Các bổ đề hình học THCS

Các bổ đề Hình học THCS I CÁC BỔ ĐỀ VỚI CÁC YẾU TỐ ĐẶC BIỆT CỦA TAM GIÁC 1 Nếu 1 tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền hoặc một cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân √ hoặc cạnh huyền bằng một cạnh góc vuông nhân √ thì tam giác vuông ấy có 1 góc bằng 300 và 1 góc bằng 600 2 Cho ABC nhọn, 3 đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H 2 1 H là giao điểm 3 đường phân giác của DEF 2 2 Trong các tam giác mà các đỉnh lần lượt thuộc cạnh của ABC , DEF có chu vi bé nhất (Định lý Fagnano) 2 3 Vị.

I CÁC B N u V I CÁC Y U T C BI T C A TAM GIÁC: tam giác vng có m t c nh góc vng b ng n a c nh huy n ho c m t c nh góc vng b ng c nh huy n nhân ho c c nh huy n b ng m t c nh góc vng nhân tam giác vng y có góc b ng Cho ABC nh n đ H giao m góc b ng ng cao AD BE CF đ ng quy t i H đ ng phân giác c a DEF Trong tam giác mà đ nh l n l vi bé nh t Đ nh lý Fagnano) V trí c a A H đ i n u A giác c a DEF A t thu c c nh c a ABC , DEF có chu Khi A giao m đ ng phân E F H B D C Cho tam giác ABC có đ ng cao AD BE CF N u M N l n l qua AB AC M N F th ng hàng DeThiMau.vn t đ i x ng c a D A N E F H M B D C Cho tam giác ABC có trung n AM AM AM AM 4.2 AB AB 4.3 N u E BC A BC A BC AC AC A AB F MAB AMB MAC AMC AC EF BC AM qua trung m N c a EF Cho tam giác ABC L y D n m gi a B C E n m đ n m gi a B, C  N u  N u AD đ AE đ ng th ng BC nh ng không ng phân giác c a tam giác ABC ng phân giác c a tam giác ABC  N u AD AE l n l t đ ng phân giác phân giác ngồi m đ th ng b t kì khơng qua A c t AB AC AD AE l n l t t i M N P Q PM PN QM MP QN MQ DeThiMau.vn NP NQ ng A N M P Q E B D C Cho tam giác ABC n i ti p O R có H tr c tâm G tr ng tâm M N P l n l trung m c a BC CA AB  AH OM BH ON CH OP  H G O th ng hàng GH GO G i O tâm đ t ng tròn ngo i ti p tam giác ABC  O n m tam giác ABC nh n  O n m góc BAC n m ngồi tam giác A Cho tam giác ABC E F l n l t trung m c a AB AC M N hình chi u c a A lên phân giác t i đ nh B P Q hình chi u c a A lên phân giác t i đ nh C Ta có M N P Q E F th ng hàng DeThiMau.vn 10 Cho tam giác ABC G i M N P tâm đ tâm đ ng tròn n i ti p ng tròn bàng ti p c a tam giác I  I tr c tâm tam giác MNP  I r Mr Nr P r l n l t đ ng tròn n i ti p bàng ti p c a tam giác ABC D E F ti p m c a I v i BC CA AB H J K ti p m c a M v i BC AB AC Ta có AE AF AB AC BC AJ AK AB AC BC H qu Cho tam giác ABC vuông t i A có đ ng cao AH r r r bán kính đ ng trịn n i ti p ABC HAB HAC R R R l n l t bán kính đ ng trịn bàng ti p góc vng c a tam giác ABC ABH ACH Ta có  r  R H qu r R  max r  max R II CÁC B r R AH AB r r BC CA AH AB AC N u tam giác ABC vuông A có BC c đ nh R R V T GIÁC: AB AC Trung m c nh c a t giác đ nh c a hình bình hành ho c trung m c nh đ i đ ng chéo đ nh c a hình bình hành n u chúng khơng th ng hàng) N u t giác có c nh đ i b ng trung m đ ng chéo đ nh c a hình thoi c nh l i trung m Trong hình thang có c nh bên khơng song song giao m đ ng th ng ch a c nh bên giao m đ ng chéo trung m đáy n m đ ng th ng DeThiMau.vn Trong t giác l i tích đ dài đ ng chéo bé h n ho c b ng t ng tích đ i b t đ ng th c Ptolemy Đ ng th c x y  T giác n i ti p Trong t giác l i t ng dài đ dài vi t giác y đ c nh ng chéo bé h n chu vi l n h n n a chu Trong t giác l i t ng đ dài c nh đ i l n h n ho c b ng l n đo n th ng n i trung m c nh l i Đ ng th c x y  c nh đ i y song song N u t giác n i ti p có đ ng chéo vng góc t i J đ ng th ng qua J s vng góc v i c nh ch đ ng th ng y qua trung m c nh đ i di n (đ nh lý Brahma Gupta) T giác u hoà T giác n i ti p có tích c p c nh đ i b ng g i t giác u hoà 8.1 Cho t giác ABCD n i ti p DeThiMau.vn  Đ ng phân giác c a góc BAD CAD qua m BD  AB CD AD BC  H qu N u phân giác góc BAD CAD qua m BD phân giác góc ABD ACD qua m AC 8.2 Cho t giác ABCD n i ti p O có đ ng chéo AC khơng qua tâm O  Ti p n v i O t i A C BD đ ng quy  AB CD AD BC  H qu N u AC BD khơng qua tâm O ti p n v i O t i A C BD đ ng quy  ti p n v i O t i B D AC đ ng quy 8.3 G i M N P l n l t hình chi u c a D AB BC CA Ta có M trung m c a PN  AB CD AD BC 8.4 G i K trung m c a AC  AC phân giác góc BKD  AB CD AD BC  H qu I trung m c a BD AC phân giác góc BKD  BD phân giác góc AIC 8.5 I trung m c a đ BAD  AB CD AD BC III CÁC B V ng chéo BD AC AM đ i x ng qua phân giác c a góc NG TRỊN Cho O R m M không thu c đ ng tròn Qua M v đ ng th ng c t O t i m A B Khi tích MA MB khơng ph thu c v trí cát n MAB DeThiMau.vn  M  M H qu O R MA MB O R MA MB 2.1 Cho t giác ABCD có đ a N u MA MB R OM OM R MT MT ti p n t i O ng chéo c t t i N AB CD c t t i M MC MD ho c NA NC b N u ABCD n i ti p MA MB NB ND ABCD n i ti p MC MD NB ND NA NC 2.2 Cho tam giác ABC N u M thu c tia đ i c a tia BC mà MB MC n đ ng tròn ABC Tr c đ ng ph ng: MA MA ti p  Tr c đ ng ph ng c a đ ng tròn O R O R t p h p nh ng m có ph ng tích v i đ ng trịn y H M/ OM R OM R }  Tr c đ ng ph ng c a đ ng tròn đ ng th ng vng góc v i đ ng th ng qua tâm  N u O O c t t i A, B đ ng th ng AB tr c đ ng ph ng c a O O  N u O O ti p xúc tr c đ ng ph ng ti p n chung c a đ ng trịn  N u O O khơng có m chung v I c t O t i A B c t O t i C D AB CD c t M Đ ng th ng qua M vng góc v i đ ng n i tâm OO tr c đ ng ph ng c a O O DeThiMau.vn Cho O R O R O m c t OO t i H R d R R OH R d OH R OH Đ t OO d G i m tr c đ ng ph ng c a O R Tr c đ ng ph ng qua trung m đo n ti p n chung c a đ ng trịn suy có th v tr c đ ng ph ng b ng cách n i trung m đo n ti p n chung c a đ ng tròn H qu N u xem m đ ng trịn có bán kính ta có tr c đ ng ph ng c a O R đ ng tròn m A đ ng th ng qua trung m ti p n AB AC c a (O) Cho O R O R có tr c đ ng ph ng m N u t m M v ti p n MN cát n MAB t i O ti p n MP cát n MCD t i O tam giác MNP cân t i M A B C D thu c đ ng tròn DeThiMau.vn Tâm đ ng ph ng Cho O R O R đ ng ph ng c a c p đ ng tròn O R G im m m l nl t tr c  N u O O O th ng hàng m // m // m  N u O O O khơng th ng hàng m m m đ ng quy t i m P P g i tâm đ ng ph ng có ph ng tích v i đ ng trịn Ti p n c a đ ng tròn Cho A n m O R V ti p n AB AC t i O A B ti p m L y M đo n AB N đo n AC  ABC đ u OA R AB R  ABOC hình vng OA R AB R  OA c t O t i I K AI AK I K l n l t tâm đ ng tròn n i ti p bàng ti p ABC  MN ti p n c a O MN MB NC AM MN AN AB MON BOC  N u MN ti p xúc O t i I P BC max m D E F I J K M N P thu c đ ng trịn Q I m gi a cung Đ ng tròn ngo i ti p Cho tam giác ABC nh n n i ti p O R đ ng cao AD BE CF đ ng quy t i H I J K l n l t trung m c a HA HB HC M N P l n l t trung m c a BC CA AB  trung m c a OH  Các m A B C đ i x ng H qua BC CA AB thu c O Các tính ch t v n BAC DeThiMau.vn đ ng tròn Euler tâm Q C n phân m thành nhóm a Nhóm trung m c nh c a tam giác b Nhóm chân đ ng cao c Nhóm trung m đo n n i tr c tâm v i đ nh Trong th c t đ yêu c u ch ng minh c m thu c đ ng trịn dài nh ng d Đơi ch n m i nhóm m đ i cách phát bi u t nhiên ta th y l khó VD  Ch ng minh JFKN n i ti p  Cho B C c đ nh A di đ ng cho BAC ti p tam giác JFN qua m c đ nh Ch ng minh đ ng tròn ngo i 10 Cho tam giác ABC n i ti p O D E F l n l t m gi a cung BC CA AB nh Ta có đ ng trịn tâm D qua A B tâm E qua B C tâm F qua C A đ ng quy t i tâm tâm I c a đ ng tròn n i ti p tam giác ABC DeThiMau.vn 11 Cho tam giác ABC n i ti p O M m b t kì O) (M không trùng A, B, C) G i H I K l n l t hình chi u c a M lên BC CA AB M M M l n l t đ i x ng v i M qua AB BC CA L tr c tâm tam giác ABC  H I K th ng hàng đ ng th ng impson)  M M M L th ng hàng đ 12 Cho tam giác ABC n i ti p O ng th ng Steiner)  A C c đ nh B di đ ng cung AC chu vi di n tích tam giác ABC l n nh t  B m gi a cung AC  uy T giác l i ABCD n i ti p O có đ ng chéo AC c đ nh có chu vi di n tích l n nh t  B D m gi a cung AC  Trong tam giác n i ti p O tam giác đ u có chu vi di n tích l n nh t  Trong t giác l i n i ti p O hình vng có chu vi di n tích l n nh t DeThiMau.vn 13 Cho tam giác ABC đ u n i ti p O R M  MB  MC MA 14 T ng quát h n  Cho tam giác ABC cân  Cho tam giác ABC cân BC AM c t BC t i D A n i ti p O R BC a MB MC MA b MB MC MD A n i ti p O R BC a MB MC MA b MB MC 15 Các cung đ c bi t đ dài dây tính theo R đo cung 16 Đ ng trịn n i ti p Đ dài dây BC BC R R BC BC BC R BC R BC R R DeThiMau.vn MD AM c t BC D thì: AM c t BC D thì: 16.1 T giác ABCD ngo i ti p O  AB CD AD BC 16.2 Cho tam giác ABC n i ti p O R có đ ng tròn n i ti p I r G i M N P l n l t m gi a cung BC CA AB Ta có:     M tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác BIC Tâm đ ng tròn ngo i ti p AIB BIC CIA thu c O OI R R r R r DeThiMau.vn ... R II CÁC B r R AH AB r r BC CA AH AB AC N u tam giác ABC vng A có BC c đ nh R R V T GIÁC: AB AC Trung m c nh c a t giác đ nh c a hình bình hành ho c trung m c nh đ i đ ng chéo đ nh c a hình bình... BAC n m ngồi tam giác A Cho tam giác ABC E F l n l t trung m c a AB AC M N hình chi u c a A lên phân giác t i đ nh B P Q hình chi u c a A lên phân giác t i đ nh C Ta có M N P Q E F th ng hàng DeThiMau.vn... chúng khơng th ng hàng) N u t giác có c nh đ i b ng trung m đ ng chéo đ nh c a hình thoi c nh cịn l i trung m Trong hình thang có c nh bên khơng song song giao m đ ng th ng ch a c nh bên giao m