(TIỂU LUẬN) bài 1 trong không gian 4  , cho các véc tơ

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH KHOA NGÂN HÀNG BẢO HIỂM BÀI ĐIỀU KIỆN MƠN TỐN CAO CẤP Bài 1: Trong không gian  , cho véc tơ: A    2,1,3,  ;B   1, 2,0, 1 ;C   1, 2, 1,  ; D   4, 5,1,3  Tính A  B;3 A  B; A  B  2C ; B  3D ; A  2B , C Lời giải 2 A  B 2   2,1,3,0   1,  2,0,  1   4, 2,6,0  1,  2,0,1   3,0,6,  1  3A  2B   2,1,3,0    1, 2,0,    6,3,9,0    2, 4,0,    8,7,9,   A  B 2 C   2,1,3,0   1, 2,0,  1 2 1, 2,  1, 4   3,3,3,1   2, 4,  2,8   5, 7,1,9  B  3D   1, 2,0, 1   4, 5,1,3   1, 2, 0,  12, 15,3,9   13, 17,3,   A  2B, C A  2B    2,1,3,    1,  2,0, 1   0, 3, 3,   Ta có: A  2B, C   0,  3,3,     1, 2,  1,   0.  1    3  3.  1    2  17 A, A ,A Bài 2: Hãy viết biểu diễn tuyến tính véc tơ X qua hệ véc tơ  3 với A1   3,   ; A2   0,  ; A3   2,1 ;X   1,  Lời giải * Giả sử: X 1A1   2A   3A   1  3  0  2              4   2   1  1     31     2               2          3  2     2    4 * Chọn:   3 1     A, A , A Vậy X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ  3 là: X  A1  A2  A3 Bài 3: Sử dụng định nghĩa, xét độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ  A1  3,   ; A2  1, 4 ; A3  2,  1 Lời giải  Ta có :  A1   A2   A3 02  1  3,      1,     2,  1  0,    31   2 ,  2  4     0,   3    23 0    21  4   0  Hệ phương trình vơ số nghiệm  Chọn  1  31   23 0    2  4   0     14     14 Vậy hệ véc tơ  A1 , A2 , A3 hệ phụ thuộc tuyến tính Bài 4: Xét xem hệ véc tơ sau có sở không gian tương ứng không?  A  2,   ; A   1,  2 , không gian  Lời giải +) Hệ có số véc tơ số chiều  ( ) (*) +) Xét: 1 A1  A2 02  1  2,  5  2   1, 4  0, 0  2   0    5  4 0 1 0   0 => Hệ véc tơ  A1 , A2 hệ độc lập tuyến tính (**) Từ (*) (**) ta có: hệ véc tơ Bài 5: Cho hệ véc tơ minh hệ  A1 , A2 S  A1  1,1,  ; A2  1, 2,0 ; A3  1, 0, 0 ; A4  3, 4, 4  S  A1, A2, A3 * Chứng minh  A1, A2 , A3  +) Xét S1  A1   A2   A3 0   1 1,1,     1, 2,0   3 1, 0,0  0,0, 0 1  2  3 0   1  22 0 2 0  1 0   2 0  0  S1 hệ độc lập tuyến tính (*) +) Giả sử : Chứng S S sở S Hãy sở S khác Lời giải => Hệ sở  A4 1A1   A2   3A3   1 1,1,    1, 2,0    1, 0,   3, 4,  1  2  3    1  22   2 4  1 2   2 1  0  S  A,A ,A A 2 A1  A2 Véc tơ A4 biểu diễn tuyến tính qua hệ   là: (**) Vậy từ (*) (**) ta có: hệ * Ta có: hệ S1  A1 , A2 , A3  sở S S  A2 , A3 , A4  S 0  1 A2  2 A3  3 A4 03  1  1, 2, 0  2  1,0,0  3  3, 4, 4  0, 0, 0 1    3    2 1 3 0 4  0   1 0    0     Hệ véc tơ S hệ véc tơ độc lập tuyến tính (1) +) Giả sử: A1  1 A2  2 A3  3 A4  1 1, 2,    1,0,0     3, 4,   1,1,      3 1   2 1  3 1 4  2    1     2 0   3    A1  1 A2  A4 2 (2) Vậy từ (1) (2) ta có: hệ S2  A2 , A3 , A4 sở S Bài 6: Một hãng dùng loại vật liệu để sản xuất loại sản phẩm Cho véc tơ:  1  2  1  3  3           A1  2 ; A2   ; A3   ; A4    ; A5     1  1  2  2  1           Trong A1 véc tơ định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm thứ j a) Chứng minh rằng, hệ B  A2 , A4 , A5 hệ độc lập tuyến tính b) Viết biểu diễn tuyến tính véc tơ lại qua hệ B nêu ý nghĩa kinh tế biểu diễn tuyến tính c) Tính số lượng loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng 15, 40, 30, 60, 20 đơn vị sản phẩm từ loại đến loại Lời giải  A  A4  A5 03 a) Ta có:  2  3  3  0       1     3 0  0          1  2  1  0          21  32  33     21  32  33 0 1 0             0       0   2   0  0   2       3      B  A2 , A4 , A5  Vậy hệ hệ độc lập tuyến tính A  A  A  A b)  Giả sử: 1   5  2  3  3            1    2    3     1   2   1           2  3  3     2  3  3 1      2      1  2 2   0 1 2      2        2      1       3 => A1 biểu diễn tuyến tính qua hệ B : A1 2 A2  A5  A1  A5 2 A2 +) Ý nghĩa kinh tế: Nếu hãng bớt đơn vị sản phẩm loại hãng thêm đơn vị sản phẩm loại đơn vị sản phẩm loại  Giả sử: A3  A2   A4  A5 2  3    1       1    2    3 0    1  2 1  2               21 3 3    2  3  3 1                     2   2         2        2    2  2      Vậy A3 biểu diễn tuyến tính qua hệ B : 3 3 A3  A2  A4  A5  A3  A5  A2  A4 2 2 2 +) Ý nghĩa kinh tế: Nếu bớt đơn vị sản phẩm đơn vị sản phẩm ta thêm đơn vị sản phẩm đơn vị sản phẩm c) Số lượng loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng 15, 40, 30, 60, 20 đơn vị sản phẩm từ loại đến loại là: VL 15 A1  40 A2  30 A3  60 A4  20 A5 1  2  1  3  3 15 2  40   30 2  60   20 0           1 1  2  2  1            15   80   30   180  365            30    40   60  60   190   15   40  60  120  255            365     190   255   Vậy số lượng loại VL cần sử dụng để sản xuất theo yêu cầu đề là:  Bài 7: Cho Fi ,i 1,3 véc tơ khơng gian  có thành phần thứ tương 1 ứng   , thành phần lại Chứng tỏ hệ Fi , i 1,3 sở  tìm biểu diễn tuyến tính véc tơ X   qua sở i Lời giải Theo đề bài, ta có: F1   1,0,0 ; F2  0,1;0 ; F3  0,0,  1 * Chứng minh: Xét điều kiện sở không gian  ta có: +) Hệ có số véc tơ số chiều  (đều 3) +) 1 F1   F2  3 F3 03  1   1,0,0    0,1,0    0,0,    0,0,0    1 0 1 0      0   0    0  0    Hệ véc tơ  F1 , F2 , F3  độc lập tuyến tính Vậy hệ Fi  F1 , F2 , F3  * Ta có: X   2,  4,1  sở   1F1   2F2   3F3 Giả sử: X  1   1,0,0     0,1,     0,0,  1  2,  4,1   1 2          1   1           F ,F ,F  X  F1  F2  F3 Vậy X biểu diễn tuyến tính qua hệ véc tơ là: Bài 8: Cho ma trận:    1  1  2  3     ; B  ; C   A   1  2   3   4     Tính AC; C  B ;  A  BT  C Lời giải  1  2      14    1              4 * AC =   1         1         10             10           C B               34  18  *    2A  BT  C  * 2  BT     1  3 2 1  4 2  A 2.      2    4    2 A  BT     4     8  T (2 A  B ).C     1  7  1  2  8     3 1    1    17 34     10  12  27    4 Bài 9: Tìm  để ma trận sau không suy biến:  0  2       b)  a)  1  3   2  Lời giải  2 A   a) Đặt  5  det( A)  15  2  15   det  A   15     Để ma trận khơng suy biến 15  Vậy để ma trận A không suy biến  1    B     3  b) Đặt    1  2 1  det( B)    .