6. Cấu trúc của luận văn
1.3.3.thị lưỡng phân
Định nghĩa 1.18. Đồ thị lưỡng phân là đồ thị G(V;E) mà tập đỉnh V có thể phân hoạch thành hai tập hợp X, Y sao cho tập cạnh E chỉ gồm các cạnh nối các đỉnh không cùng thuộc một tập hợp. Ta còn ký hiệu đồ thị lưỡng phân này là G(X,Y;E).
Nếu trong đồ thị lưỡng phân G(X,Y;E) giữa hai đỉnh bất kỳ không cùng thuộc một lớp luôn có đúng một cạnh nối thì ta gọiG(X,Y;E)làđồ thị lưỡng phân đầy đủvà ký hiệu làKm,n với m là số đỉnh của X và n là số đỉnh của Y.
Ví dụ.
(i) Đồ thị biểu diễn một buổi nhảy (các đôi nhảy luôn là người khác phái) là đồ thị lưỡng phân.
(ii) Đồ thị có sắc số 2 là đồ thị lưỡng phân. ở đây, các đỉnh cùng màu sẽ tạo nên một lớp đỉnh.
(iii) Hình 1.22 cho ta đồ thị lưỡng phân đầy đủ K3,3.
Định lý 1.21 [12]. Một đồ thị G là đồ thị lưỡng phân khi và chỉ khi mọi chu trình của G có độ dài chẵn.
Hình 1.22: Đồ thị K3,3
kỳ của G, các đỉnh thuộc tập X và Y lần lượt kế tiếp nhau. Do đó, khi trở về đỉnh xuất phát đầu tiên ta phải qua một số chẵn các đỉnh và do đó số cạnh (bằng số đỉnh) của chu trình là một số chẵn.
Đảo lại, giả sử G là một đồ thị mà tất cả các chu trình của nó đều có độ dài chẵn. Ta chứng minh tất cả các thành phần liên thông của G là lưỡng phân và do đó G là lưỡng phân.
Thật vậy, giả sửG1 là một thành phần liên thông của G và P0 là một đỉnh củaG1. Với mỗi đỉnh P của G1, ta chọn một đường đi W nối đỉnh P0 với P. Nếu W có độ dài chẵn thì đỉnh P thuộc tập X, còn nếu W có độ dài lẻ thì điểm P thuộc tập Y. Sự phân loại các đỉnh của đồ thịG1 không phụ thuộc vào cách chọn đường đi W. Thật vậy, nếu có một đường đi W với độ dài chẵn và đường điW/ có độ dài lẻ thì mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.
Với cách thiết lập tập X và Y này, các đỉnh củaG1 hoặc thuộc tập X, hoặc thuộc tập Y. Bây giờ ta chứng minhG1 có các cạnh nối các đỉnh không cùng thuộc một tập hợp mà thôi. Thật vậy, giả sử có hai đỉnh P và Q kề nhau trongG1 thì chúng không cùng một tập hợp X hoặc Y, nếu không từP0ta có thể đi đến P rồi tới đỉnh Q bởi cạnh PQ và trở về đỉnhP0 với một đường đi lẻ cạnh, điều này không thể xảy ra trong G vì mọi chu trình trong G đều có độ dài chẵn. Như vậy G là lưỡng phân với hai tập đỉnh X, Y.