Bài kiểm tra điều kiện lập và tính các tổ hợp tuyến tính của hệ véc tơ trên ứng với bộ hệ số sau

HỌC VIỆN TÀI CHÍNH KHOA NGÂN HÀNG VÀ BẢO HIỂM Bài kiểm tra điều kiện Mơn: Tốn cao cấp Lớp: CQ59/10.21 Giảng viên: Đào Trọng Quyết Nhóm thực hiện: Nhóm Lê Thị Kỳ Duyên Đào Thị Vân Anh Trịnh Nguyễn Khánh Linh Nguyễn Thị Vui Hoàng Bảo Ngọc Nguyễn Phương Linh Hồng Thu Huyền Trần Linh Hương Ngơ Phúc Khang Ngô Thị Thảo Đỗ Thị Thu Trang Bài 1: Trong không gian  cho hệ véc tơ:  A1  1,3,0,  1 ; A2  1, 2,  1, 2 ; A3   3,1,1,2  Lập tính tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ ứng với hệ số sau: a)   2, 1, 3 b)   1,  3, 2 Trả lời : a.Theo định nghĩa,ứng với   2, 1,  3 ta có tổ hợp:   1     3            1  A1  A2  A3    1   3        1               1      10  b.Theo định nghĩa, ứng vớ  1,  3, 2 ta có tổ hợp:   1    A1   A2   A3  1   0      1 1    3          7    2      1 1          2      1 Bài 2: Hãy viết biểu diễn tuyến tính vecto X qua hệ vecto  A1   1,0,2  ; A2  2,  1,0  ; A3  1,1,3 ; X   3,1,  1 A1, A2 , A3 với: Trả lời: Ta có : Theo định nghĩa ta cần tìm số  , ,  cho :   3   1 2   1                   1      1 2  0   3          1  2       2 3 1 2   3    1 0  4        3  Vậy ta có biểu thị tuyến tính : X  A2  A3 3 Bài Sử dụng định nghĩa, xét độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ  A1  1,  1,2 ; A2  3,0,1 ; A3  2,  1,4 Trả lời : Theo định nghĩa , ta cần biện luận tồn 1 ,   để có đẳng thức vectơ: 1 A1   2  3 A3  03 1   3 2         1   1    0     1 2   1 4         3  2        0 2   a   0   1   0  0    0  0   Dễ thấy hệ phương trình tuyến tính có nghiệm tầm thường (0, 0, 0) Nghĩa đẳng thức vecto xảy với Như , theo định nghĩa  A1, A2 , A3 1 2 3 0 hệ độc lập tuyến tính Bài Xét xem hệ véc tơ sau có sở không gian tương ứng không?  A1  0,  1,1 ; A2  2,1,  1 ; A3  4,  1,1  không gian  Trả lời : +) Hệ có véc tơ số chiều  Xét đẳng thức: k1 A1  k2 A2  k3 A3 03 0   2    0          k1  k  k           1  1     0          2k  4k 0     k  k  k 0  k  k  k 0  3 Chọn k 1  k  12  k1 3  Hệ cho phụ thuộc tuyến tính  Hệ véc tơ ban đầu sở không gian  Bài Hãy sở tìm biểu diễn tuyến tính véc tơ lại qua sở hệ véc tơ:  A  1,  3 ; A  5, 2 ; A   1,0 ; A   2,1  4 Trả lời : Lập ma trận A với cột hệ vecto hệ cho :    2 A    3  Thực khử toàn phần ma trận A ta được: 2 9   1          17 17  B A          17       317  517  Ta thấy hai cột đầu ma trận B độc lập tuyến tính Vậy  A1 , A2 độc lập tuyến tính sở S với: 2 A1  A2 17 17 9 A  A1  A 17 17 Bài Một hãng dùng loại vật liệu để sản xuất loại sản phẩm Cho véc tơ: A3  1  2 1  3  3          A1    ; A2    ; A3    ; A4  1  ; A5    1  1  2  2  1            Trong Aj vecto định mức vật liệu để sản xuất sản phẩm thứ j A ,A ;A a Chứng minh hệ B =   hệ độc lập tuyến tính b Viết biểu diễn tuyến tính vecto cịn lại qua hệ B nêu ý nghĩa kinh tế c Tính số lượng loại vật liệu cần sử dụng để sản xuất tương ứng 10,45,30,72,20 đơn vị sản phẩm từ loại đến loại 1 A2  2 A4  3 A5 03  2  3    0          1    2    