(LUẬN văn THẠC sĩ) giảm bậc của hệ điều khiển tuyến tính không phụ thuộc thời gian bằng phương pháp chặt cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ PHƯƠNG GIANG GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHƠNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LÊ THỊ PHƯƠNG GIANG GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHƠNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THANH SƠN Thái Nguyên - 2015 download by : skknchat@gmail.com i Mục lục Lời cam đoan iii Tóm tắt nội dung iv Lời cảm ơn v Danh sách ký hiệu vi Danh sách hình vẽ Mở đầu 0.1 Lý chọn đề tài 0.2 Mục đích nghiên cứu 0.3 Nhiệm vụ nghiên cứu 0.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 0.5 Phương pháp nghiên cứu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Sơ lược hệ điều khiển 1.2 Quan hệ đầu vào - đầu hệ động lực 1.3 Tính đạt tính quan sát 1.3.1 Tính đạt 1.3.2 Tính quan sát 10 Một số chuẩn hệ động lực 12 1.4 download by : skknchat@gmail.com ii Giá trị kỳ dị Hankel 12 1.4.2 Chuẩn không gian Hardy 13 Phương pháp chặt cân 14 2.1 Phương pháp chặt cân hệ tối thiểu 14 2.1.1 Ý tưởng phương pháp 14 2.1.2 Cơ sở toán học xây dựng phương pháp 18 Phương pháp chặt cân hệ không tối thiểu 20 2.2.1 Xây dựng hệ giảm bậc 21 2.2.2 Định lý 21 Thuật toán chặt cân 23 2.3.1 Thuật toán chặt cân hệ tối thiểu 23 2.3.2 Thuật tốn chặt cân hệ khơng tối thiểu 24 2.2 2.3 1.4.1 Ví dụ số 26 3.1 Hệ hình thức FOM 26 3.2 Hệ Eady 27 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 download by : skknchat@gmail.com iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cám ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 17 tháng 04 năm 2015 Học viên Lê Thị Phương Giang download by : skknchat@gmail.com iv TÓM TẮT NỘI DUNG Rất nhiều tượng, thiết bị mơ hình hóa tốn học dạng hệ điều khiển Do địi hỏi tính xác, cỡ vectơ trạng thái, gọi bậc mơ hình, thường từ 104 trở lên Việc gây khó khăn cho mơ máy tính phải làm việc với hệ cỡ lớn hay hệ bậc cao Do yêu cầu đặt phải thay hệ cỡ lớn hệ cỡ nhỏ theo nghĩa Trong luận văn này, nghiên cứu phương pháp Chặt cân bằng, phương pháp hữu hiệu để giảm bậc hệ điều khiển Chúng tơi phân tích kỹ ý tưởng phương pháp xuất phát từ ý nghĩa vật lý, việc trình bày ngơn ngữ tốn học Thêm vào đó, để thuận tiện cho việc lập trình, thuật tốn phương pháp đưa Cuối cùng, để lấy minh họa cho phương pháp, chúng tơi lấy ví dụ với liệu thực tế download by : skknchat@gmail.com v Lời cảm ơn Trước tiên xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Nguyễn Thanh Sơn - Giảng viên khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, người thầy hướng dẫn, bảo tận tình cho tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến thầy, cô tham gia giảng dạy trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun Các thầy nhiệt tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa học trường Đồng thời, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất bạn bè, đồng nghiệp người thân động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập viết luận văn Mặc dù dành nhiều thời gian nghiên cứu tìm hiểu, song luận văn khơng thể tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì vậy, tơi mong muốn nhận góp ý để luận văn hoàn thiện Thái Nguyên, 2015 Lê Thị Phương Giang Học viên Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên download by : skknchat@gmail.com vi Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định bảng đây: R+ tập số thực dương R− tập số thực âm Rn×r tập ma trận thực cỡ n × r AT ma trận chuyển ma trận A x˙ đạo hàm x theo biến t Re(s) phần thực số phức s Λ(A) tập hợp giá trị kì dị ma trận A Im ảnh ma trận/ánh xạ tuyến tính Ker nhân ma trận/ánh xạ tuyến tính rank(R) hạng ma trận σi (A) giá trị kỳ dị thứ i ma trận A, σ1 (A) ≥ σ2 (A) ≥ · · · ≥ σn (A) trace tổng phần tử đường chéo ma trận download by : skknchat@gmail.com Danh sách hình vẽ 3.1 Sai số tuyệt đối mơ hình FOM: ngưỡng sai số 10−3 (a) ngưỡng sai số 10−5 (b) 3.2 Sai số tương đối mơ hình FOM: ngưỡng sai số 10−3 (a) ngưỡng sai số 10−5 (b) 3.3 27 Sai số tuyệt đối mơ hình Eady: ngưỡng sai số 10−3 (a) ngưỡng sai số 10−5 (b) 3.4 27 28 Sai số tương đối mơ hình Eady: ngưỡng sai số 10−3 (a) ngưỡng sai số 10−5 (b) download by : skknchat@gmail.com 28 Mở đầu 0.1 Lý chọn đề tài Ngày nay, mô số khâu quan trọng giúp nhà sản xuất tạo sản phẩm Bước giúp nhà thiết kế tạo mẫu sản phẩm thỏa mãn yêu cầu nhà sản suất Ngồi ra, việc mơ thay cho thí nghiệm thực tế thường đắt tiền kéo dài giúp hạ giá thành tiết kiệm thời gian Trong bước mô phỏng, người ta phải tìm mơ hình tốn học mơ tả hoạt động thiết bị, thành phần đơn lẻ Việc hình thành mơ hình dựa quy luật vật lý, hóa học Quá trình kết thúc tập hợp phương trình vi phân đạo hàm riêng Để có liêu mơ phỏng, người ta phải giải phương trình máy tính Để làm điều này, phương trình vi phân đạo hàm riêng phải rời rạc không gian phương pháp số, chẳng hạn phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) Trong nhiều trường hợp, ta thu hệ điều khiển tuyến tính không phụ thời gian sau: E x(t) ˙ = Ax(t) + Bx(t), (1) y(t) = Cx(t) + Du(t), E, A ∈ RN ×N , B ∈ RN ×m , C ∈ Rl×N ma trận thực phức; x(t) vectơ cỡ N mô tả trạng thái hệ phụ thuộc vào thời gian t; u(t) hàm đầu vào hàm điều khiển, ảnh hưởng tới hoạt động hệ thống; y(t) thơng tin đầu có từ trạng thái x(t) đầu vào u(t) mà người dùng quan tâm đến Hệ thống (1) mơ hình tốn học cho tương ứng đầu vào - đầu Nhập đầu download by : skknchat@gmail.com 17 ma trận cho  A= −2 −3   , b=  , c= −1 Hệ có hai Gramians  P= 2.5 −1.5 −1.5  ,  Q= 0.5 1 2.5   Giá trị riêng vectơ riêng P , làm tròn đến bốn chữ số thập phân,     V = −0.5257 −0.8507 −0.8507 , D= 0.5257 0.0729 0 3.4271  Vectơ riêng thứ P, V (:, 1), tương ứng với giá trị riêng nhỏ khó tiếp cận Ngược lại, vectơ riêng thứ hai V (:, 2) dễ dàng đạt Bây giờ, chúng tơi tính tốn lượng quan sát vectơ sinh V (:, 1)T QV (:, 1) = 2.8416 V (:, 2)T QV (:, 2) = 0, 1584 Nó V (:, 1) dễ dàng quan sát V (:, 2) khó để quan sát Để đối phó với điều này, người ta phải tìm sở, tồn tại, cho không gian trạng thái mà cân mức độ đạt mức độ quan sát Chính xác P = Q = Λ = diag(σ1 , , σN ) Định nghĩa 2.1 Một hệ đạt được, quan sát ổn định gọi cân P = Q, gọi cân trục P = Q = Λ = diag(σ1 , , σN ) Những phép biến đổi tọa độ mà đưa hệ đạt được, quan sát ổn định dạng cân trục gọi phép biến đổi cân Bổ đề 2.1 Giả sử P, Q Gramians đạt Gramians quan sát không gian đạt quan sát Khi đó, chuyển đổi cân φ = U KΛ −1 , φ−1 = Λ K T U −1 download by : skknchat@gmail.com (2.3) 18 P = U U T , U T QU = KΛ2 K T phân tích Cholesky P phân tích giá trị riêng U T QU Bây ta áp dụng Bổ đề cho hệ đạt được, quan sát ổn định   A B Σ=  C Giả sử P = Q = Λ, hệ tọa độ cân bằng, ta phân tích ma trận hệ thống sau  Λ= Λ1 0 Λ2  ,  A= A11 A12  ,  B= A21 A22 B1  , C= C1 C2 (2.4) B2 Định nghĩa hai hệ sau  Σi =  Aii Bi  (2.5)  , i = 1, Ci hệ rút gọn thu từ Σ phương pháp chặt cân 2.1.2 Cơ sở toán học xây dựng phương pháp Định lí 2.1 Hệ rút gọn Σi , xây dựng từ hệ Σ đạt quan sát được, có tính chất sau: Σi hệ cân giá trị riêng ma trận Aii có phần thực khơng dương Nếu phần tử đường chéo Λ1 khác với Λ2 hệ i ổn định, đạt quan sát Giả sử giá trị kì dị Hankel Σ σi , i = 1, , n với bội số mi , i = 1, , n Λ1 chứa k giá trị với bội mi Khi đó, sai khác hệ ban đầu Σ hệ giảm bậc Σi bị chặn hai lần tổng giá trị kì dị Hankel không kể bội theo chuẩn H∞ Tức |Σ − Σ1 |H∞ ≤ 2(σk+1 + + σn ) download by : skknchat@gmail.com (2.6) 19 Chứng minh Xét hệ Σ1 = (A11 , B1 , C1 ) Do cách xây dựng, phương trình sau thỏa mãn A11 Λ1 + Λ1 AT11 + B1 B1T = 0, (2.7) AT11 Λ1 + Λ1 A11 + C1T C1 = (2.8) Ta có, hệ Σ1 hệ cân Ta chứng minh hệ ổn định, giá trị riêng Λ1 ma trận xác định dương, theo Bổ đề 6.18 [1] ta suy A11 có giá trị riêng nằm nửa mặt phẳng phức trái đóng Ta cần ma trận Λ1 Λ2 khơng có phần tử chéo giống A11 khơng có giá trị riêng nằm trục ảo Giả sử ngược lại A11 có giá trị riêng trục ảo, đơn giản ta giả sử giá trị riêng ảo σ1 = với bội Đặt A11 v = νv với ν = jw ta suy v T AT11 = ν T v T Ta nhân v T vào bên trái, v vào bên phải (2.8) ta thu C1 v = Ta nhân vào bên phải (2.8) với v ta nhận (AT11 + νI)Σ1 v = Tương tự, nhân v T Σ1 , Σ1 v vào bên trái, bên phải (2.7) ta thu B1T Σ1 v = Nhân vào bên phải (2.7) với Σ1 v ta thu (A1 − νI)Σ21 v = Suy Σ21 v phải bội v Do giả thiết ta chọn v = e1 , xét hai phương trình A21 Λ1 + Λ2 AT12 + B2 B1T = 0, (2.9) Λ2 A21 + AT12 Λ1 + C2T C1 = (2.10) Ký hiệu cột thứ ma trận A21 AT12 a, b, nhân vào bên phải (2.10) với v ta thu a + Σ2 b = Σ2 a + b = Do giá trị riêng Σ2 khác