Sở GD&ĐT Nghệ An Trường THPT Diễn Châu ***====*****====***==== Đề thi chọn HSG cấp trường năm học 2007 2008 Môn Toán Lớp 10- Chương trình (Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian phát đề) Câu a,(4,25 điểm) Giải phương trình: x - x + x = - - x b, (2,5 điểm) Tìm a để phương trình: ( x - x + 3) x - a = , cã ®óng nghiƯm ph©n biƯt ìï x - my = m + (1) Câu 2(5,0 điểm) Cho hệ phương trình ùớ ùùợ mx - y = (2) a, Tìm m để hệ phương trình đà cho có nghiệmduy b, Trong trường hợp hệ phương trình có nghiệm nhất, hÃy tìm m để y > - Câu a, (2,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho A(2; 1), B(3; -1), C(-2; 3) Tìm điểm E ẻ Oy để tứ giác ABEC hình thang có hai cạnh đáy AB CE b, (3,5 điểm) Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) có phương trình x - y + = hai điểm A(4; 6), B(0; 4).Tìm điểm M đường thẳng uuur uuur (d) cho độ dài vectơ AM + BM có độ dài nhỏ nhất.Tìm giá trị nhỏ Câu 4.(2,25 điểm) Cho a, b, c ba số thực khác a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 + + Dấu đẳng thức xảy nào? Chứng minh rằng: c2 a2 b2 Hết Đáp án biểu điểm đề thi chọn HSG môn Toán 10- chương trình bản.(gồm có 02 trang) DeThiMau.vn Câu a §k: x + x ³ (0,25®) Û x x Ê - (0,25đ) Tổng ®iĨm 4.25® Pt ®· cho t¬ng ®¬ng víi 2( x + x ) - x + x + = (0,25®) x + x , t (0,25đ) Ta có phương trình: 2t - 3t + = (1).(0,25đ) Pt (1) Û t = hc t= (tháa mÃn đk t ).(0,5đ) Đặt t = Với t = ta có phương trình: x + x = Û x + x = Û x + x - = (0,5®) Û x = - ± (0,5®) 1 1 Víi t = ta có phương trình: x + x = x + x = Û x + x - = 2 4 (0,5®) (0,5đ) x = - Đối chiếu với điều kiện phương trình đà cho có nghiệm phân biệt là: (0,25đ) x = - (0,25đ) x = - b Câu a b Đk: x - a Û x ³ a (0,5®) éx - x + = éx = hc x = ờ Pt đà cho tương đương víi ê (0,5®) (0,5®) Û 2 ê êx - a = ởx = a Vậy phương trình ®· cho cã nghiƯm ph©n biƯt Û a < (0,5®) Û - < a < Vậy với -1< a < phương trình ®· cho cã nghiƯm ph©n biƯt.(0,5®) 2.5® ïìï x = ï í (0,5®) ïï y = ïỵ ïìï x = VËy m = 0, hệ phương trình đà cho có nghiệm ùớ (0,25đ) ùù y = ợù - m Th2: Nếu m , hệ phương trình đà cho có nghiệm m - (0,5đ) m m ¹ ± (0,5®) VËy m ¹ ± (0,25đ) 2.0 đ Hệ phương trình đà cho có nghiệm m (0,5đ) Tõ (1) ta cã: x = m + + my , (0,25đ) thay vào (2) ta có, m(3 m + + my ) - y = Û (m - 3) y = - m - m + (0,25®) Û 3.0® ìï x = Th1: NÕu m = 0, thay vào hệ ta ùớ ùợù - y = - 3m - 3m + (v× m ) (0,5đ) m2 - - 3m - 3m + - 3m - 3m + - - 3m y> - 3Û >- 3Û + 3> Û > (0,5®) 2 m - m - m2 - y= DeThiMau.vn Vậy: m ẻ (- Ơ ; Câu a ; ) (0,75®) ) È (- ; ) (0,25®) 3 ) ẩ (- m ẻ (- Ơ ; - E ẻ Oy nên E có tọa độ (0; y) (0,5đ) uur uuur Tứ giác ABEC hình thang đáy AB CE AB EC phương 2,5đ (0,5®) uur uuur Ta cã: AB (1; -2), EC (-2; –y) (0,5®) uur uuur - 3- y = AB EC phương (0,5đ) - Û y = - (0,25®) VËy E(0; -1) (0,25đ) b M ( x0 ; y0 ) ẻ (d ) Û x - y0 + = (0,25®) Û y0 = x0 + (0,25®) VËy M( x0 ; x0 + 2) (0,25®) uuur Ta cã: AM ( x0 - 4; x0 - 4) (0,25®) , uuur BM ( x0 ; x0 - 2) (0,25đ) uuur uuur ị AM + BM = (2 x0 - 4; x0 - 6) (0,25®) uuur uuur AM + BM = (2 x0 - 4) + (4 x0 - 6) (0,25®) = 20 x0 - 64 x0 + 52 3.5® (0,25®) 8 ) + (0,5đ) Dấu = xảy x0 = , 5 5 uuu r uuu r 26 26 ®ã y0 = (0,5đ) Vậy AM + BM = , M( ; ) (0,5đ) 5 5 = Câu 20( x0 - a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 a2 b2 a2 c2 b2 c2 + + = ( + ) + ( + ) + ( + ) (0,5®) c2 a2 b2 b2 a2 c2 a2 c2 b2 Do a, b, c khác nên a , b , c số dương áp dụng bất đẳng thức Ta có: cauchy ta cã: 2.25® a2 b2 a2 b2 a2 c2 a2 c2 + ³ = + ³ = , (0,5®) , (0,5®) b2 a2 b2 a2 c2 a2 c2 a2 b2 c2 b2 c2 a2 + b2 b2 + c2 c2 + a2 + ³ = + + ³ (0,5®) VËy c2 b2 c2 b2 c2 a2 b2 DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b = c (0,25đ) Tổng 20.0đ Ghi chú: Thí sinh làm theo phương pháp chặt chẽ cho điểm tối đa Ngô Trí Thụ DeThiMau.vn ... phương trình đà cho có nghiệm phân biệt Û a < (0,5®) Û - < a < VËy víi -1< a < phương trình đà cho có nghiệm phân biệt.(0,5đ) 2.5® ïìï x = ï í (0,5®) ïï y = ïỵ ïìï x = VËy m = 0, hệ phương trình. .. c2 a2 b2 DÊu “=” xảy a = b = c (0,25®) Tỉng 20.0® Ghi chó: Thí sinh làm theo phương pháp chặt chẽ cho điểm tối đa Ngô Trí Thụ DeThiMau.vn ... nhÊt ïí (0,25®) ïï y = ợù - m Th2: Nếu m , hệ phương trình đà cho có nghiệm m - (0,5đ) m m (0,5đ) Vậy m (0,25đ) 2.0 đ Hệ phương trình ®· cho cã nghiƯm nhÊt Û m ¹ ± (0,5®) Tõ (1) ta cã: