đều có thể liên thông yếu Ngược lại, đồ thị được gọi là liên thông mạnh nếu bất kỳ hai đỉnh nào cũng có thể kết nối với nhau bằng một băng chuyền.

Ví dụ.Đồ thị trong hình 2.1 có: u là khuyên có hướng, v và w là các cung song song, A có bậc là 4 (nửa bậc vào là 1, nửa bậc ra là 3).

Định lý 2.1 khẳng định rằng một đồ thị liên thông G được coi là đồ thị liên thông mạnh nếu và chỉ nếu mỗi cung của G đều nằm trong ít nhất một chu trình.

Giả sử G là một đồ thị có hướng, với mỗi cung nằm trong ít nhất một chu trình Chúng ta sẽ chứng minh rằng G là liên thông mạnh Nếu không, tồn tại hai đỉnh X và Y trong G mà không có băng chuyền nối chúng Đặt M là tập hợp các đỉnh nối với X bằng một băng chuyền Vì G là đồ thị liên thông, nên sẽ có một dây chuyền cơ bản kết nối các đỉnh này.

K = (X = X1, X2, , Xk = Y) cho thấy rằng X = X1 thuộc M và Xk = Y không thuộc M Giả sử i là chỉ số nhỏ nhất sao cho Xi thuộc M và Xi+1 không thuộc M Khi đó, cung giữa hai đỉnh Xi và Xi+1 có hướng đi từ đỉnh Xi+1 đến đỉnh Xi, được ký hiệu là u = [Xi+1, Xi] Theo giả thiết, cung u nằm trên một chu trình C Chúng ta có thể di chuyển từ đỉnh X đến đỉnh Xi+1 bằng cách đi từ một đỉnh X đến đỉnh Xi qua một băng chuyền W nào đó, sau đó tiếp tục dọc theo chu trình.

Chúng ta đã thiết kế một băng chuyền nối từ đỉnh X đến đỉnh X i+1 Khi đó, X i+1 thuộc tập M, tạo ra mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Mâu thuẫn này chứng minh rằng

Giả sử chúng ta có một đồ thị liên thông mạnh G và một cung u tùy ý Nếu cung u là một khuyên, điều này có nghĩa là nó nằm trên một chu trình Nếu đỉnh xuất phát của cung u được xác định, chúng ta có thể phân tích các đặc điểm của chu trình trong đồ thị.

Khi đỉnh X và đỉnh Y của hai cung u khác nhau, sẽ có một băng chuyền nối chúng Trong số các băng chuyền, giả sử (X1 = Y, u1, X2, u2, , Xk = X) là băng chuyền ngắn nhất Mỗi đỉnh Xi và mỗi cung ui chỉ xuất hiện một lần trong băng chuyền này.

Do đó(X 1 =Y,u 1 ,X 2 ,u 2 , ,X k =X,u,X 1 =Y)là một chu trình chứa cung u, điều phải chứng minh.

MỘT SỐ ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG ĐẶC BIỆT

2.2.1 Đồ thị phản chu trình Định nghĩa 2.4 Một đồ thị G được gọi là đồ thị phản chu trình nếu như nó không chứa chu trình nào cả.

Một đỉnh X của đồ thị có hướng G được gọi là đỉnh nguồn của đồ thị G nếu

Trong một đồ thị có hướng, đỉnh không phải là đỉnh đích của cung nào được gọi là đỉnh hạ lưu Định lý 2.2 chỉ ra rằng trong một đồ thị phản chu trình, luôn tồn tại ít nhất một đỉnh nguồn và một đỉnh hạ lưu Điều này thể hiện mối quan hệ quan trọng giữa các đỉnh trong đồ thị, góp phần hiểu rõ hơn về cấu trúc của nó.

Chứng minh Rõ ràng đồ thị phản chu trình luôn có đỉnh hạ lưu.

Ta chọn trong một đồ thị phản chu trình G cho trước một đỉnh tùy ýX 1 Nếu đỉnh

Đỉnh X1 là một đỉnh nguồn trong đồ thị G, và nếu không phải, sẽ có một cung u với X1 là đỉnh đích Đỉnh xuất phát của cung này là X2, và do G là phản chu trình, X1 khác X2 Nếu X2 là đỉnh nguồn, định lý được chứng minh Nếu không, tồn tại một cung với X2 là đỉnh đích, và đỉnh xuất phát của cung này là X3, với X3 thuộc {X1, X2} Quá trình này tiếp tục tạo thành một dãy các đỉnh X1, X2, , Xk mà không có đỉnh nào lặp lại Do tập đỉnh hữu hạn, dãy này không thể kéo dài vô hạn và sẽ kết thúc tại một đỉnh X0, mà X0 là đỉnh nguồn của G.

2.2.2 Turnier Định nghĩa 2.5 Turnier là một đồ thị có hướng sao cho nếu bỏ hướng các cạnh đi thì ta thu được một đồ thị đầy đủ Ta còn có thể gọi một Turnier là một đồ thị đầy đủ có hướng.

Một Turnier có n đỉnh được gọi là một n-Turnier và ký hiệu làT n Trong một TurnierT n ta có các tính chất hiển nhiên sau:

(i)d + (X) +d − (X) =n−1 với mọi đỉnh X tùy ý của Tn.

(ii)Tn có nhiều nhất một đỉnh nguồn và có nhiều nhất một đỉnh hạ lưu.

