(SKKN CHẤT 2020) một số biện pháp dạy học nhằm củng cố và mở rộng giới hạn của dãy số

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC NHẰM CỦNG CỐ VÀ MỞ RỘNG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11, CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN) Họ tên: TRẦN HẢI NHÂN Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Quảng Bình, tháng 01 năm 2019 download by : skknchat@gmail.com Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong sách giáo khoa Đại số giải tích 11 (chương trình chuẩn), chương IV: GIỚI HẠN, đưa vào định nghĩa giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực dãy số dạng mô tả Giới hạn dãy số nội dung quan trọng, làm tảng cho Giới hạn hàm số, đạo hàm ứng dụng Học sinh lần tiếp xúc với khái niệm giải tích, gắn liền với tư tưởng vô hạn nên chắn gặp nhiều khó khăn Cùng với khả vận dụng kiến thức cũ học em để giải dạng tốn giới hạn cịn hạn chế Vì vậy, tơi thực viết đề tài: “Một số biện pháp dạy học nhằm củng cố mở rộng giới hạn dãy số” với mục đích góp phần làm sáng tỏ giúp học sinh nắm chắc, hiểu sâu, tổng quát hóa vấn đề trừu tượng Giải tích gặp phải q trình dạy học phần Giới hạn nêu 1.2 Điểm đề tài Trong đề tài sử dụng kiến thức giáo viên học sinh tìm hiểu qua sách giáo khoa Đại số giải tích 11 (chương trình chuẩn), chương IV: GIỚI HẠN, §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ để dẫn dắt, lập luận đưa vào phần mở rộng định nghĩa giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực dãy số cách tổng quát Trên sở đó, định hướng học sinh làm tập phần sử dụng đến giới hạn đặc biệt dãy số, định lí giới hạn hữu hạn, định lí liên hệ giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực dãy số hồn chứng minh khơng hồn tồn thừa nhận cách bị động Trong đề tài, phần phân dạng tốn có lồng ghép từ ví dụ quen thuộc để mở rộng định nghĩa giới hạn dãy số sau ví dụ để hiểu chất định nghĩa vận dụng để giải toán, tương đối phù hợp với đối tượng học sinh Đề tài áp dụng giảng dạy nội dung Giới hạn dãy số môn Đại số giải tích 11 (chương trình chuẩn, chương trình nâng cao) Có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh trung học phổ thông download by : skknchat@gmail.com Phần nội dung 2.1 Thực trạng nội dung nghiên cứu Trong sách giáo khoa Đại số giải tích 11 (chương trình chuẩn) Chương IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I Giới hạn hữu hạn dãy số Định nghĩa Xét dãy sốun với un n Biểu diễnun dạng khai triển: u u 100 a) Nhận xét khoảng cách từ un tới 0, tức un trở nên nhỏ n trở nên lớn b) Bắt đầu từ số hạng un dãy số khoảng cách từ un tới nhỏ số sau đây: 0,01 0,001 ? Ta có: Vậy từ số hạng thứ 101 trở đi, khoảng cách từ un tới nhỏ 0,01 Tương tự: Vậy từ số hạng thứ 1001 trở đi, khoảng cách từ un tới nhỏ 0,001 Như ta chứng minh un 0 n nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi, nghĩa un nhỏ miễn chọn n đủ lớn Khi ta nói dãy sốun với un n có giới hạn n dần tới dương vô cực download by : skknchat@gmail.com Định nghĩa Dãy sốun có giới hạn n dần tới dương vô cực thể nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un hay un n n Ví dụ Chứng minh dãy sốu với u 1 n u n có có giới hạn n n n Giải Ta cần chứng minh u nhỏ số dương bất kì, kể từ số n hạng trở 1 Chẳng hạn: u  n n n  n 2 0, 01 hay u   n 100  n với n thỏa mãn n2100 hay n > 10 Nghĩa kể từ số hạng thứ 11 trở Định nghĩa Dãy sốvn vn a lim n lim v a Kí hiệu n n Ví dụ Cho dãy sốvn limvn Giải Ta có n  lim Vậy lim n n Một vài giới hạn đặc biệt Từ định nghĩa suy kết quả: a) lim b) lim qn n q  1; c) Nếu u n c (c số) lim u n c n Chú ý: Thay cho lim u n a , ta viết limun a n download by : skknchat@gmail.com II Định lí giới hạn hữu hạn Việc tìm giới hạn định nghĩa phức tạp nên ta thường dung công thức giới hạn đặc biệt nêu định lí thừa nhận sau Định lí a) Nếu limun a lim limun vn a b ; limun vn a.b ; b) Nếu un với n lim un