Bài 1 trong không gian 4  , cho các véc tơ

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH KHOA NGÂN HÀNG BẢO HIỂM BÀI ĐIỀU KIỆN MƠN TỐN CAO CẤP Bài 1: Trong không gian  , cho véc tơ: A    2,1,3,  ;B   1, 2,0, 1 ;C   1, 2, 1,  ; D   4, 5,1,3  Tính A  B;3 A  B; A  B  2C ; B  3D ; A  2B , C Lời giải 2 A  B 2   2,1,3,0   1,  2,0,  1   4, 2,6,0  1,  2,0,1   3,0,6,  1  3A  2B   2,1,3,0    1, 2,0,    6,3,9,0    2, 4,0,    8,7,9,   A  B 2 C   2,1,3,0   1, 2,0,  1 2 1, 2,  1, 4   3,3,3,1   2, 4,  2,8   5, 7,1,9  B  3D   1, 2,0, 1   4, 5,1,3   1, 2, 0,  12, 15,3,9   13, 17,3,   A  2B, C A  2B    2,1,3,    1,  2,0, 1   0, 3, 3,   Ta có: A  2B, C   0,  3,3,     1, 2,  1,   0.  1    3  3.  1    2  17 A, A ,A Bài 2: Hãy viết biểu diễn tuyến tính véc tơ X qua hệ véc tơ  3 với A1   3,   ; A2   0,  ; A3   2,1 ;X   1,  Lời giải * Giả sử: X 1A1   2A   3A   1  3  0  2              4   2   1  1     31     2               2          3  2     2    4 * Chọn:   3 1     A, A , A Vậy X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ  3 là: X  A1  A2  A3 Bài 3: Sử dụng định nghĩa, xét độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ  A1  3,   ; A2  1, 4 ; A3  2,  1 Lời giải  Ta có :  A1   A2   A3 02  1  3,      1,     2,  1  0,    31   2 ,  2  4     0,   3    23 0    21  4   0  Hệ phương trình vơ số nghiệm  Chọn  1  31   23 0    2  4   0     14     14 Vậy hệ véc tơ  A1 , A2 , A3 hệ phụ thuộc tuyến tính Bài 4: Xét xem hệ véc tơ sau có sở không gian tương ứng không?  A  2,   ; A   1,  2 , không gian  Lời giải +) Hệ có số véc tơ số chiều  ( ) (*) +) Xét: 1 A1  A2 02  1  2,  5  2   1, 4  0, 0  2   0    5  4 0 1 0   0 => Hệ véc tơ  A1 , A2 hệ độc lập tuyến tính (**) Từ (*) (**) ta có: hệ véc tơ Bài 5: Cho hệ véc tơ minh hệ  A1 , A2 S  A1  1,1,  ; A2  1, 2,0 ; A3  1, 0, 0 ; A4  3, 4, 4  S  A1, A2, A3 * Chứng minh  A1, A2 , A3  +) Xét S1  A1   A2   A3 0   1 1,1,     1, 2,0   3 1, 0,0  0,0, 0 1  2  3 0   1  22 0 2 0  1 0   2 0  0  S1 hệ độc lập tuyến tính (*) +) Giả sử : Chứng S S sở S Hãy sở S khác Lời giải => Hệ sở  A4 1A1   A2   3A3   1 1,1,    1, 2,0    1, 0,   3, 4,  1  2  3    1  22   2 4  1 2   2 1  0  S  A,A ,A A 2 A1  A2 Véc tơ A4 biểu diễn tuyến tính qua hệ   là: (**) Vậy từ (*) (**) ta có: hệ * Ta có: hệ S1  A1 , A2 , A3  sở S S  A2 , A3 , A4  S 0  1 A2  2 A3  3 A4 03  1  1, 2, 0  2  1,0,0  3  3, 4, 4  0, 0, 0 1    3    2 1 3 0 4  0   1 0    0     Hệ véc tơ S hệ véc tơ độc lập tuyến tính (1) +) Giả sử: A1  1 A2  2 A3  3 A4  1 1, 2,    1,0,0     3, 4,   1,1,      3 1   2 1  3 1 4  2    1     2 0   3    A1  1 A2  A4 2 (2) Vậy từ (1) (2) ta có: hệ S2  A2 , A3 , A4 sở S Bài 6: Một hãng dùng loại vật liệu để sản xuất loại sản phẩm Cho véc tơ:  1  2  1  3  3           A1  2 ; A2   ; A3   ; A4    ; A5     1  1  2  2  1           Trong A1 véc tơ định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm thứ j a) Chứng minh rằng, hệ B  A2 , A4 , A5 hệ độc lập tuyến tính b) Viết biểu diễn tuyến tính véc tơ lại qua hệ B nêu ý nghĩa kinh tế biểu diễn tuyến tính c) Tính số lượng loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng 15, 40, 30, 60, 20 đơn vị sản phẩm từ loại đến loại Lời giải  A  A4  A5 03 a) Ta có:  2  3  3  0       1     3 0  0          1  2  1  0          21  32  33     21  32  33 0 1 0             0       0   2   0  0   2       3      B  A2 , A4 , A5  Vậy hệ hệ độc lập tuyến tính A  A  A  A b)  Giả sử: 1   5  2  3  3            1    2    3     1   2   1           2  3  3     2  3  3 1      2      1  2 2   0 1 2      2        2      1       3 => A1 biểu diễn tuyến tính qua hệ B : A1 2 A2  A5  A1  A5 2 A2 +) Ý nghĩa kinh tế: Nếu hãng bớt đơn vị sản phẩm loại hãng thêm đơn vị sản phẩm loại đơn vị sản phẩm loại  Giả sử: A3  A2   A4  A5 2  3    1       1    2    3 0    1  2 1  2               21 3 3    2  3  3 1                     2   2         2        2    2  2      Vậy A3 biểu diễn tuyến tính qua hệ B : 3 3 A3  A2  A4  A5  A3  A5  A2  A4 2 2 2 +) Ý nghĩa kinh tế: Nếu bớt đơn vị sản phẩm đơn vị sản phẩm ta thêm đơn vị sản phẩm đơn vị sản phẩm c) Số lượng loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng 15, 40, 30, 60, 20 đơn vị sản phẩm từ loại đến loại là: VL 15 A1  40 A2  30 A3  60 A4  20 A5 1  2  1  3  3 15 2  40   30 2  60   20 0           1 1  2  2  1            15   80   30   180  365            30    40   60  60   190   15   40  60  120  255            365     190   255   Vậy số lượng loại VL cần sử dụng để sản xuất theo yêu cầu đề là:  Bài 7: Cho Fi ,i 1,3 véc tơ khơng gian  có thành phần thứ tương 1 ứng   , thành phần lại Chứng tỏ hệ Fi , i 1,3 sở  tìm biểu diễn tuyến tính véc tơ X   qua sở i Lời giải Theo đề bài, ta có: F1   1,0,0 ; F2  0,1;0 ; F3  0,0,  1 * Chứng minh: Xét điều kiện sở không gian  ta có: +) Hệ có số véc tơ số chiều  (đều 3) +) 1 F1   F2  3 F3 03  1   1,0,0    0,1,0    0,0,    0,0,0    1 0 1 0      0   0    0  0    Hệ véc tơ  F1 , F2 , F3  độc lập tuyến tính Vậy hệ Fi  F1 , F2 , F3  * Ta có: X   2,  4,1  sở   1F1   2F2   3F3 Giả sử: X  1   1,0,0     0,1,     0,0,  1  2,  4,1   1 2          1   1           F ,F ,F  X  F1  F2  F3 Vậy X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ là: Bài 8: Cho ma trận:    1  1  2  3     ; B  ; C   A   1  2   3   4     Tính AC; C  B ;  A  BT  C Lời giải  1  2      14    1              4 * AC =   1         1         10             10           C B               34  18  *    2A  BT  C  * 2  BT     1  3 2 1  4 2  A 2.      