PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THUẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN – LỚP 7 Năm học 2021 – 2022 Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) a Tìm ba số x,y,z thỏa[.]
PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA TRƯỜNG THCS NGHĨA THUẬN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN: TỐN – LỚP Năm học: 2021 – 2022 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4 điểm): a Tìm ba số x,y,z thỏa mãn: 2x2 + 2y2 - 3z2 = -100 b Tính: Câu (5 điểm): a Tính giá trị biểu thức: C = x3 + xy3 - x3y + y3 , x,y thỏa mãn: (x - 1)4 + (y + 1)4 = b Tìm a, biết: |a + 1| + |a + 2| + |a + 3| = 4a Câu (3 điểm): Tìm x biết: = Câu (5 điểm): Cho tam giác ABC (AB < AC, = 60°) Hai phân giác AD CE ∆ABC cắt I, từ trung điểm M BC kẻ đường vng góc với đường phân giác AD H, cắt AB P, cắt AC K a) Tính b) Tính độ dài cạnh AK biết PK = 6cm, AH = cm c) Chứng minh ∆IDE cân Câu (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm M nằm bên tam giác cho MA = 2cm, MB = 3cm = 1350 Tính MC ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MƠN TỐN 7- ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC: 2021 - 2022 Câu Nội dung Từ ta suy ra: =4 Điểm 0.75 0.5 Suy ra: (Vì x, y, z dấu) a) KL: Có hai (x; y; z) thỏa mãn là: (6; ;10) (-6; -8; -10) 0.25 0.25 0.25 0.5 b) = 16 0.5 a) Do (x - 1)4 0, (y + 1)4 => (x - 1)4 + (y + 1)4 với x, y 1.0 Kết hợp (x - 1)4 + (y + 1)4 = Suy (x - 1)4 = (y + 1)4 = 0.5 => x = 1; y = -1 0.5 0.5 Thay vào ta tính giá trị C = b) |a + 1| + |a + 2| + |a + 3| = 4a (1) Vì VT => 4a hay a 0, đó: 1.0 |a + 1| = a + 1; |a + 2| = a + 2; |a + 3| = a + 1.0 (1) => a + + a + + a + = 4a => a = Vậy a = 0.25 0.25 = = = TH1: = x = 0.5 0.5 TH2: = x = Vậy x = ; x = 0.7 0.7 0.5 0.5 a/ Ta có = 600 suy + = 1200 AD phân giác suy = CE phân giác suy = Suy + = 1200 = 600 Vậy = 1200 b) Xét ∆AHP ∆AHK có (AH tia phân giác ) 0.2 0.5 0.5 0.2 AH chung = 900 Suy ∆AHP = ∆AHK (g.c.g) Suy PH = KH (hai cạnh tương ứng) Vậy HK = 3cm 0.5 Vì ∆AHK vng H theo định lý Pitago ta có: AK2 = AH2 + HK2 = 42 + 32 = 25 0.5 Suy AK = cm c) Vì = 1200 0.5 Do = 600 Trên cạnh AC lấy điểm F cho AF = AE Xét ∆EAI ∆FAI có AE = AF (AD phân giác) 0.2 AI chung Vậy ∆EAI = ∆FAI (c.g.c) Suy IE = IF (hai cạnh tương ứng) (1) Xét ∆DIC ∆FIC có 0.5 (giả thuyết); Cạnh IC chung; = 600 Suy ∆DIC = ∆FIC (g.c.g) Suy ID = IF (Hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy IE = ID Do ∆IDE cân I 0.5 0.2 0.5 - Dựng tam giác ADM vng cân A (D, B khác phía AM) - Chứng minh ∆ABM = ∆ACD (c.g.c) vì: 1.0 AD=AM ( ∆AMD vuông cân A) BÂM = CÂD (cùng phụ với CÂM) AB=AC (giả thiết) - Suy ra: CD=BM=3cm 2 0.5 - Tính MD =AD +AM = - Chỉ tam giác DMC vng M (góc AMC – góc AMD = 900) - Suy ra: MC2 = CD2-MD2 =9-8=1 =>MC = 1cm 0.5 0.5 ... tính giá trị C = b) |a + 1| + |a + 2| + |a + 3| = 4a (1) Vì VT => 4a hay a 0, đó: 1.0 |a + 1| = a + 1; |a + 2| = a + 2; |a + 3| = a + 1.0 (1) => a + + a + + a + = 4a => a = Vậy a = 0.25 0.25... Suy IE = IF (hai cạnh tương ứng) (1) Xét ∆DIC ∆FIC có 0.5 (giả thuyết); Cạnh IC chung; = 600 Suy ∆DIC = ∆FIC (g.c.g) Suy ID = IF (Hai cạnh tương ứng) (2) Từ (1) (2) suy IE = ID Do ∆IDE cân I