(LUẬN văn THẠC sĩ) sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không kahler

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ VÂN ANH SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHƠNG K𝑨HLER LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN - 2016 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ VÂN ANH SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K𝑨HLER Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI THÁI NGUYÊN - 2016 download by : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết trình bày luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài công bố Tôi xin cam đoan tài liệu trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái nguyên, tháng 04 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Vân Anh i download by : skknchat@gmail.com M C C Trang Trang bìa phụ L i cam đoan i Mục lục ii LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức 1.2 Đa tạp phức 1.3 Hàm chỉnh hình, hàm phân hình 1.4 Metric Hermit đa tạp phức 1.6 Hàm đa điều hòa 1.7 Dòng 1.8 Miền giả lồi 1.9 Mặt cầu Chương SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER 10 2.1 Ánh xạ phân hình khơng gian chu trình 10 2.1.1 Khơng gian chu trình gắn với ánh xạ phân hình 10 2.1.2 Tính giải tích C f cách xây dựng G f 14 2.2 Thác triển kiểu Hartogs ánh xạ phân hình 29 2.2.1 Tổng quát lí thuyết đa vị 29 2.2.2 Thác triển kiểu Hartogs ánh xạ phân hình từ hình Hartogs HUn1  r  vào khơng gian phức lồi đĩa 35 KẾT UẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57 ii download by : skknchat@gmail.com LỜI MỞ ĐẦU Giải tích phức hay cịn gọi lý thuyết hàm biến phức nhánh toán học nghiên cứu hệ hàm số hay nhiều biến biến số số phức Trong đó, thác triển phân hình tốn trung tâm Giải tích phức Những năm gần đây, thác triển phân hình vấn đề nhận quan tâm nhiều nhà toán học giới Trong luận văn này, nghiên cứu vấn đề sau: Giả sử, cho tập mở khác rỗng ̂ Vậy, giá trị cực đại , ánh xạ f thác triển cho f thác triển phân hình ̂ ? Vấn đề gọi thác triển kiểu Hartogs Nếu ̂ với f lấy giá trị X gốc (khác rỗng) U ta nói định lý thác triển kiểu Hartogs với ánh xạ phân hình vào X Với , tức với hàm chỉnh hình, định lý thác triển kiểu Hartogs chứng minh F Hartogs Nếu , tức hàm phân hình, kết chứng minh E Levi Từ đó, định lý thác triển kiểu Hartogs chứng minh hai lần cho nhiều trư ng hợp tổng quát khơng riêng hàm chỉnh hình hay hàm phân hình Để hệ thống lại kết thác triển ánh xạ phân hình với giá trị đa tạp phức không K hler, trình bày hai chương luận văn: Chương 1: Trình bày kiến thức sở khơng gian phức, hàm chỉnh hình, hàm phân hình, đa tạp phức, tập giải tích, đa điều hịa dưới, phủ, mặt cầu Chương 2: Trình bày lại cách chi tiết rõ ràng kết nghiên cứu vềsự thác triển ánh xạ phân hình với giá trị đa tạp phức không K hler download by : skknchat@gmail.com Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, em nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình TS Nguyễn Thị Tuyết Mai (Đại học sư phạm - ĐH Thái Nguyên) Em xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến xin gửi l i tri ân em điều cô dành cho em Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Phòng Đào tạo sau Đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K22A (2014 – 2016) Trư ng Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện tận tình truyền đạt kiến thức quý báu cho em hồn thành khóa học Em xin gửi l i cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngư i động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho em suốt trình học tập thực luận văn Mặc dù cố gắng nhiều luận tránh khỏi thiếu sót Em mong có ý kiến đóng góp thầy bạn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Vân Anh download by : skknchat@gmail.com Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức 1.1.1 Định nghĩa không gian phức Định nghĩa 1.1: Xét không gian Oclit n chiều chẵn R2n , điểm có thứ tự 2n số thực  x1, x2n  Ta đưa vào cấu trúc phức cách đặt zv  xv  ixnv (v  1, n) Ta thư ng kí hiệu xnv  yv nên zv  xv  iyv (v  1, , n) Không gian mà điểm n số phức (hữu hạn) z   z1, zn   zv  gọi không gian phức n chiều kí hiệu n = 1, ta có khơng gian Đặc biệt, mặt phẳng số phức Có thể xem rằng, với n tùy ý, ⏟ tích n mặt phẳng phức 1.1.2 Khơng gian phức chuẩn tắc Định nghĩa 1.2: Cho E không gian vecto phức Một giả chuẩn p E ánh xạ từ E vào tập số thực không âm thỏa mãn: (i) p( (ii) p( ) ) p( ) p( ) với a, b | |p( ) với E , với a E Giả chuẩn p E xác định tôpô E (* lân cận mở p( ) + ) Không gian vecto phức E với tôpô định nghĩa gọi không gian giả chuẩn tắc Nếu p chuẩn E khơng gian phức E gọi khơng gian phức chuẩn tắc Nói cách khác, khơng gian phức E không gian phức chuẩn tắc p thỏa mãn điều kiện (i) (ii) điều kiện sau: download by : skknchat@gmail.com (iii) p( ) a = 1.1.3 Không gian phức khả quy Định nghĩa 1.3: Một cặp ( ) gọi không gian vành phức nếu: X không gian tôpô; 𝓗 bó -đại số địa phương X Định nghĩa 1.4:Một không gian phức khả quy không gian vành phức ( ) mà có tính chất sau: X khơng gian Hausdorff; có lân cận mở ( ) Với điểm A cho ( | ) tập giải tích ( )) ( n (A nằm tập mở B ( ):=(𝒪/𝓘(A)|A, 𝓘(A) bó ideal A) 1.2 Đa tạp phức 1.2.1 Định nghĩa đa tạp phức Định nghĩa 1.5: Cho M không gian tôpô Hausdorff V tập mở M  : V  n ánh xạ Khi đó: Cặp V ,   gọi đồ địa phương M, điều kiện sau thỏa mãn: i)  (V ) tập mở n , ii)  : V   (V) đồng phôi Định nghĩa 1.6: Họ   (Vi , i )iI M gọi tập đồ giải tích (atlas) M điều kiện sau thỏa mãn i) Vi iI phủ mở M, download by : skknchat@gmail.com ii) Với Vi ,V j mà Vi V j  , ánh xạ  j i 1 : i (Vi V j )   j (Vi V j ) ánh xạ chỉnh hình Xét họ atlas M Hai atlas gọi tương