TIÊU CHUẨN TRÌNH BÀY BẢN VẼ
Khổ giấy
Mỗi bản vẽ cần được thực hiện trên khổ giấy quy định, gọi là khổ bản vẽ, là kích thước chuẩn của tờ giấy sau khi xén Trong môi trường học đường, có nhiều khổ giấy thường được sử dụng.
Khổ giấy phụ: kích thước cạnh của khổ phụ là bội số của kích thước cạnh khổ 11
1.1.2 Ý nghĩa của ký hiệu khổ giấy theo ký hiệu TCVN 193-66
Số thứ nhất chỉ bội số cạnh dài 297,25 của khổ đơn vị Số thứ hai chỉ bội số cạnh ngắn 210,25
Tích hai chữ số ký hiệu là số lượng khổ 11 chứa trong khổ giấy đó
Hình 1.1 Các khổ giấy thường dùng
1.2 KHUNG BẢN VẼ VÀ KHUNG TÊN (TCVN 3821 : 2008)
Kích thước và trình bày nội dung khung tên xem ISO 7200
Khung bản vẽ được kẻ bằng nét liền đậm, cách mép giấy 10mm, nếu bản vẽ đóng tập, cạnh trái khung bản vẽ kẻ cách mép giấy 20mm (hình 1.2)
Hình 1.2 Khung bản vẽ và khung tên
Khung tên được vẽ bằng nét liền đậm, đặt ở góc dưới bên phải của bản vẽ, với hai cạnh trùng khớp với cạnh khung bản vẽ Khung tên có chức năng ghi lại tất cả các chi tiết quan trọng liên quan đến việc thực hiện bản vẽ.
Đối với các khổ giấy từ AO đến A3, vị trí của khung tên được đặt như hình 1.2a
Đối với khổ giấy A4, khung tên cần được đặt theo vị trí như hình 1.2b Mỗi bản vẽ trên cùng một tờ giấy phải có khung tên và khung bản vẽ riêng biệt Khung tên phải được bố trí sao cho các chữ ghi trong khung tên hướng lên trên hoặc sang trái so với bản vẽ (hình 1.3).
Hình 1.3 Tờ giấy có nhiều bản vẽ
Mẫu khung tên dùng cho bản vẽ thực hiện tại lớp hoặc bài tập ở nhà, hình 1.4
Trường ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật
1 Tựa bài vẽ hay tên gọi của chi tiết
2 Vật liệu chế tạo của chi tiết
4 Ký hiệu hay số bài tập
7 Họ tên người kiểm tra
Tỷ lệ là tỷ số giữa kích thước đo trên hình vẽ với kích thước tương ứng đo trên vật thể Tỷ lệ thường dùng:
Tỷ lệ ghi trong khung tên cho bản vẽ được thể hiện dưới dạng: 1:1, 1:2, 2:1, v.v Khi tỷ lệ được đặt cạnh hình vẽ, cách ghi sẽ là: TL1:1, TL1:2, TL2:1, v.v.
Lưu ý: Con số kích thước ghi trên bản vẽ là giá trị thực, không phụ thuộc vào tỷ lệ, hình 1.5
Hình 1.5 Con số không phụ thuộc vào tỷ lệ
1.4 CÁC NÉT VẼ (TCVN 8-20 : 2002; TCVN 8-24 : 2002)
Bản vẽ cơ khí theo tài liệu TCVN 8-24:2001 quy định các nét vẽ quan trọng Bảng dưới đây trình bày công dụng và quy định về bề dày của một số nét vẽ thường dùng, giúp người đọc hiểu rõ hơn về cách thể hiện các chi tiết trong bản vẽ.
Bề dày nét cơ bản s
Bảng 1.1 Phạm vi sử dụng các nét vẽ
TT Tên gọi Công dụng Bề dày Dạng nét
Vẽ đường bao thấy, khung tên, khung bản vẽ, đỉnh ren thấy s
Vẽ đường dóng, đường kích thước, đường gạch-gạch mặt cắt, giao tuyến tưởng tượng, đường tâm ngắn, đường biểu diễn chung các mạch điện, dây điện,… s/2
Vẽ đường phân cách giữa hình cắt và hình chiếu, đường cắt lìa s/2
Vẽ đường bao khuất, đường nối không điện, màng chắn (trong cơ học, thủy lực) s/2 4-5
Vẽ đường trục, đường tâm và đường chia của bánh răng là những bước quan trọng trong thiết kế cơ khí Đường chia giữa các thiết bị trong hệ thống phân phối cần được xác định rõ ràng để đảm bảo hoạt động hiệu quả Đồng thời, việc xác định đường giới hạn nhóm các khí cụ hoặc phần tử của cùng một khí cụ điện cũng không kém phần quan trọng Cuối cùng, dây nối đất phải được thiết kế hợp lý để bảo vệ an toàn cho mạng điện.
Vẽ mặt cần gia công nhiệt, hay lớp phủ bề mặt s
7 Nét cắt Vẽ vị trí vết mặt phẳng cắt
8 Nét hai chấm gạch mảnh
Vẽ giới hạn của các chi tiết chuyển động, phần vật thể bị cắt s/2
9 Nét ngắt Vẽ đường cắt lìa dài s/2
Các loại đường nét thường dùng trong bản vẽ:
Nét chấm gạch Nét đứt
Nét liền đậm Nét liền mảnh
Hình 1.6 Các loại đường nét thường gặp
Lưu ý: Tại chỗ giao nhau của các kiểu nét không liên tục phải là đường gạch dài, không được để khoảng trắng hay dấu chấm
Nét cắt (Vết của mặt phẳng cắt)
Nét liền mảnh (Đường kích thước
Nét liền mảnh (Đường dóng)
Nét liền mảnh (Đường gạch gạch)
Bảng 1.2 Một số lỗi sai thường gặp
TT Hình sai Hình đúng TT Hình sai Hình đúng
1.5 CHỮ VIẾT TRÊN BẢN VẼ
Chữ và số trên bản vẽ kỹ thuật cần phải được trình bày một cách thống nhất, rõ ràng và dễ đọc Do đó, tiêu chuẩn Nhà nước đã quy định các phương pháp cụ thể để viết chữ và số trên bản vẽ.
Khổ chữ (h): là chiều cao của chữ hoa và con số, khổ chữ được tính bằng đơn vị mm Tiêu chuẩn quy định các khổ chữ: 2,5; 3,5; 5; 7;
Kiểu chữ: gồm có bốn kiểu chữ (hình 1.7)
Kiểu A chữ: bề dày của nét chữ = h/14 (đứng hay nghiêng 75 o )
Kiểu B chữ: bề dày của nét chữ = h/10 (đứng hay nghiêng 75 o )
Hình 1.7 Kiểu chữ kỹ thuật
Kích thước của chữ và số
Chữ in hoa h Khoảng cách giữa hai ký tự a = 0,2h
Chữ thường ngắn (a, e, r, c, …) c = 0,7h Bề dày nét chữ d = 0,1h
Chữ thường dài (b, p, h, l, …) h Khoảng cách giữa hai dòng b = 1,4h
Con số h Khoảng cách giữa hai chữ e = 0,6h
Bảng kiểu chữ và số:
Kích thước xác định độ lớn của vật thể phải ghi rõ ràng
Đơn vị kích thước dài là mm, không ghi đơn vị sau số đo
Đơn vị kích thước góc là độ, phút, giây (30 o , 40’, 20’)
Ghi kích thước đủ để kiểm tra và gia công
Mỗi kích thước chỉ được ghi một lần Kích thước tham khảo ghi trong ngoặc đơn
Nên ghi tập trung và ghi ngoài hình biểu diễn
Đường dóng được kẻ bằng nét liền mảnh và vượt quá đường kích thước một đoạn ngắn khoảng từ 2mm đến 4mm (hình 1.8)
Đường dóng được kẻ vuông góc với đường kích thước, khi cần có thể kẻ xiên (hình 1.9a)
Tại chỗ có vát góc hay góc lượn, đường dóng được kẻ từ giao điểm của các đường bao kéo vào (hình 1.9b, c)
Được phép dùng đường trục, đường tâm, đường bao làm đường dóng
Đường kích thước được giới hạn bằng mũi tên, đỉnh của mũi tên phải chạm vào đường dóng (hình 1.9)
Hình 1.10 Ghi kích thước cung tròn
Hình 1.11 Ghi kích thước chi tiết đối xứng
Đường kích thước được kẻ bằng nét liền mảnh, song song và cách đoạn cần ghi kích thước một đoạn khoảng từ 7mm đến 10mm (hình 1.8)
Đường kích thước của bán kính xuất phát từ tâm của cung tròn (hình 1.11)
Đối với những phần tử có dạng đối xứng, đường kích thước không cần vẽ đầy đủ (hình 1.11)
Mũi tên được vẽ ở hai đầu của đường kích thước và chạm vào đường dóng Độ lớn của mũi tên vẽ theo bề rộng s của nét liền đậm (hình 1.12)
Không cho phép bất kỳ đường nét nào vẽ cắt qua mũi tên
Hình dạng mũi tên vẽ như hình 1.13 (góc mở 20 0 )
Nếu khoảng ghi kích thước quá hẹp, mũi tên được thay bằng dấu chấm hay vạch xiên 45 0 (hình 1.14a, b)
Hình 1.14a Đường kích thước nằm ngang
Hình 1.14b Đường kích thước thẳng đứng
Con số kích thước thể hiện giá trị thật của kích thước, không phụ thuộc vào tỷ lệ bản vẽ
Con số kích thước được đặt theo hướng song song với đường kích thước, ở khoảng giữa, phía trên và cách đường kích thước từ 1mm đến 2mm
Con số kích thước không được bị cắt hoặc bị phân cách bởi bất kỳ đường nét nào của bản vẽ
Con số kích thước đo độ dài và đo góc được ghi theo hướng đọc bản vẽ như hình 1.15 và hình 1.16
Hình 1.15 Kích thước đo độ dài
Hình 1.16 Kích thước đo góc
Nếu đường kích thước quá ngắn, con số có thể được ghi trên đường chú dẫn hoặc trên đường kích thước kéo dài (hình
Hình 1.17 Con số kích thước ghi trên đường chú dẫn
1.6.2 Các quy tắc ghi kích thước
1 Kích thước đo độ dài
Nếu mặt cắt là hình vuông có thể thay thế bằng tích số (hình 1.18)
Hình 1.18 Ghi kích thước hình vuông
Khi các đường kích thước được đặt song song và cùng phương, đường kích thước nhỏ sẽ nằm bên trong và đường kích thước lớn nằm bên ngoài, với các con số kích thước được sắp xếp theo kiểu so le (như minh họa trong hình 1.19 và hình 1.20).
