6. Cấu trúc của luận văn
2.2.MỘT SỐ ĐỒ THỊ CÓ HƯỚNG ĐẶC BIỆT
2.2.1. Đồ thị phản chu trình
Định nghĩa 2.4. Một đồ thị G được gọi là đồ thị phản chu trìnhnếu như nó không chứa chu trình nào cả.
Một đỉnh X của đồ thị có hướng G được gọi là đỉnh nguồn của đồ thị G nếu X không phải là đỉnh đích của cung nào cả.Đỉnh hạ lưucủa một đồ thị có hướng là đỉnh không phải là đỉnh xuất phát của một cung nào cả.
Định lý sau nói về quan hệ giữa đỉnh nguồn, đỉnh đích và đồ thị phản chu trình.
Định lý 2.2[12].Trong một đồ thị phản chu trình, luôn tồn tại ít nhất một đỉnh nguồn và một đỉnh hạ lưu.
Chứng minh.Rõ ràng đồ thị phản chu trình luôn có đỉnh hạ lưu.
Ta chọn trong một đồ thị phản chu trình G cho trước một đỉnh tùy ýX1. Nếu đỉnh X1là một đỉnh nguồn thì định lý được chứng minh. Nếu đỉnhX1không là một đỉnh nguồn thì tồn tại một cung u nhậnX1là đỉnh đích. Gọi đỉnh xuất phát của cung này là X2 thì X16=X2 do G là phản chu trình. Nếu X2 là đỉnh nguồn thì định lý được chứng minh. NếuX2không là đỉnh nguồn thì trong G tồn tại một cung nhận X2 là đỉnh đích. Gọi đỉnh xuất phát của cung này là X3 thì X3 ∈ {/ X1,X2} vì G là phản chu trình. Tiếp tục quá trình trên ta thu được một dãy các đỉnh X1,X2, ...,Xk, ...
trong đó không có đỉnh nào xuất hiện hai lần. Do tính hữu hạn của tập đỉnh nên dãy này không thể kéo dài vô hạn mà phải kết thúc tại đỉnh X0 nào đó. Khi đó X0 là đỉnh nguồn của G.
2.2.2. Turnier
Định nghĩa 2.5. Turnier là một đồ thị có hướng sao cho nếu bỏ hướng các cạnh đi thì ta thu được một đồ thị đầy đủ. Ta còn có thể gọi một Turnier là một đồ thị đầy đủ có hướng.
Một Turnier có n đỉnh được gọi là một n-Turnier và ký hiệu làTn. Trong một TurnierTn ta có các tính chất hiển nhiên sau:
(i)d+(X) +d−(X) =n−1 với mọi đỉnh X tùy ý của Tn.
(ii)Tn có nhiều nhất một đỉnh nguồn và có nhiều nhất một đỉnh hạ lưu.
Nhận xét.Tên gọi Turnier bắt nguồn từ thể thao: nếu có một đại hội thể thao (mà tiếng Đức gọi là Turnier) gồm có n đối thủ tham gia, trong đó mỗi đối thủ phải gặp người khác đúng một lần, không có trận đấu nào kết thúc với kết quả hòa. Khi đó biểu diễn n đội bởi n đỉnh X1,X2, ...,Xn, các cung[Xi,Xj] thể hiện đối thủ Xi thắng Xi thì ta thu được Turnier Tn.
Định lý sau cho ta điều kiện quan trọng để tồn tại đường đi Hamilton trong đồ thị có hướng.
Định lý 2.3 [12]. Trong đồ thị có hướng đầy đủ (Tn) luôn tồn tại đường đi Hamilton.
Chứng minh.Giả sử W= (X1,X2, ...,Xk)là một đường đi sơ cấp bất kỳ trongTn. Nếu W đi qua tất cả các đỉnh củaTn thì W là đường đi Hamilton.
Nếu trong Tn còn có đỉnh không nằm trong W thì ta có thể bổ sung dần các đỉnh này vào W để có được đường đi Hamilton. Thật vậy, giả sử X không thuộc W. Khi đó:
(i) Nếu có cung nối X vớiX1 thì ta có đường điW1= (X,X1,X2, ...,Xk).
(ii) Nếu tồn tại chỉ số i (1≤i≤k−1)mà từ Xi có cung đi tới X và từ X có cung đi tới Xi+1 thì ta chen Xvào giữa Xi và Xi+1 để có đường đi W2 = (X1,X2, ...,Xk,X,Xi+1, ...,Xk).
(iii) Nếu cả hai trường hợp trên không xảy ra , tức là ∀i(1≤i≤k−1) đều có cung đi từXi có cung đi tới X thì ta bổ sung X vào cuối đường W để được đường đi mới làW3= (X1,X2, ...,Xk,X). Ta lần lượt thực hiện n−k lần sẽ bổ sung được để W trở thành đường đi Hamilton.
Nhận xét.Đường đi Hamilton trong trường hợp củaTnthực ra là một cách sắp xếp n đối thủ thi đấu của Turnier theo một hàng mà người đứng trước luôn thắng người đứng sau. Phép chứng minh trên cũng đồng thời đưa ra một phương pháp để sắp xếp n đối thủ trong cuộc thi đấu thể thao Turnier thành một hàng mà người đứng trước luôn thắng người đứng sau.
Định lý 2.4 [1]. Cho đồ thị có hướng đầy đủ liên thông mạnh bậcn (n≥3). Khi đó với mọi đỉnh A và số nguyên p(3≤ p ≤n)luôn tồn tại chu trình có hướng sơ cấp độ dài p đi qua đỉnh A.
Chứng minh.ChoA∈V, ta chứng minh quy nạp theo p.
Vì đồ thị là liên thông mạnh nên mỗi đỉnh luôn có nửa bậc vào và nửa bậc ra là các số dương.
ĐặtV1={B∈V|∃[A,B]∈E},V2={B∈V|∃[B,A]∈E}.
Vì G liên thông mạnh nên tồn tại cung từ đỉnh củaV1đến đỉnh củaV2. Suy ra đỉnh A thuộc chu trình có độ dài 3.
Giả sử A thuộc chu trình có độ dài k, (3≤k≤n), gọi chu trình này làW = (A=A1,A2, ...,Ak,A). Ta sẽ xây dựng chu trình có độ dàik+1qua A.
Trường hợp 1: Tồn tại đỉnh B ∈W sao cho có cung đi từ đỉnh nào đó trên W đến A và có cung đi từ B đến đỉnh nào đó trên W. Khi đó sẽ tồn tại hai đỉnh Ai,Aj∈W,[Ai,Aj]∈E, sao cho có cung đi từAi đến B và có cung đi từ B đếnAj. Khi đó ta được chu trìnhW0= (Ai,B,Aj)∪W(Aj,Ai)đi qua A và có độ dàik+1.
Trường hợp 2: Không tồn tại đỉnh B như trong trường hợp 1. ĐặtV1={X ∈V\W|∀Z∈W,∃[Z,X]∈E}.
vàV2={Y ∈V\W|∀Z∈W,∃[Y,Z]∈E}. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Do trường hợp 1 nênV1∪V2=V\W. NếuV1= /0hoặcV2= /0thì vi phạm tính liên thông mạnh. Do đóV16= /0 vàV26= /0.
Cũng do tính liên thông mạnh nên tồn tạiX ∈V1 vàY ∈V2 sao cho có cung đi từ X đến Y. Khi đó ta được chu trìnhW0 = (A1,A2, ...,Ak−1,X,Y,A1)đi qua A và có độ dàik+1.
Từ định lý trên ta suy ra được hệ quả sau:
Hệ quả 2.5 [1]. Đồ thị có hướng đầy đủ có chu trình Hamilton khi và chỉ khi nó liên thông mạnh.
Ví dụ 1 [6].Có 5 đội bóng chuyền thi đấu với nhau. Biết rằng hai đội bất kỳ chỉ thi đấu với nhau đúng một trận, mỗi đội thi đấu 4 trận với 4 đội còn lại và mỗi trận đấu không có kết quả hòa. Chứng minh rằng có thể sắp xếp đội trưởng của 5 đội bóng này thành một hàng dọc sao cho đội đứng sau luôn thắng đội đứng ngay trước.
Giải.Xét đồ thị có 5 đỉnh tương ứng với 5 đội bóng, hai đội bóng thi đấu với nhau thì hai đỉnh tương ứng được nối với nhau bởi một cung chạy từ đội thắng đến đội thua. Khi đó ta có được đồ thị có hướng đầy đủ T5. Theo định lý 2.3 thì trongT5 luôn tồn tại đường đi Hamilton. Đường đi này cho ta cách sắp xếp 5 đội thỏa yêu
cầu để bài.
Chẳng hạn, nếu ta có kết quả các trận đấu như hình 2.2 thì đồ thị nhận được như hình 2.3 và cách sắp xếp như hình 2.4.
Hình 2.2:
Hình 2.3: Hình 2.4:
Ví dụ 2[13].Trong một cuộc đấu cờ vòng tròn, tổng số điểm của 5 đối thủ đôi một khác nhau. Biết rằng mỗi ván thắng được tính 1 điểm, ván thua 0 điểm và hòa 0,5 điểm. Ngoài ra còn biết:
a. Người nhiều điểm nhất không hòa trận nào. b. Người nhiều điểm nhì không thua trận nào.
c. Người nhiều điểm thứ tư không thắng người thứ năm.
Xác định kết quả các trận đấu của mọi người cũng như tổng số điểm của họ.
Giải.Tổng số ván cờ làC52=10nên tổng số điểm của các đối thủ là 10 (trong mỗi ván tổng số điểm thu được của hai đối thủ luôn là 1). Gọiai là số điểm của người thứ i, ta có a1> a2 >a3 >a4>a5. Vì người a1 không hòa trận nào và người a2 không thua trận nào nên ngườia1thua người a2, suy raa1 ≤3.
Vì điểm của hai người khác nhau lệch nhau ít nhất0,5 và do 3+2,5+2+1,5+
Ta xây dựng đồ thị có 5 đỉnha1,a2,a3,a4,a5 (tương ứng với 5 người) và nối các đỉnh giữa chúng bằng các cạnh có hướng (từ người thắng đến người thua) hoặc các cạnh vô hướng ( nếu hai người hòa nhau).
Do a1 = 3 và người a1 thua người a2 nên người a1 phải thắng 3 người còn lại a3,a4,a5. Do người a2 không thua trận nào và thắng a1 (có 1 điểm), số điểm còn lại (1,5) nên người a2 phải hòa với cả 3 người còn lại a3,a4,a5. Kết quả tổng số điểm trong nội bộ củaa3,a4,a5 lần lượt là1,5; 1; 0,5 điểm. Doa4 không thắnga5 nên số điểm0,5 của ngườia5 là kết quả hòa với ngườia4. Như vậy trong kết quả nội bộ giữa a3 và a4 thì a4 có 0,5 điểm mà thôi nên hai người này hòa nhau. Số điểm củaa3 khi đấu với a5 là1,5−0,5=1 nêna3thắng a5. Như vậy ta có đồ thị biểu diễn kết quả các trận đấu như hình 2.5.
Hình 2.5:
Ví dụ 3 [13]. Có 5 người thi đấu cờ với nhau. Xác định kết quả của mỗi trận đấu nếu biết rằng hai người bất kỳ phải đấu với nhau đúng một trận (mỗi ván thắng được tính 1 điểm, ván thua 0 điểm). Ngoài ra còn biết tổng số điểm của mỗi đối thủ nhận được đều khác nhau và không có trận nào hòa.
Giải.Ta biểu thị mỗi người bằng một đỉnha1,a2,a3,a4,a5 trong đóai là số điểm của người thứivàa1>a2>a3>a4>a5. Vì tổng số điểm bằng 10 và số điểm của 5 người là 5 số nguyên không âm đôi một khác nhau, lại có10=4+3+2+1+0
nên suy ra số điểm của người thứilà5−i. Từ đó ta suy ra người thứ nhất thắng tất cả 4 người còn lại, người thứ hai chỉ thua người thứ nhất và thắng tất cả 3 người còn lại; người thứ ba thua 2 người nhất, nhì và thắng người thứ tư, năm; người thứ tư chỉ thắng người thứ năm và người thứ năm thua tất cả các đối thủ.
Ta có thể biểu diễn các kết quả bằng đồ thị gồm 5 đỉnha1,a2,a3,a4,a5 trong đó hai đỉnh được nối với nhau bằng một cung (đi từ người thắng đến người thua) như hình 2.6.
Hình 2.6:
Ví dụ 4[13]. Trong một cuộc thi đấu bóng bàn có một số đấu thủ tham gia. Hai đấu thủ bất kỳ phải đấu với nhau đúng một hiệp, nếu thắng được một điểm, thua 0 điểm (không có hòa). Hỏi có khi nào cuộc thi đấu kết thúc với kết quả là tất cả các đối thủ đều bằng điểm nhau hay không?
Giải.Ta biểu diễn các đối thủ tương ứng với mỗi đỉnh của đồ thị. Hai đỉnh X, Y được nối bởi cung đi từ X đến Y nếu đối thủ X thắng đối thủ Y. Khi đó mỗi trận thắng của một đối thủ (1 điểm) tương ứng với một cung xuất phát từ đối thủ đó. Bài toán đặt ra là có thể có đồ thị n đỉnh sao cho số cung xuất phát từ tất cả các đỉnh là bằng nhau hay không.
Trong hình 2.7 là một đồ thị thỏa mãn yêu cầu bài toán với 5 đỉnh. Sau đây ta sẽ chứng minh cần và đủ để tồn tại một đồ thị có tính chất đề bài yêu cầu là số đỉnh phải lẻ. Do tổng số điểm đúng bằng số cạnh của đồ thị đầy đủKn nên nếu kết quả cuộc thi đấu là các đấu thủ có cùng số điểm là Cn2
n = n−21 , suy ra nlà số lẻ.
Đảo lại, giả sử n là số lẻ. Khi đó đồ thị Kn có bậc của các đỉnh là số chẵn. Theo định lý Euler (định lý 1.13) thìKn có một đường đi một nét (chu trình) Euler khép kín như vậy. Trên đường một nét Euler ta định một chiều đi và sẽ lấy hướng của tất cả các cạnh theo chiều đi này. Bằng cách đó, tại mỗi đỉnh, mỗi cạnh đi vào nó sẽ tương ứng với một đi ra khỏi nó, cho nên số cạnh xuất phát từ nó sẽ bằng số cạnh đi tới nó, tức là các đối thủ có số trận thắng bằng số trận thua và do đó bằng nhau.
CHƯƠNG 3 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ỨNG DỤNG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ TRONG GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG
3.1. DẤU HIỆU SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ VÀ CÁCH CHUYỂN TỪ BÀI TOÁN BAN ĐẦU SANG BÀI TOÁN ĐỒ THỊ
3.1.1. Dấu hiệu cơ bản
Để xây dựng được đồ thị cần phải có hai yếu tố là đỉnh và cạnh. Do đó cần phải nhận ra bài toán gốc (bài toán T) có thể chuyển về bài toán đồ thị (bài toán D) được hay không dựa vào các câu hỏi: yếu tố nào là đỉnh, yếu tố nào là cạnh? Thông thường các đối tượng của bài toán được chọn là đỉnh, các mối quan hệ giữa các đối tượng được chọn làm cạnh.
3.1.2. Phương pháp chuyển đổi mô hình
Quy trình áp dụng phương pháp đồ thị để giải một bài toán T bao gồm các bước:
Bước 1:Nhận dạng bài toán (sử dụng các dấu hiệu cơ bản);
Bước 2:Phát biểu lại bài toán T theo ngôn ngữ đồ thị (bài toán D) (chuyển đổi mô hình từ bài toán ban đầu sang bài toán đồ thị);
Bước 3: Giải bài toán D dựa vào các kết quả của lý thuyết đồ thị hoặc bằng suy luận trực tiếp.
Bước 4:Phát biểu lại kết quả bài toán bằng ngôn ngữ thông thường.
Để chuyển đổi mô hình từ bài toán ban đầu sang bài toán đồ thị, ta thực hiện như sau:
(i) Lấy các điểm trên mặt phẳng hoặc trong không gian tương ứng với các đối tượng trong bài toán T, dùng ngay các ký hiệu đối tượng để ghi tên đỉnh tương ứng.
(ii) Các đối tượng có quan hệ t với nhau thì các đỉnh tương ứng được nối với nhau bằng cạnh (hoặc cung) có tính chất tương ứng. Cần chú ý tính chất của các quan hệ để xây dựng loại đồ thị thích hợp, chẳng hạn:
+ Quan hệ giữa các đối tượng có tính đối xứng →đồ thị vô hướng.
+ Quan hệ giữa các đối tượng có nhiều tính chất khác nhau→tô màu các cạnh bởi các màu khác nhau tương ứng.
+ Các đối tượng chia làm 2 loại và chỉ có quan hệ giữa các đối tượng khác loại
→đồ thị lưỡng phân.
+ Các đối tượng có mối quan hệ liên tiếp nhau →đường đi, chu trình.
+ Mỗi một đối tượng đều có mối quan hệ với các đỉnh còn lại→đồ thị đầy đủ, tính liên thông.
3.2. ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ
Các tính chất cơ bản thường được sử dụng trong phần này được thể hiện trong các định lý:
Định lý 1.1. Trong đồ thị vô hướng G(V;E), tổng bậc của tất cả các đỉnh bằng hai lần số cạnh.
Hệ quả 1.2.Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn.
Định lý 1.3.Trong mọi đồ thị đơn n đỉnh(n≥2)bao giờ cũng có ít nhất hai đỉnh cùng bậc.
Định lý 1.4.Nếu một đồ thị đơn n đỉnh(n >2)có 2 đỉnh cùng bậc thì đồ thị phải có đúng 1 đỉnh bậc 0 hoặc một đỉnh bậc(n−1).
Bài toán 1[13].Giả sử ở Việt Nam có 65 thành phố. Hãy chứng minh rằng tồn tại một thành phố có số chẵn đường giao thông nối tới các thành phố khác.
Phân tích. Bài toán có dấu hiệu của phương pháp đồ thị: các đối tượng là các thành phố (biểu diễn bởi các đỉnh), mối quan hệ giữa các đối tượng ở đây là có đường giao thông nối với nhau hay không (nếu có thì hai đỉnh tương ứng được nối bởi một cạnh).
Giải. Xây dựng một đồ thị G gồm 65 đỉnh trong đó mỗi thành phố tương ứng với một đỉnh và hai thành phố có đường giao thông nối với nhau thì hai đỉnh tương ứng được nối với nhau bằng một cạnh. Khi đó ta được một đồ thị đơn, vô hướng có 65 đỉnh. Số đường giao thông mà một thành phố nào đó có nối với các thành phố còn lại chính là số bậc của đỉnh tương ứng. Yêu cầu của bài toán trở thành việc