đương hợp chúng atlas M Dễ thấy tương đương atlas lập thành quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương quan hệ tương đương gọi cấu trúc khả vi phức M M với cấu trúc khả vi phức gọi đa tạp phức n chiều Ví dụ: Cho D n miền Khi đó, D đa tạp phức n chiều với đồ địa phương  D, Id D  n Định nghĩa 1.7: Cho U miền Một tập V U đa tạp với z U có lân cận U z hàm chỉnh hình f1, ft U z cho: V U z  x U z : f1  x   0, , ft  x   0  V  f1, ft  1.2.2 Tập giải tích đa tạp phức Định nghĩa 1.8: Cho  đa tạp phức (một miền Một tập A )  gọi tập giải tích  với điểm a  có lân cận U a hàm * chỉnh hình U cho: ( ) ( ) + Định nghĩa 1.9: Một tập A đa tạp phức  gọi tập giải tích (địa phương) M tập không điểm chung họ hữu hạn hàm chỉnh hình lân cận điểm Nhận xét: + Mọi miền D tích n n D  tập giải tích n n tập giải download by : skknchat@gmail.com + Mọi tập giải tích (địa phương) đa tạp phức tập giải tích lân cận Định nghĩa 1.10: Một tập giải tích A gọi khả quy tồn tập giải tích cho: ; A i  A, i  1,2 Nếu A không khả quy A gọi bất khả quy Định nghĩa 1.11: Tập giải tích bất khả quy A tập giải tích A gọi thành phần bất khả quy A tập giải tích A A A A cho A  A khả quy 1.3 Hàm chỉnh hình, hàm phân hình Định nghĩa 1.12: Một hàm giá trị phức f xác định tập mở D n gọi chỉnh hình cận mở U, w U f  z    v1 0 n với điểm w  D có lân D cho hàm f có khai triển thành chuỗi lũy thừa av1  z1  w1   zn  w n  v hội tụ với z U Kí hiệu 𝒪( ) tập tất hàm chỉnh hình D Định nghĩa 1.13: Một hàm phân hình X cặp  A, f  thỏa mãn tính chất sau: 1) A tập X 2) F hàm chỉnh hình X-A 3) Với điểm x0  A , có lân cận U  x0  X hàm chỉnh hình g, h U cho: a A U  x U | h  x   0 b Các mầm g x0 , hx0 nguyên tố c f  x   g  x  / h  x  với x U  A download by : skknchat@gmail.com Chứng minh bước 2: dim  H z2'  I  f   tức H z2' Xét tập R2 R1 chứa z '  nr1 mà I  f  Đây hợp hữu hạn đa tạp đóng địa phương  nr1 đối chiều phức Do z 'R2  z ' có đối chiều Hausdoff   Với z '  R1 \ R2  z '  nr1 : dim  H z2' 1  r   I  f   , sử dụng chứng minh trư ng hợp hai chiều, ta thác triển chỉnh hình f z '  2z ' trừ tập cực 0-chiều Lặp lại lập luận từ bước 1, ta thác triển chỉnh hình f tới lân cận  2z ' \ Cz ' nr1   Ở đây, Cz ' đư ng cong phức chứa tất thành phần 1-chiều H z2' 1  r   I  f  z 'R1 \ R2 Cz ' có đối chiều Hausdoff Do vậy, chứng minh bước hoàn thành đặt R  z 'R1 \ R2 C z '  z 'R2  z ' Bước 3: Ta nói rõ bước dạng bổ đề Bổ đề 2.20: Tồn tập đóng, (n-1)-cực đầy A R thác triển chỉnh hình f  nr1    \ A cho dịng T : f * có hệ số khả tổng địa phương lân cận A Hơn nữa, dd c T âm, ̃ thác triển tầm thường T Lấy điểm z0  R , R số đối chiều Hausdoff n1 , tìm lân cận V z0 với hệ tọa độ  z1, , zn1  cho V  n1  2 tọa độ với z ' n1 ta có R  2z '  Theo mục a, hạn chế f z ' thác triển chỉnh hình 2z ' \ A  z ' , A  z ' tập đóng đa cực đầy  2z ' Hausdoff chiều Lập luận tương tự bước 1, f thác triển chỉnh hình tới lân cận V \ A, A : z 'n 1 A  z ' 44 download by : skknchat@gmail.com Xét dòng T  f * xác định  n1    \ R Chú ý T trơn, dương ddcT  Theo bổ đề 2.13, ánh xạ hạn chế Tz ' : T |2  L1loc  2z '  , z '  n1 z' Ta sử dụng bất đẳng thức kiểu Oka cho dịng đa âm: Có số   C cho với dịng đa âm T  ,    T   ddcT   C T  \    (2.3.1) với    Áp dụng 2.3.1 cho thác triển tầm thư ng T z ' Tz ' , đa âm theo (b) bổ đề 2.12 để đạt khối Tz '    bị chặn z ' tập compact  n1 Trên L1 , khối định chuẩn trùng với L1 - định chuẩn Lấy nhân tử thứ hai n1  2 với độ dốc khác sử dụng định lí Fubini ta có   T  L1loc  n1   Tất điều trái để chứng minh dd c T âm Nó đủ để với tập hợp L (n-1) hàm tuyến tính l1, , ln1 với độ đo i i dd c T  l1  l1   ln1  ln1 khơng dương; xem [10] Hồn thiện 2 hàm số với hệ tọa độ z1  l1, , zn1  ln1, zn , zn1 ý hầu hết tập hợp L tập  2z '  A có số chiều Hausdoff với z '  n1 Do đó,   T |z ' đa âm với z’ Lấy hàm không âm   D  n1 , ta có 45 download by : skknchat@gmail.com  n  1!   i i dd c T  l1  l1   ln1  ln1 ,  2 n 1  T  dd c z '   dd c z '   dd c z '  n 1  n 1  n 1  dd c    c c   T  dd   n1 dd z ' z'   n 1 n 1   n 1  T z ' dd c   dd c  T     z '   Ở đây, ta sử dụng định lí Fubini cho L1 -hàm thực tế  T   T z '  z ' với dịng từ L1loc mà trơn bên ngồi tập A phù hợp cuối đa âm T z ' Do đó, T đa âm Ta có thác triển  nr1   \ A điều hiển nhiên cho thấy thác triển chỉnh hình  n1 \ A , A có độ đo Hausdoff (2n-1)-chiều (n-1)-cực đầy Do vậy, phần định lí 2.19 chứng minh Cho W tập mở lớn  n1 cho f thác triển phân hình c   W Kí hiệu   x0 ,dd T  số Lelong dịng âm đóng dd c T     c   Bổ đề 2.21: Với điều kiện trên, x0  W   x0 ,dd T       Chứng minh: Tìm hệ tọa độ trực chuẩn  z1, , zn1   z ',  zn , zn1   z '' với tâm x0 , r0  cho với x '  n1  r0  giao  2x '  I  f  hữu hạn Ở  đây, I  f  tập bất định f Với r0  r  , tập  f  r  : p 1  n1  x0 , r      f , x '  r  : p 1  2x '  r  Chú ý định lí hình học phẳng , xem [4],   vol  f , x '  r0    C với x '    r0  Vì T  T W, ta thấy   46 download by : skknchat@gmail.com      x0 ,ddc T   lim 2 n1  n1 ddcT  ddc z   x0 ,r  r    r   n1  2.3.6 Tích phân (và giới hạn) ước lượng tổng tích phân dạng lim  n 1 r 0 r 2 n1   x0 ,r   ddcT  ddc z '   n1  2.3.7  với đủ nhiều hệ tọa độ trực chuẩn tâm x0 Ta chứng minh giới hạn cuối Đầu tiên ý  n 1  0,r   dd cT  dd c z '   n1   n 1 r   0,r 2 n 1 dd c z ' sup z ' Bây gi , ta cần chứng minh sup  n1 n 1 z '  0,r  n 1   0,r   z '  0,r  z '  0,r   dd cT dd cT z '  0,r   2.3.8 ddcT  r  Ta có điều bước Bước  0'  0,r  ddcT  r  Lấy phần tử bất khả quy  f ,0  r0   f ,0'  r0  mà phép chiếu lên 0'  0, r  toàn ánh Đây đồ thị hạn chế f |2 '  0,r0  Làm tương tự với r  r0 Lưu ý  f ,0  r   f ,0  r0  Khi r  ,  f ,0  r  co tới hợp hữu hạn