Tên gọi "Turnier" xuất phát từ thể thao, đặc biệt là khi có một đại hội thể thao với n đối thủ tham gia Trong đó, mỗi đối thủ sẽ gặp gỡ nhau một lần duy nhất và không có trận đấu nào kết thúc với kết quả hòa Biểu diễn n đội bằng n đỉnh X1, X2, , Xn, các cung [Xi, Xj] thể hiện mối quan hệ giữa các đối thủ.

Trong đồ thị có hướng đầy đủ (T n), luôn tồn tại đường đi Hamilton Định lý này cung cấp điều kiện quan trọng để xác định sự tồn tại của đường đi Hamilton trong các đồ thị có hướng.

Chứng minh.Giả sử W= (X 1 ,X 2 , ,X k )là một đường đi sơ cấp bất kỳ trongTn. Nếu W đi qua tất cả các đỉnh củaT n thì W là đường đi Hamilton.

Nếu trong đồ thị T còn tồn tại đỉnh không thuộc tập W, chúng ta có thể dần dần thêm các đỉnh này vào W để tìm ra một đường đi Hamilton Giả sử rằng đỉnh X không thuộc W.

(i) Nếu có cung nối X vớiX 1 thì ta có đường điW1= (X,X 1 ,X 2 , ,X k ).

(ii) Nếu tồn tại chỉ số i (1≤i≤k−1)mà từ X i có cung đi tới X và từ X có cung đi tới X i+1 thì ta chen Xvào giữa X i và X i+1 để có đường đi W 2 (X 1 ,X 2 , ,X k ,X,X i+1 , ,X k ).

Nếu không có trường hợp nào xảy ra, tức là với mọi i (1≤i≤k−1), đều có cung đi từ X_i tới X, ta sẽ bổ sung X vào cuối đường W, tạo thành đường đi mới W_3 = (X_1, X_2, , X_k, X) Thực hiện lần lượt n−k lần, ta có thể biến W thành đường đi Hamilton.

Đường đi Hamilton trong trường hợp của T n là một cách sắp xếp n đối thủ trong giải đấu Turnier, trong đó người đứng trước luôn thắng người đứng sau Phép chứng minh này cung cấp một phương pháp hiệu quả để tổ chức n đối thủ trong các cuộc thi thể thao Turnier Định lý 2.4 khẳng định rằng đối với đồ thị có hướng đầy đủ liên thông mạnh bậc (n≥3), việc sắp xếp như vậy là khả thi.

Khi đó với mọi đỉnh A và số nguyên p(3≤ p ≤n)luôn tồn tại chu trình có hướng sơ cấp độ dài p đi qua đỉnh A.

Chứng minh.ChoA∈V, ta chứng minh quy nạp theo p.

Vì đồ thị là liên thông mạnh nên mỗi đỉnh luôn có nửa bậc vào và nửa bậc ra là các số dương. ĐặtV 1 ={B∈V|∃[A,B]∈E},V 2 ={B∈V|∃[B,A]∈E}.

Vì G liên thông mạnh nên tồn tại cung từ đỉnh củaV 1 đến đỉnh củaV 2 Suy ra đỉnh

A thuộc chu trình có độ dài 3.

Giả sử A thuộc chu trình có độ dài k, (3≤k≤n), gọi chu trình này làW (A=A 1 ,A 2 , ,A k ,A) Ta sẽ xây dựng chu trình có độ dàik+1qua A.

Trường hợp 1: Tồn tại đỉnh B ∈W sao cho có cung đi từ đỉnh nào đó trên

W đến A và có cung đi từ B đến đỉnh nào đó trên W Khi đó sẽ tồn tại hai đỉnh

Trong đồ thị có các đỉnh A i và A j thuộc W, nếu tồn tại cung từ A i đến B và từ B đến A j, ta có thể tạo ra chu trình W 0 = (A i, B, A j) ∪ W(A j, A i) với độ dài k + 1 Ngược lại, nếu không có đỉnh B như trường hợp trước, ta định nghĩa V 1 = {X ∈ V\W | ∀Z ∈ W, ∃[Z, X] ∈ E} và V 2 = {Y ∈ V\W | ∀Z ∈ W, ∃[Y, Z] ∈ E}.

Do trường hợp 1 nênV 1 ∪V 2 =V\W NếuV 1 = /0hoặcV 2 = /0thì vi phạm tính liên thông mạnh Do đóV 1 6= /0 vàV 2 6= /0.

Cũng do tính liên thông mạnh nên tồn tạiX ∈V 1 vàY ∈V 2 sao cho có cung đi từ

X đến Y Khi đó ta được chu trìnhW 0 = (A 1 ,A 2 , ,A k−1 ,X,Y,A 1 )đi qua A và có độ dàik+1.

Từ định lý trên ta suy ra được hệ quả sau:

Hệ quả 2.5 [1] Đồ thị có hướng đầy đủ có chu trình Hamilton khi và chỉ khi nó liên thông mạnh.

Trong một giải đấu bóng chuyền với 5 đội, mỗi đội thi đấu với 4 đội còn lại, không có trận hòa xảy ra Có thể sắp xếp đội trưởng của 5 đội thành một hàng dọc sao cho đội đứng sau luôn thắng đội đứng ngay trước Điều này chứng minh rằng trong một cấu trúc thi đấu như vậy, sự phân chia thứ hạng giữa các đội là khả thi.

Xét đồ thị với 5 đỉnh tương ứng với 5 đội bóng, khi hai đội thi đấu, đỉnh của chúng được nối bởi một cung từ đội thắng đến đội thua, tạo ra đồ thị có hướng T5 Theo định lý 2.3, trong T5 luôn tồn tại đường đi Hamilton, từ đó cung cấp cách sắp xếp 5 đội bóng theo yêu cầu của bài toán.

Chẳng hạn, nếu ta có kết quả các trận đấu như hình 2.2 thì đồ thị nhận được như hình 2.3 và cách sắp xếp như hình 2.4.

Trong một cuộc thi cờ vòng tròn với 5 đối thủ, mỗi trận đấu có thể kết thúc với kết quả thắng (1 điểm), thua (0 điểm) hoặc hòa (0,5 điểm) Có một số quy tắc quan trọng: người đứng đầu bảng không có trận hòa nào, người đứng thứ hai không thua trận nào, và người đứng thứ tư không thắng được người đứng thứ năm Những quy tắc này tạo nên một cấu trúc điểm số thú vị trong cuộc thi.

Xác định kết quả các trận đấu của mọi người cũng như tổng số điểm của họ.

Tổng số ván cờ là C(5, 2), do đó tổng số điểm của các đối thủ là 10, với mỗi ván có tổng điểm của hai đối thủ luôn là 1 Gọi a_i là số điểm của người thứ i, ta có a_1 > a_2 > a_3 > a_4 > a_5 Vì người a_1 không hòa trận nào và người a_2 không thua trận nào, nên kết luận rằng người a_1 thua người a_2, từ đó suy ra a_1 ≤ 3.

Vì điểm của hai người khác nhau lệch nhau ít nhất0,5 và do 3+2,5+2+1,5+

1nên chỉ có thể xảy raa 1 =3;a 2 =2,5;a 3 =2;a 4 =1,5;a 5 =1mà thôi.

Chúng tôi xây dựng một đồ thị với 5 đỉnh tương ứng với 5 người chơi, được ký hiệu là a1, a2, a3, a4 và a5 Các đỉnh này được kết nối với nhau bằng các cạnh có hướng, thể hiện mối quan hệ thắng-thua giữa các người chơi, hoặc bằng các cạnh vô hướng trong trường hợp hai người chơi hòa nhau.

Trong một giải đấu, người a1 thua người a2, do đó a1 cần thắng ba người còn lại là a3, a4 và a5 Người a2 không thua trận nào và có 1 điểm sau khi thắng a1, nên phải hòa với ba người còn lại a3, a4 và a5, dẫn đến tổng điểm của a3, a4 và a5 lần lượt là 1,5; 1 và 0,5 điểm A4 không thắng a5, vì vậy điểm 0,5 của a5 là kết quả hòa với a4 Trong cuộc đối đầu giữa a3 và a4, a4 chỉ có 0,5 điểm, chứng tỏ hai người này hòa nhau Khi a3 đấu với a5, điểm của a3 là 1,5 - 0,5 = 1, do đó a3 thắng a5 Kết quả các trận đấu được biểu diễn qua đồ thị như hình 2.5.

ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG 33 3.1 DẤU HIỆU SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ VÀ CÁCH CHUYỂN TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU SANG BÀI TOÁN ĐỒ THỊ

Dấu hiệu cơ bản

Để xây dựng đồ thị, cần xác định hai yếu tố chính: đỉnh và cạnh Việc nhận diện bài toán gốc (bài toán T) có thể chuyển đổi thành bài toán đồ thị (bài toán D) phụ thuộc vào việc xác định yếu tố nào là đỉnh và yếu tố nào là cạnh Thông thường, các đối tượng trong bài toán được coi là đỉnh, trong khi các mối quan hệ giữa chúng được xác định là cạnh.

Phương pháp chuyển đổi mô hình

Quy trình áp dụng phương pháp đồ thị để giải một bài toán T bao gồm các bước:

Bước 1:Nhận dạng bài toán (sử dụng các dấu hiệu cơ bản);

Bước 2:Phát biểu lại bài toán T theo ngôn ngữ đồ thị (bài toán D) (chuyển đổi mô hình từ bài toán ban đầu sang bài toán đồ thị);

Bước 3: Giải bài toán D dựa vào các kết quả của lý thuyết đồ thị hoặc bằng suy luận trực tiếp.

Để chuyển đổi mô hình từ bài toán ban đầu sang bài toán đồ thị, bước quan trọng là phát biểu lại kết quả bài toán bằng ngôn ngữ thông thường.

Để giải quyết bài toán T, chúng ta cần xác định các điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian tương ứng với các đối tượng liên quan Sử dụng các ký hiệu của đối tượng để ghi tên các đỉnh tương ứng là một phương pháp hiệu quả.

Các đối tượng có quan hệ với nhau sẽ được kết nối bằng các cạnh (hoặc cung) tương ứng, phản ánh tính chất của các quan hệ đó Việc chú ý đến tính chất của các quan hệ là rất quan trọng để xây dựng loại đồ thị phù hợp.

+ Quan hệ giữa các đối tượng có tính đối xứng →đồ thị vô hướng.

+ Quan hệ giữa các đối tượng không có tính đối xứng→đồ thị có hướng.

+ Quan hệ giữa các đối tượng có nhiều tính chất khác nhau→tô màu các cạnh bởi các màu khác nhau tương ứng.

+ Các đối tượng chia làm 2 loại và chỉ có quan hệ giữa các đối tượng khác loại

+ Các đối tượng có mối quan hệ liên tiếp nhau →đường đi, chu trình.

+ Mỗi một đối tượng đều có mối quan hệ với các đỉnh còn lại→đồ thị đầy đủ,tính liên thông.

ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ

Trong đồ thị vô hướng G(V;E), tổng bậc của tất cả các đỉnh luôn bằng hai lần số cạnh Điều này được thể hiện qua Định lý 1.1, một trong những tính chất cơ bản thường được sử dụng trong lý thuyết đồ thị.

Trong lý thuyết đồ thị, số đỉnh bậc lẻ của một đồ thị vô hướng luôn là số chẵn Định lý cho thấy rằng trong mọi đồ thị đơn với n đỉnh (n ≥ 2), sẽ luôn có ít nhất hai đỉnh có cùng bậc Hơn nữa, nếu một đồ thị đơn với n đỉnh (n > 2) có hai đỉnh cùng bậc, thì đồ thị đó phải có đúng một đỉnh bậc 0 hoặc một đỉnh bậc (n−1).

Tại Việt Nam, với 65 thành phố, có thể chứng minh rằng ít nhất một thành phố sẽ có số lượng đường giao thông kết nối với các thành phố khác là số chẵn.

Phân tích bài toán với phương pháp đồ thị cho thấy các đối tượng là các thành phố, được biểu diễn bởi các đỉnh Mối quan hệ giữa các thành phố này được xác định bởi sự tồn tại của đường giao thông nối liền chúng; nếu có đường giao thông, hai đỉnh tương ứng sẽ được kết nối bằng một cạnh.

Xây dựng đồ thị G với 65 đỉnh, trong đó mỗi đỉnh đại diện cho một thành phố Hai thành phố được nối với nhau bằng một đường giao thông sẽ tương ứng với việc nối hai đỉnh bằng một cạnh Kết quả thu được là một đồ thị đơn, vô hướng.

Trong một đồ thị với 65 đỉnh, số bậc của mỗi đỉnh tương ứng với số lượng đường giao thông nối thành phố đó với các thành phố khác Bài toán đặt ra là chứng minh rằng trong đồ thị này luôn tồn tại ít nhất một đỉnh có số bậc là chẵn.

Giả sử tất cả các đỉnh của đồ thị G đều có bậc lẻ Với 65 đỉnh, tổng số bậc của các đỉnh trong G sẽ là số lẻ, điều này mâu thuẫn với định lý 1.1, vì tổng số bậc luôn bằng hai lần số cạnh và do đó phải là số chẵn.

Trong một giải đấu có 10 đội bóng, mỗi đội thi đấu một trận với từng đội khác Theo quy tắc này, cần chứng minh rằng tại bất kỳ thời điểm nào, sẽ luôn tồn tại hai đội bóng đã thi đấu một số trận giống nhau.

Mỗi đội trong giải đấu thi đấu một trận với mỗi đội bóng khác, không quan tâm đến kết quả Điều này gợi ý cho việc xây dựng đồ thị vô hướng đơn, trong đó không có vòng lặp vì mỗi đội không thi đấu với chính mình và không có cạnh song song vì hai đội chỉ thi đấu với nhau một lần.

Trong bài toán này, chúng ta xây dựng một đồ thị G với 10 đỉnh, mỗi đỉnh đại diện cho một đội bóng, và các cạnh nối giữa các đỉnh biểu thị cho những trận đấu đã diễn ra giữa các đội Số trận đấu của mỗi đội tương ứng với bậc của đỉnh đó Mục tiêu là chứng minh rằng trong đồ thị này luôn tồn tại ít nhất 2 đỉnh có cùng số bậc Theo định lý 1.3, điều này cho thấy rằng tại bất kỳ thời điểm nào, sẽ luôn có 2 đội bóng đã thi đấu với nhau cùng số trận.

Bằng cách áp dụng lập luận tương tự như trong phép chứng minh định lý 1.3, chúng ta có thể trình bày kết quả một cách khác mà không cần phải sử dụng ngôn ngữ đồ thị.

Trong 10 đội bóng, không thể có đồng thời một đội chưa thi đấu trận nào (0 trận) và một đội đã thi đấu 9 trận Thật vậy, giả sử A chưa thi đấu (0 trận) thì không thể có đội bóng nào đã thi đấu xong (9 trận) vì các đội còn lại đều chưa đấu với A, nếu đã có một đội A thi đấu đủ 9 trận thì không có đội nào chưa thi đấu( 0 trận) vì tất cả các đội còn lại đã thi đấu với A Do đó tại mọi thời điểm số trận đã thi đấu của từng đội bóng (trong 10 đội bóng) là một trong 9 số tự nhiên (từ 0 đến 8 hoặc từ 1 đến 9) Theo nguyên lý Dirichlet thì phải có ít nhất hai đội đã thi đấu một số trận như nhau.

Bài toán 3 Chứng minh rằng trong một lớp học gồm 30 học sinh luôn có 2 học sinh có cùng số bạn thân trong lớp.

Bài toán này sử dụng phương pháp đồ thị để phân tích mối quan hệ giữa các học sinh trong lớp Mỗi học sinh được coi là một đỉnh, và hai học sinh có quan hệ "bạn thân" sẽ được nối với nhau bằng một cạnh, thể hiện mối quan hệ đối xứng Lưu ý rằng mỗi học sinh không thể là bạn thân của chính mình, từ đó tạo thành một đồ thị đơn vô hướng với 30 đỉnh.