(  1)11  3.(  1) 1  2  .(2   2)  3.(2  ) 2       2  det(B ) 0  2  7        Để ma trận B không suy biến       Vậy để ma trận B khơng suy biến  7   5   -2 -1 -1   -3 -1           Xét: A= 0  0  -1 0    -1  5   -4 1       17      16 0 36   5    x2 , x3 , x5 ẩn sở x1 , x4 ẩn tự    x1  x3  x4 5    x1  x  x  5  36 16  x1  x4  x5  Ta có:    x   x1  x  1    x   x1  x 5   36 16  x5   x1  x4    x2 5   x1  x    x   36   x5   Chọn   :  5   Một nghiệm hệ phương trình T 36    T 7 1  :   5  Vậy nghiệm hệ phương trình Bài 21: Một hãng sử dụng loại vật liệu để sản xuất loại sản phẩm Cho ma trận  1 2  28      A   , B  49  , C    , X  x1 x  1 3  33      23 x3 x4  , T aij cho ma trận A số đơn vị vật liệu loại i dùng để sản xuất đơn vị , sản phẩm loại j bi cho ma trận B số lượng đơn vị vật liệu loại i mà hãng sử c x dụng, j cho ma trận C lãi đơn vị sản phẩm loại j j cho ma trận X sản lượng sản phẩm loại   j i 1,3; j 1, a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng loại sản phẩm mà hãng sản xuất sử dụng hết số vật liệu cho B Tìm nghiệm sở, với x2 , x3 , x4 ẩn sở, hệ phương pháp khử tồn phần Tính tổng số lãi ứng với kết vừa tìm b) Ký hiệu Aj véc tơ cột thứ j ma trận A với j 1, Sử dụng kết ý A ,A ,A a), viết biểu diễn tuyến tính A1 quan hệ véc tơ   nêu ý nghĩa kinh tế Dựa vào ý nghĩa vừa nêu, hàng sản xuất thêm đơn vị sản phẩm 1, với điều kiện sử dụng hết số vật liệu cho B , tổng số lãi thay đổi nào? Lời giải  2x1  x2  x3  2x  28  x  x  x  x 49   x  x  x  x 33   x j 0, j 1, a) * Theo đề ta có hệ ràng buộc:  2  1  3 3  6 1  38    1 28  3 11  A  1 49   1      1 33   3     Xét: 2    3 0  1 0 18   0 10        3    0   x2 , x3 , x4 ẩn sở 24 x1 ẩn tự Cho  x1 10    x2 8  x 5 x1 0  Vậy nghiệm sở hệ ràng buộc là: X   18 5 T * Tổng lãi thu được: 0  10  C X0  7   105 8    5  b) Biểu diễn tuyến tính A qua hệ véc tơ  A2 , A3 , A4  A1 5A2  3A3  A1  A3 5 A2 * Ý nghĩa kinh tế: Nếu hãng sản xuất bớt đơn vị sản phẩm loại đơn vị sản phẩm loại hãng thêm đơn vị sản phẩm loại Dựa vào ý nghĩa vừa nêu, hãng sản xuất thêm đơn vị sản phẩm loại 1, với điều kiện sử dụng hết số vật liệu B cần thêm đơn vị sản phẩm loại bớt đơn vị sản phẩm loại 5 x1  x2 10    x1  x 8  x 5  (*) Thay x1 1 vào hệ phương trình (*) , suy ra:  X1  11 5 T Tổng lãi suất thu được: 25  x2 5  x 11  x 5  1 5 C X1  7   109  11    5 Vậy hãng sản xuất thêm đơn vị sản phẩm với điều kiện sử dụng hết vật liệu cho B tổng lãi xuất tăng đơn vị Bài 22: Một hãng định sản xuất loại sản phẩm A, B, C, D Định mức chi phí vật liệu lợi nhuận (1.000 đồng) đơn vị sản phẩm cho bảng sau: Sản phẩm Chi phí vật liệu Chi phí tiền cơng Lợi nhuận A B C 1 D a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng loại sản phẩm cần sản xuất cho tổng chi phí vật liệu 290 triệu đồng, tổng chi phí tiền cơng khơng q 410 triệu đồng tổng số lợi nhuận không 320 triệu đồng b) Sử dụng phương pháp khử tồn phần, tìm số sản phẩm loại cần sản xuất thỏa mãn yêu cầu câu a), biết công ty sản xuất sản phẩm A, B D Lời giải a) b) x 0, 1, Gọi j sản lượng sản phẩm j, j 1, ĐK : x j  j  Ta có hệ phương trình ràng buộc tuyến tính: 3 x1  x2  x3  x4 290000  x  3x  x  x 410000   x  x  x  3x 320000   xj 0, j 1,  Sử dụng ẩn bù x5 , x6 ta thu hệ sau đây: 26  3x1  2x  3x  x  290000  x  3x  x  4x  x  410000   2x  x  x  3x  x 320000   xj 0, j 1,   1       0    3 0 290000    A  410000  1   320000  2 1 1  Xét:   1  50000 5 2   7   940000     11  7    1200000     0 1 20     7   x , x , x  ần sở   290000 1 0   940000  11   380000  1 1    1 3    4 50000    33  11 40000    20 20 140 60000    0  1 11  20 20 20   x3 , x5 , x6 ẩn tự  x1  50000  x3 x5 x   x  40000  x 60000  Cho Vậy số sản phẩm loại cần sản xuất thỏa mãn yêu cầu câu a) 50000 đơn vị sản phẩm A, 40000 đơn vị sản phẩm B, 60000 đơn vị sản phẩm D hãng không sản xuất đơn vị sản phẩm C Bài 23: Người ta sử dụng loại thảo dược I, II III để chiết suất loại hóa chất A B Lượng hóa chất loại chi phí (triệu đồng) tính đơn vị thảo dược loại chiết suất cho bảng sau: Thảo dược I II 27 III Hóa chất A Hóa chất B Chi phí 3 Mỗi loại dược liệu cần sử dụng để chiết suất tối thiểu: 200 đv hóa chất A, 150 đv hóa chất B chi phí khơng vượt q 350 triệu đồng? Lời giải Gọi xj ĐK: số lượng dược liệu j, j 1,3 xj 0, j 1,3 Ta có hệ phương trình ràng buộc tuyến tính:  5x1  x2  3x3 200 3 x  x  x 150  8x  5x  6x 350   x j 0, j 1,3   5x1  x2  3x3  x4  200 3 x  x 3 x  x 150  8 x 5 x 6 x  x 350   xj 0, j 1,3 x ,x ,x Sử dụng ẩn bù ta thu hệ sau:      A  8 Xét:  1     0    17   3 6 200    150   350  1   1 0    1   1  40   25  2     30   0 1  25  30   6     0 1         x1 , x3 , x6 ẩn sở 28 (1) (2) x2 , x4 , x5 ẩn tự  x1  25  x2 x4 x5   x  25  x 0  Cho  Một nghiệm hệ phương trình (2) là:  25 Vậy nghiệm hệ phương trình (1) là: 25 0   25 25 T T Vậy để chiết suất tối thiểu: 200 đv hóa chất A, 150 đv hóa chất B chi phí khơng vượt 350 triệu đồng người ta cần sử dụng 25 đơn vị dược liệu 25 đơn vị dược liệu không sử dụng vật liệu Bài 24: Khảo sát thị trường loại hàng hóa có liên quan 1, 2, Lượng cung   p i 1,3 lượng cầu loại hàng hóa i hàm phụ thuộc vào giá thị trường i loại hàng hóa cho bởi: Hệ phương trình cung q1s 12   p1  s q  14  p q s    p , hệ phương trình cầu q1d 20  p1  p2  d q2 17  p1  p2  p3  qd  70  p1  3 p2  tham số thực s d Thị trường hàng hóa i gọi cân qi qi , i 1,3 a) Hãy lập hệ phương trình để xác định mức giá p1, p2 , p3 làm cân ba thị trường ba loại hàng hóa dạng ma trận Tìm điều kiện  để hệ phương trình thu hệ Cramer b) Với  1, sử dụng phương pháp