đư ng cong – sợi f |0'  0,r0  qua Nói riêng, vol[ f ,0  r  ]  Do ddcT  ddc *  4-dạng trơn  f ,0  r0  thẳng mà Bước sup  0'  0,r   dd n 1 z '   0,r   2z '  0,r  zn'  0, rn  cho  zn' ddcT  T  r  Mặt khác, ta tìm chuỗi c  0,rn  dd cT    Lấy r0    cho 20',    I  f    ý 2z',   I  f    với z’ gần tới Thì 47 download by : skknchat@gmail.com 0    2'  0,rn  dd cT    2'  0,   zn dd cT zn  d cT    2'  0,   zn  02 '  0,   d cT    02 '  0,   dd cT Nhưng   tích phân cuối tiến tới theo bước (mâu thuẫn   ) Vậy bổ đề chứng minh c Chứng minh với số chiều cao hơn:Trường hợp đa đóng Cố định điểm a  A giả sử có “transversal sphere”   x  P : x  a    2-phẳng qua a cho f ( 3) tương ứng với X Ta chứng minh trường hợp f thác triển phân hình tới lân cận a Viết W  Bn1  B2 cho vài lân cận của điểm a  A  cho B n 1   B  A   với z '  B n1 ta có f  Bz2'  Trước hết, ta chứng minh điều sau: Bổ đề 2.22: Giả sử metric dạng  X đa đóng với z '  B n1 , f  Bz2'  X Thì: (i) dd c T  theo nghĩa hàm suy rộng (ii) Tồn (1, 0)-dòng  W, trơn W\A cho   T  i    Chứng minh (i) Cho T  độ trơn T theo tích chập Thì T  đa âm T   T Dn,n (W) Ta có  W   d T   dd dd c T  dd c z '  c B n 1  B  n 1    d c T  dd c z ' W c z'  n 1  B n 1B  n 1  d c T  dd c z '  n 1  2.4.1 48 download by : skknchat@gmail.com Tích phân triệt tiêu xét đến bậc Do  dd c T  dd c z ' Quan sát thấy  Bz2'  n 1  W   B d c T   Bz2' n 1 d c T   nên vế phải (2.4.2) tiến tới   dd c T  dd c z '  n 1  dd c z '  W   lim   f Bz2'   n 1  Bz2' d c T  2.4.2 d c  , f  Bz2'  X Ta có  dd c T  dd c z '  n 1  W    2.4.3 Lấy đủ hệ tọa độ ta thấy dd c T  W   (ii)  T  -đóng  -đóng (2,1)-dịng Do vậy,   Dn1,n1  W   -đóng cho    T  trơn W\A theo elliptic   quy  Ta có d T   T   T     Do đó, d  T       Nên   T     dịng d-đóng bậc W Xét hệ elliptic W sau:  2.4.4  d  T     , d *   Thì (2.4.4) có nghiệm W Thật vậy, cho  nghiệm phương trình Tìm hàm suy rộng  *d * d    *d *  đặt     d Bây gi W với  trơn W\A   1,0     d * d   dd *   d *  T      Viết   i  1,0   - dạng chung   1-dạng thực Ta có i 1,0   i  T  d      d i 1,0  i 1,0   i 1,0 1,0   cho:  i 1,0   i  1,0   1,0 đó,  1,0 quy Bây gi ,    1,0 thỏa mãn (ii) 49 download by : skknchat@gmail.com   2.4.5 Bổ đề 2.23: Nếu T đa đóng khối  f  Bz2  X bị chặn với z  Brn1 ' z f thác triển phân hình W Chứng minh: Đặt S : T  ddc z , z   zn , zn1  Chú ý T đa đóng S đa đóng Tìm  1,0 với S bổ đề 2.22 tức  1,0  (0, 1)-dòng W, trơn W\A cho S  i   1,0    1,0 Làm trơn  1,0 theo tích chập ta có S   i     1,0 Thì với z '  Bn1 Az ' : A  Bz2' ta có:   vol  f z '   S  lim  Bz2' \ Az '  Bz ' \ Az ' S    lim  i d       d       lim  i       d        i       d       const 2  lim  S   lim  i       Bz ' Bz2' Bz2'   1,0  1,0 1,0  1,0 1,0 Bz ' 1,0  1,0   1,0 1,0 1,0   1,0 1,0 Bz2' 1,0   1,0  2.4.6  Trong bất đẳng thức thứ nhất, ta sử dụng tính dương T Trong bất đẳng thức thứ hai,thực tế cùng,  1,0   1,0 B hạn với vol   f z'  Bz2' \ Az ' n 1 1,0 1,0 1,0 i     1,0 dương       Cuối  B ,  1,0 trơn Điều cho ta yêu cầu giới S2 Bổ đề 2.5 (với k = 2) cho ta thác triển f W  Bn1  B2 Bổ đề định lí 2.19 chứng minh Ta kết thúc với hai ý cấu trúc tập kì dị A ánh xạ có mặt dạng metric đa đóng 50 download by : skknchat@gmail.com Xét hai phép chiếu tự nhiên  :  n1   n1   zn  : n1   n1   zn1 Quan sát thấy  j | A riêng, j  1, Tập Aj   j ( A) Ta chứng minh Aj giả lõm  n nhận vị Sadullaev Bổ đề 2.24: Aj đa cực đầy nữa, nhận vị Sadullaev Chứng minh: Nhắc lại vị Sadullaev cho tập đa cực đầy đóng Aj  n hàm đa điều hòa  j  n cho  j đa điều hòa  n \ Aj Aj  z   n : j  z    Với z '   z1 , , zn   n \ Aj xác định hàm xác định diện tích a j  z ' (2.2.3) Chứng minh bổ đề 2.17 cho thấy dd c a j (1, 1)-dạng trơn  n Ta khẳng định a j  z '   z '  Aj Giả sử, có chuỗi  pk   n \ Aj cho pk  p0  Aj  j  pk   C0 với vài C0 k Hệ 2.9 trư ng hợp cho thấy đư ng cong W lân cận p0 cho f thác triển phân hình W  Từ thực tế này, ta có “transversal sphere” n1 \ A cho f ( ) X Điều nàu mâu thuẫn với định lí 2.19 Bây gi , a j  z '   z '  Aj Tìm vài hàm trơn h j  z ' cho ddc h j  dd c a j đặt  j  h j  a j Nhắc lại tập đóng Aj  n giả lõm  n \ Aj giả lồi Hệ 2.25: Aj giả lõm Chứng minh: Nó đủ để chứng minh với ánh xạ chỉnh hình  : 2  r   n  : H2  r    n \ Aj      n \ Aj Cho  j vị Sadullaev Aj Thì  j  đa điều hòa H  r  dó thác triển cách đa điều hịa  Do      Aj   51 download by : skknchat@gmail.com 2.2.3 Trường hợp hóa cấu trúc Hệ 2.26: Giả sử đa tạp phức compact X nhận (1, 1)-dạng dương ngặt mà (1,1)-thành phần đóng dạng HUn1  r   n  A r ,1 U   hình Hartogs U Khi đó, ánh xạ phân hình f : HUn1  r   X thác triển  n1 Chứng minh: Giả sử dạng metric  không gian X (1, 1)-thành phần 2dạng thực đóng 0 , tức có (2, 0)-dạng  2,0 cho 0   2,0     2,0 d0  Do đó, ddc  2i  Vậy  dd c -đóng Vì vậy, theo chứng minh định lí 2.19, ánh xạ f thác triển phân hình  n1 \ A , A rỗng tập giải tích đối chiều túy Lấy điểm a  A lân cận W a song chỉnh Giả sử hình tới Bn1  B2 cho  |   AW : B n1  B  B n1 riêng Ở đây, A  A  I  f  hợp A với tập điểm bất định f Ta chứng minh dd c T   W, T  f *   n1 \ A Từ bổ đề 2.15 ta thấy điều mà ta cần chứng minh  Bz2' d c T  với  z '  Bn1 Thực vậy, đặt T  f * 0 T 2,0  f *  2,0  n1 \ A Thì dT  d cT  , ta có:  2,0 2,0  c 0 c d T  T  d  T  T       2 Bz '   Bz '   d c T   Bz '  2.5.1 Lấy hàm giới hạn  với giá lân cận Bz2' Thì  2,0 c Bz2' d T 2,0  2,0   c   d  T    dd  T   Bz ' Bz '     c 52 download by : skknchat@gmail.com  2.5.2 Do vậy, T đa đóng W theo bổ đề 2.23, ta thác triển f toàn W Một số ví dụ định lí kiểu Hartogs Ví dụ 3.1: Trong D { z với tọa độ đồng  z0 : z1 : z2 : z3  , xét miền: : z0  z1  z2  z3 } Tác động tự nhiên Sp(1, 1) 