Hình 1.19 Đường kích thước nằm ngang
Hình 1.20 Đường kích thước thẳng đứng
Áp dụng : Ứng dụng cách ghi kích thước trên hình vẽ
2 Ghi kích thước đường tròn
: ký hiệu đường kính của đường tròn hoặc đáy hình trụ Cách ghi kích thước đường tròn (hình 1.22) ỉ35 ỉ 22 ỉ 44 ỉ55 ỉ28 ỉ18
Hình 1.22 Ghi kích thước đường tròn
3 Ghi kích thước cung tròn
R: ký hiệu bán kính của cung tròn Đường kích thước vẽ xuất phát từ tâm kết thúc bằng mũi tên chạm vào đường bao, hình 1.23
Nếu cung tròn không vẽ tâm xác định thì vẽ đường kích thước hướng về tâm, hình 1.23e
Hình 1.23 Ghi kích thước cung tròn
Chi tiết có dạng khối cầu thì ghi chữ “cầu” ghi trước chữ R hoặc , hình 1.24
Hình 1.24 Ghi kích thước chi tiết dạng khối cầu
4 Kích thước đo góc, cung và dây cung
- Kích thước đo góc, hình 1.25a và 1.25b
- Kích thước dây cung, hình 1.25d b)
Hình 1.25 Ghi kích thước góc, cung và dây cung
5 Ghi kích thước mép vát
Hình 1.26 Ghi kích thước mép vát
6 Một số ký hiệu thường gặp
Ký hiệu bề dày chi tiết: s
Ký hiệu chiều dài chi tiết: l ỉ 82 ỉ 59 ỉ 59 ỉ12
Hình 1.27 Chi tiết có bề dày s6
Hình 1.28 Chi tiết có chiều dài L@0
Lưu ý: Nếu có nhiều phần tử giống nhau và phân bố theo quy luật thì chỉ ghi kích thước một phần tử và kèm theo số lượng, hình 1.27
Ký hiệu độ dốc: Độ dốc i là tỷ số giữa hai cạnh góc vuông, hình 1.29
Giá trị của độ dốc viết theo dạng:
Ký hiệu độ côn: Độ côn i
Giá trị độ côn được viết theo dạng:
Hình 1.33 Ghi giá trị độ côn trên hình vẽ
Ký hiệu hình vuông: (hình 1.34)
Hình 1.34 Ghi kích thước hình vuông
Tỷ lệ
Tỷ lệ là tỷ số giữa kích thước đo trên hình vẽ với kích thước tương ứng đo trên vật thể Tỷ lệ thường dùng:
Tỷ lệ ghi trong khung tên của bản vẽ được thể hiện theo định dạng như 1:1, 1:2, 2:1, v.v Khi tỷ lệ được đặt cạnh hình vẽ, cách ghi sẽ là TL1:1, TL1:2, TL2:1, và các tỷ lệ khác tương tự.
Lưu ý: Con số kích thước ghi trên bản vẽ là giá trị thực, không phụ thuộc vào tỷ lệ, hình 1.5
Hình 1.5 Con số không phụ thuộc vào tỷ lệ
Các nét vẽ
Bản vẽ cơ khí theo tài liệu TCVN 8-24:2001 quy định các nét vẽ và công dụng của chúng Bảng dưới đây trình bày quy định về bề dày của một số nét vẽ thường dùng, giúp người đọc hiểu rõ hơn về cách thể hiện các chi tiết trong bản vẽ cơ khí.
Bề dày nét cơ bản s
Bảng 1.1 Phạm vi sử dụng các nét vẽ
TT Tên gọi Công dụng Bề dày Dạng nét
Vẽ đường bao thấy, khung tên, khung bản vẽ, đỉnh ren thấy s
Vẽ đường dóng, đường kích thước, đường gạch-gạch mặt cắt, giao tuyến tưởng tượng, đường tâm ngắn, đường biểu diễn chung các mạch điện, dây điện,… s/2
Vẽ đường phân cách giữa hình cắt và hình chiếu, đường cắt lìa s/2
Vẽ đường bao khuất, đường nối không điện, màng chắn (trong cơ học, thủy lực) s/2 4-5
Vẽ đường trục, đường tâm và đường chia của bánh răng là những bước quan trọng trong thiết kế cơ khí Đường chia giữa các thiết bị trong hệ thống phân phối giúp xác định vị trí lắp đặt chính xác Đường giới hạn nhóm các khí cụ và các phần tử trong cùng một khí cụ điện cũng cần được xác định rõ ràng Cuối cùng, việc thiết lập dây nối đất là cần thiết để bảo vệ an toàn cho mạng điện.
Vẽ mặt cần gia công nhiệt, hay lớp phủ bề mặt s
7 Nét cắt Vẽ vị trí vết mặt phẳng cắt
8 Nét hai chấm gạch mảnh
Vẽ giới hạn của các chi tiết chuyển động, phần vật thể bị cắt s/2
9 Nét ngắt Vẽ đường cắt lìa dài s/2
Các loại đường nét thường dùng trong bản vẽ:
Nét chấm gạch Nét đứt
Nét liền đậm Nét liền mảnh
Hình 1.6 Các loại đường nét thường gặp
Lưu ý: Tại chỗ giao nhau của các kiểu nét không liên tục phải là đường gạch dài, không được để khoảng trắng hay dấu chấm
Nét cắt (Vết của mặt phẳng cắt)
Nét liền mảnh (Đường kích thước
Nét liền mảnh (Đường dóng)
Nét liền mảnh (Đường gạch gạch)
Bảng 1.2 Một số lỗi sai thường gặp
TT Hình sai Hình đúng TT Hình sai Hình đúng
Chữ viết trên bản vẽ
Chữ và số trên bản vẽ kỹ thuật cần phải được viết thống nhất, rõ ràng và dễ đọc Tiêu chuẩn Nhà nước đã quy định cách thức viết chữ và số trên bản vẽ để đảm bảo tính chính xác và dễ hiểu.
