CĐ DUONG TRUYEN AS TRONG MT CS THAY DOI

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRUYỀN CỦA ÁNH SÁNG TRONG MÔI TRƯỜNG CĨ CHIẾT SUẤT THAY ĐỔI CÁC KIẾN THỨC LÍ THUYẾT VỀ KHÚC XẠ ÁNH SÁNG 1.1 Ánh sáng khúc xạ liên tiếp qua mặt song song ghép sát i0 n0 i1 n1 n2 i0 n0 r0  i1 i1 n1 i2 n2 n3 i2 i3 n4 Hình vẽ Các mặt song song ghép sát nhau, chiết suất tương ứng n0 ; n1 ; n2 ; hình vẽ Áp dụng ĐL khúc xạ ánh sáng ta được: n0 sin i0  n1 sin i1   nk sin ik Có hai trường hợp xảy ra: TH1: Chiết suất tăng dần theo thứ tự n0 < n1 < n2 < n3…, góc tới mặt song song giảm dần Trường hợp khơng thể có phản xạ tồn phần mặt song song TH2: Chiết suất giảm dần theo thứ tự n0 > n1 > n2 > n3…, góc tới mặt song song tăng dần, tia sáng truyền đến mặt phân cách hai mặt song song thỏa mãn điều kiện phản xạ tồn phần (trong hình vẽ giả sử tia sáng hướng tới mặt phân cách từ lớp thứ sang lớp thứ 4) tia sáng bị phản xạ tồn phần Ta dễ chứng minh đường tia sáng đối xứng qua pháp tuyến điểm xảy phản xạ tồn phần 1.2 Bài tốn 1: Biết phương trình đường tia sáng, tìm hàm chiết suất phụ thuộc vào tọa độ Bài toán tổng quát Bài tốn cho tia sáng truyền mơi trường suốt có chiết suất n biến thiên theo tọa độ Biết rõ quỹ đạo tia sáng dạng hàm số y  f  x  Yêu cầu lập phương trình thể phụ thuộc chiết suất môi trường vào tọa độ NAVAN86 Phương pháp giải chung y y  f  x n dy i O dx x Hình vẽ Giả sử chiết suất môi trường phụ thuộc vào tọa độ x Như ta chia môi trường thành lớp mỏng theo phương song song với trục Oy, lớp mỏng có bề dày dx, coi chiết suất lớp mỏng có giá trị không đổi n Các lớp mỏng xếp liên tục, liên tiếp tạo thành hệ thống nhiều mặt song song liên tiếp Như ĐL khúc xạ ánh sáng viết liên tiếp cho lớp sau: n0 sin i0  n1 sin i1   nk sin ik Xét lớp bất kì, có chiết suất n, góc tới tia sáng lớp i: n0 sin i0  n sin i (1) Trong n0 ; i0 giá trị chiết suất góc tới lớp biên Tiếp ta lập mối quan hệ dy, dx giá trị lượng giác góc i Ví dụ hình ta thấy: tan i  dy  f ' x  dx (2) Giải hệ (1) (2) ta hàm chiết suất phụ thuộc tọa độ 1.3 Bài tốn 2: Biết hàm chiết suất mơi trường phụ thuộc tọa độ, tìm phương trình quỹ đạo tia sáng Bài toán tổng quát Bài toán cho tia sáng truyền mơi trường suốt có chiết suất n biến thiên theo tọa độ Biết rõ phụ thuộc chiết suất môi trường vào tọa độ, chẳng hạn n  f  x  Yêu cầu lập phương trình đường tia sáng môi trường NAVAN86 Phương pháp giải chung y y  f  x n dy i O dx x Hình vẽ Giả sử chiết suất môi trường phụ thuộc vào tọa độ x Như ta chia môi trường thành lớp mỏng theo phương song song với trục Oy, lớp mỏng có bề dày dx, coi chiết suất lớp mỏng có giá trị khơng đổi n Các lớp mỏng xếp liên tục, liên tiếp tạo thành hệ thống nhiều mặt song song liên tiếp Như ĐL khúc xạ ánh sáng viết liên tiếp cho lớp: n0 sin