Bai giang toan c nam 2014

Đại Học Duy Tân Khoa : KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bộ mơn : TỐN Giảng viên : ThS NGUYỄN THỊ NGỌC BÍCH TẬP BÀI GIẢNG Mơn học : Tốn Cao Cấp C Mã mơn học : MTH -100 Số tín : Lý thuyết : Thực hành : Dành cho sinh viên ngành : Năm thứ thuộc khối ngành khoa học xã hội Khoa/Trung tâm : Ngoại ngữ - Du Lịch – Khoa khoa học xã hội Bậc đào tạo : Cao Đẳng - Đại học Học kỳ : I & II Năm học: 2014 – 2015 Đà Nẵng, năm 2014 PHÂN BỐ GIỜ GIẢNG DẠY : 45 GIỜ THỨ NỘI DUNG TRANG Giới thiệu tổng quan môn học Chương 1: Hàm số - đồ thị - giới hạn 2, 1.1 Hàm số 1-5 1.2 Đồ thị hàm số 5-9 1.3 Hàm tuyến tính - 13 6, 1.4 Các mơ hình hàm số 13 - 20 1.5 Giới hạn hàm số 20 - 24 1.6 Sự liên tục hàm số 25 - 31 Chương 2: Đạo hàm ứng dụng đạo hàm 10, 11 … 2.1: Đạo hàm - Hệ số góc – Tốc độ 32 - 35 2.2: Các quy tắc tính đạo hàm 35 - 38 2.3: Phân tích cận biên 38 - 44 15 2.4 Quy tắc đạo hàm hàm hợp 44 - 46 16 2.5 Đạo hàm cấp cao 46 - 48 17, 18 2.6 Sự tối ưu hóa 49 - 53 19, 20 2.7 Các toán tối ưu thực tế 53 – 59 2.8 Hàm mũ hàm logarit Kiểm tra kỳ Chương 3: Tích phân 59 - 70 25, 26 3.1 Nguyên hàm - Tích phân bất định 71 – 74 27, 28 3.2 Các phương pháp tính tích phân 74 - 77 29, 30 3.3 Phương trình vi phân 77 - 81 3.4 Tích phân xác định 81 - 95 35, 36 Kiểm tra thường kỳ Chương 4: Hàm nhiều biến 4.1 Hàm nhiều biến 96 - 99 37, 38 4.2 Các đạo hàm riêng 99 - 102 4.3 Sự tối ưu hàm hai biến 102 - 108 42, 43 4.4 Sự tối ưu ràng buộc – Phương pháp nhân tử Lagrange 108 - 120 44, 45 Ôn tập thi kết thúc học phần 12 13, 14 21, 22, 23 24 31, 32, 33 34 39, 40, 41 Trường Đại Học Duy Tân Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014 Chương 1: HÀM SỐ - ĐỒ THỊ - GIỚI HẠN * Mục tiêu: + Về kiến thức: Trong chương bạn cần nắm: Khái niệm hàm số khái niệm liên quan; nắm lập mơ hình hàm số mơ hình hàm tuyến tính, mơ hình hàm bậc hai, mơ hình hàm lũy thừa, mơ hình hàm phận …; phải biết cách vẽ phác họa đồ thị hàm; Nắm khái niệm giới hạn phương pháp tìm giới hạn bản; Nắm khái niệm hàm liên tục từ phải giải tốn ứng dụng + Về kỷ năng: Lập mơ hình hàm số cách thành thạo từ vấn đề cụ thể thực tiễn; nhận dạng sử dụng phương pháp thích hợp để tính giới hạn hàm số; Khảo sát liên tục hàm số toán đơn giản nâng cao 1.1 HÀM SỐ 1.1.1 Hàm số Trong thực tiễn, thấy giá trị đại lượng phụ thuộc vào giá trị đại lượng Chẳng hạn: Nhu cầu thịt bò khách hàng phụ thuộc vào giá thị trường; lượng khí thải khơng khí thị phụ thuộc vào số tơ lưu hành thị hay giá trị chai rượu phụ thuộc vào số tuổi nó… Như