Khổ chữ (h): là chiều cao của chữ hoa và con số, khổ chữ được tính bằng đơn vị mm Tiêu chuẩn quy định các khổ chữ: 2,5; 3,5; 5; 7;
Kiểu chữ: gồm có bốn kiểu chữ (hình 1.7)
Kiểu A chữ: bề dày của nét chữ = h/14 (đứng hay nghiêng 75 o )
Kiểu B chữ: bề dày của nét chữ = h/10 (đứng hay nghiêng 75 o )
Hình 1.7 Kiểu chữ kỹ thuật
Kích thước của chữ và số
Chữ in hoa h Khoảng cách giữa hai ký tự a = 0,2h
Chữ thường ngắn (a, e, r, c, …) c = 0,7h Bề dày nét chữ d = 0,1h
Chữ thường dài (b, p, h, l, …) h Khoảng cách giữa hai dòng b = 1,4h
Con số h Khoảng cách giữa hai chữ e = 0,6h
Bảng kiểu chữ và số:
Ghi kích thước
Kích thước xác định độ lớn của vật thể phải ghi rõ ràng
Đơn vị kích thước dài là mm, không ghi đơn vị sau số đo
Đơn vị kích thước góc là độ, phút, giây (30 o , 40’, 20’)
Ghi kích thước đủ để kiểm tra và gia công
Mỗi kích thước chỉ được ghi một lần Kích thước tham khảo ghi trong ngoặc đơn
Nên ghi tập trung và ghi ngoài hình biểu diễn
Đường dóng được kẻ bằng nét liền mảnh và vượt quá đường kích thước một đoạn ngắn khoảng từ 2mm đến 4mm (hình 1.8)
Đường dóng được kẻ vuông góc với đường kích thước, khi cần có thể kẻ xiên (hình 1.9a)
Tại chỗ có vát góc hay góc lượn, đường dóng được kẻ từ giao điểm của các đường bao kéo vào (hình 1.9b, c)
Được phép dùng đường trục, đường tâm, đường bao làm đường dóng
Đường kích thước được giới hạn bằng mũi tên, đỉnh của mũi tên phải chạm vào đường dóng (hình 1.9)
Hình 1.10 Ghi kích thước cung tròn
Hình 1.11 Ghi kích thước chi tiết đối xứng
Đường kích thước được kẻ bằng nét liền mảnh, song song và cách đoạn cần ghi kích thước một đoạn khoảng từ 7mm đến 10mm (hình 1.8)
Đường kích thước của bán kính xuất phát từ tâm của cung tròn (hình 1.11)
Đối với những phần tử có dạng đối xứng, đường kích thước không cần vẽ đầy đủ (hình 1.11)
Mũi tên được vẽ ở hai đầu của đường kích thước và chạm vào đường dóng Độ lớn của mũi tên vẽ theo bề rộng s của nét liền đậm (hình 1.12)
Không cho phép bất kỳ đường nét nào vẽ cắt qua mũi tên
Hình dạng mũi tên vẽ như hình 1.13 (góc mở 20 0 )
Nếu khoảng ghi kích thước quá hẹp, mũi tên được thay bằng dấu chấm hay vạch xiên 45 0 (hình 1.14a, b)
Hình 1.14a Đường kích thước nằm ngang
Hình 1.14b Đường kích thước thẳng đứng
Con số kích thước thể hiện giá trị thật của kích thước, không phụ thuộc vào tỷ lệ bản vẽ
Con số kích thước được đặt theo hướng song song với đường kích thước, ở khoảng giữa, phía trên và cách đường kích thước từ 1mm đến 2mm
Con số kích thước không được bị cắt hoặc bị phân cách bởi bất kỳ đường nét nào của bản vẽ
Con số kích thước đo độ dài và đo góc được ghi theo hướng đọc bản vẽ như hình 1.15 và hình 1.16
Hình 1.15 Kích thước đo độ dài
Hình 1.16 Kích thước đo góc
Nếu đường kích thước quá ngắn, con số có thể được ghi trên đường chú dẫn hoặc trên đường kích thước kéo dài (hình
Hình 1.17 Con số kích thước ghi trên đường chú dẫn
1.6.2 Các quy tắc ghi kích thước
1 Kích thước đo độ dài
Nếu mặt cắt là hình vuông có thể thay thế bằng tích số (hình 1.18)
Hình 1.18 Ghi kích thước hình vuông
Khi các đường kích thước được đặt cùng phương và song song, đường kích thước nhỏ nằm bên trong và đường kích thước lớn nằm bên ngoài, các con số kích thước nên được đặt so le để đảm bảo tính rõ ràng và dễ đọc.
Hình 1.19 Đường kích thước nằm ngang
Hình 1.20 Đường kích thước thẳng đứng
Áp dụng : Ứng dụng cách ghi kích thước trên hình vẽ
2 Ghi kích thước đường tròn
: ký hiệu đường kính của đường tròn hoặc đáy hình trụ Cách ghi kích thước đường tròn (hình 1.22) ỉ35 ỉ 22 ỉ 44 ỉ55 ỉ28 ỉ18
Hình 1.22 Ghi kích thước đường tròn
3 Ghi kích thước cung tròn
R: ký hiệu bán kính của cung tròn Đường kích thước vẽ xuất phát từ tâm kết thúc bằng mũi tên chạm vào đường bao, hình 1.23
Nếu cung tròn không vẽ tâm xác định thì vẽ đường kích thước hướng về tâm, hình 1.23e
Hình 1.23 Ghi kích thước cung tròn
Chi tiết có dạng khối cầu thì ghi chữ “cầu” ghi trước chữ R hoặc , hình 1.24
Hình 1.24 Ghi kích thước chi tiết dạng khối cầu
4 Kích thước đo góc, cung và dây cung
- Kích thước đo góc, hình 1.25a và 1.25b
- Kích thước dây cung, hình 1.25d b)
Hình 1.25 Ghi kích thước góc, cung và dây cung
5 Ghi kích thước mép vát
Hình 1.26 Ghi kích thước mép vát
6 Một số ký hiệu thường gặp
Ký hiệu bề dày chi tiết: s
Ký hiệu chiều dài chi tiết: l ỉ 82 ỉ 59 ỉ 59 ỉ12
Hình 1.27 Chi tiết có bề dày s6
Hình 1.28 Chi tiết có chiều dài L@0
Lưu ý: Nếu có nhiều phần tử giống nhau và phân bố theo quy luật thì chỉ ghi kích thước một phần tử và kèm theo số lượng, hình 1.27
Ký hiệu độ dốc: Độ dốc i là tỷ số giữa hai cạnh góc vuông, hình 1.29
Giá trị của độ dốc viết theo dạng:
Ký hiệu độ côn: Độ côn i
Giá trị độ côn được viết theo dạng:
Hình 1.33 Ghi giá trị độ côn trên hình vẽ
Ký hiệu hình vuông: (hình 1.34)
Hình 1.34 Ghi kích thước hình vuông
VẼ HÌNH HỌC
Vẽ độ dốc và độ côn
Vẽ độ dốc là vẽ tang của góc đó Vì thế, độ dốc i của đường thẳng
AB đối với đường thẳng AC là tang của góc BAC, hình 2.22
TCVN 5705 : 1993 quy định, trước số đo độ dốc ghi ký hiệu , đỉnh của ký hiệu hướng về phía đỉnh của góc, hình 2.22
Giá trị của độ dốc viết theo dạng:
Áp dụng: Vẽ độ dốc 1:10 của đường thẳng đi qua điểm B đã cho đối vối đường thẳng (d), hình 2.25
Từ B hạ đường thẳng vuông góc xuống đường thẳng d, C là chân đường thẳng vuông góc
Từ điểm C, dùng compa vạch trên đường thẳng (d) 10 phần bằng nhau, mỗi phần có độ lớn bằng đoạn CB Điểm cuối cùng là điểm A
Nối đoạn BA, ta có độ dốc cần dựng
2.2.2 Vẽ độ côn Độ côn là tỉ số giữa hiệu đường kính hai mặt cắt vuông góc của hình nón tròn xoay với khoảng cách gữa hai mặt cắt đó, hình 2,26
Trước số đo độ côn ghi ký hiệu , đỉnh của ký hiệu hướng về phía đỉnh của góc, hình 2.27
Hình 2.27 Ghi giá trị độ côn trên hình vẽ
Giá trị độ côn được viết theo dạng: 1/3; 1/5; 1/7; 1/10; 1/12; 1/15; 1/20; 1/30; 1/50, 1/100, 1/200, hình 2.27
Áp dụng: Vẽ hình côn có đỉnh A, trục AB co độ côn k = 1 : 3
Qua A vẽ hai đường thẳng về hai phía của trục AB có độ dốc 1 = 1 : 6 đối với trục AB như hình 2.28
Vẽ nối tiếp
2.3.1 Vẽ tiếp tuyến với đường tròn
1 Qua điểm A trên đường tròn – hình 2.29
Xác định điểm O’ đối xứng với O qua A
Dựng đường trung trực của đoạn OO’, ta được tiếp tuyến AM cần dựng
2 Qua điểm A ngoài đường tròn – hình 2.30
E bán kính EA, cung tròn này cắt đường tròn tâm O bán kính R tại B
AB là tiếp tuyến cần dựng
2.3.2 Vẽ tiếp tuyến chung với hai đường tròn
1 Tiếp tuyến chung ngoài – hình 2.31
Hình 2.31 Tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn
Xác định trung điểm E của đoạn O 1 O 2
Dựng đường tròn tâm O 1 , bán kính (R 1 – R 2 )
Dựng tiếp tuyến O 2 M và O 2 N của điểm O 2 đối với đường tròn (O 1 ,R 1 – R 2 )
Nối O 1 M và O 1 N kéo dài cắt đường tròn tâm O 1 bán kính R 1 tại hai điểm A và B
Qua A và B, dựng đoạn AA’ và BB’ song song với O 2 M và O 2 N (A’, B’ thuộc đường tròn tâm O 2 bán kính R 2 )
AA’ và BB’ chính là tiếp tuyến cần dựng
Áp dụng : Vẽ hình 2.32 theo kích thước cho (tỷ lệ 1:1): ỉ30 ỉ60
2 Tiếp tuyến chung trong – hình 2.33