2 2 bảo toàn D, g ( D)  D với g  Sp(1,1) Tác động bắc cầu D Kato chứng minh, sử dụng kết Vinberg, tồn nhóm r i rạc  Sp(1,1) , tác động cách riêng không liên tục D cho D \   X đa tạp phức compact Mặt phẳng chiếu vị đóng B , ={z3 = 0} giao với D phần bù hình cầu đơn \ B   z0 : z1 : z2    : D  X phép chiếu tự nhiên hạn chế  | 2 D: : z2  z0  z1 2  Nếu \ B4  X xác định ánh xạ chỉnh hình từ phần bù hình cầu đơn vị đóng tới X mà có tính kì dị điểm B ! Tuy nhiên, khó để thấy X khơng chứa vỏ cầu hai chiều ba chiều 1    Ví dụ 3.2 Tồn ánh xạ chỉnh hình f :     A  ,1  X cho: 2   (1) Với s  S   z0 , z2      : z0  z2  , ánh xạ hạn chế thác triển  2  chỉnh hình  s ; (2) Với t  có số Ct   cho với  2 s  St   z0 , z2      : z0  t z2  ta có area  fs  Ct ;     53 download by : skknchat@gmail.com   (3) Với z   \ S   z0 , z2      : z0  z2  , bên hình trịn     hình khuyên A1z  r ,1 : z1   z :1  z1  r chứa điểm đơn f z : Az  r,1  X , r  z2  z0 2 Chú ý: Không gian chu trình hữu tỉ ví dụ có phần tử bất khả quy khơng compact chiều Ví dụ 3.3: Tồn đa tạp phức compact X ba chiều ánh xạ phân hình f : 3 \ 0  X cho:  (1) Với hình nón K n : z   z1 , z2    : z2  z1 n  , có số C n cho area   f   Cn ; z (2) area   f    z   z1 ,0  z1  ; z (3) f thác triển từ 0 \ 0  ; (4) Với t  lim z 0  f z (trong z   z1 , tz1n  )  f0 với chu trình hữu tỉ Z n,t mà chứa n phần tử (đếm số bội); (5) Z n,t : t  } tạo thành phần tử bất khả quy An R  X    An n1 dây chuyền liên thông phần tử bất khả quy R X  Chú ý: Ta thấy không gian R  X  chứa chuỗi vô hạn dây chuyền liên thông phần tử bất khả quy compact có chu trình hình học hữu tỉ khơng bị chặn Ví dụ 3.4: Tồn dãy ánh xạ trơn f n từ hình vng   0,1  0,1 tới cho: (a) Độ dài đư ng cong f n  x,  : 0,1  f n , y  : 0,1  chặn với x, y  0,1 54 download by : skknchat@gmail.com bị (b) Diện tích f n    quay vơ cực Đầu tiên, ta dựng dãy hàm n dương, trơn, ngặt hình vng   0,1  0,1 mà: (a) Bằng vài lân cận cố định  ; (b) Với x, y  0,1 : 0 n  x, t dt  (c)    t, y dt  ; n     x, y dt  n 1 0 n Xét metric Rieman dsn2  n2 dx  dx  n2dy  dy hình vng Độ dài đoạn song song với trục metric  diện tích 1  0 n2  x, t   n2  x, t dt  2 n2  x, y  n2  x, y dt  n Bây gi , ta nhúng  , dsns  vào ; xem [7] Điều cho ta ví dụ mong muốn 55 download by : skknchat@gmail.com KẾT UẬN Thông qua luận văn này, tơi tìm hiểu số vấn đề thác triển ánh xạ phân hình với giá trị đa tạp phức khơng K r cụ thể luận văn đạt kết sau:  Hệ thống kiến thức liên quan đến vấn đề nghiên cứu  Phần trọng tâm luận văn trình bày kết thác triển ánh xạ phân hình với giá trị đa tạp phức không K r Bài toán nghiên cứu thác triển ánh xạ phân hình với giá trị đa tạp phức khơng K r ln tốn mở ngư i nghiên cứu Một số vấn đề mà luận văn chưa trình bày tiếp tục nghiên cứu Do vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp Hơn nữa, th i gian khả có hạn chế nên có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến quan tâm để luận văn hoàn thiện 56 download by : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu tiếng việt [1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu lý thuyết không gian phức hyperbolic, Nxb Đại học Sư phạm [2] Đỗ Đức Thái (2003), Cơ sở lý thuyết hàm hình học, Nxb Đại học Sư phạm Tài liệu tiếng Anh [3] D Barlet, Espace analytique reduit des cycles analytiques complexes compacts d’un espace analytique complexe de dimension finie (Seminar Norguet IX), Lecture Notes in Math 482 (1975), 1-157, springer-Verlag, New York [4] D Barlet, Majorisation du volume des fibres génériques et la forme géomètrique du théorème d’applatissement, Lecture Notes in Math 822 (1980), 1-17, Springer-Verlag, New York [5] E M Chirka, Complex analytic sets, Kluwer Academic Publishers (1989) [6] A Fujiki, Closedness of the Douady space of compact Kähler spaces, Publ RIMS Kyoto Univ 14 (1978), 1-52 [7] M Goromov, Partial Differential Relations, Ergeb Math Grenzgeb 9, Springer-Verlag, New York (1986) [8] H Grauert, K Fritzsche, Several complex Variables, Springer-Verlag, New York [9] R Harvey and B Shiffman, A characterization of holomorphic chaina, Ann Of Math 99 (1974), 553-587 [10] L Hörmander, Notions of Convexity, Progr Math 127 Birkhäuser, Boston (1994) [11] Robert C Gunning and Hugo Rossi, Analytic functions of several complex variables, Prentice-Hall, INC [12] Shoshichi Kobayashi, Differential geometry of complex vector bundles, (1987) 57 download by : skknchat@gmail.com [13] S Ivashkovich, Spherical shells as obstruction for the extension of holomorphic mappings, J Geom Anal (1992), 351-371 [14] S Ivashkovich, An example concerning extension and separate analyticity properties of meromorphic mappings, Amer J Math 121 (1999), 97-130 [15] S Ivashkovich, The Hartogs phenomenon for holomorphically convex K hler manifolds, Math USSR Izv 29 (1987), 225-232 [16] S Ivashkovich, Extension properties of meromorphic mappings with values in non-K hler complex manifolds, 160 (2004), 795–837 [17] Y-T Siu, Every stein subvariety admits a stein neighborhood, Invent Math 38 (1976), 89-100 58 download by : skknchat@gmail.com ... Chương SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER 10 2.1 Ánh xạ phân hình khơng gian chu trình 10 2.1.1 Khơng gian chu trình gắn với ánh xạ phân. .. qua ánh xạ chỉnh hình từ lân cận không tương ứng tới X download by : skknchat@gmail.com Chương SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHƠNG K HLER 2.1 Ánh xạ phân. .. chỉnh hình, hàm phân hình, đa tạp phức, tập giải tích, đa điều hịa dưới, phủ, mặt cầu Chương 2: Trình bày lại cách chi tiết rõ ràng kết nghiên cứu v? ?sự thác triển ánh xạ phân hình với giá trị đa tạp