3  0  0 1  2    0          21  3  3     1  2 0   2      1 2 3 0 Trả lời : a) Theo định nghĩa , ta cần biện luận    tồn , , để có đẳng thức vectơ: Dễ thấy hệ phương trình tuyến tính có nghiệm tầm thường (0, 0, 0) Nghĩa đẳng thức vecto xảy với Như vậy, theo định nghĩa B=  A 2, A4; A5 1   0 hệ độc lập tuyến tính b) +Biểu diễn A1 ta có:  1  32  33 1    1  2 2       1   1 2   2 0   3   A1 2 A2  A5  A1  A5 2 A2 Ý nghĩa kinh tế : Nếu bớt đơn vị sản phẩm ta đơn vị sản phẩm đơn vị sản phẩm +Biểu diễn A3 ta có :   1   1  32  33 1       1    2   2       3  3   3  A3  A2  A4  A5 2 3  A3  A5  A2  A4 2 Ý nghĩa kinh tế: Nếu bớt 1/2 đơn vị sản phẩm 3/2 đơn vị sản phẩm ta đơn vị sản phẩm 3/2 đơn vị sản phẩm c Số lượng vật liệu vừa đủ để sản xuất lượng sản phẩm yêu cầu :  400  10 A1 45 A2 30 A3 70 A4  20 A5 195   275    Vật liệu = n A, B ,C , X  Bài 7: Trong không gian  cho hệ vecto S= Chứng minh S độc A  X , B  X ,C  X  lập tuyến tính hệ  độc lập tuyến tính, điều ngược lại có khơng ? Trả lời: Giả sử {A, B, C, X} độc lập tuyến tính Ta chứng minh {A+X, B+X, C+X} độc lập tuyến tính Xét: k1( A  X )  k 2( B  X )  k 3(C  X ) 0 n  (k  k  k )X  k 1A k 2B  k 3C 0n Do {A, B, C, X} độc lập tuyến tính nên đẳng thức xảy k1 k k k1  k  k 0 Từ => hệ {A+X, B+X, C+X} độc lập tuyến tính Ngược lại, {A+X, B+X, C+X} độc lập tuyến tính, ta chứng minh {A, B, C, X} độc lập tuyến tính Vì {A+X, B+X, C+X} độc lập tuyến tính nên đẳng thức k1 ( A  X )  k (B  X )  k (C  X ) 0n xảy k1 k k3 0 Hay k1 A  k B  k 3C  (k  k  k ) X 0 n xảy k1 k k3 0  k1 k k3 k1  k  k 0 Chứng tỏ hệ {A, B, C, X} độc lập tuyến tính Bài 8: Cho ma trận:   3 A   ;B 1  2    1   1       ; C     3   4     Tìm ma trận X biết : X  AT  B  0 12 Trả lời : Ta có: X  A T  B  0 12    X       2  0      1   3     0    5 1  0  X         3   1     (1) Từ (1) => ma trận X ma trận cấp (1x3) Gọi X  a b c  ta được:  3  a  5b  4c 0  1    a b c         3  a  b  c 0   1     6 a  5b  c 0 b 2c    X   c 2c c  6 a  2b  2c 0 a c Kết luận : Hệ phương trình có vơ số nghiệm nên có vơ số ma trận X thỏa mãn X  A T  B  0 12 Bài : Cho ma trận: 2  1  A = 2 1     ;   1 B   0 3  1  C        3   ; Tìm ma trận X thỏa mãn phương trình ma trận sau phương pháp ma trận nghịch đảo: AX=C Trả lời: Có AX C  X  A  1.C  1  2 A 1      4  3 Với   1  3         X  A  C       5 3  Bài 10 Bằng việc tính định thức hạng ma trận, xét độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính hệ véc tơ sau: { A₁  0,1, 2,  ; A₂   3, 2, 3, 0 ; A₃  5, 3, 4,  3 } Trả lời: 0  1 X    3      5 0        0 11    1      4      1        3   0 0     12    Xét ma trận Vậy hệ vectơ ban đầu độc lập tuyến tính  0  1  0  0 0   0  0  Bài 11 Sử dụng phương pháp khử tồn phần, tìm hạng, sở viết biểu thị tuyến tính hệ véc tơ sở qua sở hệ véc tơ sau:  A1  1, 2,  1 ; A2  0,1, 2 ; A3  1, 4,  1 ; A4   1, 4,3 ; A5   1,  5,  1  Trả lời : 1 1   1     1   1   4            1     X            1  2    0  4  10  1 0 7 0   0 1     0  1   Vậy : h(X) = Cơ sở :  A1; A2; A3 A ₄  A₁  A₂  A₃ Với : A5  A₂  A₃ Bài 12 Một doanh nghiệp sử dụng loại vật liệu thô I, II, III, IV để sản xuất loại sản phẩm X, Y, Z.