a a lim un a 3n  n Ví dụ Tính lim  1 n2 Giải Chia tử thức mẫu thức cho n2 , ta  Vì lim   lim 3 n 1 n n 3n nên lim Ví dụ Tính lim 1 n2  Giải Ta có lim  n Trong giải ta ý: A n 1 2n  Do đó, với số nguyên dương n ta có  A n 2 n download by : skknchat@gmail.com III Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn Cấp số nhân vơ hạnun có công bội q, với hạn q  gọi cấp số nhân lùi vô Tổng cấp số nhân lùi vơ hạnun Ví dụ a) Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạnunvới un b) Tính tổng Giải a) Vì u b) Các số hạng tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 1, q Vậy S 1 Mặt Trăng IV Giới hạn vô cực Xét tốn: Có nhiều tờ giấy giống nhau, tờ có bề dày 0,1mm Ta xếp chồng liên tiếp, 384000 km giả sử thực việc cách vô hạn Gọi u1 bề dày tờ giấy, u2 bề dày xếp giấy gồm tờ, u3 bề dày xếp giấy gồm tờ, … un bề dày chồng giấy gồm n tờ download by : skknchat@gmail.com Trái Đất Biểu diễn bảng sau đây, cho ta biết bề dày số chồng giấy u 0,1 … … a) Quan sát bảng trên, nhận xét: giá trị un tăng lên vô hạn n tăng lên vơ hạn b) Để chồng giấy có bề dày lớn khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng (khoảng cách thời điểm xác định 384.103 km 384.109 mm ) phải n 9 10 có un  384.10 hay 10  384.10 hay n 384.10 Định nghĩa Dãy sốun có giới hạn + n +, un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: limun Dãy sốun có giới hạn n +, lim(un ) Kí hiệu: limun Nhận xét: lim un limun Ví dụ Cho dãy sốun với un n2 Biểu diễn số hạng củaun trục số 01 u1 Ta thấy, n tăng lên vơ hạn u n2 Ta chứng minh limun , nghĩa un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Chẳng hạn, un10000 , hay n210000 n100 tức kể từ số hạng thứ 101 trở ta có un10000 Tương tự, un1020 kể từ số hạng thứ 10101 download by : skknchat@gmail.com Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận kết sau a) lim nkvới k nguyên dương b) lim qn q > Định lí Ta thừa nhận định lí Định lí a) N b) N c) N Ví dụ Tính lim Giải Chia tử mẫu  Vì lim     Giải Ta có n 2 n 1 n2  1 Vì lim n  n Ví dụ Tính lim  lim  0v  download by : skknchat@gmail.com 15 Dạng Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp giải Sử dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn Các tốn có u cầu tìm cấp số nhân lùi vô hạn biết số điều kiện: Ta dung cơng thức để tìm số hạng đầu công bội Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số cho dạng tổng cấp số nhân lùi vơ hạn tính tổng Các ví dụ minh họa Ví dụ Tính tổng S 2 Giải Dãy số vơ hạn 2; Vì q   Do đó: S 2 Ví dụ Tìm dạng khai triển cấp số nhân lùi vơ hạnvn , biết tổng 32 v2 Giải Từ giả thiết suy thức ta có Từ đó: v v qn2 n2 Vậy dạng khai triển củavn download by : skknchat@gmail.com 16 Ví dụ Viết số thập phân vơ hạn tuần hoàn sau dạng phân số hữu tỉ Giải a 2;131313  2 = 2 13 99 211 99 , với n nguyên dương 13 13 13 (Vì 100 ; 10000 ; ; 100 n ; số hạng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q 100 ) download by : skknchat@gmail.com 17 III Bài tập củng cố Bài Nếu dãy sốun có giới hạn Khi dãy số ? Ngược lại có khơng ? u n có giới hạn hay không Chứng minh dãy sốun với un1n khơng có g Bài  minh giới hạn lim   Bài hạn Dãy sốun vn Cho dãy sốun có giới hạn hữu hạn, dãy sốvn Bài Cho hai dãy số dươngun vàvn Bài Chứng minh lim qn Bài Cho q1 dãy sốun a) Chứng minh limnqn b) Tính limun Bài Tính giới hạn a) lim 3n n3 ; n 3 n2 Bài Tính giới hạn Bài Tính giới hạn 2 a) lim n  n 1 4n  ; n3 Bài 10 Tính giới hạn a) limn 2 3n 5; c) lim3n3 2n 27; q > xác định un q 2q 2   nqn  b) lim n b) lim b) lim  n 2 1 n2 4 2 ; n n d) lim  3  n 2.5n 1 5n download by : skknchat@gmail.com 18 Bài 11 Tính giới hạn n3 a) lim Bài 12 Cho dãy số xác định công thức truy hồi 1.2 2.3  với n Dãy sốun có giới hạn hay khơng n + Nếu có, tính limun Bài 13 Cho dãy số xác định cơng thức truy hồi với n Dãy sốun có giới hạn hay khơng Tính giới hạn dãy sốun xác định bở Bài 14 u1 1   u  n1 Tính giới hạn dãy sốun xác định bở Bài 15 Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn Bài 16 Tính tổng S 1 0,90,92  0,9 Bài 17 Bài 18 Tìm số hạng tổng qt cấp số nhân lùi vơ hạn có tổng công bội q Bài 19 Cho dãy sốun có số hạng tổng quát un sin sin 2 sinn với    2 k Tính limun  Bài 20 Cho số thập phân vơ hạn tuần hồn x 34,121212 (chu kì 12) Viết lại x dạng số hữu tỉ download by : skknchat@gmail.com 19 IV Phần hướng đáp số, hướng dẫn giải Bài Vìun có giới hạn nên un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Mặt khác, un  un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở Hay dãy sốun với un un có giới hạn Điều ngược lại 1 un Bài Vì trở Chẳng hạn  n  Do lim    Vậy lim     Bài Sử dụng phương pháp phản chứng Kết dãyun vn khơng có giới hạn hữu hạn dãy sốun có giới hạn hữu hạn, dãy sốvn khơng có giới hạn hữu hạn Bài Ta có 0 Suy điều cần chứng minh lim Bài Đặt p Suy lim qn lim Bài a) Ta có Do limnqn  n b) Từ un q 2q 2  nqn qun q 2 2q 3  nqn1  un qun q 2q 2  nq n q 2 2q 3  nqn1 download by : skknchat@gmail.com 20      q q 2 q   qn  nq n1  q (1 q n )  nqn1 1 q Do đó: un Bài a)2; Bài a) 0; Bài a)1; Bài 10 a) +; Bài 11 a) u   n k1  2( n 1)(2 n 1)  n1 2 3n n 3 n  k  Vậy lim un b) Sử dụng câu a) tính tổng n số ngun dương, ta có lim        n  n 2 n12 Bài 12 Dự đốn cơng thức u Đáp số lim un1 Bài 13 Chứng minh u n1 Đặt limun a , suy a Do lim un Bài 14 Quy nạp công thức u n2 Vậy lim Bài 15  u2  n Ta có download by : skknchat@gmail.com 21 Do un 2,n suy Vậy lim un a 2,n Qua giới hạn hệ thức truy hồi ta có Vậy lim un Bài 16 S Bài 17 S10 Bài 18 un Bài 19 Dãy sin ;sin 2 ; ;sin n cấp số nhân vô hạn công bội q sin Vì sin1 nên dãy cấp số nhân lùi vơ hạn Bài 20 x download by : skknchat@gmail.com 22 Phần kết luận 3.1 Ý nghĩa đề tài Đề tài tóm tắt kiến thức giáo khoa giới hạn dãy số nảy sinh vấn đề hạn chế mặt chất định nghĩa giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực dãy số, định nghĩa trình bày mức độ mơ tả nên hạn chế mặt tổng quát Hầu hết định lí cụ thể phép toán giới hạn giới hạn đặc biệt thừa nhận Do vậy, cách truyền đạt ý tưởng đề tài đến học sinh giúp học sinh hiểu rõ kiến thức, em hiểu, tự chứng minh định lí phép tốn giới hạn để sử dụng q trình giải tập khơng cịn bị động Trong q trình viết, việc đưa vào phần mở rộng định nghĩa giới hạn dãy số xuất phát từ ví dụ sách giáo khoa ví dụ đơn giản làm sở Mặc dù sử dụng ngôn ngữ “số dương bé tùy ý” “Giải tích đại” song học sinh tiếp thu tảng em tiếp tục học chương trình Tốn năm đầu hầu hết trường Đại học, cao đẳng Song song với đó, đề tài dựa vào kiến thức tóm tắt hệ thống dạng tốn phân loại mức độ (dành cho học sinh trung bình) số tập cần phối hợp nhiều kỹ biến đổi (dành cho học sinh khá, giỏi) Cuối cùng, phần tập củng cố chọn lọc xếp theo hệ thống kiến thức đưa có phần giải, hướng dẫn giải 3.2 Kiến nghị, đề xuất Trên nội dung nói quan trọng chương trình Tốn THPT lần học sinh tiếp cận với giải tích, gắn với tư tưởng vơ hạn nên bỡ ngỡ Bản thân đầu tư xếp chọn lọc kiến thức ví dụ tập minh họa cho ý tưởng đề tài giúp cho học sinh nhiều Tuy nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Kính mong góp ý phê bình thầy đọc để thân tiếp tục hoàn thiện mở rộng, phát triển bước đề tài download by : skknchat@gmail.com 23 ... toánvà mở rộng định nghĩa giới hạn dãy số Dạng Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực dãy số Ví dụ Chứng minh dãy. .. thức cũ học em để giải dạng tốn giới hạn cịn hạn chế Vì vậy, tơi thực viết đề tài: ? ?Một số biện pháp dạy học nhằm củng cố mở rộng giới hạn dãy số? ?? với mục đích góp phần làm sáng tỏ giúp học sinh... GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ để dẫn dắt, lập luận đưa vào phần mở rộng định nghĩa giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực dãy số cách tổng quát Trên sở đó, định hướng học sinh làm tập phần sử dụng đến giới hạn