2    4    2 A  BT     4     8  T (2 A  B ).C     1  7  1  2  8     3 1    1    17 34     10  12  27    4 Bài 9: Tìm  để ma trận sau không suy biến:  0  2       b)  a)  1  3   2  Lời giải  2 A   a) Đặt  5  det( A)  15  2  15   det  A   15     Để ma trận khơng suy biến 15  Vậy để ma trận A không suy biến  1    B     3  b) Đặt    1  2 1  det( B)    .(  1)11  3.(  1) 1  2  .(2   2)  3.(2  ) 2       2  det(B ) 0  2  7        Để ma trận B không suy biến       Vậy để ma trận B khơng suy biến  7   5   -2 -1 -1   -3 -1           Xét: A= 0  0  -1 0    -1  5   -4 1       17      16 0 36   5    x2 , x3 , x5 ẩn sở x1 , x4 ẩn tự    x1  x3  x4 5    x1  x  x  5  36 16  x1  x4  x5  Ta có:    x   x1  x  1    x   x1  x 5   36 16  x5   x1  x4    x2 5   x1  x    x   36   x5   Chọn   :  5   Một nghiệm hệ phương trình T 36    T 7 1  :   5  Vậy nghiệm hệ phương trình Bài 21: Một hãng sử dụng loại vật liệu để sản xuất loại sản phẩm Cho ma trận  1 2  28      A   , B  49  , C    , X  x1 x  1 3  33      23 x3 x4  , T aij cho ma trận A số đơn vị vật liệu loại i dùng để sản xuất đơn vị , sản phẩm loại j bi cho ma trận B số lượng đơn vị vật liệu loại i mà hãng sử c x dụng, j cho ma trận C lãi đơn vị sản phẩm loại j j cho ma trận X sản lượng sản phẩm loại   j i 1,3; j 1, a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng loại sản phẩm mà hãng sản xuất sử dụng hết số vật liệu cho B Tìm nghiệm sở, với x2 , x3 , x4 ẩn sở, hệ phương pháp khử tồn phần Tính tổng số lãi ứng với kết vừa tìm b) Ký hiệu Aj véc tơ cột thứ j ma trận A với j 1, Sử dụng kết ý A ,A ,A a), viết biểu diễn tuyến tính A1 quan hệ véc tơ   nêu ý nghĩa kinh tế Dựa vào ý nghĩa vừa nêu, hàng sản xuất thêm đơn vị sản phẩm 1, với điều kiện sử dụng hết số vật liệu cho B , tổng số lãi thay đổi nào? Lời giải  2x1  x2  x3  2x  28  x  x  x  x 49   x  x  x  x 33   x j 0, j 1, a) * Theo đề ta có hệ ràng buộc:  2  1  3 3  6 1  38    1 28  3 11  A  1 49   1      1 33   3     Xét: 2    3 0  1 0 18   0 10        3    0   x2 , x3 , x4 ẩn sở 24 ... 2 ,1 , 3,0    1,  2,0 ,  1? ?? 2 ? ? 1, 2,  1, 4? ??   3,3 ,3 ,1 ? ??   2, 4,  2,8    5, 7 ,1 , 9  B  3D   1,  2,0 ,? ?? 1? ??   4,  5 ,1 , 3   ? ? 1,  2, 0,? ??  ? ?12 ,? ?? 15 ,3 ,9   ? ?13 ,? ?? 17 ,3 ,   A  2B, C A ...   2 ,1 , 3,0   1,  2,0 ,  1? ??   4, 2,6 ,0   1,  2,0 ,1 ? ??   3,0 , 6,  1? ??  3A  2B   2 ,1 , 3,0    1,  2,0 ,? ??    6,3 , 9,0    2,? ?? 4, 0,? ??    8,7 , 9,   A  B 2 C   2 ,1 , 3,0 ... có: hệ véc tơ Bài 5: Cho hệ véc tơ minh hệ  A1 , A2 S  A1  1, 1,  ; A2  1, 2,0  ; A3  1, 0, 0 ; A4  3, 4, 4? ??  S  A 1, A 2, A3 * Chứng minh  A 1, A2 , A3  +) Xét S1  A1   A2