Định mức tiêu hao vật liệu thô cho đơn vị sản phẩm loại cho bảng sau: Loại vật liệu thô Định mức nguyên liệu cho đơn vị sản phẩm X Y Z I II 3 III 4 IV a) Hãy mô tả dạng ma trận bảng định mức tiêu hao nguyên liệu b) Viết dạng biểu thức ma trận tính giá trị biểu thức để xác định số lượng vật liệu thô loại đủ để sản xuất 30, 50, 20 đơn vị loại sản phẩm X, Y, Z tương ứng Trả lời: a) Ta có : Ma trận bảng định mức tiêu hao nguyên liệu là: 2  4 A   5   4 5  2 4  3   b)  30  B  50  20    ma trận sản lượng +) Gọi ma trận +) Ta có số lượng vật liệu thô loại để để sản xuất 30,50,20 đơn vị loại sản phẩm X,Y,Z tương ứng là: 10 1  0    B / E     1    11  0    52 41    79 17 17   0 17    11 19   17 17 17  0  4  17 17 17   41   52  79 17 17   17 1    11 19 B  17 17   17  4   17 17 17  Ta có: B.X=C  X B  C 41   79  52 17 17        17        11 19  X  17 17       17      4   17      17 17 17  1  X     2   Vậy nghiệm hệ Bài 16 Giải hệ phương trình sau phương pháp khử tồn phần (tìm nghiệm tổng quát nghiệm riêng hệ)  x  x  x  x 1    x1  x3  x4 2  2 x1  x2  3x3  x4 0    x1  x2  x3  Trả lời : Xét A 14   A     1 1 1   0  0 0 0 0 11   1 2   3 1     1 1  1  11    0 2     2     0  6       13    0 8   0   12     HPT có nghiệm  0 2 0  4 01   0 13  4 1  0 0  0 1 2 0 2      5    1  x1     x2    x3 1   x4  X ( , ,1, ) 4 Bài 17 Tìm nghiệm khơng âm hệ ràng buộc sau:  x1  x2  x3  x5 7  2 x1  x2  x4 12 4 x  x  x  x  x 12  Trả lời :  x1  3x2  x3  3x5   2x1  2x  2x 12 4x  x  2x  2x  x 12  Xét A 15 1 A  2  4  1   1 2   0   1  1  1  0 0   1 1 1  2 7  12  112 7  6    7 6   12   2  06  Từ ma trận cuối ta có hpt mới:  x2  x5 2   x1  x  x 6  x  x 1  Đặt x 3, x4, x5 ẩn sở x1 , x2 ẩn tự Cho x1  , x  ta có cơng thức nghiệm tổng qt: X=  x   x    x 1    x 6       x 2   Cho α=β=0 => nghiệm không âm hệ ràng buộc X= (0 2)T Vậy nghiệm không âm hệ ràng buộc là: 16 X= (0 2)T Bài 18 Tìm nghiệm hệ ràng buộc sau phương pháp khử toàn phần 2 x1  x2  x3  x4  x5 1  x   x2  x3  x  x5 1  x  x  x  x  x 0   x 0,  j 1,  j Trả lời : Xét A  1 1 A          1 1 0     3 1           0      1 1 0  1  1   1  4 4      9   2 2    3  4 4  13   02   13   Từ dòng ma trận cuối => Hệ ràng buộc vô nghiệm không âm Bài 19 Chuyển hệ hỗn hợp sau dạng tắc tìm nghiệm hệ:  x1  x2  x3  x 9   x1  x2  x3  x4  10  x1  3x2  x3  x4    x  0, j 1,  j Trả lời : 17  x1  2x  x  x     x1  x2  x3  x4  10      x3 x  x1 x  x 0,  1, j  j Sử dụng ẩn bù x5 , x6 ta thu hệ:  x1  x2  x3  x  x 9  x  x  x  x  x  10  2   x  3x  4x  x  4   x j 0,  j 1,6   x1  x  x  x  x 9 x  x  x  x  x   2 10  x  3x  4x  x  4   x j 0,  j 1,6  Xét ma trận  2 1 1  A  1  2 10     1 4 1 0    1  1      0 3 1 1     13    1       0   3 1 1 3 4 29  3 1  3   38  3 Từ dòng ma trận cuối => Hệ ràng buộc vơ nghiệm khơng âm (vì phần tử bên ma trận A < mà phía ma trận B > Bài 20 Một hãng sử dụng loại vật liệu để sản xuất loại sản phẩm Cho véc tơ  3  2  1         A1  4 , A2  3 , A3  2 , A4   2  4  1          155 4    2 ,B  160 ,C  195 3    x1   4     x   ,X  2  5 x  3  7    x4  18 Trong Ak ,k 1,4 véc tơ định mức thể số đơn vị vật liệu loại đủ dùng để sản xuất đơn vị sản phẩm loại k , B véc tơ thể số lượng đơn vị vật liệu loại mà hãng sử dụng , cj x ma trận C lãi đơn vị sản phẩm loại j j cho ma trận X sản lượng sản phẩm loại j ( j 1,4) a) Viết hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng loại sản phẩm mà hãng sản xuất sử dụng hết số vật liệu cho B b) Tìm nghiệm sở, với , ,x xlà cxác ẩn sở, hệ lập ý a)bằng phương pháp khử tồn phần Tính tổng số lãi ứng với kết vừa tìm Trả lời : a) Hệ ràng buộc tuyến tính xác định số lượng loại sản phẩm là: 3 x1  x2  x3  x4 155  x  x  x  x  4 2 160 2 x  x  x  x 195   x j 0,j 1,  (1) b) *Xét ma trận 3 A   2   1   2 0   0 1  1 155   160    0 195     5 52   13   11   27   13   46  13    13 2 0 1  75   80  115     20  15   30    19  x  13   27 x 13   13 x1  *Hệ (1)  x3  x2  x4 20 15 30 x 30  x1 0  x3 15 x 20  *Nghiệm sở: Cho 0     30  15    Vậy nghiệm sở X=  20  0     30   15    *Tổng số lãi tương ứng: X.C=  20   4    3  5     =305 Bài 21 Một hãng dùng loại vật liệu thô liệu để sản xuất loại sản phẩm trung gian Sau đó, từ loại sản phẩm trung gian, hãng sản xuất loại thành phẩm Cho ma trận : 3  A  1   0  2 1 1   4 B  1   1 2 2  , , Trong aij cho ma trận A số đơn vị vật liệu thô loại cần để sản xuất 1đơn vị sản phẩm trung gian loại j , bij cho ma trận B số lượng đơn vị sản phẩm trung gian loại j cần để sản xuất đơn vị thành phẩm loại k (i 1,4; j; k 1,3) a) Tính số đơn vị vật liệu thô loại vừa đủ để sản xuất 320, 150, 430 đơn vị sản phẩm trung gian loại 1, 2, tương ứng b) Viết hệ ràng buộc tuyến tính để xác định sản lượng loại thành phẩm hãng sử dụng hết số sản phẩm trung gian cho ý a) Sử dụng 20 phương pháp khử toàn phần, tìm nghiệm hệ c) Tính AB nêu ý nghĩa kinh tế kết vừa tính Trả lời : a) Đặt  320  X  250  430    - Số sản phẩm trung gian loại 1,2,3 tương ứng Số đơn vị vật liệu thô loại vừa đủ để sản xuất số sản phẩm trung gian cho X là: 3  A.X  1  4 0  1110    320    1  1220    150     2040      430   2  2140  b) Gọi x1 , x2 , x3 số thành phần loại 1,2,3 + Hệ ràng buộc tuyến tính xác định x 2x1 x x x3   x 2 x 2 x   x j 0, j 1,3  xj là: 320 150 430 +Xét ma trận 21  A     0   1 0    20  320     150    1 150  0 2 430  280    20   100     150    0 70   0 80  240     x1 70    x 100  x 80   70  X 100  80    Vậy Nếu hãng sử dụng hết số sản phẩm trung gian cho X số thành phẩm loại 1,2,3 70;100;80 3  A B  1  4 c) 1 0 0 7  2 1  1    1   6 4    2   2 10 4  5 9  8 Ý nghĩa: Số lượng vật liệu thô đủ để sản xuất số lượng loại sản phẩm nêu tính biểu thức ma trận A.B Bài 22 Khảo sát thị trường loại hàng hóa có liên quan 1, 2,3 Lượng cung lượng cầu loại hàng hoá i hàm phụ thuộc vào giá thị trường pi (i 1,3) loại hàng hoá cho :  q1s   p1 qd1 10  p1  p  s  d  q  p q2 26   p2  p3  s  d q3  10  p3 q 12  p1  p  p3  Hệ phương trình cung hệ phương