Xác định trung điểm E của đoạn O 1 O 2
Dựng đường tròn tâm O 1 , bán kính (R 1 + R 2 )
Dựng tiếp tuyến O 2 M và O 2 N của điểm O 2 đối với đường tròn (O 1 ,R 1 +R 2 )
Nối O 1 M và O 1 N cắt đường tròn tâm O 1 bán kính R 1 tại hai điểm
Qua A và B dựng đoạn AA’ và BB’ song song với O 2 M và O 2 N (A’, B’ thuộc đường tròn tâm O 2 bán kính R 2 )
Đoạn AA’ và BB’ chính là tiếp tuyến cần dựng
Hình 2.33 Tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn
2.3.3 Nối một điểm với đường thẳng bằng cung tròn cho trước
Cho trước đường thẳng d, điểm A và cung tròn có bán kính R – hình 2.34
Dựng cung tròn tâm A, bán kính R
Dựng đường thẳng d’ song song và cách d một khoảng R
Từ O, hạ đường vuông góc với d và cắt d tại B
Dựng cung tròn (O,R), ta được cung AB cần dựng
Áp dụng : Vẽ hình 2.35 theo kích thước cho (tỷ lệ 1:1):
Hình 2.34 Nối một điểm với đường thẳng bằng cung tròn
Hướng dẫn cách vẽ hình 2.35
2.3.4 Nối một điểm với đường tròn bằng cung tròn có bán kính cho trước
Cho trước đường đường tròn (O1,R1), điểm A và cung tròn có bán kính R
Dựng cung tròn tâm A, bán kính R
Dựng cung tròn tâm O 1 , bán kính (R 1 +R)
Cung tròn (A,R) cắt cung tròn (O 1 ,R 1 +R) tại O
Nối OO 1 cắt cung tròn (O 1 ,R 1 +R) tại B
Dựng cung tròn tâm (O,R), ta được cung AB cần dựng
Hình 2.36 Nối một điểm với đường tròn bằng cung tròn (tiếp xúc ngoài)
Hình 2.37 Nối điểm A với đường tròn bằng cung tròn (tiếp xúc trong)
Dựng cung tròn (O 1 , R-R 1 ) và cung tròn (A, R) cắt nhau tại O
Nối O và O 1 kéo dài cắt đường tròn (O 1 , R 1 ) tại B
Áp dụng : Vẽ lại hình 2.38 theo kích thước đã cho (tỷ lệ 1:1)
2.3.5 Nối hai đường thẳng bằng cung tròn có bán kính cho trước – hình 2.39
Vẽ hai đường thẳng song song với hai đường thẳng đã cho và cách một khoảng R
Hai đường vừa vẽ cắt nhau tại O, O chính là tâm của cung nối tiếp
Từ O, hạ đường vuông góc xuống đường thẳng (d 1 ) tại điểm M và (d 2 ) tại điểm N
Dựng cung tròn (O, R) qua M và N
Áp dụng : Vẽ hình 2.40, hình 2.41 và hình 2.42 theo kích thước đã cho (tỷ lệ 1;1)
Hình 2.40 Hai đường thẳng xiên góc < 90 o
Hình 2.41 Hai đường thẳng vuông góc
Hình 2.42 Hai đường thẳng xiên góc > 90 o
Hướng dẫn cách vẽ hình 2.40
Hướng dẫn cách vẽ hình 2.41
Hướng dẫn cách vẽ hình 2.42
2.3.6 Nối đường thẳng với đường tròn bằng cung tròn có bán kính cho trước
Cho trước (O 1 ,R 1 ), đường thẳng (d) và cung tròn có bán kính R
Dựng đường thẳng (d’) song song và cách (d) một khoảng R 2
Cung tròn và đường thẳng vừa dựng sẽ cắt nhau tại O 2
Từ O 2 hạ đường vuông góc xuống đường thẳng (d) tại điểm A
Nối O 1 và O 2 cắt đường tròn (O 1 ,R 1 ) tại B
Dựng cung tròn (O 2 ,R 2 ) qua A và B
Hình 2.43 Nối đường thẳng với đường tròn bằng cung tròn
(d’) song song và cách (d) một khoảng R 2
Cung tròn và đường thẳng vừa dựng sẽ cắt nhau tại O 2
Từ O 2 hạ đường vuông góc xuống đường thẳng (d) tại điểm A
Nối O 1 và O 2 kéo dài cắt đường tròn (O 1 ,R 1 ) tại B
Hình 2.44 Nối đường thẳng với đường tròn bằng cung tròn (tiếp xúc trong)
2.3.7 Nối hai đườnng tròn bằng cung tròn có bán kính cho trước
Nối hai vòng tròn (O1, R1) và (O2, R2) bằng cung tròn có bán kính R
Dựng hai cung tròn tâm (O 1 , R 1 +R ) và (O 2 , R 2 +R)
Hai cung tròn vừa vẽ sẽ cắt nhau tại O
Nối O và O 1 , cắt đường tròn (O 1 , R 1 ) tại A
Nối O và O 2 , cắt đường tròn (O 2 , R 2 ) tại B
Dựng cung tròn (O, R) qua A và B
Nối hai vòng tròn (O1,R 1 ) và (O 2 ,R 2 ) bằng cung tròn có bán kính R
Dựng hai cung tròn tâm
Hai cung tròn vừa vẽ sẽ cắt nhau tại O
Nối O và O 1 kéo dài, cắt đường tròn (O 1 , R 1 ) tại A
Nối O và O 2 kéo dài, cắt đường tròn (O 2 , R 2 ) tại B
Dựng cung tròn (O, R) qua A và B
3 Tiếp xúc hỗn hợp (kết hợp hai trường hợp trên) – hình 2.47
Cung tròn có bán kính R tiếp xúc ngoài với vòng tròn (O 1 , R 1 ) và tiếp xúc trong với (O2, R2)
Dựng hai cung tròn tâm (O 1 , R+R 1 ) và (O 2 , R-R 2 )
Hai cung tròn vừa vẽ sẽ cắt nhau tại O
Nối O và O 1 , cắt đường tròn (O 1 , R 1 ) tại A
Nối O và O 2 kéo dài, cắt đường tròn (O 2 , R 2 ) tại B
Dựng cung tròn (O, R) qua A và B
Hình 2.47 Tiếp xúc hỗn hợp
Áp dụng : Vẽ hình 2.48 theo kích thước đã cho
Hướng dẫn cách vẽ hình 2.48
Dựng một số đường cong thông dụng
1 Hình Oval – Biết độ dài một trục EF – hình 2.49
Chia EF thành ba phần bằng nhau, với các điểm chia O 1 và O 2
Vẽ hai đường tròn (O 1 , R) và (O 2 ,R), hai đường tròn này cắt nhau tại M và N, bán kính R = O 1 E
Kéo dài MO 1 và NO 1 cắt (O 1 , R) tại B và A
Kéo dài MO 2 và NO 2 cắt (O 2 , R) tại D và C
Vẽ cung tròn tâm M bán kính MB
Vẽ cung tròn tâm N bán kính NA
Nối các cung AC, CD, DB, BA ta được hình cần dựng
2 Hình Oval – Biết độ dài hai trục AB và CD – hình 2.50
Dựng cung tròn (O,OA), cung tròn này cắt OC kéo dài tại N
Dựng cung tròn tâm (C,CN), cung tròn này cắt AC tại M
Dựng trung trực của AM cắt
OA tại O 1 và cắt OD kéo dài tại E Điểm O 1 là tâm của cung có bán kính
O 1 A, điểm E là tâm của cung tròn có bán kính EC
Vẽ cung tròn lớn (E,EC)
Xác định hai tâm O 2 đối xứng
O 1 qua O và O 3 đối xứng E qua O Sau đó, ta dựng nửa còn lại
Hình 2.50 Dựng hình Oval, biết độ dài hai trục AB và CD
3 Hình trứng – Biết đường tròn (O, R) – hình 2.51
Kẻ hai đường kính AC BD
Vẽ cung tròn tâm D bán kính DB, cung tròn này cắt DC kéo dài tại M
Vẽ cung tròn tâm B bán kính BD, cung tròn này cắt BC kéo dài tại N
Vẽ cung tròn tâm C bán kính CM (hoặc CN)
Nối các cung DB, BM, MN, ND ta được hình cần dựng
1 Vẽ hình elllipse biết kích thước hai đường kính liên hiệp EF và GH – hình 2.52
Qua E, F kẻ hai đường thẳng song song với GH Qua G, H kẻ hai đường thẳng song song với EF Ta được hình bình hành ABCD
Chia đoạn OG và GB thành bốn phần bằng nhau với các điểm chia là 1’’, 2’’, 3’’ và 1’, 2’, 3’
Nối F – 1’’, F – 2’’, F – 3’’ kéo dài cắt các đoạn E – 3’, E – 2’, E – 1’ tại các điểm 1, 2, 2
Các điểm E, H, F, G, 3, 2, 1 thuộc hình ellipse cần dựng Phần còn lại của hình làm tương tự
Hình 2.52 Dựng hình ellipse biết hai đường kính liên hiệp EF và GH
2 Biết kích thước hai trục AB và CD – hình 2.53
Vẽ đường tròn tâm O đường kính BD và AC Sau đó, chia hai đường tròn này thành 12 phần bằng nhau với các điểm chia là 1’’, 2’’,…, 5’’, 6’’, 7’’, 8’’ và 1’, 2’, …, 5’, 6’, 7’, 8’
Kẻ các đường thẳng song song với trục AC từ các điểm 1’’, 2’’,…, 8’’ để cắt các đường thẳng kẻ từ các điểm 1’, 2’, …, 8’ song song với trục BD tại các điểm 1, 2.
Dùng thước cong nối các điểm A, 1, 2, 3, 4, B, 5, 6, D, 7, 8 ta được elíp cần dựng
Hình 2.53 Dựng ellipse, biết hai trục AB và CD
Đường thân khai của đường tròn là quỹ đạo của một điểm trên đường thẳng khi đường thẳng này lăn không trượt trên đường tròn cố định, được gọi là đường tròn cơ sở Phương trình mô tả đường thân khai sẽ phụ thuộc vào các yếu tố hình học cụ thể của đường tròn cơ sở.
Góc quay bán kính của đường tròn cơ sở được ký hiệu là Khi vẽ đường thân khai, bán kính của đường tròn cơ sở được xác định trước Đường thân khai này đóng vai trò quan trọng trong việc vẽ profin của răng bánh răng dao cắt.