Để giải bài toán, ta xây dựng đồ thị G với 30 đỉnh, mỗi đỉnh đại diện cho một học sinh Hai đỉnh được nối với nhau bằng cạnh nếu hai học sinh là bạn thân, tạo thành một đồ thị vô hướng và đơn Trong đồ thị này, số bậc của mỗi đỉnh tương ứng với số bạn thân của học sinh đó Nhiệm vụ là chứng minh rằng trong G luôn tồn tại hai đỉnh có số bậc bằng nhau, điều này được khẳng định theo định lý 1.3.

Nhận xét Ta có thể giải bài toán trực tiếp như sau:

Nếu tất cả học sinh trong lớp không có bạn thân, bài toán trở nên hiển nhiên Ngược lại, với số lượng bạn thân của mỗi học sinh giới hạn từ 0 đến 29, theo nguyên lý cực hạn, sẽ luôn có ít nhất một học sinh, gọi là A, có số lượng bạn thân nhiều nhất, bao gồm các học sinh A1, A2, , An.

ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH

Trong lý thuyết đồ thị, có một số định lý quan trọng liên quan đến chu trình và đường đi Hamilton Định lý 1.6 chỉ ra rằng nếu bậc của một đỉnh trong đồ thị G không nhỏ hơn 2, thì G phải có ít nhất một chu trình Định lý 1.7 khẳng định rằng một đồ thị với n đỉnh và không ít hơn n cạnh luôn có ít nhất một chu trình Theo định lý 1.8 của Dirac, một đồ thị đơn với n đỉnh (n ≥ 3) và mọi đỉnh X có d(X) ≥ n/2 thì G có chu trình Hamilton Định lý 1.9 cho biết rằng nếu trong một đồ thị đơn với n đỉnh, tổng bậc của hai đỉnh bất kỳ không nhỏ hơn n, thì G có chu trình Hamilton Định lý 1.10 chỉ ra rằng nếu mọi đỉnh X trong đồ thị đơn có d(X) ≥ (n-1)/2, thì G có đường đi Hamilton Định lý 1.11 khẳng định rằng một đồ thị liên thông và thuần nhất bậc 2 với n đỉnh (n ≥ 3) luôn có chu trình Hamilton Định lý 1.12 nêu rõ rằng một đồ thị G có chu trình Hamilton khi và chỉ khi G có một đồ thị bộ phận liên thông và thuần nhất bậc 2 Cuối cùng, định lý 1.13 là định lý Euler, nhấn mạnh thêm các đặc điểm của đồ thị.

Một đồ thị vô hướng, liên thông là đồ thị nửa Euler khi và chỉ khi nó có nhiều nhất hai đỉnh bậc lẻ.

Một đồ thị vô hướng liên thông được coi là đồ thị Euler nếu và chỉ nếu mọi đỉnh của nó đều có bậc chẵn Theo định lý 1.15, một đồ thị G có ít nhất một cạnh sẽ có sắc số bằng 2 nếu và chỉ nếu G không chứa chu trình lẻ Ngoài ra, theo định lý 2.1, trong đồ thị có hướng đầy đủ Tn luôn tồn tại đường đi Hamilton.

Bài toán 8 Trong một hội nghị quốc tế có 7 nhà Toán học đến từ những quốc gia khác nhau mà ngôn ngữ mà họ có thể nói được là:

Người B: Tiếng Anh và Trung Quốc

Người C: Tiếng Anh, Ý và Tây Ban Nha

Người D: Tiếng Trung Quốc và Nhật

Người F: Tiếng Pháp, Nhật và Tây Ban Nha

Người G: Tiếng Pháp và Đức.

Có thể sắp xếp 7 nhà Toán học ngồi quanh bàn tròn để mỗi người đều có thể giao tiếp với người bên cạnh Cách sắp xếp này đảm bảo rằng mỗi nhà Toán học đều ngồi cạnh hai người khác, tạo điều kiện thuận lợi cho việc trò chuyện.

Bài toán có thể được phân tích qua phương pháp đồ thị, trong đó mỗi nhà Toán học được biểu diễn bằng một đỉnh Nếu hai nhà Toán học có khả năng giao tiếp, thì hai đỉnh tương ứng sẽ được nối với nhau bằng một cạnh.

Để giải bài toán, chúng ta xây dựng đồ thị G với các đỉnh đại diện cho các nhà Toán học Nếu hai nhà Toán học có thể giao tiếp bằng cùng một ngôn ngữ, thì các đỉnh tương ứng sẽ được nối với nhau bằng một cạnh Các ngôn ngữ được ký hiệu bao gồm: tiếng Anh (En), tiếng Trung Quốc (Ch), tiếng Ý (It), tiếng Tây Ban Nha (Sp), tiếng Pháp (Fr), tiếng Đức (Ge) và tiếng Nhật (Ja) Mục tiêu là chứng minh rằng trong đồ thị G tồn tại một chu trình Hamilton.

Dựa vào đồ thị, đi theo các cạnh liên tiếp, ta có thể thấy tồn tại hai chu trình

Hamilton là ABDFGECA và ACEGFDBA (thực ra hai chu trình này là một, chỉ là ngược nhau về cách viết) như trong hình 3.3.

Vậy ta có thể xếp 7 nhà Toán học này ngồi xung quanh bàn tròn theo thứ tự liên tục là ABDFGEC.