trình cầu  s d , 1,3  tham số thực Thị trường hàng hoá i gọi cân qi qi i  a) Viết hệ phương trình xác định mức giá p1 , p2 , p3 làm cân ba thị trường 22 ba loại hàng hoá dạng ma trận tìmđiều kiện  để hệ phương trình thu hệ Cramer b) Với  2 , sử dụng phương pháp ma trận nghịch đảo để xác định mức giá cân thị trường ba loại hàng hoá Trả lời : q s q d i  1,3 j, a) *Từ điều kiện cân cung cầu i , ta rút hệ phương trình tuyến tính xác định mức giá cân p1 ,p2 , p3 có dạng:   p1 10  p1  p3    p2 26   p2  p3  10  p 12  p  p  p  3 3 p1    p  p2  p3  p3 15 26  p 4 p 22 *Điều kiện  để hệ phương trình hệ Cramer +)Hệ có số phương trình số ẩn (cùng 3) +) det A  2 0 1  3. 8  1    2    24   2  3   22 3  22 hệ phương trình thu hệ Cramer Vậy với  3 p     p   b) Với  2 ta có:  4p2  p2  p3  p3  p3 15 26 22 (1)  1  p1   15        A   , P  p  , B  26    4  p   22     3   Đặt 23  1  A.P B  P A  1.B  17 47  1  A  47    47   3    P    6   1 47 11 47 47 4  47   3 47   12 47  Vậy với λ=2, mức giá cân thị trường loại hàng hố tính  3   P    6   biểu thức ma trận Bài 23 Cho ma trận X  x1 x2 x3 x  T A ( aij ) 44 4 ij aij   1 i  j với i , j 1, ma trận với Chứng minh phương trình có nghiệm AX 04 có nghiệm Trả lời : 4 1 A  1  1 1 1 1  1  4  det A 189 0  * Theo đề ta có 4x1  x  x  x 0   x 4x2  x3  x4 0 1 x1  x2  4x3  x4 0 x1  x2  x3  x4 0 AX= 04 (1) Hệ (1) có ẩn phương trình (*’) Từ (*) (*’) => Hệ (1) hệ Cramer, mà hệ Cramer ln có nghiệm 24 => Phương trình AX= 04 có nghiệm x, p Bài 24 Ba hãng tham gia sản xuất tiêu thụ loại sản phẩm Kí hiệu i i sản lượng giá đơn vị sản phẩm hãng Biết sản lượng hãng i (i 1,2,3) phụ thuộc vào giá bán sản phẩm tất hãng sau : x1 35  mp1  p2  p3 , x2 35  p1  p2  p3 , x3 20  p1  p2  p3 a) Giả sử sản lượng ba hãng 90;60và 80, tìm điều kiện tham số m để doanh thu hãng thứ tổng doanh thu hai hãng cịn lại b) Với m tìm câu a), biểu diễn dạng ma trận hàm tổng doanh thu hãng hãng Trả lời : a) Từ giả thiết ta có hệ ràng buộc: 35  mp1  p2  p3 90  35  p1  p2  p3 60  20  p1  p  p 80 90 p1 60 p2  80 p3 (1) Xét hệ phương trình  p1  2p  p 25   p1  p  p 60   90 p1  p2  p3 0  p1 20   p 10  p 15  Thay vào (1) ta tìm được: m 3 Vậy với m 3 doanh thu hàng thứ = tổng doanh thu hai hàng lại i  i 1,3  b) Gọi fi doanh thu f  p   p1x1  p1  35  p1  p  p  35 p  p 12  p p  p p f  p  p2 x2 p  35  p1  p2  p3  35 p2  p1 p  p 22  p p  p1    f  p   35 35 0  p2    p1    p3  p2   p3  1x    1  2 1 1  2  p1       p2  2     p3  x1  x3 25 ...4 Bài 1: Trong không gian  cho hệ véc tơ:  A1  1,3,0,  1 ; A2  1, 2,  1, 2 ; A3   3,1,1,2  Lập tính tổ hợp tuyến tính hệ véc tơ ứng với hệ số sau: a)   2, 1,... Chứng minh S độc A  X , B  X ,C  X  lập tuyến tính hệ  độc lập tuyến tính, điều ngược lại có khơng ? Trả lời: Giả sử {A, B, C, X} độc lập tuyến tính Ta chứng minh {A+X, B+X, C+X} độc lập tuyến. .. Vậy hệ vectơ ban đầu độc lập tuyến tính  0  1  0  0 0   0  0  Bài 11 Sử dụng phương pháp khử tồn phần, tìm hạng, sở viết biểu thị tuyến tính hệ véc tơ sở qua sở hệ véc tơ sau: