99 problem oxyz (bản sol)

TỌA ĐỘ OXYZ – TỔ – 2019-2020 STRONG TEAM TỐN VD-VDC Câu Trong khơng gian Oxyz, cho mặt (S ) : x  y  z  cầu 2 x  1 t  d :  y   2t ,  z   3t  M  x0 ; y0 ; z0   d Ba điểm phân biệt A, B, C thuộc mặt cầu cho MA, MB, MC tiếp tuyến mặt cầu (S ) Biết mặt phẳng ( ABC ) qua điểm D(1;1;2) Tính tổng T  x0  y0  z0 C T  20 B T  26 A T  320 D T  326 Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Thúy; Fb:ThuyMinh Chọn B Có M  d nên giả sử M 1  t ;1  2t ;  3t   OM  1  t   1  2t     3t  2 Từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB, MC với mặt cầu (S ) nên M nằm (S ) , ta có OM  R2 MA  MB  MC  OM  R hay A, B, C thuộc mặt cầu (S ') tâm M bán kính OM  R , đó: ( S ') :  x   t    y   2t    z   3t   OM  R 2 2  ( S ') : x  y  z  2(1  t ) x  2(1  2t ) y  2(3t  2) z  OM  OM  R  ( S ') : x  y  z  2(1  t ) x  2(1  2t ) y  2(3t  2) z   Mặt khác A, B, C thuộc mặt cầu (S ) : x2  y  z  nên mặt phẳng ( ABC ) có phương trình là: 2(1  t ) x  2(1  2t ) y  2(3t  2) z  18  qua ( ABC ) 2(1  t )  2(1  2t )  4(3t  2)  18    6t   t  1 Vì mặt phẳng điểm D(1;1; 2) nên Vậy M  0; 1;5   T      1     26 Câu 2 Biết biểu thức P  x  y  x  y  19  x2  y  x  y  45 đạt giá trị nhỏ x  x0 , y  y0 Tính tổng 16 x0  y0 A 5 B 1 C D 2 Lời giải Tác giả: Phó Văn Giang; Fb:Giang Pho Chọn A Trong (O xyz ) đặt: u ( x  1; y  3;3) , v(2  x;  y  4;5) Khi ta có: P  u  v  u  v Dấu “=” xảy u v hướng Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  TỌA ĐỘ OXYZ – TỔ – 2019-2020 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC  11  x  x 1 y3     2 x y   y  27  Vậy: P đạt giá trị nhỏ Câu 11   x0  66  nên 16 x0  y0  5  y  27  Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 1; 2;  3 , B 1;3;  , C 1;  2;   Mặt phẳng  P  qua gốc tọa độ O cho A, B, C nằm phía so với  P  Tổng khoảng cách từ A , B , C đến  P  đạt giá trị lớn Lời giải Gọi G 1;1; 1 trọng tâm tam giác ABC Ta có d ( A, ( P))  d ( B, ( P))  d (C , ( P))  3d (G, ( P))  3GO  3 Dấu "  " xảy O  ( P) ( P) nhận GO (1; 1;1) làm vecto pháp tuyến Vậy  P  : x  y  z  tổng khoảng cách từ A , B , C đến  P  đạt giá trị lớn 3 Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : mx  m  m  1 y   m  1 z   ( m tham số) đường thẳng d có vectơ phương u  1; 2; 3 Đường thẳng  song song với mặt phẳng  Oxy  ,  vng góc với d cắt mặt phẳng  P  điểm cố định Tính khoảng cách h từ A 1; 5;  đến đường thẳng m m ? A h  B h  19 C h  21 D h  Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Hằng; Fb: Hang Nguyen Chọn C Gọi u VTCP đường thẳng    d u  u   u  u  k   2; 1;  Ta có    / / Oxy  u  k   0; 0;1 Gọi I  x0 ; y0 ; z0  điểm cố định thuộc  Pm  , mx0  m  m  1 y0   m  1 z0   với m  m  y0  z0   m  x0  y0  z0   z0   với m Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  TỌA ĐỘ OXYZ – TỔ – 2019-2020 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC  y0  z0   x0      x0  y0  z0    y0  1  I   3; 1;1 z   z    Do  cắt  Pm  điểm cố định nên I thuộc  Ta có AI   2; 4;1 ; u   2; 1;  ; AI  u  1; 2; 10  h  d  A;    Câu AI  u u    100 1  21  P  : x  2y  2z   hai điểm A 1,2,3 , di động  P  Khi giá trị lớn biểu thức Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng B  3,4,5 Gọi M điểm MA  có dạng MB A 138 a  b c với a, b, c số nguyên Tính a  b  c B 126 C D Lời giải Tác giả:Phạm Hải Dương; Fb: Duongpham Chọn A Nhận xét A   P  Ta có AB  , AB   2;2;2  , véc-tơ pháp tuyến mặt phẳng  P  n  1;  2;2  Xét tam giác ABM có Khi    sin     AB AM  AB sin M  sin B BM MA AM  AB      sinM sin A sin B sin M  sin B BM sin A BM   MB  M B 2sin  cos  cos       MA  AB sin M  sin B      P   A A A A BM sin A 2sin cos sin sin 2 2  d, P      Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  TỌA ĐỘ OXYZ – TỔ – 2019-2020 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC M  B  Dấu "  " xảy  A  d , P      Mặt khác   cos d ,  P   P Câu | 2.1  2.2  2.2 | 3.3    d, P   sin   3        78 18 a  54   54  78 Suy b   a  b  c  138 c  78  78  18 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho bốn điểm A  2;1;0  , B 1; 2;3 , C  3;0;0  , D  m; n; p  Biết có vơ số mặt phẳng qua A, B cách C, D Giá trị nhỏ biểu thức T  m  n  p bằng? 90 11 A B 54 11 C 65 11 D 40 11 Lời giải Chọn B - Giả sử phương trình mặt phẳng có dạng a  P  : a  x    b  y  1  cz  với điều kiện  b2  c2  0 - Vì mặt phẳng  P  qua điểm B 1; 2;3 nên ta có: a  b  3c   3c  a  b - Theo đề ta d  C ,  P    d  D,  P    a  b  a  m    b  n  1  cp có:  3a  3b  3a  m    3b  n  1  3cp  3a  m    3b  n  1   a  b  p  3m  p   a   3n  p  b    3m  p  3 a   3n  p   b  1  2 Để có vơ số mặt phẳng thoả mãn 1   phải có vơ số nghiệm a, b 3m  p    m  n   m   n; p  3n - TH1: 1 có vơ số nghiệm a, b  3n  p  Khi T  m2  n  p    n   n  9n  11n  6n   90 , n  11 3m  p    m  n   m   n; p  3n  - TH2:   có vơ số nghiệm a, b  3n  p   Khi T  m2  n  p    n   n   3n    11n  42n  45  2 Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/ 54 , n  11  Trang  TỌA ĐỘ OXYZ – TỔ – 2019-2020 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Vậy Tmin  Câu 54 11 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 , B  3; 4;5   P  : x  y  3z  14  Viết phương trình mặt phẳng  Q  qua hai điểm A , B tạo với  P  góc  thỏa mãn cos   Lời giải Tác giả: Dương Đức Trí; Fb: duongductric3ct  Q  : a  x  1  b  y    c  z  3  ,  a  b2  c   B   Q  : a   1  b     c   3   a  b  c   c  a  b cos    a  2b  3c 14 a  b  c 2   2a  b  a  b   a  b  a    4a  4ab  b   2a  2b  2ab  6a2  6ab     a  b Với a  , chọn b   c  1 Vậy  Q  : y    z     y  z   Với a  b , chọn a   b  1  c  Vậy  Q  : x    y     x  y   Câu [Mức độ 4] Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz xét điểm A  0;0;1 , B  m;0;0  , C  0; n;0  , D 1;1;1 với m  0, n  m  n  Biết m, n thay đổi, tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  qua D Tính bán kính R mặt cầu A R  B R  C R  D R  Lời giải Tác giả: Huỳnh Thị Ngọc Hà; Fb: Ngocha Huynh Chọn A Phương trình mặt phẳng  ABC  x y z     nx  my  mnz  mn  m n Gọi I  a; b; c  R tâm bán kính mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  qua D Ta có R  d I , ABC   Thay n   m ta có R  na  mb  mnc  mn n  m2  m2 n 1  c  m2   b  c  a  1 m  a  n  m   2mn  m2 n2  1  c  m2   b  c  a  1 m  a m2  m  1  c  m2   b  c  a  1 m  a  R  