khử toàn phần xác định mức giá cân thị trường ba loại hàng hóa Lời giải 29 a) Thị trường loại hàng hóa cân khi:  q1s q1d  s d  q2 q2  qs qd  3 12   p1 20  p1  p2  (  3) p1  p 8   (1)   14  p2 17  p1  p2  p3   p1  p3 31    p 70  p  3 p  p   p  p 79 2          p1            p   31     3   p   79  Dạng ma trận:  Xét (1) có: +) (1) hệ gồm phương trình ẩn    A        +) Ma trận hệ số phía trái là:       12 det(A) = =  3   1   1 1     3      3         = 3  9  Vậy (1) hệ Cramer det(A) 0 30    21       21    b) Với   , hệ phương trình 1  trở thành:      1 08  1   31    3 79      p1  p2 8   p3 31  p1  p  p  p 79    23   75   1  0  0  1 1 04   23    06    0 10     0 11   12     p1 10   p2 12  p 11 Từ ma trận trên, ta suy được:  Vậy với   , mức giá cân thị trường loại hàng hóa là: 10 đơn vị, 12 đơn vị, 11 đơn vị Bài 25: Cho dạng toàn phương tham số thực q  x1 , x2 , x3   x12  4x2  2x32  4x1x2  x2x  2x 1x với  q 1,1, 2 20 a) Tìm  cho  b) Với  0 , viết dạng toàn phương cho dạng ma trận kiểm tra tính xác định dấu dạng tồn phương Lời giải 2  2     Đặt q  x1, x , x  2x1 4x 2x 4x 1x x 2x 2x 1x (1) a) Ta có: q(1,1, 2) 20  2.12  4.12  2.2  4.1.1  .1.2  2.1.2 20  14  2 20  2 6   3 Vậy  3 q(1,1, 2) 20 b) Với  0 , dạng toàn phương (1) trở thành: 31 q (x1 , x2 , x3 ) 2x12  x2  2x32  x1x  2x1x  2  1   A       Đặt Ta có: k 1: D1  2  k 2 : D2  2 4  2 1 k 3 : D3  4  1 Vậy dạng toàn phương cho xác định dương , Bài 26: Ba hãng tham gia sản suất tiêu thụ loại sản phẩm Kí hiệu xi pi i , i 1, 2,3  sản lượng giá bán đơn vị sản phẩm hãng  Biết giá bán sản phẩm hãng phụ thuộc vào sản lượng tất hãng sau p1 340   x1  x3  , p2 380   x1  x2  x  , p3 240   x  4x  a) Biểu diễn dạng biểu thức ma trận hàm tổng doanh thu hãng theo biến x1, x 2, x Kiểm tra tính xác định dấu dạng tồn phương có biểu thức hàm tổng doanh thu b) Biểu diễn dạng biểu thức ma trận hàm tổng doanh thu hai hãng theo x1, x 2, x Lời giải Hàm doanh thu hãng là: TR1  x1 p1  x1  340   x1  x3   340 x1  x1  x1 x3 Hàm doanh thu hãng là: 32 TR2  x2 p2  x2  380   x1  x2  x3  380 x2  x1 x2  x2  x3 x2 Hàm doanh thu hãng là: TR3  x3 p3  x3  240   x2  x3   240 x3  x2 x3  x3 a) * Hàm tổng doanh thu hãng là: TR TR1 TR2 TR3 340 x1 380 x2 240 x3  x12  x22  x32  x1 x2  x1 x3  x2 x3 (1) * Từ biểu thức (1), ta có biểu thức ma trận hàm tổng doanh thu là:  x1    TR  340 380 240   x2    x1 x  3 x2 1        x1     x3      . x2   x      3    1   2 1    x1  2  A=      , X=  x2  , B=  340 380 240       x3   2 4  * Đặt:  T Ta có: TR B X  X A X Xét dạng tồn phương có biểu thức hàm tổng doanh thu là: q(X)  X T AX Ta có định thức dẫn đầu A là: k 1  D1     k 2  D2  2 1 5  1 3 2 k 3  D3   1  2 53   0 4 1  3 2 33  Ma trận A xác định âm Vậy dạng tồn phương có hàm tổng doanh thu xác định âm b) Hàm tổng doanh thu hai hãng là: TR* TR1 TR2 340 x1 380 x2  x1  x2  x1 x3  x1 x2  x3 x2 (2) Từ biểu thức (2), ta có biểu thức ma trận hàm tổng doanh thu hãng hãng là:  x1  TR  340 380 0  x2 x  *      x1   x2 1        x1     x3        x2    x   1      Bài 27: Ba hãng tham gia sản xuất tiêu thụ loại sản phẩm Kí hiệu xi , pi i  i 1, 2,3 sản lượng giá bán đơn vị sản phẩm hãng Biết sản lượng hãng phụ thuộc vào giá bán sản phẩm tất hãng sau : x1 40  p1  p2  p3 , x2 90  p1  p2  p3, x3 70  p1  p  p3 a) Hãy tính tổng doanh thu ba hãng, biết sản lượng ba hãng 130, 105 125 b) Tính biểu diễn dạng ma trận hàm tổng doanh thu hãng theo biến X   x1 x x3  T Kiểm tra tính xác định dấu dạng tồn phương có biểu thức hàm tổng doanh thu nói Lời giải  x1 130    x2 105  x 125  a) Khi sản lượng hãng 130,105 125 34 40  p1  p2  p3 130  p1  p  p3 90 90    105    15 p1 p2 p3 p2 p3   p1    70  p1  p2  p3 125  p1  p2  p3  55  p 0 , i 1,3  p  , i 1,3  i  i  A     Ta có: 0   1 0  2 90      15    2 55   10 60    15  40   /   0 10   p1 15     / 39    0 15    p2 20  p 10 /   20   Vậy tổng doanh thu hãng là: TR  x1 p1  x2 p2  x3 p3 130.15  105.20 125.10 5300 2 p1  p  p3  x1  40   p1  p2  p3  x2  90  p  p  p  x  70 3 b) Từ giả thiết đề bài, ta có hệ phương trình:   A     Xét ma trận 0   1 0  0 2  0  40       90    0 0   70   2 6  100     50    1  20  2 1 10  140      90   20   0 1 /   50     0  350      320      p1 350  x1  x2  x3   p2  320  x1  x2 5 x3   p3  50  x1  x3 Từ ma trận cuối ta hệ phương trình mới:  35 Hàm doanh thu hãng là: TR1 x1 p1 x1  350  x1  x2  x3  4 x12  x1 x2  x3 x1 350 x1 Hàm doanh thu hãng là: TR2  x2 p2  x2   320  x1  x2  x3   x2  x1 x2  x3 x2  320 x2 Hàm doanh thu hãng là: 1   TR3  x3 p3  x3   50  x1  x3   50 x3  x1 x3  x32 2   Hàm tổng doanh thu hãng là: TR TR1  TR2  TR3 x1 p1  x2 p2  x3 p3 = x12  x2  x3  x1 x2  13 x1 x3  x3 x2 350 x1  320x2  50x3 Từ biểu thức giải tích trên, ta có ma trận hàm tổng doanh thu là: TR  x1 x 13   2    4 x   x1         x   12  x    350  320  50   x     x   13   x3   3      13   2    4     A     13       Đặt T =>Xét dạng toàn phương có biểu thức hàm tổng doanh thu là: q(X)  X AX Các định thức dẫn dầu A là: k 1  D1  4  36 k   D2  2 2 2  k   D3   13  0 13 49  0 16  A không xác định dấu Vậy q X  không xác định dấu 37 ... 2 ,1 , 3,0    1,  2,0 ,  1? ?? 2 ? ? 1, 2,  1, 4? ??   3,3 ,3 ,1 ? ??   2, 4,  2,8    5, 7 ,1 , 9  B  3D   1,  2,0 ,? ?? 1? ??   4,  5 ,1 , 3   ? ? 1,  2, 0,? ??  ? ?12 ,? ?? 15 ,3 ,9   ? ?13 ,? ?? 17 ,3 ,   A  2B, C A ...   2 ,1 , 3,0   1,  2,0 ,  1? ??   4, 2,6 ,0   1,  2,0 ,1 ? ??   3,0 , 6,  1? ??  3A  2B   2 ,1 , 3,0    1,  2,0 ,? ??    6,3 , 9,0    2,? ?? 4, 0,? ??    8,7 , 9,   A  B 2 C   2 ,1 , 3,0 ... có: hệ véc tơ Bài 5: Cho hệ véc tơ minh hệ  A1 , A2 S  A1  1, 1,  ; A2  1, 2,0  ; A3  1, 0, 0 ; A4  3, 4, 4? ??  S  A 1, A 2, A3 * Chứng minh  A 1, A2 , A3  +) Xét S1  A1   A2