BÀI tập lực QUÁN TÍNH CORIOLIS

LỰC QUÁN TÍNH CORIOLIS Bài Gọi K là hệ trục có tâm đặt tại tâm G Trái đất, với trục z hướng về phía cực Bắc là một hệ quy chiếu quán tính Gọi K’ là hệ đặt tương tự quay cùng với trái đất a Viết phương trình phi tương đối tính cho thấy phép biến đổi đạo hàm theo thời gian một vecto bất kỳ từ K’ sang K Dùng nó để tìm biểu thức cho lực Coriolis cho một vật chuyển động K’ Định nghĩa tất cả các kí hiệu: Trong HQCQT K: vị trí xác định R , vận tốc v , gia tốc a , hợp lực F ; HQCKQT K’: vị trí xác định r , vận tốc v ' , gia tốc a ' , hợp lực F ' b Trong bán cầu bắc, tìm chiều lực Coriolis tác dụng lên một vật chuyển động về phía Đông và một vật chuyển động thẳng đứng lên c Xét một vật rơi từ một độ cao 10foot tại vĩ độ 300 Bắc Tìm gần đúng độ lệch ngang lực Coriolis nó rơi đến mặt đất Bỏ qua lực cản không khí (1foot=12inch; 1inch=25,4mm.) Đáp số b (1)Khi vật dịch phía đơng Fc = 2mv nghiêng về hướng nam, nghiêng so với mặt cos     = ( − ) đất góc  → tan  = s in b (2) Khi vật dịch chuyển thẳng đứng lên Fc = −2mvcos i , lực hướng về phía tây  8h3 c Lệch về phía đơng mmọt đoạn: x = cos   g    = 1,01.10−4 m   Bài Một vật bắt đầu rơi từ độ cao h so với bề mặt trái đất tại vĩ độ  = 400 Bắc Với h = 100m, tính độ dịch chuyển ngang điểm va chạm gây lực Coriolis 8h Đáp số: y =  cos 400 = 0,017 m g Bài a Độ lớn chiều lệch quả dọi treo từ đỉnh tới đáy( chiều cao tháp L) tháp Sather (Companile) sự quay trái đất bao nhiêu? b Điểm va chạm một vật rơi từ đỉnh tháp xuống thế nào? Giả thiết vị trí tháp  vĩ đợ bắc và tháp có độ cao là L Đưa các giá trị số cho (a) (b) dựa theo các ước lượng L, g và θ Đáp số: R sin 2  R sin 2  a sin  = ; L = L arcsin   2g 2g   GV PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK ĐHQG TP HCM 1 L3 b  =  cos g Bà4 1101 (Lực Criolis) YOUNG KUO LIM Dưới điều kiện đặc biệt tḥn lợi, mợt dịng biển t̀n hoàn ngược chiều kim đồng hồ nhìn trực tiếp từ cao phát hiện một lớp rất biệt lập phía dưới bề mặt Chu kỳ quay 14h Tại vĩ độ bán cầu nào dịng đó phát hiện? Đáp sớ:  = 59 Bài Mợt vịng quay ngựa gỗ (vịng quay) có sơn hai trục (x, y) vng góc quay trái đất (giả thiết một hệ quy chiếu quán tính x0 , y0 , z0 ) với vận tớc góc khơng đởi ω quanh trục thẳng đứng Mợt bọ có khới lượng m bị mà khơng bị trượt hướng dọc theo trục x với vận tớc khơng đởi v0 (hình vẽ) Tởng lực Fb vịng quay tác đợng lên bọ bao nhiêu? Chỉ tất cả thành phần Fb hệ quy chiếu trái đất x0 , y0 , z0 bọ Đáp số: Fb = −mv0  2sin(t ) + tcos(t ) i + mv0  2cos(t ) − t sin (t )  j + mgk Bài Xét một số hạt bản tích điện có tỷ sớ điện tích/ khới lượng (e/m), tương tác với qua lực xuyên tâm bảo tồn Chứng minh chủn đợng hạt một từ trường nhỏ B giống với khơng có từ trường xem xét một hệ tọa độ quay với một vận tốc góc ω chọn mợt cách thích hợp (định lý Lamor) Giá trị thích hợp ω là bao nhiêu, và thế nào coi nhỏ? eB 2v 4mv hay B  Đáp số:  = − ;   giới hạn độ lớn từ trường 2m r er Bài Mợt hạt khới lượng m có thể trượt không ma sát bên một ống nhỏ cong thành dạng hình trịn bán kính a Ống quay quanh mợt đường kính thẳng đứng với tớc đợ ω rad/s không đổi hình 1.79 Lập phương trình vi phân chủn đợng hạt Nếu hạt bị nhiễu loạn nhỏ so với vị trí cân khơng ổn định tại vị trí θ = 0, tìm vị trí có động cực đại Đáp số: Phương trình chuyển động g  +  cos  sin  a   '' =  Vị Trí động cực đại: + Vì trí thứ nhất 1 =    g 2a GV PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK ĐHQG TP HCM −g g )   2a 2a Bài Một vệ tinh chủn đợng với quỹ đạo trịn quanh trái đất với vận tớc góc  Bên nó, mợt phi hành gia cầm một vật nhỏ và hạ thấp nó xuống một khoảng ∆r so với khối tâm vệ tinh về phía trái đất Nếu vật thả khỏi trạng thái nghỉ (được nhìn phi hành gia), mô tả chuyển động tiếp theo nhìn phi hành gia hệ quy chiếu gắn với vệ tinh + Vì trí thứ hai  =arccos( Đáp số GM t − 4) R3 GM GM → y' = 6r ( t − sin t) R R3 x ' = r (3cos Bài Vào thế kỷ XIX, nhà khoa học Fu-Cô khảo sát chuyển động mợt lắc có cấu tạo tượng tự lắc đơn Căn cứ vào chyển độngcủa mặt phẳng dao động lắc, ông chứng tỏ Trái Đất tự quay xung quanh trục Con lắc đó gọi lắc Fu-Cô Trong ta khảo sát chuyển động lắc Fu-cô dưới dạng chuyển động một lắc đơn hệ quy chiếu quay, đặc trưng lực qn tính Cơ-ri-ơ-lít và dưới tác dụng trọng lực tại một nơi có vĩ độ  bán cầu Bắc Trái Đất, người ta treo một lắc đơn có khối lượng M, chiều dài dây treo l O vị trí cân vật M lắc đứng yên Chọn hệ tọa độ Oxyz gắn cố định với trái đất, mặt phẳng Oxy nằm ngang song song với bề mặt Trái Đất, trục Ox theo hướng Đông tiếp tuyến với đường vĩ tuyến qua điểm O; trục Oy theo hướng Bắc tiếp tuyến với kinh tuyến qua điểm O; trục Oz qua tâm Trái Đất vng góc với bề mặt đất (Hình 1.16P) Do Trái Đất tự quay quanh trục với vận tớc góc  ( có phương trùng với trục quay Trái Đất, chiều từ địa cực Nam đến địa cực Bắc), nên hệ tọa độ chọ quay với vận tớc góc  Khi vật M chuyển động với vận tốc v chịu tác dụng lực Cơ-ri-ơ-lít theo cơng thức FC = −2M (  v) Trong đó (  v) kí hiệu tích có hướng hai véc tơ  v Lực FC có phương vuông góc với mặt phẳng chứa  v có thành phần: Fx = −2M ( y vz − z v y ); Fy = −2M (z vx − x vz ); Fz = −2M (x v y −  y vx ) Giả thiết vật M chịu tác dụng trọng lực (coi gần đúng theo phương Oz), lực Cơ-riơ-lít lực căng dây treo Dọi mặt phẳng chứa trục Oz dây treo lắc mặt phẳng GV PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK ĐHQG TP HCM dao đợng Coi biên đợ góc lắc nhỏ, vật M chuyển động mặt phẳng Oxy độ lớn thành phần lực Cô-ri-ô-lít theo phương Oz là rất nhỏ so với trọng lực Bỏ qua sự thay đổi tần số dao động lắc gây tác dụng lực Cơ-ri-ơ-lít Mơ tả chuyển động mặt phẳng dao động vẽ phác họa dạng quỹ đạo vật M mặt phẳng Oxy khỏa thời gian chu kì Biết tại thời điểm t=0 vật điểm O có vận tớc ban đầu hướng theo chiều dương trục Oy Hai thành phần lực Cô-ri-ô-lít theo phương Ox và Oy có thể viết dưới dạng Fx=Mbvy Fy=-Mbvx, đó b gọi thông số Cô-ri-ô-lít (cho vĩ đợ  ) Tìm b Do tác dụng lực Cơ-ri-ơ-lít, mặt phẳng dao đợng tần số dao động lắc đều thay đổi Viết phương trình định luật II Newton cho vật M mặt phẳng Oxy tìm tần sớ góc  đặc trưng cho dao động lắc Biết hệ phương trình chủn đợng vật M có nghiệm dạng x = A sin(t ) y = Bcos(t ) , đó A,B là các hệ số không đổi Trích đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm 2016 Đáp số Khoảng cách từ M đến O xác định hệ thức: r y =  0  sin(0t ) = r0 sin   0  2 sin   v0 Từ đó ta có quỹ đạo M có dạng (Hình 1.16S) b = 2M  sin   x = A sin(t )  y = B cos(t ) Phương trình chủn đợng M có dạng:         g  sin    sin   sin   = 1+ 2 2 1+  l   g  g g      l  l l    Vì:  sin  nên nếu bỏ qua vơ bé bậc nhất, ta có: g l    g  sin   g 1   =   sin  l  l g    l   Bài 10 IPHO 2016 Trạm không gian quay Alice là một phi hành gia sống trạm không gian Trạm không gian là một bánh xe khổng lồ có bán kính R quay quanh trục nó, vậy nó tạo một trọng lực nhân tạo lên các phi hành gia Các phi hành gia sống phía bên vành bánh xe Trọng lực trạm không gian và độ cong sàn có thể bỏ qua GV PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK ĐHQG TP HCM B.1 Trạm không gian cần quay với tần số góc ss nào để các phi hành gia cảm thấy gia tốc trọng trường g  bề mặt trái đất? Alice và người bạn phi hành gia mình là Bob có một cuộc tranh cãi Bob không tin họ sống một trạm không gian mà tuyên bố họ trái đất Alice muốn chứng minh một cách vật lý cho Bob thấy họ sống trạm không gian quay Cô gắn mợt vật có khới lượng m vào mợt lị xo có độ cứng k và cho nó dao động Vật dao động theo phương thẳng đứng và không thể di chuyển theo phương ngang B.2 Coi lực hấp dẫn trái đất là không đổi với gia tốc là g  thì tần số góc  dao động mà người trái đất đo là bao nhiêu? B.3 Tần số góc ω dao động mà Alice đo trạm không gian là bao nhiêu? Alice tin thí nghiệm cô ấy chứng minh họ một trạm không gian quay Bob vẫn cịn hoài nghi Anh tun bớ tính đến sự thay đổi lực hấp dẫn bên bề mặt trái đất, người ta thấy một hiệu ứng tương tự Trong nhiệm vụ sau đây, ta tìm hiểu xem Bob có đúng hay không B.4 Hãy tìm biểu thức gia tốc trọng trường g E (h) tại độ cao h nhỏ bề mặt trái đất và tính tần số góc  E vật dao động (chỉ cần dùng phép gần đúng tuyến tính là được) Gọi bán kính trái đất là RE , bỏ qua sự quay trái đất Thật vậy, đối với trạm không gian này, Alice thật sự thấy lắc lị xo dao đợng với tần số mà Bob dự đoán B.5 Với giá trị nào bán kính R trạm không gian thì tần số dao động ω trùng với tần số dao động  E bề mặt Trái đất? Hãy biểu thị kết quả theo RE Bực tức với sự bướng bỉnh Bob Alice nảy ý tưởng làm một thí nghiệm để chứng minh quan điểm mình Để thực hiện, cô trèo lên một tháp có độ cao H so với sàn trạm không gian và thả một vật Thí nghiệm này có thể hiểu hệ quy chiếu quay hệ quy chiếu quán tính Trong một hệ quy chiếu quay đều, phi hành gia cảm thấy một lực ảo F C gọi là lực Coriolis, lực F C tác dụng lên một vật có khối lượng m chuyển động với vận tốc v hệ quy chiếu quay với tần số góc không đổi  ss cho bởi: FC = 2m v x  ss , (2) Khi tính các giá trị vô hướng, ta có thể dùng công thức: FC = 2mvss sin 𝜙 , (3) Trong đó, 𝜙 góc vận tớc trục quay Lực vng góc với cả vận tớc v trục quay Dấu lực có thể xác định theo quy tắc bàn tay phải, sau đây, em có thể chọn một cách tùy ý GV PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK ĐHQG TP HCM B.6 Hãy tính vận tớc ngang v x và độ dời ngang d x (so với chân tháp theo phương vng góc với tháp) vật chạm vào sàn Em có thể giả thiết độ cao H tháp nhỏ, cho gia tốc mà phi hành gia đo không đổi suốt quá trình rơi Em có thể giả thiết d x ≪ H Để thu kết quả tốt, Alice quyết định thực hiện thí nghiệm mợt tịa tháp cao nhiều so với trước Thật bất ngờ, vật rơi chạm đất chân tháp, tức d x = B.7 Hãy tìm giới hạn dưới cho đợ cao tháp để có thể xảy tình h́ng d x = Alice sẵn sàng thực hiện một nỗ lực cuối việc thuyết phục Bob Cô muốn dùng dao đợng lị xo để chứng tỏ tác dụng lực Coriolis Để thực hiện, thí nghiệm thay đởi: Alice gắn lị xo vào mợt vịng nhỏ, vịng có thể trượt tự khơng ma sát một ngang theo phương x Bản thân lị xo dao đợng theo phương y Thanh ngang đặt song song với sàn vng góc với trục quay trạm không gian Như vậy, mặt phẳng xy mặt phẳng vng góc với trục quay, với phương y hướng về tâm quay trạm B.8 Alice kéo vật xuống dưới một khoảng 𝑑 so với điểm cân 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, thả tay (xem hình 5) • Hãy tìm biểu thức đại sớ cho 𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡) Em có thể coi 𝜔𝑠𝑠𝑑 rất nhỏ bỏ qua lực Coriolis cho chủn đợng dọc theo trục 𝑦 • Vẽ phác quỹ đạo (𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡)), đánh dấu tất cả các đặc trưng quan trọng, ví dụ biên đợ Alice Bob tiếp tục tranh cãi Bài 11 Mợt vịng quay ngựa gỗ (thứ thường thấy công viên) bắt đầu quay từ lúc nghỉ với gia tốc góc không đởi là 0,02 vịng/ s Mợt người ngồi ghế cách trục quay r= 6m cầm một quả bóng nặng m= 2kg (xem hình) Tính độ lớn và chiều lực người đó cần dùng để giữ quả bóng 5s sau vòng quay bắt đầu quay Chỉ rõ chiều so với bán kính ghế mà người đó ngồi Đáp số Lực tay giữ: f = −4,7i + 1,51 j + 19,6k → f = 20,2 N Bài 12 Tại đỉnh núi độ cao h=900m so với mặt nước biển, vĩ độ  = 600 thuộc bán cầu bắc, một viên đạn bắn từ đỉnh núi với vận tốc đầu v : v0 = 600m / s theo phương nằm ngang, hướng thẳng về phía nam Bỏ qua tác dụng lực cản Coi gia tốc trọng trường không đổi dọc quỹ đạo đạn g = 10m / s ; tớc đợ góc Trái đất   , nên ta bỏ qua thành phần  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, gốc O gắn tại mặt đất, Oz thẳng đứng hướng lên, Ox nằm GV PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK ĐHQG TP HCM ngang hướng về phía nam Oy nằm ngang hướng về phía đơng a Hỏi lực qn tính Coriolis tác dụng lên viên đạn theo hướng vừa mới bắn? b Tìm tọa đợ đạn chạm mặt đất Coi mặt đất ngang mặt nước biển  x = 6000m  Đáp sớ  y  −3,6557m lệch về phía tây  z=0  GV PHẠM VŨ KIM HOÀNG-PTNK ĐHQG TP HCM ... HOÀNG-PTNK ĐHQG TP HCM ngang hướng về phía nam Oy nằm ngang hướng về phía đông a Hỏi lực quán tính Coriolis tác dụng lên viên đạn theo hướng vừa mới bắn? b Tìm tọa độ đạn chạm mặt... (vịng quay) có sơn hai trục (x, y) vng góc quay trái đất (giả thiết mợt hệ quy chiếu qn tính x0 , y0 , z0 ) với vận tớc góc không đổi ω quanh trục thẳng đứng Một bọ có khới lượng... động lắc Fu-cô dưới dạng chuyển động một lắc đơn hệ quy chiếu quay, đặc trưng lực qn tính Cơ-ri-ơ-lít và dưới tác dụng trọng lực tại một nơi có vĩ độ  bán cầu Bắc Trái