6. Cấu trúc của luận văn
2.1.3. Dây chuyề n liên thông
Định nghĩa 2.3.Mộtdây chuyền là một dãy các cung liên tiếp của một đồ thị có hướng mà nếu bỏ hướng của cung thì nó trở thành một dãy cạnh kế tiếp trong đồ thị vô hướng thu được.
Một băng chuyền là một dây chuyền mà đỉnh đích của một cung là đỉnh xuất phát của cung kế tiếp.
Mộtdây chuyền cơ bản vàbăng chuyền cơ bảnlà những dây chuyền mà mỗi đỉnh của nó chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần. Một băng chuyền cơ bản chứa tất cả các đỉnh của đồ thị được gọi làbăng chuyền Hamilton.
Một băng chuyền khép kín, khi mà mỗi đỉnh của nó là đỉnh xuất phát của đúng một cung của nó, được gọi làchu trình có hướng. Chu trình chứa tất cả các đỉnh
của đồ thị được gọi làchu trình Hamilton.
Hai đỉnh của đồ thị có hướng được gọi là liên thông yếu nếu chúng được nối với nhau bởi một dây chuyền. Một đồ thị có hướng được gọi là liên thông (yếu)
nếu hai đỉnh bất kỳ của nó đều liên thơng yếu. Đồ thị có hướng được gọi làliên thơng mạnhnếu hai đỉnh tùy ý của nó được nối với nhau bởi một băng chuyền.
Ví dụ.Đồ thị trong hình 2.1 có: u là khun có hướng, v và w là các cung song song, A có bậc là 4 (nửa bậc vào là 1, nửa bậc ra là 3).
Hình 2.1:
Định lý 2.1[12].Một đồ thị liên thông G là một đồ thị liên thông mạnh khi và chỉ khi một cung tùy ý của G nằm trong ít nhất một chu trình.
Chứng minh. Giả sử G là một đồ thị có hướng cho trước sao cho mỗi cung bất kỳ của nó nằm trong ít nhất một chu trình. Ta chứng minh G là liên thông mạnh. Giả sử ngược lại, trong G có hai đỉnh X và Y sao cho khơng tồn tại một băng chuyền nối X và Y. Ta ký hiệu M là tập hợp các đỉnh được nối với đỉnh X bởi một băng chuyền nào đó. Do G là đồ thị liên thông nên tồn tại một dây chuyền cơ bản K = (X =X1,X2, ...,Xk =Y). rõ ràng X =X1∈M và Xk =Y ∈/ M. Giả sử i là số nhỏ nhất sao cho Xi ∈M và Xi+1∈/ M. Khi đó cung giữa hai đỉnh Xi và Xi+1 có hướng đi từ đỉnhXi+1tới đỉnhXi, ta ký hiệuu= [Xi+1,Xi]. Theo giả thiết , cung u
nằm trên một chu trình C. Ta có thể đi từ đỉnh X tới đỉnhXi+1bằng cách đi từ một đỉnh X dến đỉnhXi bởi một băng chuyền W nào đó và sau đó đi dọc theo chu trình C đến đỉnh Xi+1. Như thế ta đã thiết kế được một băng chuyền đi từ đỉnh X đến đỉnhXi+1. Khi đóXi+1∈M, mâu thuẫn giả thiết ban đầu. Mâu thuẫn này chứng tỏ G liên thông mạnh.
Bây giờ giả sử cho trước một đồ thị liên thông mạnh G và một cung u tùy ý của nó. Nếu u là một khun thì cung u đã nằm trên chu trình. Nếu đỉnh xuất phát X và đỉnh đến Y của cung u khác nhau thì tồn tại một băng chuyền nối đỉnh Y với đỉnh X. Trong những băng chuyền như vậy, giả sử (X1=Y,u1,X2,u2, ...,Xk=X)
là một băng chuyền có độ dài nhỏ nhất. Ta dễ nhận thấy rằng mỗi đỉnhXi và mỗi cungui xuất hiện đúng một lần trên băng chuyền.
Do đó(X1=Y,u1,X2,u2, ...,Xk =X,u,X1=Y)là một chu trình chứa cung u, điều phải chứng minh.