6. Cấu trúc của luận văn
3.3. ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT VỀ ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH
Các kết quả thường dùng trong phần này là:
Định lý 1.6. Cho trước đồ thị G với tập đỉnh V và tập cạnh E. Nếu bậc của một đỉnh bất kỳ trong G khơng nhỏ hơn 2 thì G phải có ít nhất một chu trình.
Định lý 1.7. Một đồ thị có n đỉnh và có khơng ít hơn n cạnh ln có ít nhất một chu trình.
Định lý 1.8 (Dirac).Một đồ thị đơn có n đỉnh (n ≥3) và mọi đỉnh X của G đều cód(X)≥ n2 thì G có chu trình Hamilton.
Định lý 1.9.Một đồ thị đơn có n đỉnh và hai đỉnh bất kỳ nào của G cũng có tổng các bậc khơng nhỏ hơnn thì G có chu trình Hamilton.
Định lý 1.10. Một đồ thị đơn có n đỉnh (n ≥ 1) và mọi đỉnh X của G đều có
d(X)≥ n−12 thì G có đường đi Hamilton.
Định lý 1.11. Một đồ thị có n đỉnh (n ≥3) liên thơng và thuần nhất bậc 2 (mọi đỉnh của đồ thị đều có cùng số bậc là 2) ln có chu trình Hamilton.
Định lý 1.12. Một đồ thị G có chu trình Hamilton khi và chỉ khi G có một đồ thị bộ phận liên thông và thuần nhất bậc 2 (mọi đỉnh của đồ thị bộ phận đều có cùng số bậc là 2).
Định lý 1.13 (định lý Euler).
Một đồ thị vô hướng, liên thông là đồ thị nửa Euler khi và chỉ khi nó có nhiều nhất hai đỉnh bậc lẻ.
Một đồ thị vơ hướng, liên thông là đồ thị Euler khi và chỉ khi mọi đỉnh của nó đều có bậc chẵn.
Định lý 1.15. Cho đồ thị G có ít nhất 1 cạnh. Khi đó, G có sắc số là 2 khi và chỉ khi G khơng có chu trình lẻ cạnh.
Định lý 2.1. Trong đồ thị có hướng đầy đủ (Tn) ln tồn tại đường đi Hamilton.
Bài toán 8. Trong một hội nghị quốc tế có 7 nhà Tốn học đến từ những quốc gia khác nhau mà ngơn ngữ mà họ có thể nói được là:
Người A: Tiếng Anh
Người B: Tiếng Anh và Trung Quốc Người C: Tiếng Anh, Ý và Tây Ban Nha Người D: Tiếng Trung Quốc và Nhật Người E: tiếng Đức và Ý
Người F: Tiếng Pháp, Nhật và Tây Ban Nha Người G: Tiếng Pháp và Đức.
Chứng minh rằng có thể sắp xếp 7 nhà Toán học này ngồi xung quanh bàn trịn sao cho ai cũng có thể nói chuyện được với người bên cạnh. Trình bày cách sắp xếp đó.
với một đỉnh, hai nhà Tốn học có thể nói chuyện được với nhau thì hai đỉnh tương ứng được nối bằng một cạnh.
Giải. Ta xây dựng đồ thị G như sau: mỗi đỉnh ứng với một nhà Tốn học, hai nhà Tốn học có thể nói cùng một ngơn ngữ thì hai đỉnh tương ứng được nối với nhau bằng một cạnh. Ký hiệu các ngôn ngữ lần lượt là: tiếng Anh (En), tiếng Trung Quốc (Ch), tiếng Ý(It), tiếng Tây ban Nha (Sp), tiếng Pháp (Fr), tiếng Đức (Ge), tiếng Nhật (Ja). Khi đó ta được đồ thị như hình 3.2. u cầu của bài tốn trở thành chứng minh trong đồ thị G có chu trình Hamilton.
Dựa vào đồ thị, đi theo các cạnh liên tiếp, ta có thể thấy tồn tại hai chu trình
Hình 3.2: Hình 3.3:
Hamilton là ABDFGECA và ACEGFDBA (thực ra hai chu trình này là một, chỉ là ngược nhau về cách viết) như trong hình 3.3.
Vậy ta có thể xếp 7 nhà Tốn học này ngồi xung quanh bàn tròn theo thứ tự liên tục là ABDFGEC.
Nhận xét. Trong bài này ta thấy rằng việc đồ thị hóa bài tốn đã giúp ta dễ dàng nhận ra mối liên hệ "nói chuyện được với nhau" giữa các nhà Tốn học, từ đó lời giải của bài tốn khá rõ ràng.
Bài tốn 9. Một trường học có 2017 học sinh, mỗi học sinh đều quen với ít nhất 49 học sinh khác. Chứng minh rằng có thể chọn ra được 4 học sinh và xếp họ ngồi vào bàn tròn sao cho mỗi người đều ngồi giữa hai người quen.
Phân tích. Bài tốn có dấu hiệu của phương pháp đồ thị, đó là các học sinh (có thể xem là đỉnh) và quan hệ quen biết (có thể biểu diễn thành cạnh).
Giải.Ta xây dựng đồ thị G như sau: có 2017 đỉnh (mỗi đỉnh ứng với một học sinh), hai học sinh quen nhau thì hai đỉnh tương ứng được nối với nhau bởi một cạnh.
Yêu cầu của bài toán trở thành phải chứng minh trong đồ thị G có chu trình gồm 4 đỉnh. Vì mỗi học sinh quen với ít nhất 49 người khác nên mỗi đỉnh có bậc ít nhất là 49. Vì đồ thị có lẻ đỉnh (2017 đỉnh ) và 49 là số lẻ nên phải có ít nhất một đỉnhA0 có bậc m lớn hơn hoặc bằng 50, vì nếu trái lại thì sẽ mâu thuẫn với hệ quả 1.2 (số đỉnh bậc lẻ phải là một số chẵn). Giả sử các đỉnh kề vớiA0làA1,A2, ...,A50, ...,Am và gọi Mi với i∈ {1,2, ...,50} là tập hợp các đỉnh kề với đỉnh Ai mà khác A0. Ta có 50 tập đỉnhMi, mỗi tập có ít nhất 48 phần tử. Khi đó phải có ít nhất hai tập Mi vàMj có phần tử chung B, vì nếu trái lại các tậpMi rời nhau từng đơi thì số đỉnh (số phần tử) của cácMi là 50×48 =2400> 2017. Ta được các cạnh A0Ai, AiB, BAj,AjA0hay ta có chu trình A0AiBAjA0.
Vậy ta ln có thể chọn được 4 học sinh (ứng với các đỉnh A0,Ai,B,Aj) và xếp ngồi vào bàn tròn thỏa mãn yêu cầu bài tốn (theo chu trìnhA0AiBAjA0).
Bài tốn 10. Một cuộc hội thảo tốn học có 20 nhà Toán học tham dự. Kết thúc hội thảo, mọi người trao đổi địa chỉ cho nhau để có thể liên lạc. Biết rằng mỗi nhà Toán học đã trao đổi địa chỉ với ít nhất 10 nhà Tốn học khác. Chứng minh rằng bất kỳ hai nhà Tốn học nào cũng có thể trao đổi với nhau trực tiếp hoặc gián tiếp (thơng qua một số người khác).
Phân tích. Xem mỗi nhà Toán học là một đỉnh của đồ thị, hai nhà Tốn học có trao đổi với nhau thì hai đỉnh tương ứng được nối với nhau bởi một cạnh. Yêu cầu của bài toán là chứng minh đồ thị đã xây dựng phải liên thông.
Giải. Ta xây dựng một đồ thị G như sau: có 20 đỉnh (mỗi đỉnh ứng với một nhà Tốn học), hai nhà Tốn học có trao đổi địa chỉ cho nhau thì hai đỉnh tương ứng được nối bởi một cạnh. Khi đó ta được đồ thị có 20 đỉnh và bậc của mỗi đỉnh ít nhất là 10. Theo định lý 1.8 (Dirac) thì đồ thị này có chu trình Hamilton, do đó nó liên thơng. Điều đó chứng tỏ hai nhà Tốn học bất kỳ đều có thể liên lạc được với nhau.
Bài toán 11 [15]. Cho tập hợp X có n > 3 điểm trong mặt phẳng trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng và một số tự nhiênk(k<n). Chứng minh:
a. Nếu k≤ n2 thì từ mỗi điểm của tập hợp đã cho ta có thể vẽ các đoạn thẳng nối với ít nhất k điểm khác sao cho trong đó khơng có 3 đoạn nào tạo thành tam giác.
b. Nếuk> n2 và mỗi điểm của tập hợp đã cho được nối bằng những đoạn thẳng vớik điểm khác thì trong các đoạn thẳng đó bao giờ cũng có 3 cạnh của một tam giác.
Giải. Xây dựng đồ thị G có n đỉnh tương ứng với n điểm trong tập X, hai điểm trong X được nối với nhau bằng đoạn thẳng thì hai đỉnh tương ứng trong đồ thị được nối bằng một cạnh.
Xétk≤ n2, chọn trong tập X một tập con A gồmn2điểm và đặtB=X\A( B chứa
n
2
nếu n chẵn và B chứa n2+1 nếu n lẻ.) Vìk nguyên nênk ≤n2, do đó mỗi tập A và B khơng chứa ít hơnk điểm. Khi đó G là đồ thị lưỡng phân có 2 tập đỉnh là A, B. Nếu mỗi đỉnh thuộc tập này kề với mọi đỉnh thuộc tập kia thì giả thiết của phần a được thỏa mãn. Khi đó đồ thị G thu được là 2 sắc nên khơng có chu trình lẻ (theo định lý 1.15), do đó khơng tồn tại tam giác.
Xét k > n2 và mỗi điểm trong X được nối với k điểm khác bởi các đoạn thẳng. Giả sử (A, B) là một trong số các đoạn thẳng này. Theo giả thiết, A và B mỗi điểm nối vớik điểm khác nên ngồi cạnh (A, B) mỗi điểm cịn nối vớik−1 điểm khác nữa. Do đó tổng cộng các đoạn thẳng có ít nhất một đầu mút là A hoặc B là2k−1 và số điểm còn lại (khác A và B) là n−2. Nếu trong 2k−1 đoạn thẳng này khơng có hai đoạn nào cùng đầu mút (khác A và B) thì số đỉnh khác A và B là2(k−1) =2k−2>n−2, vô lý. Suy ra trong2k−1 đoạn thẳng nói trên có hai đoạn thẳng trùng đầu mút C. Khi đó ta được chu trình tam giác (A, B, C).
Nhận xét. Ta có thể tổng quát bài tốn như sau:
Cho tập hợp X có n>3 điểm trong mặt phẳng trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng và một số tự nhiênk(k<n) và số tự nhiên p thỏa3≤ p <n. Khi đó: a. Nếu kn < p−2p−1 thì mỗi điểm trong X có thể được nối bằng các đoạn thẳng với ít nhấtkđiểm khác của X sao cho bất kỳ tập con Y( chứa p điểm) nào đó của X cũng có hai điểm khơng được nối bằng đoạn thẳng.
b. Nếu kn > p−2p−1 và mỗi điểm của X được nối bởi các đoạn thẳng với k điểm khác của X thì có một tập con A chứa pđiểm của X sao cho 2 điểm bất kỳ trong chúng đều được nối bằng một đoạn thẳng.
Bài toán 12 [15]. Trên bàn cờ có 4x4 ơ vng. Chứng minh rằng con mã (với bước đi thông thường) không thể đi qua tất cả các ô, mỗi ô đúng một lần, rồi quay về ô ban đầu.
Phân tích. Bài tốn có thể giải được bằng phương pháp đồ thị. Đối tượng: các ô bàn cờ; quan hệ: nước đi của con mã. Yêu cầu đi qua tất cả các ô , mỗi ô đúng 1 lần rồi quay về ô ban đầu gợi ý cho ta nghĩ đến chu trình Hamilton.
Giải.Xây dựng đồ thị G gồm 16 đỉnh tương ứng với 16 ô của bàn cờ. Nếu hai ô có thể thực hiện được nước đi của con mã thì hai đỉnh tương ứng được nối với nhau
bằng một cạnh. Yêu cầu của bài toán tương đương với việc chứng minh trong đồ thị G khơng có chu trình Hamilton.
Ta gọi mỗi tập hợp các đỉnh và các cạnh của G tương ứng với tất cả các bước đi của con mã đi qua tất cả các ô của bàn cờ bắt đầu tại một ơ nào đó là một nửa yếu tố. Trước tiên ta xét tất cả các nửa yếu tố của đồ thị (hình 3.4). Các đỉnh A1,A3 chỉ kề vớiB2,B4; các đỉnhA2,A4 chỉ kề với các đỉnh B1,B3. Do vậy bất kỳ nửa yếu tố nào cũng phải chứa hai chu trình khơng giao nhau(A1,B2,A3,B4,A1); (A2,B1,A4,B3,A2). Xem hai chu trình khơng giao nhau này như là các đồ thị con
bộ phận, thì chúng là hai thành phần liên thơng của nửa yếu tố. Do đó nửa yếu tố là một đồ thị khơng liên thơng nên khơng có chu trình Hammilton (theo định lý 1.12). Vậy con mã không thể đi qua hết các ô, mỗi ô đúng một lần rồi quay về ô ban đầu.
Hình 3.4: