Góc giữa 2 mặt phẳng p1 1

Góc mặt phẳng mơ hình đa diện có đường cao Ngu Ba Ly - K65 Hust Loại : Góc mặt bên kề khối chóp Đặt vấn đề : Cho khối chóp có đỉnh S , đáy đa giác A1 A2 A3 An , đường cao khối chóp đoạn SH với H hình chiếu S lên đáy A1 A2 A3 An Tính góc mặt bên kề ϕ ( mặt bên có chung cạnh bên) ( SAi Ai +1 ) ( SAi +1 Ai + ) Lời giải : Đầu tiên : Xác định giao tuyến mặt SAi +1 Ta tìm góc mặt phẳng cách dựa định nghĩa : Tìm đường thẳng thuộc mặt phẳng tương ứng vng góc với giao tuyến , phải tìm cho chuẩn , không làm bậy Qua H kẻ đường thẳng vng góc với Ai +1H H , đường thẳng cắt mặt ( SAi Ai +1 ) ( SAi +1 Ai + ) giao điểm P Q Trong mặt phẳng “giao tuyến – đường cao” ( SHAi +1 ) kẻ HK ⊥ SAi +1 với K ∈ SAi +1 Ta nghiên cứu mơ hình :  PQ ⊥ HAi +1  PQ ⊥ HK HK ∈( SHAi +1 ) +)  → PQ ⊥ ( SHAi +1 )  → SAi +1 ∈( SHAi +1 )  PQ ⊥ SH  PQ ⊥ SAi +1  SAi +1 ⊥ PK  SAi +1 ⊥ QK Từ SAi +1 ⊥ HK ta suy : SAi +1 ⊥ ( PKQ ) ⇒  Thế nên góc mặt phẳng ( SAi Ai +1 ) ( SAi +1 Ai + ) góc đường thẳng : ( )  if PKQ  ∈ 0;900  ϕ PKQ =    PK  , :    if PKQ  > 900 QK 1800 − PKQ ϕ = ( ) Như để tìm góc phải xử lí: ∆PKQ ∆PKQ có đặc biệt khơng : • KH ⊥ PQ → KH đường cao ∆PKQ Mặt khác KH đường cao đường cao tam giác vuông “giao tuyến – đường cao” nên áp dụng hệ thức lượng ta có : KH = SH HAi +1 SH + HAi +12 • Với liệu mà đề cho đáy xử lí cạnh PH ; QH hay nói cách khác cạnh PQ Như sử dụng thêm định lý Pythagore định lí Cosin dễ dàng xác định  ∆PKQ , từ tính góc ϕ góc PKQ Như dạng tốn ta cần xử lí mặt phẳng : 𝑚𝑚ặ𝑡𝑡 𝑝𝑝ℎẳ𝑛𝑛𝑛𝑛 đá𝑦𝑦 �𝑚𝑚ặ𝑡𝑡 𝑝𝑝ℎẳ𝑛𝑛𝑛𝑛 "giao tuyến - đường cao": ( SHAi +1 ) 𝑚𝑚ặ𝑡𝑡 𝑝𝑝ℎẳ𝑛𝑛𝑛𝑛 "𝑐𝑐ℎứ𝑎𝑎" 𝑔𝑔ó𝑐𝑐 ∶ ( PKQ ) Như xây dựng bước sau : Bước : Xác định giao tuyến mặt phẳng sau xác định giao điểm giao tuyến với đáy Bước : Trên mặt phẳng đáy : Qua chân đường cao khối chóp , vẽ đường thẳng qua chân đường cao vng góc với đoạn thẳng nối chân đường cao với giao điểm vừa xác định Bước 3: Trong mặt phẳng “giao tuyến – đường cao” , vẽ đường cao kẻ từ chân đường cao đến giao tuyến Bước : Xử lí tam giác “chứa” góc Một số ví dụ áp dụng = AB = 2; AC VD1: Cho chóp S ABC có đáy tam giác ∆ABC tam giác vng A có Hình chiếu S lên đáy trung điểm H cạnh BC Cho biết SH = Tính góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( SAC ) ? Lời giải : (Sau đọc kĩ lí thuyết)  Này gọi kĩ : “Phẳng hóa đối tượng” Xử lí mặt phẳng :  BC = BH = CH = =  AH 2     • = PH AH tg BAH = AH tg HBA =    AH  = = tgCAH = tg HCA QH AH  = • KH 70 70 10 SH AH 301 = 2 43 SH + AH 2009  2  PK = PH + HK = 344  931  •  KQ = QH + HK = 430  343  2  PQ =( PH + QH ) = 40  2  PK + QK − PQ < → c= os PKQ 2.PK QK  → ϕ= 1800 − arccos PKQ ( ) Ví dụ : Cho chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) Đáy ABCD hình thang vng A B có : = AB 5;= BC 8;= AD Góc ( SC , ( ABCD ) ) = 450 Gọi α = ( ( SCB ) , ( SCD ) ) Tính tgα ? Phẳng hóa đối tượng : • AC = AB + BC = = 89 → SA = AC.tg SCA 89 = • AK   89 = tg BCA  AP AC  •  AQ = PQ AD = AP + AQ AD.BC → AQ = 89 ( )  PC AC 13 SA AC = SA2 + AC 178   PK = AK + AP = 5073  64  16643  • QK = AK + AQ = 338    89 89  2  PQ =( AP + AQ ) =  104     = → cos PKQ k >0  ⇒ tg= = α tg PKQ 89 −= 74 ko ... SAi +1 ⊥ PK  SAi +1 ⊥ QK Từ SAi +1 ⊥ HK ta suy : SAi +1 ⊥ ( PKQ ) ⇒  Thế nên góc mặt phẳng ( SAi Ai +1 ) ( SAi +1 Ai + ) góc đường thẳng : ( )  if PKQ  ∈ 0;900... ? ?Phẳng hóa đối tượng” Xử lí mặt phẳng :  BC = BH = CH = =  AH 2     • = PH AH tg BAH = AH tg HBA =    AH  = = tgCAH = tg HCA QH AH  = • KH 70 70 10 SH AH 3 01 = 2 43 SH + AH 20 09... giác “chứa” góc Một số ví dụ áp dụng = AB = 2; AC VD1: Cho chóp S ABC có đáy tam giác ∆ABC tam giác vng A có Hình chiếu S lên đáy trung điểm H cạnh BC Cho biết SH = Tính góc hai mặt phẳng ( SAB