Việc đồ thị hóa bài toán đã giúp làm rõ mối liên hệ giữa các nhà Toán học, từ đó dẫn đến lời giải của bài toán trở nên rõ ràng hơn.

Trong một trường học với 2017 học sinh, mỗi học sinh quen biết ít nhất 49 học sinh khác Từ đó, có thể chứng minh rằng có thể chọn ra 4 học sinh và sắp xếp họ ngồi vào bàn tròn, sao cho mỗi người đều ngồi giữa hai người mà họ quen biết.

Phân tích bài toán cho thấy nó có dấu hiệu của phương pháp đồ thị, trong đó các học sinh được xem như các đỉnh, còn mối quan hệ quen biết giữa họ có thể được biểu diễn dưới dạng các cạnh.

Để giải bài toán, ta xây dựng đồ thị G với 2017 đỉnh, mỗi đỉnh đại diện cho một học sinh Nếu hai học sinh quen nhau, thì hai đỉnh tương ứng sẽ được nối với nhau bằng một cạnh.

Bài toán yêu cầu chứng minh rằng trong đồ thị G tồn tại chu trình gồm 4 đỉnh Điều này có thể được khẳng định vì mỗi học sinh trong đồ thị quen biết với ít nhất 49 người khác, dẫn đến việc mỗi đỉnh có bậc tối thiểu là 49.

49 Vì đồ thị có lẻ đỉnh (2017 đỉnh ) và 49 là số lẻ nên phải có ít nhất một đỉnhA 0 có bậc m lớn hơn hoặc bằng 50, vì nếu trái lại thì sẽ mâu thuẫn với hệ quả 1.2 (số đỉnh bậc lẻ phải là một số chẵn) Giả sử các đỉnh kề vớiA 0 làA 1 ,A 2 , ,A 50 , ,A m và gọi M i với i∈ {1,2, ,50} là tập hợp các đỉnh kề với đỉnh A i mà khác A 0 Ta có 50 tập đỉnhMi, mỗi tập có ít nhất 48 phần tử Khi đó phải có ít nhất hai tập Mi vàM j có phần tử chung B, vì nếu trái lại các tậpM i rời nhau từng đôi thì số đỉnh (số phần tử) của cácM i là 50×48 $00> 2017 Ta được các cạnh A 0 A i , A i B,

BAj,AjA 0 hay ta có chu trình A 0 AiBAjA 0

Vậy ta luôn có thể chọn được 4 học sinh (ứng với các đỉnh A 0 ,A i ,B,A j ) và xếp ngồi vào bàn tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán (theo chu trìnhA 0 A i BA j A 0 ).

Trong một cuộc hội thảo toán học với 20 nhà Toán học tham dự, mỗi người đã trao đổi địa chỉ với ít nhất 10 nhà Toán học khác Điều này cho thấy rằng bất kỳ hai nhà Toán học nào cũng có thể kết nối với nhau, trực tiếp hoặc gián tiếp thông qua một số người khác Sự trao đổi địa chỉ này tạo ra một mạng lưới liên lạc vững chắc, đảm bảo rằng mọi người có thể liên lạc với nhau.

Phân tích bài toán bằng cách xem mỗi nhà Toán học như một đỉnh của đồ thị, trong đó hai nhà Toán học có sự trao đổi sẽ được nối với nhau bằng một cạnh Mục tiêu là chứng minh rằng đồ thị đã xây dựng là liên thông.

Chúng ta xây dựng một đồ thị G với 20 đỉnh, mỗi đỉnh đại diện cho một nhà Toán học Nếu hai nhà Toán học trao đổi địa chỉ, hai đỉnh tương ứng sẽ được nối bằng một cạnh Đồ thị này có 20 đỉnh với bậc của mỗi đỉnh ít nhất là 10 Theo định lý 1.8 (Dirac), đồ thị này sẽ có chu trình Hamilton, do đó nó là liên thông Điều này chứng tỏ rằng bất kỳ hai nhà Toán học nào cũng có thể liên lạc với nhau.

Bài toán 11 nghiên cứu tập hợp X với n > 3 điểm trong mặt phẳng, không có 3 điểm nào thẳng hàng và một số tự nhiên k (k < n) Đối với trường hợp k ≤ n/2, có thể vẽ các đoạn thẳng từ mỗi điểm của tập hợp nối với ít nhất k điểm khác mà không tạo thành tam giác Ngược lại, nếu k > n/2 và mỗi điểm được nối với k điểm khác, thì trong các đoạn thẳng đó luôn tồn tại 3 cạnh tạo thành một tam giác.

TÔ MÀU ĐỒ THỊ

Trong các bài toán có các đối tượng được xem xét theo từng cặp với những mối quan hệ khác nhau, ta có thể xây dựng một đồ thị tương ứng Các cạnh của đồ thị này sẽ được tô màu khác nhau để biểu thị các mối quan hệ đó Yêu cầu thường gặp trong những bài toán này là chứng minh sự tồn tại của ít nhất 3 đối tượng có cùng mối quan hệ hoặc tạo thành một vòng tròn.

Định lý 1.13 chỉ ra rằng, với đồ thị G có ít nhất một cạnh, G sẽ có sắc số bằng 2 nếu và chỉ nếu G không chứa chu trình lẻ cạnh.