m  m  1  1  c  m2   b  c  a  1 m  a   R  m  m  1  Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  TỌA ĐỘ OXYZ – TỔ – 2019-2020 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC 1  c  R  m2   b  c  a   R  m  a  R  1  1  c  R  m   b  c  a   R  m  a  R    Vì tham số m thay đổi tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng  ABC  qua D có bán kính R cố định nên phương trình 1 ,   có nghiệm với giá trị tham số m Ta có trường hợp sau: a  R R   c   Trường hợp 1:  R  b  c  a  hay b  R Do I  R; R;1  R  c   R R  a   Mà ID  R   R  1   R  1 2  R  R  R  (nhận) a   R R  c 1   Trường hợp 2:  R  b  c  a  hay b   R Do I   R;  R; R  1 c  R   R  a   Mà ID  R  Câu  R  1   R  1 2  R  R  R  1 (vơ lí) Vậy R  Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2;1), B(2;4;6) Điểm M di động AB N điểm thuộc tia OM cho OM ON  Biết N thuộc đường trịn cố định Tìm bán kính đường trịn Lời giải O A H B M N K Trong mặt phẳng (OAB) : Kẻ tia OH  AB H Trên tia OH lấy điểm K cho ONK  90 Xét OMH OKN có: Oˆ chung OHM  ONK  90 Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  TỌA ĐỘ OXYZ – TỔ – 2019-2020 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC  OMH OKN (góc – góc)  OM OH   OH OK  OM ON  OK ON Do O, A, B cố định nên H cố định  OH không đổi  OK  không đổi OH  N thuộc đường trịn đường kính OK Mặt khác OH  d (O, AB)   OK  OA, AB  (16)2  (4)2  82 21     62 AB 12  62  52 31 1302  42 42 62 Vậy N thuộc đường trịn có bán kính 21 Câu 10 Trong không gian Oxy cho bốn điểm A 1; 2;0  , B  3; 1;  , C 1; 2; 2 , D  3;  1;1 điểm M   Oxy  Tìm giá trị lớn biểu thức T  MA2  2MB  MC  MD A B C D 24 Lời giải Chọn C Gọi I điểm thỏa mãn IA  IB  IC   I  3; 1;1  D Khi IA   2;3; 1 , IB   0;0;1 , IC   2;3;1 Ta có      2 2 T  MA  2MB  MC  MD  MI  IA  MI  IB  MI  IC  2MI  MI   IA2  IB  IC   2MI ( IA  IB  IC )   14 MI  2MI  MI  (vì IA2  IB  IC  2, IA  IB  IC  ) Gọi H hình chiếu I lên mp Oxy suy MI  IH  1, suy MI  IH  1, M   Oxy  Xét hàm số f ( x)  x  x  2, x  1;    x  2 Ta có f '( x)  x  x3    x  Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  TỌA ĐỘ OXYZ – TỔ – 2019-2020 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC BBT Vậy T  x  3 đạt giá trị lớn MI  hay M ( x; y;0) có tọa độ thỏa mãn  ( y  1)  Câu 11 Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho bốn điểm A 1;1;  , B  2; 1;1 , C 1; 1;  , D  3;5; 6  Điểm M  a; b; c  di động mặt phẳng tọa độ  Oxy  Khi biểu thức T  6.MA2  4.MB2  8.MC  MD4 đạt giá trị nhỏ tổng a  b  c A B 1 C 3 D Lời giải Chọn A Cách 1: Vì M   Oxy  nên M  a; b;0  AM   a  1; b  1;0   AM   a  1   b  1 2 BM   a  2; b  1; 1  BM   a     b  1  2 CM   a  1; b  1; 2   CM   a  1   b  1  2 DM   a  3; b  5;6   AM   a  3   b    36 2  T   a  1   b  1   a     b  1    a  1   b  1  32 2   a  3   b    36    2 2 2 2  T  2a  12a  2b  2ab  12   a  3   b    36    2 2   a  3   b    80   a  3   b    36    2 a  Tmin    M  3;5;0  b  Cách 2: Gọi I điểm thỏa mãn 6IA  4IB  8IC  suy I  3;5; 6  Khi đó: 6.MA2  4.MB2  8.MC  2.MI  6.IA2  4.IB2  8.IC Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  TỌA ĐỘ OXYZ – TỔ – 2019-2020 STRONG TEAM