vậy, mối quan hệ mơ tả Tốn học, cơng cụ để biểu diễn mối quan hệ hàm Khái niệm: Hàm quy tắc ứng với phần tử tập A với phần tử tập B Tập A gọi miền xác định hàm tập B gọi miền giá trị hàm Khi A B tập số hàm gọi hàm số Trong tồn hàm cho giáo trình có tập miền xác định miền giá trị tập số thực hàm ký hiệu ký tự f Giá trị hàm f tương ứng với số x miền xác định kí hiệu f ( x) , thường cho công thức, chẳng hạn f ( x ) = 3x + 5x − 10 Đầu vào x a) Hàm ánh xạ Đầu f máy f ( x) b) Hàm giống máy Hình 1.1 Biểu diễn hàm f ( x) Khoa Khoa Học Tự Nhiên ThS Nguyễn Thị Ngọc Bích Trường Đại Học Duy Tân Bài Giảng Tốn Cao Cấp C - Năm 2014 Hình giúp hình dung hàm “ánh xạ” từ phần tử tập A với phần tử tập B (Hình 1.1a), “cái máy” nhận phần tử tập A biến đổi thành phần tử tập B, trình quy tắc hàm (Hình 1.1b) Hàm đựợc biểu diễn dạng bảng liệu Chẳng hạn, bảng 1.1 liệt kê lượng dân số làm nông nghiệp nước Mỹ thập niên 1910 đến 1990 Lượng dân số làm Phần trăm nông nghiệp dân số 34.9 32077 1910 30.2 31974 1920 24.9 30529 1930 23.2 30547 1940 15.3 23048 1950 8.7 15635 1960 4.8 9712 1970 2.7 6051 1980 1.8 4591 1990 Bảng 1.1 Lượng dân số làm nông nước Mỹ Năm n Chúng ta biểu diễn liệu hàm f xác định quy tắc: f(n) = [Lượng dân số làm nông nghiệp vào thập niên thứ n] Do đó, f (1) = 32077 ; f (5) = 23048 f (9) = 4591 Trong miền xác định f tập số nguyên A = {1, 2, 3,", 9} 1.1.2 Các ví dụ ứng dụng Ví dụ 1.1 Tìm f (− ) , f (1) f (2) ⎧ neáu x < ⎪ f (x) = ⎨ x − ⎪ ⎩3 x + x ≥ Giải: Vì x = − thoả x < , dùng biểu thức phía ta có: 1 f (− ) = = =− −1/ − −3/ Tuy nhiên, x = x = thoả x ≥ , f (1) f (2) dùng biểu thức phía để tính: f (1) = 3(1)2 + = ; f (2) = 3(2)2 + = 13 Ví dụ 1.2 Giả sử tổng chi phí (đvtt) sản xuất q đơn vị loại hàng hoá cho hàm C (q ) = q − 30q + 500q + 200 (a) Tính chi phí sản xuất 10 đơn vị hàng hố (b) Tính chi phí sản xuất đơn vị hàng hố thứ 10 Giải: Khoa Khoa Học Tự Nhiên ThS Nguyễn Thị Ngọc Bích Trường Đại Học Duy Tân Bài Giảng Tốn Cao Cấp C - Năm 2014 (a) Chi phí sản xuất 10 đơn vị giá trị hàm tổng chi phí q = 10 Tức là: Chi phê san í xuátú 10 âån vë = C (10) = (10)3 − 30(10)2 + 500(10) + 200 = 3200âvtt (b) Chi phí sản xuất đơn vị thứ 10 chênh lệch chi phí sản xuất 10 đơn vị chi phí sản xuất đơn vị Tức là: Chi phê cu âån vë thỉï 10 = C (10) − C (9) = 3200 − 2999 = 201âvtt 1.1.3 Hàm hợp Khái niệm hàm hợp: Cho hàm f (u ) g ( x) , hàm hợp f ( g ( x) ) hàm theo biến x nhận cách thay u = g ( x) ) cho u công thức f (u ) Hình 1.2 cho ta thấy rõ hàm hợp minh hoạ “một dây chuyền” sản xuất, đầu vào x chế biến biến thành sản phẩm g(x) sau đưa vào máy f cho sản phẩm f ( g ( x) ) Đầu vào g máy Đầu … Đầu Đầu f máy Hình 1.2 Mơ hình hàm hợp 1.1.4 Các ví dụ ứng dụng hàm hợp Ví dụ 1.3 Tìm f ( x − 3) f ( x) = x + Giải: Ta có: f (x − 3) = 3(x − 3)2 + +5 x −5 x −3 Ví dụ 1.4 Một nghiên cứu môi trường huyện nhận định lượng CO trung bình khơng khí c( p ) = 0.5 p + ppm, dân số p nghìn người Người ta dự đoán sau t năm dân số huyện p(t ) = 10 + 0.1t nghìn người (a) Hãy biểu diễn lượng CO khơng khí hàm theo thời gian (b) Hỏi lượng CO đạt 6.8 ppm ? Giải: (a) Vì lượng CO liên hệ với biến p phương trình c( p ) = 0.5 p + biến p liên hệ với biến t phương trình p(t ) = 10 + 0.1t Do hàm hợp: c ( p(t ) ) = c(10 + 0.1t ) = 0.5(10 + 0.1t ) + = + 0.05t biểu diễn lượng CO khơng khí hàm theo biến t (b) Cho c( p(t )) 6.8 giải theo t ta được: Khoa Khoa Học Tự Nhiên ThS Nguyễn Thị Ngọc Bích Trường Đại Học Duy Tân Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014 + 0.05 t = 6.8 ⇔ 0.05 t = 0.8 0.8 = 16 0.05 ⇔ t = 16 = Tức là, sau năm lượng CO khơng khí đạt 6.8 ppm ⇔ t2 = BÀI TẬP Tính giá trị hàm sau giá trị cho ⎪⎧−2 x + ⎪⎩ x + 1 h( x ) = ⎨ ⎧3 ⎪ f (t ) = ⎨t + ⎪ ⎩ t neáu x ≤1 neáu x >1 ; h(3), h(1), h(0), h(−3) neáu neáu t < −5 −5≤ t ≤ ; neáu t>5 f (−6), f (−5), f (16) Tìm biểu diễn hàm hợp sau f ( x + 1) f ( x) = x + f ( x + 3) f ( x) = (2 x − )2 ⎛1⎞ ⎝ x⎠ f ⎜ ⎟ f ( x) = x + f ( x − 2) f ( x) = x − 3x + f ( x − 1) f ( x) = (x + 1)2 − x 2 x f ( x + x − 1) f ( x) = x Một nghiên cứu suất làm việc buổi sáng nhà máy nhận định sau: Trung bình công nhân đến làm việc từ lúc sáng làm f ( x) = − x3 + x2 + 15x thiết bị Tivi sau x (a) Người cơng nhân làm thiết bị đến lúc 10 sáng ? (b) Người cơng nhân làm thiết bị sáng 10 sáng ? 10 Giả sử thời điểm t kể từ lúc nửa đêm (tại thời điểm giờ) nhiệt độ thành phố C (t ) = − t + 4t + 10 độ C (a) Vào lúc 2giờ chiều nhiệt độ thành phố ? (b) Nhiệt độ tăng hay giảm chiều chiều ? 11 Giả sử chương trình tiêm chủng cho cộng đồng để ngăn ngừa bệnh cúm trở lại, viên chức sức khoẻ cộng đồng nhận thấy chi phí tiêm chủng cho x% 150 x cộng đồng xấp xỉ f ( x) = đvtt 250 − x (a) Tìm miền xác định hàm f ? (b) Với giá trị x f(x) có ý nghĩa thực tế ngữ cảnh ? (c) Chi phí tiêm chủng cho 50% dân số lần ? (d) Chi phí tiêu chủng cho 50% dân số lần thứ hai ? (e) Có phần trăm dân số tiêu chủng dùng hết 37.5 đvtt ? 12 Giả sử số làm việc cần để phân phối danh bạ điện thoại đến x% hộ gia 600 x đình vùng nơng thơn cho hàm f ( x) = 300 − x (a) Tìm miền xác định hàm f ? Khoa Khoa Học Tự Nhiên ThS Nguyễn Thị Ngọc Bích Trường Đại Học Duy Tân Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014 (b) Với giá trị x hàm f ( x) có ý nghĩa thực tế ngữ cảnh ? (c) Cần làm việc để phân phối danh bạ điện thoại đến 50% hộ gia đình ? (d) Cần làm việc để phân phối danh bạ điện thoại đến tồn thể hộ gia đình huyện ? (e) Nếu dùng hết 15 làm việc hộ gia đình huyện nhận danh bạ điện thoại phần trăm ? 13 Tại nhà máy đó, tổng chi phí sản xuất q đơn vị sản phẩm ngày sản xuất C ( q ) = q + q + 900 đvtt.Vào ngày làm việc có q (t ) = 25 t đơn vị sản phẩm sản xuất t sản xuất (a) Biểu diễn tổng chi phí sản xuất hàm theo t (b) Tính chi phí sản xuất sau sản xuất ? (c) Khi tổng chi phí sản xuất đạt 11 ngàn ? 14 Một nghiên cứu môi trường vùng nông thôn nhận định rằng, lượng carboc monoxide trung bình khơng khí c( p ) = 0.4 p + ppm dân số p nghìn Họ ước tính vào thời điểm t năm dân số huyện p(t ) = + 0.2 t nghìn người (a) Biểu diễn lượng carbon monoxide khơng khí hàm theo thời gian t (b) Lượng carbon monoxide vào thời điểm năm ? (c) Hỏi lượng carbon monoxide đạt 6.2 ppm ? 15 Một người nhập cafê Brazil ước tính khách nội địa mua xấp xỉ 4374 Q ( p ) = kg cafê/tuần giá p đvtt/kg; người ước tính vào thời p điểm t tuần giá cafê p(t ) = 0.04t + 0.2t + 12 đvtt/kg (a) Biểu diễn nhu cầu hàng tuần khách hàng cafê hàm theo t (b) Bao nhiêu kg cafê mà khách mua từ nhà nhập vào thời điểm 10 tuần ? (c) Khi nhu cầu cafê đạt 30.375 kg ? 1.2 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 1.2.1 Định nghĩa đồ thị hàm số Đồ thị cho ta nhìn tổng quát dáng điệu hàm Dùng đồ thị chúng thể thơng tin mà ta khó diễn tả lời biểu thức đại số Hai đồ thị sau mô tả mối quan hệ thực tế Hình 1.3 Khoa Khoa Học Tự Nhiên ThS Nguyễn Thị Ngọc Bích Trường Đại Học Duy Tân Bài Giảng Toán Cao Cấp C - Năm 2014 Sản lượng Dân số Điểm cao Chặn Thời gian (Năm) Thời gian (Năm) Thời điểm dân số tăng trưởng nhanh Thời điểm sản lượng lớn Hình 1.3: (a) Hàm sản xuất (b) Tăng tưởng dân số bị chặn Để mơ tả hình học hàm số y = f ( x) đồ thị, thông thường ta dùng hệ toạ độ hình chữ nhật với cách chia đơn vị theo biến độc lập x trục hoành (trục ngang ) biến phụ thuộc y trục tung (trục đứng) Khái niệm: Đồ thị hàm y = f ( x) tập hợp tất điểm ( x, y ) x thuộc miền xác định f y = f ( x) ; tức tất điểm có dạng ( x, f ( x) ) 1.2.2 Phương pháp vẽ phác họa đồ thị hàm f Chọn vài giá trị x thuộc miền định f tính giá trị tương ứng y = f ( x) giá trị x Vẽ điểm tương ứng ( x, f ( x) ) Nối điểm ta hình ảnh đồ thị hàm số Ví dụ 2.1 Vẽ đồ thị hàm số ⎧2 x ⎪ ⎪2 f ( x) = ⎨ ⎪x ⎪⎩3 neáu ≤ x