Ngoài ta chúng ta cũng có một số kết quả quan trọng sau đây: Định lý 3.4.1 [16] Mọi đơn đồ thị đầy đủK n đều có sắc số làn.

Chứng minh.(quy nạp theo số đỉnh).

VớiK 1 : Đồ thị có một đỉnh nên dùng 1 màu.

Giả sử định lý đúng vớiK n−1 , tức làK n−1 có sắc số làk−1.

Xét đồ thị hoàn chỉnh K_n với các đỉnh A_1, A_2, , A_n, khi bỏ đi một đỉnh A_k và các cạnh liên quan, ta thu được K_{n-1} Khi khôi phục A_k, do A_k kề với tất cả các đỉnh của K_{n-1}, ta cần thêm một màu để tô A_k Do đó, sắc số của K_n được xác định là χ(K_n) = χ(K_{n-1}) + 1 = n Theo định lý 3.4.2, mọi chu trình có độ dài lẻ đều có sắc số là 3.

Để chứng minh, giả sử C là một chu trình có độ dài 2n+1 của đồ thị G với các đỉnh liên tiếp là A1, A2, , A2n+1 Chúng ta sẽ áp dụng phương pháp quy nạp theo n Khi n = 1, chu trình C có 3 đỉnh, do đó sắc số của nó là 3.

Giả sử định lý đúng đếnn=k, tức là mọi chu trình có độ dài2k+1 đều có sắc số là 3.

Khi n = k+1, C có độ dài là 2(n+1) +1 = 2n+3 có các đỉnh liên tiếp là

A 1 ,A 2 , ,A 2n+3 Nối đỉnhA 1 với đỉnhA 2n+1 ta được chu trìnhC 0 có độ dài2n+1, suy ra χ(C 0 ) =3 trong đó A 1 ,A 2n+1 có màu khác nhau (giả sử A 1 tô màu đỏ và

Chúng ta đã tô màu cho các đỉnh của đồ thị C bằng ba màu, với đỉnh A 2n+1 được tô màu xanh, đỉnh A 2n+2 màu đỏ và đỉnh A 2n+3 màu xanh Như vậy, định lý đã được chứng minh Theo định lý 3.4.3, trong đồ thị đầy đủ gồm 6 đỉnh, nếu chỉ dùng không quá hai màu để tô, thì chắc chắn sẽ tồn tại hai chu trình tam giác có cùng màu.

Chứng minh Giả sử đồ thị gồm 6 đỉnh A 1 ,A 2 ,A 3 ,A 4 ,A 5 ,A 6 và được tô bởi màu xanh(nét đứt) hoặc màu đỏ (nét liền).

Theo nguyên lý Dirichlet, trong một tam giác, nếu xét 5 cạnh xuất phát từ điểm A1, thì sẽ tồn tại ít nhất 3 cạnh được tô cùng màu Điều này chứng minh sự tồn tại của một tam giác với các cạnh cùng màu.

A 1 A 2 ,A 1 A 3 ,A 1 A 4 được tô màu đỏ (hình 3.5) Nếu tam giácA 2 A 3 A 4 cùng màu xanh thì tồn tại tam giác cùng màu.

Nếu tam giác A 2 A 3 A 4 có ít nhất một cạnh tô màu đỏ, giả sử cạnh A 2 A 3 , thì tam giácA 1 A 2 A 3 được tô cùng màu đỏ.

Để chứng minh sự tồn tại của tam giác cùng màu thứ hai, giả sử tam giác đầu tiên là tam giác A1 A2 A3 được tô màu đỏ Chúng ta sẽ xem xét các trường hợp sau đây.

Trường hợp 1:Các cạnhA 1 A 4 ,A 1 A 5 ,A 1 A 6 đều màu đỏ (hình 3.6).

Nếu tam giác A4 A5 A6 có màu xanh, thì sẽ tồn tại một tam giác thứ hai cũng mang màu xanh Ngược lại, nếu tam giác A4 A5 A6 có một cạnh màu đỏ, chẳng hạn như cạnh A4 A5, thì tam giác cùng màu thứ hai sẽ là A1 A4 A5.

Trong trường hợp 2, trong ba cạnh A1A4, A1A5 và A1A6, có hai cạnh màu đỏ (A1A4, A1A5) và một cạnh màu xanh (A1A6) Khi xem xét tam giác A3A4A5, nếu tam giác này có ba cạnh màu xanh, chúng ta sẽ có một tam giác cùng màu thứ hai.

Hình 3.7: b/ Nếu tam giácA 3 A 4 A 5 có ít nhất một cạnh màu đỏ, giả sửA 4 A 5 , thì ta có tam giác cùng màu thứ hai làA 1 A 4 A 5

Trường hợp 3: Trong 3 cạnhA 1 A 4 ,A 1 A 5 ,A 1 A 6 có đúng một cạnh màu đỏ và hai cạnh màu xanh (giả sử cạnh màu đỏ làA 1 A 4 và hai cạnh màu xanh làA 1 A 5 ,A 1 A 6 ) (hình 3.8).

Nếu A2 A4 hoặc A3 A4 có màu đỏ, hoặc A5 A6 có màu xanh, thì ta có tam giác cùng màu thứ hai Ngược lại, nếu A2 A4 và A3 A4 có màu xanh, trong khi A5 A6 có màu đỏ, ta cần xem xét tam giác A4 A5 A6 Nếu cả hai cạnh A4 A5 và A4 A6 đều có màu đỏ, thì tam giác A4 A5 A6 cũng sẽ là tam giác cùng màu thứ hai.

+ Nếu trong hai cạnh A 4 A 5 ,A 4 A 6 có ít nhất một cạnh màu xanh, giả sửA 4 A 5 có màu xanh, xét tam giácA 2 A 3 A 5 :

- Nếu tam giác này có cạnh A 3 A 5 ,A 2 A 5 cùng màu đỏ thì ta có tam giác cùng màu thứ hai.

- NếuA 3 A 5 có màu xanh thì ta có tam giác cùng màu thứ hai làA 3 A 4 A 5

- NếuA 2 A 5 có màu xanh thì ta có tam giác cùng màu thứ hai làA 2 A 4 A 5

Trường hợp 4:Cả 3 cạnhA 1 A 4 ,A ! A 5 ,A 1 A 6 có cùng màu xanh (hình 3.9) Xét tam

+ Nếu cả 3 cạnh đều có màu đỏ thì ta có tam giác cùng màu thứ hai.

+ Nếu trong 3 cạnh của tam giác có ít nhất một cạnh màu xanh, giả sử là cạnh

Theo định lý 3.4.4, trong một đồ thị đầy đủ với n đỉnh (n ≥ 6) được tô bằng không quá hai màu, luôn tồn tại ít nhất n - 4 chu trình tam giác cùng màu Điều này chứng minh rằng nếu ta có tam giác A5A6, thì cũng tồn tại tam giác cùng màu thứ hai là A1A5A6.

Chứng minh.Ta chứng minh bằng quy nạp.

Vớin=6, định lý đúng ( Theo kết quả của định lý 3.5.3).

Giả sử định lý đúng đếnn=k;n≥6.

Xét đồ thị đầy đủG k+1 có các đỉnh làA 1 ,A 2 , ,A k ,A k+1 VìG k+1 có đồ thị con là

Trong đồ thị G k và G k+1, luôn tồn tại tam giác cùng màu, giả sử tam giác đó là A1 A2 A3 Khi loại bỏ đỉnh A1 và các cạnh liên quan, ta nhận được đồ thị G k có ít nhất n−4 chu trình tam giác cùng màu theo giả thiết quy nạp Khi khôi phục lại đỉnh A1 và các cạnh liên quan, ta sẽ thêm một tam giác cùng màu nữa là A1 A2 A3.

Trong bài viết này, định lý 3.4.5 chứng minh rằng trong đồ thị vô hướng đầy đủ với n + 1 đỉnh được tô bởi n màu, luôn tồn tại ít nhất n−3 tam giác cùng màu Cụ thể, xét dãy số nguyên a với a1 = 2, a2 = 5, , an+1 = (n+1)an+1, thì đồ thị sẽ có chu trình tam giác cùng màu Tương tự, với dãy số nguyên u, trong đó u1 = 3, u2 = 6, , un+1 = (un−1)n+2, đồ thị cũng đảm bảo có chu trình tam giác cùng màu khi được tô bởi n màu.

Chứng minh a.Ta chứng minh bằng quy nạp.

Vớin=1, ta có đồ thị đầy đủ gồma 1 +1=3và được tô bởi 1 màu nên ta có tam giác cùng màu, định lý đúng.

Giả sử định lý đúng vớin=k.

Trong đồ thị đầy đủ vô hướng G k+1 với k+1 đỉnh và các cạnh được tô bằng k+1 màu, từ đỉnh P, cần có ít nhất k + 1 cạnh được tô cùng một màu.

Giả sử cạnh này màu đỏ và các cạnh PA 1 ,PA 2 , ,PA a k ,PA a k +1 được tô màu đỏ.

Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1:Nếu một trong các đỉnh nối giữaA i vàA j được tô màu đỏ(1 ≤i, j≤a k +1), giả sử làA 1 và A 2 , thì ta được tam giácA 1 PA 2 được tô màu đỏ.

Nếu không có cạnh nào trong các cạnh AiAj được tô màu đỏ (1≤i, j≤ak +1), thì đồ thị con đầy đủ Gk với tập đỉnh A1, A2, , Aa k, Aa k +1 có các cạnh được tô màu Theo giả thiết quy nạp, Gk có tam giác cùng màu, do đó Gk+1 cũng sẽ có tam giác cùng màu (đpcm).

Chứng minh b.(Tương tự như chứng minh a.)

ÁP DỤNG GIẢI MỘT SỐ ĐỀ THI

Bài toán 23 (MOSP 2001) [7] Giả sử x 1 ,x 2 , ,x n là các số thực Chứng minh rằng có không quá n 4 2 cặp(i, j)∈ {1,2, ,n} × {1,2, ,n} sao choi< j và

Bài toán đại số này liên quan đến giá trị n 4 2, vì vậy việc áp dụng định lý Turan là cần thiết Để thực hiện điều này, chúng ta cần xây dựng một đồ thị phù hợp.

Để chứng minh rằng đồ thị G không chứa K3, chúng ta áp dụng phương pháp phản chứng, vì điều này cung cấp nhiều dữ liệu hữu ích cho việc phân tích Kết quả của bài toán này liên quan đến định lý Turan với t = 3.

Giải Ta xây dựng một đồ thị G gồm n đỉnhX 1 ,X 2 , ,X n tương ứng với các số thực x 1 ,x 2 , ,x n ; hai đỉnh X i ,X j được nối bởi cạnh nếu1 < x i −x j