TỐN VD-VDC Gọi H  3;5;0  hình chiếu I  Oxy  Khi đó: 6.MA2  4.MB2  8.MC  2.HI  6.IA2  4.IB2  8.IC Mà H  3;5;0  hình chiếu D  Oxy  nên MD4  HD4 Suy T  6.MA2  4.MB2  8.MC  MD4  2.HI  6.IA2  4.IB2  8.IC  HD4 Suy T đạt GTNN  M  H Suy a  b  c     Câu 12 Cho điểm A  0;8;  mặt cầu  S  có phương trình  S  :  x     y  3   z    72 2 điểm B  9; 7; 23 Viết phương trình mặt phẳng  P  qua A tiếp xúc với  S  cho khoảng cách từ B đến  P  lớn Giả sử n  1; m; n  vectơ pháp tuyến  P  Lúc B m.n  2 A m.n  D m.n  4 C m.n  Lời giải Chọn D Mặt cầu  S  có tâm I  5; 3;7  , bán kính R   P  qua A x  m  y  8  n  z    Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến n  1; m; n  có phương trình  x  my  nz  8m  2n Vì mặt phẳng  P  tiếp xúc với  S  nên d  I ,  P    R   11m  5n   m2  n2 11m  5n   m2  n   m2  n2 6 6 Mặt khác d  B,  P      3m  7n  8m  2n  7m  23n  8m  2n  m2  n 4m  16n   m2  n 6 2   11m  5n  5   4m  16n    m2  n2  m  4n  1  m2  n2 Áp dụng BCS:  m  4n  1  12  42  12  m  n  12   m  4n   18 m  n    m  4n  1  m2  n2  12 d  B,  P     12  18 Nên khoảng cách từ B đến  P  lớn 18 Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  TỌA ĐỘ OXYZ – TỔ – 2019-2020 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC  m  1 Dấu xảy  n  Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  với a, b, c số dương thay đổi thỏa mãn a2  4b2  16c2  49 Tính tổng S  a  b2  c2 khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC  đạt giá trị lớn A 51 B 49 C 49 D 51 Lời giải Chọn B x y z Phương trình mặt phẳng  ABC  có dạng    a b c Khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC  1   a2 b2 c Ta có khoảng cách từ O đến mặt phẳng  ABC  đạt giá trị lớn  1 1      P a b c   1 1 49 P   a  4b  16c       1     49  a b c  bunnhiakopxki  a  2b2  4c 7  a  7; b  ; c  Suy P    2 2 a  4b  16c  49 49  S  a  b2  c2  Câu 14 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A 1; 6;1 mặt phẳng  P  : x  y   Tìm tọa độ điểm B  Oz , C   P  cho tam giác ABC có chu vi nhỏ  56  A B  0;0;1 , C  ; ;1 9   7 56  ;1 B B  0;0;1 , C  ;  9   42  ;1 C B  0;0;1 , C  ; 5   56  D B  0;0;1 , C   ; ;1  9  Lời giải Chọn B B  Oz  B  0;0; c  Thay tọa độ điểm A, B vào phương trình mặt phẳng  P  : x  y   Ta suy A, B nằm phía với bờ mặt phẳng  P  Chu vi tam giác ABC nhỏ B hình chiếu A lên Oz  B  0; 0;1 C  AB   P  Địa truy cập  https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang 10  ... https://www.facebook.com/groups/900248096852019/ 54 , n  11  Trang  TỌA ĐỘ OXYZ – TỔ – 2019-2020 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC Vậy Tmin  Câu 54 11 Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;3 , B  3; 4;5   P  :... Trang  TỌA ĐỘ OXYZ – TỔ – 2019-2020 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC BBT Vậy T  x  3 đạt giá trị lớn MI  hay M ( x; y;0) có tọa độ thỏa mãn  ( y  1)  Câu 11 Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho... https://www.facebook.com/groups/900248096852019/  Trang  TỌA ĐỘ OXYZ – TỔ – 2019-2020 STRONG TEAM TOÁN VD-VDC  m  1 Dấu xảy  n  Câu 13 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  a;0;0  , B  0; b;0