i0  n1 sin i1   nk sin ik Xét lớp bất kì, có chiết suất n, góc tới tia sáng lớp i: n0 sin i0  n sin i (1) Trong n0 ; i0 giá trị chiết suất góc tới lớp biên Tiếp ta lập mối quan hệ dy, dx giá trị lượng giác góc i Ví dụ hình ta thấy : tan i  dy  f ' x  dx (2) Ở biết rõ hàm chiết suất mơi trường phụ thuộc vào tọa độ x nên ta thay hàm chiết suất vào (1), từ rút sini tiếp tục tani sau vào (2) Đến việc tìm phương trình quỹ đạo dẫn đến việc giải phương trình vi phân, phương pháp chung giải phương trình vi phân phép phân li biến số BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Một tia sáng tới mơi trường có chiết suất n phụ thuộc vào biến số y góc vng điểm y = Giá trị n(y=0) = n0 Xác định hàm n(y) để môi trường tia sáng truyền theo đường parabol y  ax Biết y = d n(y = d) = n1 Lập phương trình đường parabol hàm chiết suất n(y) Bài 2: Một tia sáng chiếu vng góc vào mặt phẳng ngăn cách hai mơi trường hình vẽ, mơi trường có chiết suất n phụ thuộc vào tọa độ y Tìm dạng hàm n(y) để bên môi trường tia sáng NAVAN86 truyền theo đường hình sin, với phương trình quỹ đạo y  a cos  x Biết chiết suất môi trường điểm mà tia sáng bắt đầu vào n0 BÀI 3: Một chùm sáng hẹp chiếu gần vng góc tới mặt y  hai mặt song song đặt khơng khí A (x A = 0), chiết B Rn A suất n x = n A , R số Chùm sáng rời khỏi mặt Rx d B tạo với mặt góc  Hãy tính: Chiết suất nB B tọa độ xB điểm B O A x Lập phương trình đường truyền tia sáng mặt song song Tính bề dày d Biết nA = 1,4; R = 10 cm;   600 y BÀI 4: Giữa môi trương suốt chiết suất no n1 (no> n1 > 1) có mặt song song dày e Chiết suất thay n  n12 đổi theo phương y quy luật n = n0  ky ; k  o Trong e.n o2 môi trường no có tia sáng đơn sắc, chiếu tới điểm O mặt theo phương hợp với Oy góc α Lập phương trình đường tia sáng n1 n e Xác định vị trí tia sáng ló khỏi mặt  Bài 5: Sợi quang có chiết suất thay đổi, phần lõi có chiết suất biến đổi  n2  n2  y  2 theo quy luật n  n0 1  B    , B  , a bán kính 2n0  a    x n0 y n1 O phần lõi Phần vỏ có chiết suất n1 Xét tia sáng truyền tới tâm sợi O mặt phẳng trục lõi góc tới i0.Tìm quỹ đạo tia sáng chứng tỏ tia sáng cắt trục hoành điểm cách khoảng d Tính d Bài 6: Một đoạn sợi quang thẳng có dạng y hình trụ bán kính R, hai đầu phẳng vng x n1 góc với trục sợi quang, đặt khơng khí cho trục đối xứng trùng với trục tọa độ Ox Giả thiết chiết suất chất liệu làm sợi quang thay đổi theo   O x x quy luật: n  n1  k r , r khoảng Hình cách từ điểm xét tới trục Ox, n1 k số dương Một tia sáng chiếu tới đầu sợi quang điểm O góc  hình 1 Gọi  góc tạo phương truyền tia sáng điểm có hồnh độ x với trục Ox Chứng minh ncos = C n chiết suất điểm có hồnh độ x đường truyền tia sáng C số Tính C NAVAN86 Viết phương trình quỹ đạo biểu diễn đường truyền tia sáng sợi quang Tìm điều kiện để tia sáng chiếu đến sợi quang O khơng ló ngồi thành sợi quang Chiều dài L sợi quang thỏa mãn điều kiện để tia sáng ló đáy sợi quang theo phương song song với trục Ox? Bài 7: Một sợi quang học gồm lõi hình trụ, bán kính a, làm vật liệu suốt có chiết suất biến thiên đặn từ giá trị n  n1 trục đến n  n2 (với 1 n2  n1 ) theo công thức n  n  y   n1   y , y khoảng cách từ điểm có chiết suất n đến trục lõi, y n1 O 0 x n2  số dương Lõi bao bọc lớp vỏ làm vật liệu có chiết suất n2 khơng đổi Bên ngồi sợi quang khơng khí, chiết suất n0 1 Gọi Ox trục sợi quang học, O tâm đầu sợi quang Một tia sáng đơn sắc chiếu vào sợi quang học điểm O góc  mặt phẳng xOy Viết phương trình quỹ đạo cho đường tia sáng sợi quang xác định biểu thức tọa độ x giao điểm đường tia sáng với trục Ox Tìm góc tới cực đại  max , ánh sáng lan truyền bên lõi sợi quang Bài 8: Một nguồn sáng điểm nằm chất lỏng cách mặt chất lỏng khoảng H Một người đặt mắt khơng khí phía mặt chất lỏng để quan sát ảnh nguồn sáng Giả thiết chất lỏng đồng chất có chiết suất n = 1,5 Tính khoảng cách từ ảnh nguồn sáng đến mặt chất lỏng trường hợp sau: a) Mắt nhìn nguồn sáng theo phương vng góc với mặt chất lỏng b) Mắt nhìn nguồn sáng theo phương hợp với mặt chất lỏng góc  = 600 Giả thiết chiết suất chất lỏng thay đổi theo phương vng góc với mặt chất lỏng theo quy luật n  2 y với y khoảng cách từ điểm xét đến mặt chất lỏng Biết tia sáng truyền từ nguồn H sáng ló khỏi mặt chất lỏng tới mắt theo phương hợp với mặt chất lỏng góc  = 600 Hỏi tia ló điểm cách nguồn sáng khoảng theo phương nằm ngang? Bài 9: Một vỏ cầu có bán kính ngồi R1 bán kính R2 làm chất suốt có chiết suất n2 Từ mơi trường ngồi có chiết n1 i1 I i n2 J suất n1, tia sáng chiếu tới vỏ cầu góc tới i1 Trước O vào bên trong, tia sáng chiếu đến mặt vỏ cầu góc tới i2 (hình vẽ) Thiết lập hệ thức liên hệ i1, i2 với R1, R2 n1, n2 Một cầu tâm O, bán kính R làm chất suốt R2 R1 Cách tâm O khoảng r, chiết suất cầu điểm NAVAN86 xác định : n r  2R Từ khơng khí, chiếu tia sáng tới cầu góc tới i = 30o Rr a Xác định khoảng cách ngắn từ tâm O tới đường tia sáng b Xác định góc lệch tia sáng tới tia sáng ló cầu /2 Cho biết : sin x dx  0,386 sin x  /6  Bài 10: Cho khối thủy tinh dạng hình trụ rỗng có tiết diện thẳng hình vẽ Các giá trị bán kính ngồi bán kính khối R R’ = R/2 Chiết suất mơi trường bên ngồi phần khơng khí nằm bên hốc trụ có giá trị chiết suất khối thủy tinh thay đổi theo khoảng cách r đến trục đối xứng theo quy luật: nr   R2  R    r  R 4r   Chiếu tia sáng tới mặt khối thủy tinh Tia sáng nằm mặt phẳng vng góc với trục đối xứng khối hợp với pháp tuyến điểm tới góc i Chứng minh vị trí nằm đường truyền tia sáng nằm cách trục khoảng r, góc lệch tia sáng ir so với phương bán kính ln thỏa mãn hệ thức: n r r sin ir  