giá trị riêng Σ1 nên chúng phải khác Từ suy cột A21 phải hay a = Do vậy, vectơ cột  v   , download by : skknchat@gmail.com 20 vectơ riêng ma trận A, tương ứng giá trị riêng ν Tuy nhiên điều mâu thuẫn với tính đạt cặp ma trận (A, B) Suy điều phải chứng minh Để chứng minh phần này, ta sử dụng kết sau Bổ đề 2.2 Với kí hiệu giả thiết trên, ta giả sử thêm Σ2 = σI , ||Σe ||H∞ ≤ 2σ, đó, Σe hệ sai số giảm bậc Để chứng minh công thức (2.6), hệ tọa độ cân bằng, kí hiệu Σj hệ có phương pháp chặt cân mà giữ lại trạng thái tương ứng với giá trị kì dị Hankel σ1 , σ2 , , σj Theo cách Σk = Σ1 , Σn = Σ Ta có ||Σ − Σ1 ||H∞ = ||Σn − Σk ||H∞ = ||(Σn − Σn−1 ) + (Σn−1 − Σn−2 ) + + (Σk+1 − Σk )||H∞ ≤ ||Σn − Σn−1 ||H∞ + ||Σn−1 − Σn−2 ||H∞ + + ||Σk+1 − Σk ||H∞ ≤ 2σn + 2σn−1 + + 2σk+1 ≤ 2(σk+1 + + σn ) 2.2 Phương pháp chặt cân hệ không tối thiểu Một hệ điều khiển gọi tối thiểu đồng thời đạt quan sát Định lý 2.1 áp dụng cho hệ tối thiểu Tuy nhiên thực tế có hệ khơng tối thiểu, muốn áp dụng định lý ta phải cắt bớt số trạng thái hệ trở thành tối thiểu, đương nhiên điều gây số bất tiện Trong mục chúng tơi trình bày cách tiếp cận khác mà áp dụng cho hệ khơng tối thiểu Nội dung phần tham khảo chủ yếu [5] download by : skknchat@gmail.com 21 2.2.1 Xây dựng hệ giảm bậc Do P, Q đối xứng, nửa xác định dương, nên ta ln viết Q = RT R, (2.11) P = LT L (2.12) Theo định nghĩa giá trị kỳ dị Hankel hệ, ta có σhi = λi (PQ) = λi (LT LRT R) = λi (RLT LRT ) = σi (LRT ) Ta kí hiệu phân tích giá trị kỳ dị Hankel LRT (2.13) LRT = U SV T Khi dễ thấy phần tử chéo S giá trị kỳ dị Hankel hệ Σ = (A, B, C, D) Giả sử S, U, V chia thành khối, tức  LRT = S1 U1 U2    S2 V1T V2T  , (2.14) −1 U1 , V1T S1 có số chiều n × k, k × n k × k Ký hiệu: T = S1 V1T R, −1 T + = LT U1 S1 Đặt A = T AT + , B = T B, C = CT + , D = D Khi hệ Σ = (A, B, C, D) mới, có số chiều bậc k 2.2.2 Định lý Định lí 2.2 Hệ Σ = (A, B, C, D) hệ thu từ hệ ban đầu Σ = (A, B, C, D) phương pháp chặt cân mà giữ lại k trạng thái download by : skknchat@gmail.com 22 Chứng minh Ta phải chứng minh điều sau Theo cách xây dựng, hệ Σ = (A, B, C, D) tối thiểu k = n, ta chứng minh hệ cân Ta có 1 P = T PT T = S − V T R(LT L)RT V S − = S, 1 Q = (T T )−1 QT −1 = S − U T L(RT R)LT U S − = S, hệ Σ = (A, B, C, D) hệ cân Trong trường hợp tổng quát, ta cân phương trình (1.10) (1.11) Xét (1.11), thay Q = RT R, nhân vào trước với U T L sau với LT U ta U T LAT RT RLT U + U T LRT RALT U + U T LC T CLT U = Thay LRT RLT từ (2.14)   U1T U2T  +  +    LAT RT V1 V2 S1  S1   S2 U1T  U2T V1T V2T  LC T CLT   S2   RALT U1 U2 U1 U2 = Phương trình với lời giải S1 sau U1T LAT RT V1 S1 + S1 V1T RALT U1 + U1T LC T CLT U1 = Xét (1.10), thay P = LT L, nhân vào trước với V T R sau với RT V ta V T RALT LRT V + V T RLT LAT RT V + V T RBB T RT V = download by : skknchat@gmail.com (2.15) 23 Thay LRT RLT từ (2.14)    