Vẽ đường tròn cơ sở (O, R)
Chia đường tròn cơ sở thành tám phần bằng nhau với các điểm chia: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8
Từ các điểm chia đó kẻ các tiếp tuyến và trên trên tiếp tuyến tại điểm thứ 8 lấy một đoạn bằng chu vi đường tròn cơ sở 2R
Chia đều đoạn thẳng đó thành tám phần bằng nhau với các điểm chia 1’, 2’, 8’
Đặt các tiếp tuyến tại các điểm từ 1 đến 8 với độ dài bằng đoạn (8 – i’), trong đó i' từ 1’ đến 8’, sẽ tạo ra các điểm M1, M2, …, M7, M8 trên đường thân khai phải vẽ, như thể hiện trong hình 2.54.
Hình 2.54 Vẽ đường thân khai
2.4.4 Vẽ đường xoáy ốc acsimet
Đường xoáy ốc acsimet là quỹ đạo của một điểm di chuyển thẳng đều trên một bán kính quay quanh tâm O Khi bán kính này quay đều, độ rời của điểm trên bán kính sau một vòng quay được gọi là bước xoắn ốc a.
Phương trình đường xoáy ốc acsimet trong hệ tọa độ cực có dạng:
= a, trong đó a là hằng số
Khi vẽ người ta cho biết trước bước a Đường xoáy ốc acsimet dùng đề vẽ profin của lưỡi dao phay, rãnh trên mâm cặp máy tiện, …, hình 2.55
Vẽ đường tròn tâm O bán kính bằng bước a = OA
Chia đều đường tròn bán kính bước a thành tám phần bằng nhau với các điểm chia: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Chia đoạn OA thành tám phần bằng nhau với các điểm chia 1’, 2’, …, 5’, 6’, 7’, 8’
Lần lượt vẽ các cung tròn tâm O bán kính O – 1’, O – 2’, , O – 8’, các cung tròn này cắt đoạn O -1, O – 2, …, O – 8 tại các điểm M 1 , M 2 , , M 8
Dùng thước cong nối các điểm M 1 , M 2 , , M 8 ta được đường cong acsimet cần dựng
Hình 2.56 Dựng đường xoáy ốc acsimet
2.4.5 Đường Sin (đường xoắn ốc trụ) Đường hình sin là đường cong có phương trình y = sin
Kẻ hai trục tọa độ O’x, O’y vuông góc nhau và vẽ đường tròn đường kính d có tâm nằm trên trục O’x làm đường tròn đơn vị
Trên trục O’x lấy đoạn O’A = d rồi chia đường tròn tâm O và đoạn O’A thành 12 phần bằng nhau với các điểm chia từ 1, 2, 3, …, 12
Qua các điểm chia trên đường tròn, ta dựng đường thẳng song song với trục O’x Tương tự, từ các điểm chia trên đoạn O’A, ta dựng đường thẳng song song với trục O’y Giao điểm của những đường thẳng này chính là các điểm thuộc hình sin.
HÌNH HỌC HỌA HÌNH
Phép chiếu vuông góc và các hình chiếu vuông góc
Trong không gian, cho điểm A và mặt phẳng (Po) Qua điểm A, dựng đường thẳng (a) cắt mặt phẳng (Po) tại
A o Ta nói rằng đã thực hiện một phép chiếu để biến đổi A thành A o trên mặt phẳng (Po) – hình 3.1
(Po) gọi là mặt phẳng hình chiếu (MPHC)
AAo gọi là tia chiếu
Ao gọi là hình chiếu của A lên mặt phẳng (P o )
Trong không gian, cho một điểm S và mặt phẳng (Po) Ứng với mỗi điểm A, B, C, D trong không gian ta xác định được một điểm Ao, Bo, Co,
Điểm D là giao điểm của các đường thẳng SA, SB, SC, SD với mặt phẳng (Po) Phép biến hình này được gọi là phép chiếu xuyên tâm của các điểm trong không gian lên mặt phẳng (Po) như thể hiện trong hình 3.2.
Điểm S gọi là tâm chiếu
Điểm A, B, C, D gọi là điểm chiếu
Hình 3.2 Phép chiếu xuyên tâm của điểm
Mặt phẳng (Po) gọi là mặt phẳng hình chiếu (MPHC)
SA, SB, SC, SD gọi là đường thẳng chiếu
Trong phép chiếu xuyên tâm từ điểm A trong không gian, ta nhận được một hình chiếu duy nhất là Ao Ngược lại, từ một điểm Ao trên mặt phẳng Po, có vô số điểm trên đường thẳng SA mà nhận Ao làm hình chiếu.
Hình 3.3 Phép chiếu xuyên tâm của đường
Để xác định điểm A, cần có thêm các điều kiện khác Để vẽ hình chiếu của một đường, có thể vẽ hình chiếu của một số điểm thuộc đường đó và sau đó nối chúng lại.
Áp dụng 1 : Thực hiện phép chiếu xuyên tâm với vật thể là cây dũa
Hình 3.4 Phép chiếu xuyên tâm của cây dũa
Từ tâm chiếu S, vẽ các tia chiếu xuyên qua một số điểm xác định A,
B, C, D, E, F của cây dũa và kéo dài chúng đến giao với mặt phẳng hình chiếu (Po) tại các điểm Ao, B o , C o , D o , F o Nối các điểm này lại, ta được hình chiếu của cây dũa, nhưng kích thước của hình chiếu lớn hơn vật thật
Phép chiếu song song là một dạng phép chiếu xuyên tâm với tâm chiếu S ở xa vô tận Để thực hiện phép chiếu này, người ta thay thế tâm chiếu bằng một đường thẳng s không song song với mặt phẳng hình chiếu (Po) làm phương chiếu.
Để vẽ hình chiếu của một điểm bất kỳ, ta tiến hành như sau: Vẽ các đường thẳng chiếu song song với phương chiếu s từ các điểm A, B, C, D Giao điểm của những đường thẳng này với mặt phẳng (Po) sẽ tạo ra các hình chiếu Ao, Bo, Co, Do tương ứng với các điểm A, B, C, D.
Hình 3.5 Phép chiếu song song của điểm
Hình 3.6 Phép chiếu song song của đường Để vẽ hình chiếu của một đường, ta có thể vẽ hình chiếu một số điểm thuộc đường đó (hình 3.6)
Áp dụng 2 : Thực hiện phép chiếu song song với vật thể là cây dũa
Bắt đầu từ các điểm xác định trên cây dũa, vẽ các đường thẳng song song với phương chiếu s và kéo dài chúng đến khi giao với mặt phẳng chiếu (Po) Kết nối các điểm này lại để tạo thành hình chiếu của cây dũa.
Các tính chất của phép chiếu song song
Tính chất 1: Hình chiếu của một đường thẳng không song song với phương chiếu s là một đường thẳng
Khi một đường thẳng (a) được chiếu xuống mặt phẳng hình chiếu (P o ), các tia chiếu qua điểm A và C thuộc đường thẳng (a) song song với phương chiếu s sẽ tạo thành mặt phẳng chiếu chứa đường thẳng (a) Giao tuyến (a o ) giữa mặt phẳng chiếu và mặt phẳng hình chiếu (P o ) chính là hình chiếu của đường thẳng (a).
Hình 3.7 Phép chiếu song song của cây dũa
Tuy nhiên, nếu đường thẳng (a) song song với phương chiếu s thì hình chiếu của nó bị suy biến thành một điểm – hình 3.9
Hình 3.8 Đường thẳng (a) không song song với phương chiều s
Hình 3.9 Đường thẳng (a) song song với phương chiếu s
Tính chất 2: Hình chiếu của những đường thẳng song song (không song song với phương chiếu s) là những đường thẳng song song hoặc trùng nhau
Ta có hai đường thẳng (a//b) – hình 3.10
Khi chiếu a, b lên mặt phẳng hình chiếu (P o ) theo phương chiếu s thì các mặt phẳng chiếu chứa a, b song song nhau và cùng song song với phương chiếu s
Vậy a o , b o là giao của các mặt phẳng chiếu với mặt phẳng hình chiếu (P o ) cho nên a o //b o
Hình 3.10 Hình chiếu của hai đường thẳng song song không cùng một mặt phẳng
Nếu đường thẳng (a//b) cùng nằm thuộc một mặt phẳng tia chiếu thì hình chiếu của nó trùng nhau (hình 3.11)
Hình 3.11 Hình chiếu của hai đường thẳng song song thuộc một mặt phẳng
Tính chất 3 cho biết rằng tỷ số giữa hai đoạn thẳng song song (không song song với phương chiếu s) và mặt phẳng (Po) tương đương với tỷ số giữa hai đoạn thẳng hình chiếu của chúng.
Giả sử ba điểm A, B, C nằm trên một đường thẳng, khi thực hiện phép chiếu song song theo phương chiếu s, ta sẽ thu được các hình chiếu tương ứng A o, B o, C o Theo định lý Talet, mối quan hệ giữa các điểm này được xác định rõ ràng.
Giả sử có hai đoạn thẳng AB và CD song song (hình 3.13) Khi thực hiện phép chiếu song song theo phương chiếu, ta nhận được các hình chiếu tương ứng là A₀, B₀, C₀ và D₀ Dựa trên tính chất hình học, ta có A₀B₀ song song với C₀D₀, từ đó sẽ tiến hành chứng minh điều này.
Trong mặt phẳng (AB//CD) nối AC và vẽ DE//AC, trong mặt phẳng hình chiếu Po ta cũng nối A o C o và vẽ D o E o //A o C o , vì AC//DE,
A o C o //D o E o nên E o chính là hình chiếu song song của E lên P o Theo tính chất 3, ta có: o o o o
Vì AE = CD, AoEo = CoDo thay vào (1), ta có:
Phép chiếu vuông góc là một loại phép chiếu song song, trong đó phương chiếu s vuông góc với mặt phẳng hình chiếu Nhờ vậy, phép chiếu vuông góc mang đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.
Hình 3.14 Phép chiếu vuông góc
Biểu diễn điểm – đường thẳng – mặt phẳng
Trong không gian, khi có mặt phẳng Po và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng này, việc thực hiện phép chiếu vuông góc từ điểm A lên mặt phẳng Po sẽ tạo ra điểm Ao Điểm Ao chính là giao điểm của đường thẳng vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng hình chiếu Po.
Hình 3.15 Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng
Hình 3.16 Hình chiếu của bề mặt các khối lên mặt phẳng
Một số vật thể có hình dạng khác nhau nhưng khi chiếu lên một mặt phẳng lại cho hình chiếu giống nhau Để nhận diện rõ hình dạng của vật thể, người ta cần chiếu lên nhiều mặt phẳng với các phương chiếu khác nhau Các hình chiếu này thường phải có ít nhất hai hình chiếu vuông góc với nhau.
1 Biểu diễn điểm trong hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu
Trong không gian với điểm A và hai mặt phẳng (P1) và (P2) vuông góc nhau tại giao tuyến Ox, hai mặt phẳng này tạo ra bốn phần không gian được gọi là góc tư Trong chương trình này, chúng ta chỉ tập trung vào góc tư thứ nhất.
Hình 3.17 Góc tư thứ nhất Hình 3.18 Góc tám thứ nhất
Từ điểm A, thực hiện phép chiếu vuông góc xuống hai
Hình 3.19 Hình chiếu của điểm trên hai mặt phẳng
Mặt phẳng (P1) gọi là MPHC đứng
Mặt phẳng (P2) gọi là MPHC bằng
A1 thuộc mặt phẳng (P1), gọi là hình chiếu đứng
A2 thuộc mặt phẳng (P2), gọi là hình chiếu bằng
Sau khi thực hiện phép chiếu, giữ cố định mặt phẳng (P1) và quay mặt phẳng (P2) theo chiều mũi tên một góc 90 độ quanh trục chiếu x, mặt phẳng (P2) sẽ cùng thuộc một mặt phẳng với mặt phẳng (P1) Kết quả là hình chiếu bằng A2 quay quanh điểm Ax, và hình chiếu đứng A1 cùng hình chiếu bằng A2 sẽ nằm trên một đường thẳng đứng gọi là đường dóng đứng Để đơn giản hóa, hình ảnh có thể được biểu diễn như trong hình 3.19c, và hình biểu diễn này được gọi là thức c a i m trong hệ thống hai MPHC Toạ độ điểm A(yA, zA) trong hệ thống hai MPHC được xác định theo cách này.
2 Biểu diễn điểm trong hệ thống ba mặt phẳng
Cho hệ thống ba mặt phẳng vuông góc nhau từng đôi một
(P1)(P2), (P2)(P3) và (P3)(P1) theo các giao tuyến Ox, Oy và O , xét góc tám thứ nhất (hình 3.18)
Mặt phẳng (P1) gọi là MPHC đứng
Mặt phẳng (P2) gọi là MPHC bằng
Mặt phẳng (P3) gọi là MPHC cạnh
Từ một điểm A bất kỳ (A không thuộc (P1), (P2), (P3)), thực hiện phép chiếu vuông góc xuống ba MPHC, ta được A1, A 2 và A3 (hình 3.20a)
- A1 thuộc mặt phẳng (P1) gọi là hình chiếu đứng của điểm A
- A2 thuộc mặt phẳng (P2) gọi là hình chiếu bằng của điểm A
- A3 thuộc mặt phẳng (P3) gọi là hình chiếu cạnh của điểm A
Hình 3.20 Hình chiếu của điểm trên ba mặt phẳng
Sau khi thực hiện phép chiếu, cần giữ cố định mặt phẳng (P1) và quay mặt phẳng (P2) cùng (P3) theo chiều mũi tên một góc 90 độ quanh trục chiếu x Khi đó, hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh sẽ quay quanh điểm Ax.
Sau khi thực hiện quay, hình chiếu đứng A1 và hình chiếu bằng A2 đều nằm trên đường dóng đứng, trong khi hình chiếu đứng A1 và hình chiếu cạnh A3 lại nằm trên đường dóng ngang.
Hình biểu diễn ba điểm A 1 , A 2 , A 3 (hình 3.20b) được gọi là đồ thức của điểm A trong hệ thống ba MPHC
Toạ độ của điểm A(xA, yA, zA) trong hệ thống ba MPHC:
- x A = AA 3 = OA x : Độ xa cạnh của A
- y A = AA 1 = A 2 A x = OA y : Độ xa của A
- zA = AA2 = A1Ax = OAz: Độ cao của A
Mối liên hệ giữa ba hình chiếu của điểm:
- Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng cùng thuộc đường thẳng đứng (đường dóng đứng) vuông góc với trục chiếu x
- Hình chiếu đứng và hình chiếu cạnh cùng thuộc đường thẳng nằm ngang (đường dóng ngang) vuông góc với trục chiếu
Hình chiếu bằng và hình chiếu cạnh có cùng độ xa, vì vậy khi đề bài cung cấp hai hình chiếu, để tìm hình chiếu còn lại, bạn cần áp dụng phương pháp phù hợp.
- Cách 1: Kẻ đường phụ trợ nghiêng 45 o (hình 3.21a)
- Cách 2: Thay đường phụ trợ 45 o bằng cung tròn (hình 3.21b)
Áp dụng : Cho trước hình chiếu đứng A1 và hình chiếu bằng A2 Tìm hình chiếu cạnh A3 y x y z
Hướng dẫn cách vẽ hình 3.21a và 3.21b:
Từ hình chiếu đứng A1, kẻ đường dóng ngang song song với trục ox Từ hình chiếu bằng A2, kẻ đường dóng song song với trục ox, cắt đường nghiêng 45 độ tại một điểm Từ điểm này, kẻ đường dóng song song với trục oz, cắt đường dóng kẻ từ A1 qua tại A3 Điểm A3 chính là hình chiếu cạnh cần tìm.
Từ hình chiếu đứng A1, kẻ đường dóng song song với trục ox, và từ hình chiếu bằng A2, kẻ đường dóng song song với trục ox cắt trục oy tại điểm M Sử dụng compa, vẽ cung tròn tâm (O, OM) cắt trục oy tại điểm N Từ điểm N, kẻ đường thẳng song song với trục oz, cắt đường dóng từ A1 tại điểm A3 Điểm A3 là hình chiếu cạnh cần tìm.
Một đường thẳng được xác định bởi hai điểm khác nhau Để biểu diễn một đường thẳng, chỉ cần xác định hình chiếu của hai điểm bất kỳ trên đường thẳng và nối chúng lại với nhau.
1 Biểu diễn đường thẳng thường
Hình chiếu của đường thẳng (d) bao gồm hai phần: (d1) là hình chiếu đứng và (d2) là hình chiếu cạnh Trong đồ thị, (d1) và (d2) được quy định vẽ bằng nét liền đậm, như thể hiện trong hình 3.22.
Hình 3.22 Hình chiếu của đường thẳng thường
2 Biểu diễn đoạn thẳng ở vị trí đặc biệt ính ch t c a đường th ng ong ong với m t ph ng h nh chi u Đường thẳng song song với MPHC nào thì hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó có độ lớn thật Các hình chiếu còn lại của đường thẳng song song với trục chiếu a ường th ng ong ong với m t ph ng hình chiếu Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu nào thì hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó là chính nó, các hình chiếu còn lại song song với các trục chiếu
Đường mặt là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng, do đó, hình chiếu đứng của đường thẳng có độ lớn tương đương với độ lớn thực tế của nó Hình chiếu bằng sẽ chuyển thành đường thẳng song song với trục Ox, trong khi hình chiếu cạnh sẽ trở thành đường thẳng song song với trục O.
Hình 3.23 Hình chiếu của đường thẳng song song với MPHCĐ
Đường bằng là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng, do đó, hình chiếu bằng của đường thẳng có độ lớn tương đương với độ lớn thực tế của nó Hình chiếu đứng chuyển thành đường thẳng song song với trục ox, trong khi hình chiếu cạnh trở thành đường thẳng song song với trục oy.
Hình 3.24 Hình chiếu của đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng
Đường cạnh là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh, do đó, hình chiếu cạnh của đường thẳng có độ lớn tương đương với độ lớn thực tế của nó Trong khi đó, hình chiếu đứng sẽ biến thành đường thẳng song song với trục O, và hình chiếu bằng sẽ trở thành đường thẳng song song với trục OY.
Hình 3.25 Hình chiếu của đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh b ường th ng vu ng g c với m t ph ng hình chiếu
Biểu diễn khối đa diện
Khối đa diện là một hình học được cấu thành từ các đa giác phẳng, trong đó các đa giác này được gọi là mặt của khối Đỉnh và cạnh của các đa giác tương ứng với đỉnh và cạnh của khối đa diện.
Khối tháp là khối đa diện có các cạnh bên đồng quy Khối tháp gồm khối tháp đứng, khối tháp xiên và khối tháp cụt
- Khối tháp đứng là khối tháp có các cạnh bên bằng nhau (hình 3.38)
- Khối tháp xiên là khối tháp có các cạnh bên không bằng nhau (hình 3.39)
- Khối tháp cụt là khối tháp có mặt phẳng cắt ngang qua các cạnh bên (hình 3.40)
Khi thực hiện vẽ khối tháp, cần chú ý rằng các mặt đáy của khối tháp phải được đặt song song với mặt phẳng hình chiếu bằng (P2) Đồng thời, số lượng cạnh bên của khối tháp cũng nên được đặt song song với mặt phẳng hình chiếu đứng (P1) để đạt hiệu quả tối ưu nhất.
Bước 1: Vẽ hình chiếu bằng của khối
Mặt đáy khối tháp có kích thước thực
Xác định vị trí hình chiếu của đỉnh tháp, vẽ hình chiếu các cạnh bên
Bước 2: Vẽ hình chiếu đứng của khối
Mặt đáy khối tháp suy biến thành đoạn thẳng
Xác định độ cao đỉnh tháp, vẽ hình chiếu các cạnh bên
Bước 3: Vẽ hình chiếu cạnh của khối
Áp dụng 1 : Cho khối tháp đứng đáy tứ giác và điểm K nằm ở mặt trước của khối, vẽ ba hình chiếu của khối, hình 3.41
Áp dụng 2 : Cho khối tháp đứng đáy lục giác và điểm K nằm ở mặt trước của khối, vẽ ba hình chiếu của khối, hình 3.42
Áp dụng 3 : Cho khối tháp đứng đáy tam giác và điểm K nằm ở mặt trước của khối, vẽ ba hình chiếu của khối, hình 3.43
Áp dụng 4 : Cho khối tháp cụt đáy tứ giác và đoạn AB nằm ở mặt trước của khối, vẽ ba hình chiếu của khối, hình 3.44
2 Biểu diễn khối tháp xiên
Áp dụng 5 : Cho khối tháp xiên đáy tam giác ABC và điểm K nằm ở mặt trước của khối, hình 3.45 Vẽ hình chiếu còn lại của điểm K và hình chiếu cạnh
3.3.2 Biểu diễn khối lăng trụ
Khối lăng trụ là một loại đa diện với các cạnh bên song song và có đáy lớn bằng đáy nhỏ Khối lăng trụ được chia thành hai loại chính: khối lăng trụ đứng và khối lăng trụ xiên.
- Khối lăng trụ đứng là khối lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng hình chiếu (hình 3.46a, b)
- Khối lăng trụ xiên là khối lăng trụ có các cạnh bên không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu (hình 3.47)
Hình 3.46a Khối lăng trụ đứng đáy lục giác
Hình 3.46b Khối lăng trụ đứng đáy tam giác
Hình 3.47 Khối lăng trụ xiên đáy tứ giác
1 Biểu diễn khối lăng trụ đứng
Áp dụng 6 : Cho khối lăng trụ đứng đáy lục giác đều và điểm K nằm ở mặt trước của khối, hình 3.48 Vẽ ba hình chiếu
Áp dụng 7 : Cho khối lăng trụ đứng đáy hình chữ nhật và điểm K nằm ở mặt trước của khối Vẽ ba hình chiếu, hình 3.49
2 Biểu diễn khối lăng trụ xiên
Áp dụng 8 : Cho khối lăng trụ xiên đáy hình chữ nhật và điểm K nằm ở mặt trước của khối Vẽ ba hình chiếu, hình 3.50
Hình 3.50 Khối lăng trụ xiên đáy lục giác đều
3.3.3 Biểu diễn khối tròn xoay
Khối tròn xoay là một loại hình học được xác định bởi một mặt cong, chẳng hạn như mặt cầu hoặc mặt xuyến, hoặc một phần của mặt cong kết hợp với mặt phẳng, ví dụ như khối trụ và khối nón.
Khối nón là một hình khối tròn xoay, được hình thành từ một mặt đáy là hình tròn và một mặt cong Mặt cong này được tạo ra từ đoạn thẳng có một đầu gắn với điểm cố định S trên trục quay, trong khi đầu kia (điểm A) tiếp xúc với đường tròn đáy và quay quanh trục.
Nói cách khác, khối nón là khối tròn xoay được tạo bởi một tam giác vuông quay quanh một cạnh góc vuông của nó
Nếu trục quay vuông góc với mặt phẳng hình chiếu ta được khối nón đứng, hình 3.51
Nếu trục quay không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu ta được khối nón xiên, hình 3.52
Nếu mặt phẳng cắt qua tất cả các đường sinh, ta có khối nón cụt, hình 3.53
Hình 3.51 Khối nón đứng Hình 3.52 Khối nón xiên
Áp dụng 9 : Cho khối nón đứng và điểm K nằm ở mặt trước của khối như hình 3.54 Vẽ ba hình chiếu
Áp dụng 10 : Cho khối nón đứng và cung cong KM nằm ở mặt trước của khối như hình 3.55 Vẽ ba hình chiếu của khối nón và cung KM
Áp dụng 11 : Cho khối nón cụt và điểm K nằm ở mặt trước của khối Vẽ ba hình chiếu, hình 3.56
Áp dụng 12 : Cho khối nón xiên và điểm K nằm ở mặt trước của khối Vẽ ba hình chiếu, hình 3.57
Khối trụ là một hình khối tròn xoay, được tạo thành từ hai mặt phẳng và một mặt cong Mặt cong này được hình thành từ đoạn thẳng AB (đường sinh), tựa trên hai đường tròn đáy và chuyển động quanh một trục.
Khối trụ có thể được xem là một trường hợp đặc biệt của khối nón với đỉnh ở vô cùng, trong đó các đường sinh song song và đáy nhỏ bằng đáy lớn Ngoài ra, khối trụ cũng là hình khối tròn xoay được hình thành khi một hình chữ nhật quay quanh một cạnh của nó.
Nếu trục quay vuông góc với mặt phẳng hình chiếu, ta có khối trụ đứng, hình 3.58
Nếu trục quay không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu, ta có khối trụ xiên, hình 3.59
Hình 3.58 Khối trụ đứng Hình 3.59 Khối trụ xiên
Áp dụng 13 : Cho khối trụ đứng và cung MK nằm ở mặt trước của khối Vẽ ba hình chiếu, hình 3.60
Áp dụng 14 : Cho khối trụ đứng và cung MK nằm ở mặt trước của khối Vẽ ba hình chiếu, hình 3.61
Khối cầu là hình khối tròn xoay được bao bọc bởi một mặt cong, được hình thành khi một đường tròn hoặc nửa đường tròn quay quanh một trục cố định Trục quay này phải đi qua tâm của đường tròn và nằm trong mặt phẳng chứa đường thẳng đó.
Khối xuyến là một hình khối tròn xoay được hình thành khi một đường tròn quay quanh một trục nằm trong mặt phẳng chứa đường tròn đó, với điều kiện trục quay không đi qua tâm của đường tròn.
3.4.1 Khái niệm về mặt cong
Mặt cong là quỹ tích của một đường chuyển động theo quy luật nhất định, có thể là đường thẳng hoặc đường cong, được gọi là đường sinh Sự chuyển động của đường sinh được kiểm soát bởi một đường hay mặt cố định, được gọi là đường chuẩn hoặc mặt chuẩn.
Mặt cong có đường sinh là đường thẳng tạo thành gọi là mặt kẻ
Mặt cong do đường sinh chỉ có thể là đường cong tạo thành gọi là mặt không kẻ
Mặt cong do đường sinh xoay quanh một trục cố định tạo thành gọi là mặt tròn xoay
Một mặt được xác định nếu biết được các yếu tố hình học đủ để mặt đó
Biểu diễn một mặt cong yêu cầu xác định đầy đủ các yếu tố hình học liên quan Để dễ hình dung, thường có thể vẽ đường bao hình chiếu của mặt cong đó trên hình chiếu.
Mặt phẳng và mặt cong được coi là các bề mặt không trong suốt, trong khi các đường nằm giữa chúng và mặt phẳng hình chiếu được thể hiện bằng nét đứt.
Các mặt cong thường gặp gồm có: mặt trụ, mặt nón, mặt tròn xoay
1 Mặt nón: là một mặt cong được hình thành bởi chuyển động của một đường thẳng (d) luôn luôn tựa trên một đường cong (c) và đi qua một điểm cố định S Đường thẳng (d) là đường sinh, đường cong (c) và điểm (S) là chuẩn của mặt nón Biểu diễn mặt nón là biểu diễn điểm S và đường cong (c)
2 Mặt trụ: là mặt cong được hình thành bởi chuyển động của một đường thẳng (d) luôn luôn tựa trên một đường cong (c) và song song với một đường thẳng (l) cố định Đường thẳng (d) là đường sinh, đường cong (c) và đường (l) là chuẩn của mặt trụ Biểu diễn mặt trụ là biểu diễn đường cong (c) và đường thẳng (l)
3 Mặt tròn xoay: là mặt cong được hình thành bởi chuyển động của một đường cong (c) quanh một đường thẳng cố định (d) nằm trong mặt phẳng chứa đường cong (c) Đường cong (c) gọi là đường sinh và đường thẳng (d) gọi là trục quay Biểu diễn mặt tròn xoay là biểu diễn đường sinh (c) và trục quay (d)
3.5 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIAO
3.5.1 Giao tuyến của mặt phẳng chiếu với khối hình học cơ bản
1 Giao tuyến của mặt phẳng chiếu cắt khối đa diện
Giao tuyến của mặt phẳng chiếu với khối đa diện là đường gãy khúc khép kín
Áp dụng 1 : Cho mặt phẳng chiếu bằng (P) cắt khối tháp cụt đáy tam giác, hình 3.64 Vẽ ba hình chiếu
Áp dụng 2 : Cho mặt phẳng chiếu đứng (P) cắt khối lăng trụ đáy lục giác theo giao tuyến 123456, hình 3.65 Vẽ ba hình chiếu
2 Giao tuyến của mặt phẳng chiếu với khối trụ đứng
Hình 3.66: mặt phẳng (P) vuông góc với trục của khối trụ cho giao tuyến là đường tròn
Hình 3.67: mặt phẳng (P) song song với trục của khối trụ cho giao tuyến là hình chữ nhật
Hình 3.68: mặt phẳng (P) nghiêng so với trục của khới trụ cho giao tuyến là hình ellipse
Áp dụng 3 : Vẽ ba hình chiếu của khối trụ bị cắt bởi mặt phẳng chiếu đứng, hình 3.69
Áp dụng 4 : Vẽ ba hình chiếu của khối trụ bị cắt như hình 3.70
3 Giao tuyến của mặt phẳng chiếu với khối nón đứng
Hình 3.71a: mặt phẳng (P) vuông góc với trục của khối nón, giao tuyến là đường tròn song song với đáy
Hình 3.71b: mặt phẳng (P) nghiêng so với trục của khối nón và cắt tất cả các đường sinh, giao tuyến là hình ellipse
Hình 3.71c: mặt phẳng (P) song song với hai đường sinh của khối nón, giao tuyến là hypebol
Hình 3.71d: mặt phẳng (P) song song với một đường sinh của khối nón, giao tuyến là parabol
Hình 3.71e: mặt phẳng (P) cắt mặt đáy và chứa đỉnh của khối nón, giao tuyến là tam giác cân
Hình 3.71a Hình 3.71b Hình 3.71c Hình 3.71d Hình 3.71e
Áp dụng 5 : Vẽ ba hình chiếu của khối nón bị cắt bởi mặt phẳng bằng, hình 3.72
Áp dụng 6 : Vẽ hình chiếu của khối nón bị cắt bởi mặt phẳng chiếu đứng, hình 3.73
Áp dụng 7 : Vẽ ba hình chiếu của khối nón bị cắt bởi mặt phẳng chiếu đứng, hình 3.74
Áp dụng 8 : Vẽ hình chiếu của khối nón bị cắt bởi mặt phẳng chiếu đứng, hình 3.75
Áp dụng 9 : Vẽ hình chiếu của khối nón bị cắt bởi mặt phẳng chiếu đứng, hình 3.76
3 Giao tuyến của mặt phẳng chiếu với khối cầu
Áp dụng 10 : Vẽ hình chiếu của khối nón bị cắt bởi mặt phẳng chiếu đứng, hình 3.77
Áp dụng 11 : Vẽ hình chiếu của khối cầu bị cắt bởi mặt phẳng chiếu đứng, hình 3.78
3.5.2 Giao tuyến của các khối hình học
Một số bài toán về giao
3.5.1 Giao tuyến của mặt phẳng chiếu với khối hình học cơ bản
1 Giao tuyến của mặt phẳng chiếu cắt khối đa diện
Giao tuyến của mặt phẳng chiếu với khối đa diện là đường gãy khúc khép kín
Áp dụng 1 : Cho mặt phẳng chiếu bằng (P) cắt khối tháp cụt đáy tam giác, hình 3.64 Vẽ ba hình chiếu
Áp dụng 2 : Cho mặt phẳng chiếu đứng (P) cắt khối lăng trụ đáy lục giác theo giao tuyến 123456, hình 3.65 Vẽ ba hình chiếu
2 Giao tuyến của mặt phẳng chiếu với khối trụ đứng
Hình 3.66: mặt phẳng (P) vuông góc với trục của khối trụ cho giao tuyến là đường tròn
Hình 3.67: mặt phẳng (P) song song với trục của khối trụ cho giao tuyến là hình chữ nhật
Hình 3.68: mặt phẳng (P) nghiêng so với trục của khới trụ cho giao tuyến là hình ellipse
Áp dụng 3 : Vẽ ba hình chiếu của khối trụ bị cắt bởi mặt phẳng chiếu đứng, hình 3.69
Áp dụng 4 : Vẽ ba hình chiếu của khối trụ bị cắt như hình 3.70
3 Giao tuyến của mặt phẳng chiếu với khối nón đứng
Hình 3.71a: mặt phẳng (P) vuông góc với trục của khối nón, giao tuyến là đường tròn song song với đáy
Hình 3.71b: mặt phẳng (P) nghiêng so với trục của khối nón và cắt tất cả các đường sinh, giao tuyến là hình ellipse
Hình 3.71c: mặt phẳng (P) song song với hai đường sinh của khối nón, giao tuyến là hypebol
Hình 3.71d: mặt phẳng (P) song song với một đường sinh của khối nón, giao tuyến là parabol
Hình 3.71e: mặt phẳng (P) cắt mặt đáy và chứa đỉnh của khối nón, giao tuyến là tam giác cân
Hình 3.71a Hình 3.71b Hình 3.71c Hình 3.71d Hình 3.71e
Áp dụng 5 : Vẽ ba hình chiếu của khối nón bị cắt bởi mặt phẳng bằng, hình 3.72
Áp dụng 6 : Vẽ hình chiếu của khối nón bị cắt bởi mặt phẳng chiếu đứng, hình 3.73
Áp dụng 7 : Vẽ ba hình chiếu của khối nón bị cắt bởi mặt phẳng chiếu đứng, hình 3.74
Áp dụng 8 : Vẽ hình chiếu của khối nón bị cắt bởi mặt phẳng chiếu đứng, hình 3.75
Áp dụng 9 : Vẽ hình chiếu của khối nón bị cắt bởi mặt phẳng chiếu đứng, hình 3.76
3 Giao tuyến của mặt phẳng chiếu với khối cầu
Áp dụng 10 : Vẽ hình chiếu của khối nón bị cắt bởi mặt phẳng chiếu đứng, hình 3.77
Áp dụng 11 : Vẽ hình chiếu của khối cầu bị cắt bởi mặt phẳng chiếu đứng, hình 3.78
3.5.2 Giao tuyến của các khối hình học
Vật thể được hình thành từ các khối cơ bản với vị trí tương đối khác nhau Khi hai khối hình học cắt nhau, các mặt của chúng sẽ có những điểm chung, tạo thành giao tuyến của các mặt Tập hợp những điểm chung này thường được gọi là giao tuyến vật thể.
1 Giao tuyến của hai khối đa diện
Khối đa diện được xác định bởi các đa giác, trong đó giao tuyến của hai khối đa diện tạo thành các đường gãy khúc khép kín Điểm gãy chính là giao điểm của các cạnh bên giữa hai khối đa diện, trong khi các đường gãy khúc là sự giao thoa của hai mặt bên của chúng.
Áp dụng 12 : Tìm giao tuyến của hai khối đa diện, hình 3.79
Áp dụng 13 : Tìm giao tuyến của khối tháp đáy tứ giác và khối lăng trụ, hình 3.80
Áp dụng 14 : Tìm giao tuyến của khối lăng trụ đáy tứ giác và khối trụ, hình 3.81
2 Giao tuyến của hai khối tròn xoay
Giao tuyến của hai khối tròn xoay là các đường cong không gian khép kín Để vẽ giao tuyến chính xác, cần xác định nhiều điểm trên giao tuyến và nối chúng lại Việc áp dụng điều kiện liên thuộc của điểm, đường và mặt sẽ giúp tìm ra hình chiếu còn lại.
Áp dụng 15 : Tìm giao của hai khối trụ đặc có đường kính khác nhau, hình 3.82
Trường hợp khác: Tìm giao của khối trụ đặc bị khoét rỗng bằng lỗ hình trụ thì cách làm cũng tương tự, hình 3.83
Áp dụng 16 : Tìm giao của hai khối trụ có đường kính bằng nhau (hai trục của chúng cắt nhau), giao tuyến trên hình chiếu đứng là đoạn thẳng, hình 3.84
Áp dụng 17 : Tìm giao tuyến của hai khối tròn xoay có cùng trục quay (khối trụ và khối cầu, hình 3.85; khối nón và khối cầu, hình 3.86)
Nếu trục quay đó song song với mặt phẳng hình chiếu nào thì hình chiếu của giao tuyến trên mặt phẳng hình chiếu đó là một đoạn thẳng
3 Giao tuyến của khối đa diện với khối tròn xoay
Giao tuyến giữa khối đa diện và khối tròn xoay tạo thành một đường cong gãy khép kín Điểm gãy xuất hiện tại vị trí giao nhau giữa cạnh bên của khối đa diện và mặt cong của khối tròn xoay Các đoạn cong được hình thành từ sự giao tuyến của các mặt bên của khối đa diện với các mặt cong của khối tròn xoay.
Áp dụng 18 : Tìm giao của khối hộp chữ nhật với khối trụ, hình 3.87
Trường hợp vật thể hình trụ có lỗ hình hộp - hình 3.88, cách tìm giao tuyến tương tự
Bài tập Bổ sung đường nét còn thiếu và vẽ hình chiếu còn lại của các khối hình học dưới đây