const Góc tới i phải thỏa mãn điều kiện để tia sáng tới mặt khối Góc tới i phải thỏa mãn điều kiện để tia sáng lọt vào hốc trụ khơng khí Tính góc lệch tia sáng tới tia sáng ló khỏi khối trường hợp góc i = 300 i = 600 Cho x dx  acr tan x 1 Bài 11: Một chùm sáng đơn sắc, hẹp (coi tia sáng) chiếu đến cầu suốt với góc tới i (0  i  900 ) Quả cầu đồng chất có chiết suất n khơng đổi Tia sáng khúc xạ vào cầu với góc khúc xạ r Sau k lần phản xạ cầu, tia sáng ló khỏi cầu.Tính góc lệch D tia ló so với tia tới ban đầu theo i, r Tìm i để D đạt cực trị, cực trị cực đại hay cực tiểu? Coi chiết suất cầu phụ thuộc vào bán kính cầu theo công thức n  R  a với R bán (r) ra kính cầu, a số, r khoảng cách từ tâm cầu tới điểm có chiết suất n.Tia sáng bị khúc xạ cầu Xác định khoảng cách nhỏ từ tâm cầu đến tia khúc xạ.Vẽ dạng đường truyền tia sáng cầu Bài 12: Vào ngày nắng to, mặt đường nhựa hấp thụ mạnh ánh sáng mặt trời nên bị nung nóng làm nóng phần khí sát mặt đường Kết nhiệt độ khơng khí thay đổi theo độ cao Giả thiết chiết suất không khí phụ thuộc vào nhiệt độ theo biểu thức n   NAVAN86 a Người ta tìm mối liên T 1 bT  hệ T theo độ cao z tính từ mặt đường có dạng sau: z  1   Trong a, b k k   T  a 2  hệ số dương (b > 1) Một nguồn sáng điểm nằm mặt đường (z = 0) phát ánh sáng theo phương Mặt đường coi mặt phẳng nằm ngang Xác định dạng đường truyền tia sáng phát từ nguồn theo phương ban đầu hợp với phương ngang góc  Xác định khoảng cách xa để người cịn nhìn thấy nguồn sáng, biết mắt người độ cao h so với mặt đường Bài 13: Chiết suất khơng khí gần bề mặt đường băng sân bay phụ thuộc vào độ cao y (tính từ mặt đường băng) theo công thức n = n0 (1 + ay) n0 chiết suất khơng khí mặt đường băng; a = 1,5.10-6 m-1 a Tìm phương trình quỹ đạo tia sáng xuất phát từ điểm đường băng, hợp với đường băng góc nhỏ b Một nhân viên điều hành bay đứng đường băng, nhìn theo xe hoa tiêu chuyển động thẳng phía trước Gọi d khoảng cách từ xe đến vị trí đứng người Tính giá trị cực đại d để người cịn nhìn thấy xe đường băng Xem xe chất điểm mắt người cách mặt đường 1,7 m Bài 14: Vào ngày trời nắng to mặt đường nhựa hấp thụ ánh sáng mạnh nên lớp khơng khí gần mặt đường nóng Giả thiết nhiệt độ khơng khí sát mặt đường 57oC giảm dần theo độ cao, đến độ cao lớn 0,5 m nhiệt độ khơng khí coi không đổi 34oC Áp suất không không đổi po = 105 Pa Chiết suất khơng khí phụ thuộc vào khối lượng riêng ρ khơng khí theo biểu thức n   a. , với a số Không khí coi khí lí tưởng Biết chiết suất khơng khí nhiệt độ 15oC 1,000276; khối lượng mol khơng khí μ = 0,029 kg/mol; số R = 8,31 J/mol.K Thiết lập biểu thức phụ thuộc chiết suất khơng khí vào nhiệt độ tuyệt đối, tính số a Một người có mắt độ cao 1,5 m so với mặt đường, nhìn phía đằng xa có cảm giác có mặt nước Nhưng lại gần “nước” lại lùi xa cho khoảng cách từ người đến “nước” ln khơng đổi (hiện tượng ảo ảnh) Tính khoảng cách từ người đến “nước” theo phương ngang Giả sử độ cao 0,5 m, nhiệt độ tuyệt đối T khơng khí phụ thuộc vào độ cao y tính từ mặt đất theo biểu thức T  apo    ap  R (1  o )  b.y  1 RTo   với b số, To nhiệt độ tuyệt đối sát mặt đường Lập phương trình xác định đường truyền tia sáng xuất phát từ mặt đường, lớp khơng khí có độ cao nhỏ 0,5 m Biết ban đầu tia sáng hợp với phương thẳng đứng góc α hướng lên NAVAN86 Bài 15: 1/ Chiết suất không khí phụ thuộc vào nhiệt độ áp suất Nhưng toán ta coi a chiết suất phụ thuộc nhiệt độ phụ thuộc có dạng n   Đối với khơng khí áp T 2 suất tiêu chuẩn số a  8, 6.10 K Khơng khí bên mặt đường tác dụng ảnh nắng mặt trời bị nóng lên, mặt đường khơ mà nhìn bị “ướt” Giả sử lớp đủ mỏng bên mặt đường nhiệt độ cao nhiệt độ trung bình (t  17 C ) lượng t Một người quan sát thấy cách khoảng cực tiểu s “vũng nước” đường - Hãy giải thích xuất “vũng nước” - Vẽ đồ thị biểu diễn phụ thuộc s  s (  t ) Biết mắt người cách mặt đường khoảng h =1,0m Để mơ hình hóa ảo ảnh này, kích thước phịng thí nghiệm rõ ràng khơng đủ, khơn ngoan thay khơng khí mẩu thủy tinh hữu cơ, có chiết suất phụ thuộc mạnh vào nhiệt độ Để làm nguồn sáng ta sử dụng sợi dây mảnh phát sáng S Dưới xem xét tia: a) Truyền góc ngỏ so với trục quang hệ trục khoảng cách nhỏ (gần cận trục) b) Các tia mặt phẳng chứa trục hệ vng góc với dây phát sáng 2/ Tại khoảng cách a=40cm từ nguồn đặt TKHT mỏng có tiêu cự f=20cm Hỏi phải đặt ảnh cách TK khoảng cách b để thu ảnh rõ nét nguồn S màn? S a b 3/ Khơng thay đổi vị trí nguồn, đặt sát nguồn khối thủy tinh hữu hình hộp chữ nhật có chiều dài l=20cm chiết suất n0=1,5 Hỏi phải đặt ảnh Tk khoảng b’ để lại thu ảnh rõ nét nguồn S màn? S b l 4/ Chiếu khối chất thủy tinh hữu chùm sáng song song ảnh đặt mặt phẳng tiêu TK Sau đốt nóng khối thủy tinh Do đốt nóng khơng đều, nên chiết suất khối bắt đầu thay đổi cách tuyến tính từ n0=1,5 từ phía đến n1  n0   n với  n  2, 0.10 4 phía bên Hướng biến thiên nhiệt độ vng góc với phương truyền sáng Hỏi tranh thay đổi sau đốt nóng khối thủy tinh? Biết độ dày khối thủy tinh d=4,0cm NAVAN86 ... suốt chiết suất no n1 (no> n1 > 1) có mặt song song dày e Chiết suất thay n  n12 đổi theo phương y quy luật n = n0  ky ; k  o Trong e.n o2 môi trường no có tia sáng đơn sắc, chiếu tới điểm O... suất khối bắt đầu thay đổi cách tuyến tính từ n0=1,5 từ phía đến n1  n0   n với  n  2, 0.10 4 phía bên Hướng biến thiên nhiệt độ vng góc với phương truyền sáng Hỏi tranh thay đổi sau đốt... tan i  dy  f ' x  dx (2) Ở biết rõ hàm chiết suất mơi trường phụ thuộc vào tọa độ x nên ta thay hàm chiết suất vào (1), từ rút sini tiếp tục tani sau vào (2) Đến việc tìm phương trình quỹ