RALT V2T  +  +   V1T U1 U2 S1   S1   S2 V1T  V2T U1T U2T  RBB T RT  S2   LAT RT V1 V2 V1 V2 = Phương trình với lời giải S1 sau V1T RALT U1 S1 + S1 U1T LAT RT V1 + V1T RBB T RT V1 = Nhận thấy 1 S12 AS12 = V1T RALT U1 , S12 B = V1T RB, CS12 = CLT U1 Thế vào phương trình (2.16), (2.15) cho hệ AT S1 + S1 A + C T C = 0, AS1 + S1 AT + B B T = Hệ cân với P = Q = S1 2.3 Thuật toán chặt cân 2.3.1 Thuật toán chặt cân hệ tối thiểu • Bước 1: Giải hai phương trình Lyapunov (1.10) (1.11) để tính P, Q download by : skknchat@gmail.com (2.16) 24 • Bước 2: Phân tích Cholesky P phân tích giá trị riêng U T QU P = UUT , U T QU = KΛ2 K T • Bước 3: Tính φ = U KΛ −1 , φ−1 = Λ K T U −1 , • Bước 4: −1 Gọi φK k cột φ φ+ k k dịng φ Tính A11 = φ+ k Aφk , B1 = φ+ k B, C1 = Cφk Hệ thu phương pháp chặt cân   Σ1 =  A11 B1  C1 2.3.2 Thuật toán chặt cân hệ khơng tối thiểu • Bước 1: Giải hai phương trình Lyapunov (1.10) (1.11) để tính P, Q ta thu P = LT L, Q = RT R • Bước 2: Phân tích giá trị kỳ dị LRT LRT = U SV T download by : skknchat@gmail.com (2.17) 25 • Bước 3: Gọi S1 ma trận cỡ k × k S , U1 k cột U , V1T k hàng V T Tính −1 T = S1 V1T R, −1 T + = LT U1 S1 • Bước 4: Tính A = T AT + , B = T B, C = CT + , D=D Hệ thu phương pháp chặt cân  A B   Σ= C download by : skknchat@gmail.com (2.18) 26 Chương Ví dụ số Trong chương này, hai ví dụ trình bày nhằm thử nghiệm minh họa phương pháp trình bày Chương Chúng lấy từ Tuyển tập ví dụ tiêu chuẩn cho giảm bậc mơ hình tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian [2] Trong hai ví dụ, sau giảm bậc, ta tính hai loại sai số Thứ nhất, sai số tuyệt ˆ đối hàm truyền rút gọn H(s) so với hàm truyền gốc theo chuẩn H∞ Tức sai số tuyệt đối tính theo cơng thức ˆ H(·) − H(·) H∞ ˆ = sup H(iω) − H(iω) ω∈R ≈ ˆ H(iω) − H(iω) sup ω∈[100 ,1015 ] Thông tin nhằm cho thấy sai số tuyệt đối điều khiển mong muốn, tức nhỏ ngưỡng cho trước tol Thứ hai sai số tương đối ˆ H(·) − H(·) H(·) H∞ H∞ Nó đảm bảo cho chất lượng xấp xỉ 3.1 Hệ hình thức FOM Đây hệ SISO có bậc 1006 Nó hệ tạo mang tính học thuật có mục đích kiểm nghiệm phương pháp không xuất phát từ mô hình thực tế Đối với hệ này, ta thực hai lần giảm bậc với ngưỡng tol = 10−3 download by : skknchat@gmail.com 27 −5 10 10 sai so tuyet doi sai so tuyet doi −5 10 −10 10 −10 10 −15 10 −15 10 −20 −20 10 10 10 10 a) 10 15 10 10 10 10 10 b) 10 15 10 Hình 3.1: Sai số tuyệt đối mơ hình FOM: ngưỡng sai số 10−3 (a) ngưỡng sai số 10−5 (b) tol = 10−5 Tương ứng với ngưỡng trên, bậc hệ giảm 15 19 Chất lượng phương pháp thể qua sai số tuyệt đối đưa Hình 3.1 sai số tương đối đưa Hình 3.2 −4 −6 10 10 sai so tuong doi sai so tuong doi −7 10 −5 10 −8 10 −6 10 −9 10 10 10 a) 10 15 10 10 10 10 10 b) 10 15 10 Hình 3.2: Sai số tương đối mơ hình FOM: ngưỡng sai số 10−3 (a) ngưỡng sai số 10−5 (b) 3.2 Hệ Eady Đây liệu lấy từ mơ hình theo dõi bão khoảng Thái Bình Dương Q trình mơ hình hóa miêu tả cụ thể [2] Nó mơ hình SISO download by : skknchat@gmail.com 28 với bậc ban đầu 598 Tương tự hệ FOM, tiến hành giảm bậc hai lần với ngưỡng sai số tol = 10−3 tol = 10−5 Bậc hệ giảm tương ứng 21 43 Sai số tuyệt đối sai số tương đối thể qua hai hình 3.3 3.4 −5 10 10 sai so tuyet doi sai so tuyet doi −5 −10 10 10 −10 −15 10 10 −15 −20 10 10 −20 10 −25 10 10 10 a) 10 15 10 10 10 10 10 b) 10 15 10 Hình 3.3: Sai số tuyệt đối mơ hình Eady: ngưỡng sai số 10−3 (a) ngưỡng sai số 10−5 (b) −7 10 sai so tuong doi sai so tuong doi −6.5 10 −8 10 −6.7 10 −9 10 −6.9 10 −10 10 10 10 a) 10 15 10 10 10 10 10 b) 10 15 10 Hình 3.4: Sai số tương đối mơ hình Eady: ngưỡng sai số 10−3 (a) ngưỡng sai số 10−5 (b) download by : skknchat@gmail.com 29 Qua hai ví dụ ta nhận thấy: • Phương pháp chặt cân phương pháp hữu hiệu để giảm bậc mơ hình lớn Điểm trội cho chặn toàn cục sai số • Từ chặn sai số, ta hoàn toàn điều khiển trước sai số tuyệt đối phép xấp xỉ • Thuật tốn đưa chạy ổn định với với ví dụ kiểm chứng download by : skknchat@gmail.com 30 Kết luận Luận văn xây dựng lại nghiên cứu sở lý thuyết hệ điều khiển tuyến tính, phương pháp Chặt cân dùng để giảm bậc hệ điều khiển tuyến tính Đồng thời luận văn nêu thuật toán Chặt cân hệ tối thiểu, hệ không tối thiểu ứng dụng vào việc giảm bậc hệ điều khiển Luận văn kiểm chứng kết lý thuyết ví dụ số lập trình MATLAB download by : skknchat@gmail.com 31 Tài liệu tham khảo Tiếng Anh [1] Antoulas A C (2006), Approximation of Large-scale Dynamical Systems, SIAM, Philadenphia [2] Chahlaoui Y., Van Dooren P (2005), "A collection of Benchmark examples for model reduction of linear time invariant dynamical systems", Lecture Notes in Computational Science and Engineering 45, pp 379-392 [3] Hinrichsen D., Pritchard A J (2005), Mathematical Systems Theory I, Text in applied mathematics, Springer, Berlin Heidelberg [4] Son N T (2012), Interpolation Based Parametric Model Order Reduction, PhD dissertation Universităat Bremen [5] Tombs M S., Postlethwaite I (1987), "Truncated balanced realization of a stable non-minimal state space system", Int J Control 46(4), pp.1319-1330 download by : skknchat@gmail.com ... tài "Giảm bậc hệ điều khiển tuyến tính khơng phụ thuộc thời gian phương pháp Chặt cân bằng" để nghiên cứu 0.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn nhằm tìm hiểu phương pháp giảm bậc hệ điều khiển. .. văn xây dựng lại nghiên cứu sở lý thuyết hệ điều khiển tuyến tính, phương pháp Chặt cân dùng để giảm bậc hệ điều khiển tuyến tính Đồng thời luận văn nêu thuật toán Chặt cân hệ tối thiểu, hệ không. .. KHOA HỌC LÊ THỊ PHƯƠNG GIANG GIẢM BẬC CỦA HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH KHƠNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHẶT CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC