6. Cấu trúc của luận văn
3.2. ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỒ THỊ
Các tính chất cơ bản thường được sử dụng trong phần này được thể hiện trong các định lý:
Định lý 1.1. Trong đồ thị vô hướng G(V;E), tổng bậc của tất cả các đỉnh bằng
hai lần số cạnh.
Hệ quả 1.2.Số đỉnh bậc lẻ của đồ thị vô hướng là số chẵn.
Định lý 1.3.Trong mọi đồ thị đơn n đỉnh(n≥2)bao giờ cũng có ít nhất hai đỉnh cùng bậc.
Định lý 1.4.Nếu một đồ thị đơn n đỉnh(n >2)có 2 đỉnh cùng bậc thì đồ thị phải có đúng 1 đỉnh bậc 0 hoặc một đỉnh bậc(n−1).
Bài tốn 1[13].Giả sử ở Việt Nam có 65 thành phố. Hãy chứng minh rằng tồn tại một thành phố có số chẵn đường giao thơng nối tới các thành phố khác.
Phân tích. Bài tốn có dấu hiệu của phương pháp đồ thị: các đối tượng là các thành phố (biểu diễn bởi các đỉnh), mối quan hệ giữa các đối tượng ở đây là có đường giao thơng nối với nhau hay khơng (nếu có thì hai đỉnh tương ứng được nối bởi một cạnh).
Giải. Xây dựng một đồ thị G gồm 65 đỉnh trong đó mỗi thành phố tương ứng với một đỉnh và hai thành phố có đường giao thơng nối với nhau thì hai đỉnh tương ứng được nối với nhau bằng một cạnh. Khi đó ta được một đồ thị đơn, vơ hướng có 65 đỉnh. Số đường giao thơng mà một thành phố nào đó có nối với các thành phố cịn lại chính là số bậc của đỉnh tương ứng. Yêu cầu của bài toán trở thành việc chứng minh đồ thị này ln tồn tại 1 đỉnh có số bậc là chẵn.
Giả sử ngược lại, tất các các đỉnh của G đều có bậc lẻ. Vì G có lẻ đỉnh (65 đỉnh) nên tổng số bậc của các đỉnh trong G là số lẻ, mâu thuẫn với định lý 1.1 (tổng số bậc bằng hai lần số cạnh nên tổng số bậc ln là số chẵn).
từng đội bóng khác. Chứng minh rằng vào bất cứ thời điểm nào cũng có hai đội đã đấu một số trận như nhau.
Phân tích.Mỗi đội thi đấu một trận với từng đội bóng khác (khơng quan tâm đến kết quả) gợi ý cho ta xây dựng đồ thị vơ hướng đơn (khơng có khun vì mỗi đội khơng thi đấu với chính mình, khơng có cạnh song song vì hai đội chỉ thi đấu với nhau một trận).
Giải.Xây dựng một đồ thị G trong đó mỗi đội bóng tương ứng với một đỉnh và hai đội bóng đã thi đấu với nhau thì nối hai đỉnh tương ứng bởi cạnh. Khi đó ta được một đồ thị đơn, vơ hướng có 10 đỉnh. Số trận mà một đội bóng đã thi đấu bằng số bậc của đỉnh tương ứng. Yêu cầu của bài toán trở thành việc chứng minh đồ thị này ln tồn tại 2 đỉnh có cùng số bậc. Rõ ràng điều này thỏa mãn theo định lý 1.3. Do đó tại một thời điểm bất kỳ ln có 2 đội đã thi đấu cùng số trận.
Nhận xét. Bằng cách sử dụng cách lập luận như phép chứng minh định lý 1.3 ta có thể có cách trình bày khác mà khơng cần sử dụng ngơn ngữ đồ thị:
Trong 10 đội bóng, khơng thể có đồng thời một đội chưa thi đấu trận nào (0 trận) và một đội đã thi đấu 9 trận. Thật vậy, giả sử A chưa thi đấu (0 trận) thì khơng thể có đội bóng nào đã thi đấu xong (9 trận) vì các đội cịn lại đều chưa đấu với A, nếu đã có một đội A thi đấu đủ 9 trận thì khơng có đội nào chưa thi đấu( 0 trận) vì tất cả các đội cịn lại đã thi đấu với A. Do đó tại mọi thời điểm số trận đã thi đấu của từng đội bóng (trong 10 đội bóng) là một trong 9 số tự nhiên (từ 0 đến 8 hoặc từ 1 đến 9). Theo ngun lý Dirichlet thì phải có ít nhất hai đội đã thi đấu một số trận như nhau.
Bài toán 3. Chứng minh rằng trong một lớp học gồm 30 học sinh ln có 2 học sinh có cùng số bạn thân trong lớp.
Phân tích. Bài tốn có dấu hiệu để sử dụng phương pháp đồ thị, cụ thể mỗi học sinh trong lớp xem là một đỉnh, hai học sinh có quan hệ "bạn thân" thì được nối với nhau bởi một cạnh (đây là quan hệ có tính đối xứng), mỗi học sinh khơng được xem là bạn thân của chính mình. Từ đó ta có được đồ thị đơn vô hướng gồm 30 đỉnh.
Giải. Ta xây dựng đồ thị G trong đó lấy mỗi học sinh là một đỉnh tương ứng, hai học sinh là bạn thân của nhau thì các đỉnh tương ứng được nối với nhau bởi một cạnh. Rõ ràng G là đồ thị có 30 đỉnh, vơ hướng (quan hệ bạn thân có tính chất đối xứng), đơn (khơng có khun vì mỗi học sinh khơng được xem là bạn thân của chính mình), số bậc của mỗi đỉnh chính là số bạn thân của học sinh tương ứng
đỉnh đó. u cầu của bài tốn trở thành chứng minh trong G ln có hai đỉnh có số bậc bằng nhau. Điều này được thỏa mãn theo định lý 1.3.
Nhận xét.Ta có thể giải bài tốn trực tiếp như sau:
Nếu tất cả các học sinh trong lớp đều khơng có bạn thân thì bài tốn hiển nhiên đúng. Trong trường hợp ngược lại, vì số bạn thân của mỗi học sinh trong lớp học là một số từ nhiên từ 0 đến 29 (hữu hạn) nên theo nguyên lý cực hạn, tồn tại một học sinh, mà ta gọi là A, có số bạn thân nhiều nhất, là các học sinhA1,A2, ...,An. Số bạn thân của mỗi học sinh trong sốn+1 học sinhA,A1,A2, ...,An là một số tự nhiên từ 1 đến n. Do đó theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại 2 học sinh trong n+1
học sinh này có số bạn bằng nhau.
Bài tốn 4.Trong một kỳ nghỉ hè, một nhóm bạn thân gồm 9 người phải chia tay nhau. Họ hứa với nhau rằng trong suốt kỳ nghỉ, mỗi người phải viết thư cho đúng 5 người trong nhóm bạn. Chứng minh rằng có một người khơng viết thư trả lời cho người đã viết thư cho mình.
Phân tích. Bài tốn có dấu hiệu của đồ thị: mỗi học sinh xem là một đỉnh, hai người viết thư cho nhau thì 2 đỉnh tương ứng được nối bởi 1 cạnh. Bài toán yêu cầu chứng minh sự tồn tại của một đối tượng nên ta có thể kết hợp với phản chứng.
Giải. Giả sử ngược lại, tất cả học sinh đều viết thư trả lời cho bạn đã viết thư cho mình. Ta xây dựng một đồ thị G gồm 9 đỉnh (mỗi đỉnh tương ứng với mỗi học sinh), hai học sinh có viết thư qua lại cho nhau thì hai đỉnh tương ứng được nối bởi một cạnh. Khi đó ta được một đồ thị 9 đỉnh và mỗi đỉnh có bậc là 5, điều này khơng thể xảy ra vì tổng số bậc lúc này là 9.5 =45: là số lẻ, theo hệ quả 1.2. Từ
đó ta có điều cần chứng minh.
Nhận xét. Điểm mấu chốt của bài toán là lẻ số học sinh và số thư mỗi học sinh phải viết là số lẻ, điều này sẽ mâu thuẫn với kết quả số đỉnh bậc lẻ trong đồ thị phải là số chẵn. Ta có thể thay đổi các số này (nhưng phải đảm bảo tính lẻ) để tạo ra những bài toán mới.
Bài toán 5. Hai tập hợp được gọi là "rời nhau" nếu chúng có khơng có phần tử chung. Hỏi trong tất cả các tập con của một tập hợp có n phần tử(n≥1)thì sẽ có bao nhiêu cặp tập hợp "rời nhau".
Phân tích.Bài tốn có dấu hiệu của đồ thị : có thể xem mỗi tập con là một đỉnh của đồ thị, quan hệ "rời nhau" có thể chuyển thành cạnh.
tập hợp "rời nhau" thì hai đỉnh tương ứng được nối với nhau bởi một cạnh. Một tập hợp gồm n phần tử thì có2n. Như vậy ta được một đồ thị đơn, vơ hướng, có2n
đỉnh. u cầu của bài tốn tương ứng với việc đếm trong G có bao nhiêu cạnh. Xét một đỉnh A tương ứng với tập con X có m phần tử. Khi đó mỗi tập con "rời nhau" với X là một tập con của phần bù của X ( có n-m phần tử), ta đã biết có
2n−m tập con như vậy nên đỉnh A có bậc là 2n−m. Đặc biệt, bậc của đỉnh ứng với chính tập đã cho là 1 (chỉ rời nhau với tập rỗng) và bậc của đỉnh ứng với tập rỗng là 2n−1 (vì chỉ loại đi tập rỗng). Số tập con có m phần tử của tập có n phần tử làCnm. Theo định lý 1.1, số cạnh của đồ thị bằng nửa tổng số bậc của nó, nên ta có số cạnh sẽ là : 12 2n−1+1+n−1∑ m=1 Cnm.2n−m = 12 2n+n−1∑ m=1 Cnm.2n−m = 1 2 n ∑ m=0 Cnm.2n−m−1 = 3n2−1.
Vậy số cặp tập con rời nhau cần tìm là :3n2−1.
Bài tốn 6. Trong một cuộc thi học sinh giỏi Tốn cấp tỉnh có tất cả 100 học sinh tham gia đến từ các trường học khác nhau trong tỉnh. Biết rằng nếu chọn 20 học sinh bất kỳ thì ln có ít nhất 2 học sinh cùng trường. Chứng minh rằng có một trường có ít nhất 6 học sinh tham gia kỳ thi.
Phân tích. Bài tốn có dấu hiệu để sử dụng phương pháp đồ thị, đó là: các học sinh (xem là đỉnh) và có quan hệ "cùng trường"(xem là cạnh), các học sinh cùng một trường có thể được biểu diễn bởi tính liên thơng của đồ thị.
Giải. Xây dựng một đồ thị G gồm 100 đỉnh, mỗi đỉnh ứng với một học sinh, hai học sinh cùng trường thì hai đỉnh tương ứng được nối với nhau bằng một cạnh. Trong đồ thị G có khơng q 19 thành phần liên thơng vì nếu có nhiều hơn 19 thành phần liên thơng thì ở mỗi thành phần liên thơng ta chọn 1 đỉnh. Khi đó sẽ có ít nhất 20 đỉnh mà 2 đỉnh bất kỳ trong số đó khơng liên thơng, tức là có ít nhất 20 học sinh mà hai học sinh tương ứng không cùng trường, điều này trái với giả thiết chọn 20 học sinh bất kỳ thì ln có ít nhất 2 học sinh cùng trường. Theo ngun lý Dirichlet, tồn tại một thành phần liên thơng chứa ít nhất10019 +1=6đỉnh. Vậy có ít nhất 6 học sinh học cùng một trường.
Bài tốn 7 [3]. Chín nhà tốn học gặp nhau ở một hội nghị quốc tế và phát hiện ra rằng cứ 3 nhà Tốn học bất kỳ trong số họ thì có ít nhất 2 người nói được cùng một thứ tiếng. Ngồi ra mỗi nhà Tốn học nói được nhiều nhất là 3 thứ tiếng. Chứng minh rằng có ít nhất 3 người trong số họ nói được cùng một thứ tiếng.
Phân tích.Ở đây có 2 loại đối tượng : nhà Tốn học và các thứ tiếng, mối quan hệ giữa 2 loại đối tượng là nhà Tốn học có nói được thứ tiếng nào đó hay khơng. Từ đó ta nghĩ đến việc xây dựng một đồ thị lưỡng phân.
Giải.Giả sử cónthứ tiếng được dùng trong hội nghị này. Xây dựng đồ thị G lưỡng phân với 2 tập đỉnh là M (có 9 đỉnh ứng với 9 nhà Tốn học A1,A2, ...,A9) và N (có n đỉnh tương ứng với n thứ tiếngB1,B2, ...,Bn). Nhà Tốn họcAi nói được thứ tiếngBj thì ta có cạnhAiBj. Theo giả thiết mỗi đỉnh thuộc M có bậc khơng q 3 và trong bất cứ 3 đỉnh nào của M cũng có 2 đỉnh được nối với một đỉnh của N. Ta phải chứng minh rằng có ít nhất một đỉnh thuộc N có bậc ít nhất là 3.
Giả sử trong N khơng có đỉnh nào có bậc lớn hơn hoặc bằng 3. Lấy đỉnhA1bất kỳ trong M, giả sửA1 có bậc 3 với các cạnh A1B1,A1B2,A1B3. Vì B1,B2,B3 có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 2 nên trong M ngồiA1cịn có nhiều nhất 3 đỉnh nữaA2,A3,A4 được nối với các đỉnh tương ứngB1,B2,B3 (hình 3.1). GọiM1={A1,A2,A3,A4}.
Lấy bất kỳA5 thuộc M, giả sử A5 có bậc 3 với các cạnh A5B4,A5B5,A5B6. Trong M, ngồi A5 và tập M1 cịn có nhiều nhất 3 điểm A6,A7,A8 được nối với các đỉnh tương ứng B4,B5,B6. Đặt M2 = {A5,A6,A7,A8}. Như vậy trong M cịn có
A9 khơng thuộc M1 và M2 và do đó A9 khơng được nối với đỉnh nào trong tập B1,B2,B3,B4,B5,B6. Trong 3 đỉnh A1,A5,A9 khơng có 2 đỉnh được nối với cùng một đỉnh trong N, trái giả thiết. Từ đó ta có được điều phải chứng minh.
Hình 3.1: