Đang tải... (xem toàn văn)
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC NHẰM CỦNG CỐ VÀ MỞ RỘNG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11, CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN) Họ và tê[.]
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC NHẰM CỦNG CỐ VÀ MỞ RỘNG GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ (ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11, CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN) Họ tên: TRẦN HẢI NHÂN Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Chí Thanh Quảng Bình, tháng 01 năm 2019 skkn Phần mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong sách giáo khoa Đại số giải tích 11 (chương trình chuẩn), chương IV: GIỚI HẠN, đưa vào định nghĩa giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực dãy số dạng mô tả Giới hạn dãy số nội dung quan trọng, làm tảng cho Giới hạn hàm số, đạo hàm ứng dụng Học sinh lần tiếp xúc với khái niệm giải tích, gắn liền với tư tưởng vô hạn nên chắn gặp nhiều khó khăn Cùng với khả vận dụng kiến thức cũ học em để giải dạng tốn giới hạn cịn hạn chế Vì vậy, thực viết đề tài: “Một số biện pháp dạy học nhằm củng cố mở rộng giới hạn dãy số” với mục đích góp phần làm sáng tỏ giúp học sinh nắm chắc, hiểu sâu, tổng qt hóa vấn đề trừu tượng Giải tích gặp phải trình dạy học phần Giới hạn nêu 1.2 Điểm đề tài Trong đề tài sử dụng kiến thức giáo viên học sinh tìm hiểu qua sách giáo khoa Đại số giải tích 11 (chương trình chuẩn), chương IV: GIỚI HẠN, §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ để dẫn dắt, lập luận đưa vào phần mở rộng định nghĩa giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực dãy số cách tổng quát Trên sở đó, định hướng học sinh làm tập phần sử dụng đến giới hạn đặc biệt dãy số, định lí giới hạn hữu hạn, định lí liên hệ giới hạn hữu hạn giới hạn vơ cực dãy số hồn chứng minh khơng hồn tồn thừa nhận cách bị động Trong đề tài, phần phân dạng toán có lồng ghép từ ví dụ quen thuộc để mở rộng định nghĩa giới hạn dãy số sau ví dụ để hiểu chất định nghĩa vận dụng để giải toán, tương đối phù hợp với đối tượng học sinh Đề tài áp dụng giảng dạy nội dung Giới hạn dãy số môn Đại số giải tích 11 (chương trình chuẩn, chương trình nâng cao) Có thể làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh trung học phổ thông skkn Phần nội dung 2.1 Thực trạng nội dung nghiên cứu Trong sách giáo khoa Đại số giải tích 11 (chương trình chuẩn) Chương IV GIỚI HẠN §1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ I Giới hạn hữu hạn dãy số Định nghĩa n Xét dãy số un với un Biểu diễn un dạng khai triển: u 100 1 u2 u4 u1 a) Nhận xét khoảng cách từ un tới 0, tức un trở nên nhỏ n trở nên lớn b) Bắt đầu từ số hạng un dãy số khoảng cách từ un tới nhỏ số sau đây: 0,01 0,001 ? Ta có: un 0, 01 1 n 100 n 100 Vậy từ số hạng thứ 101 trở đi, khoảng cách từ un tới nhỏ 0,01 Tương tự: un 0, 001 1 n 1000 n 1000 Vậy từ số hạng thứ 1001 trở đi, khoảng cách từ un tới nhỏ 0,001 n Như ta chứng minh un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở đi, nghĩa un nhỏ miễn chọn n đủ lớn Khi ta nói dãy số un với un có giới hạn n n dần tới dương vô cực skkn Định nghĩa Dãy số un có giới hạn n dần tới dương vô cực un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở un hay un n Kí hiệu: nlim 1 Ví dụ Chứng minh dãy số un với un có giới hạn n n Giải Ta cần chứng minh un nhỏ số dương bất kì, kể từ số hạng trở Chẳng hạn: un 1 n n 1 0, 01 hay un n n 100 với n thỏa mãn n2 100 hay n > 10 Nghĩa kể từ số hạng thứ 11 trở un 0,01 Vậy nlim un Định nghĩa Dãy số có giới hạn số a (hay n dần tới a) n , a nlim a hay a n Kí hiệu nlim Ví dụ Cho dãy số với 2n Chứng minh nlim n 2n lim n n n nlim Giải Ta có nlim lim Vậy nlim n 2n n Một vài giới hạn đặc biệt Từ định nghĩa suy kết quả: n ; lim a) nlim n với k nguyên dương; nk q n q ; b) nlim un c c) Nếu un c (c số) nlim un a , ta viết lim un a Chú ý: Thay cho nlim skkn II Định lí giới hạn hữu hạn Việc tìm giới hạn định nghĩa phức tạp nên ta thường dung công thức giới hạn đặc biệt nêu định lí thừa nhận sau Định lí a) Nếu lim un a lim b lim un a b ; lim un a b ; lim un a.b ; lim un a (nếu b 0) b b) Nếu un với n lim un a a lim un a Ví dụ Tính lim 3n3 n n2 3n n n Giải Chia tử thức mẫu thức cho n , ta 1 1 n 1 n n 3 Vì lim lim3 lim n n lim 1 lim lim lim1 0.0 n n n n 1 1 1 lim 3n n n n lim nên lim 1 1 1 n lim 1 n n n n 3 4n Ví dụ Tính lim 2n 1 n2 n 4 4 4n n n n lim lim Giải Ta có lim lim 1 1 2n 2n 1 2 n 2 n n Trong giải ta ý: A neáu A A2 A A A Do đó, với số nguyên dương n ta có n2 n skkn III Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Cấp số nhân vơ hạn un có công bội q, với q gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn un S u1 u2 un u1 1 q Ví dụ a) Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn un với un 1 1 b) Tính tổng 2 3n n1 1 1 1 1 Giải a) Vì un n nên u1 , q Do S n 3 3 1 b) Các số hạng tổng lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với u1 1, q 1 1 Vậy S 2 n 1 1 1 2 Mặt Trăng IV Giới hạn vô cực Xét tốn: Có nhiều tờ giấy giống nhau, 384000 km tờ có bề dày 0,1mm Ta xếp chồng liên tiếp, giả sử thực việc cách vô hạn Gọi u1 bề dày tờ giấy, u2 bề dày xếp giấy gồm tờ, u3 bề dày xếp giấy gồm tờ, … Trái Đất un bề dày chồng giấy gồm n tờ skkn Biểu diễn bảng sau đây, cho ta biết bề dày số chồng giấy … … u1 0,1 u1000 100 … … u1000000 100000 … … u1000000000 100000000 … … un n 10 … … a) Quan sát bảng trên, nhận xét: giá trị un tăng lên vô hạn n tăng lên vô hạn b) Để chồng giấy có bề dày lớn khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng (khoảng cách thời điểm xác định 384.103 km 384.109 mm ) phải n 384.109 hay n 384.1010 có un 384.10 hay 10 Định nghĩa Dãy số un có giới hạn + n +, un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Kí hiệu: lim un hay un n Dãy số un có giới hạn n +, lim(un ) Kí hiệu: lim un hay un n Nhận xét: lim un lim un Ví dụ Cho dãy số un với un n2 Biểu diễn số hạng un trục số u1 n2 u2 un Ta thấy, n tăng lên vơ hạn un n2 trở nên lớn Ta chứng minh lim un , nghĩa un lớn số dương bất kì, kể từ số hạng trở Chẳng hạn, un 10000 , hay n2 10000 n 100 tức kể từ số hạng thứ 101 trở ta có un 10000 Tương tự, un 1020 kể từ số hạng thứ 1010 skkn Một vài giới hạn đặc biệt Ta thừa nhận kết sau a) lim nk với k nguyên dương b) lim qn q > Định lí Ta thừa nhận định lí Định lí a) Nếu lim un a lim lim un b) Nếu lim un a 0, lim với n lim un c) Nếu lim un lim a lim unvn Ví dụ Tính lim 2n n.3n Giải 2n 2n nn Chia tử mẫu , ta n n n.3 n.3 2 2n 5 Vì lim lim3n nên lim lim n n n n.3 n 2 Ví dụ Tính lim n2 2n 1 Giải Ta có n2 2n n2 1 n n Vì lim n2 lim 1 nên limn2 1 n n n n Vậy lim n2 2n 1 skkn 2.2 Các giải pháp I Củng cố kiến thức Giới hạn hữu hạn dãy số a) lim un un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở b) lim a lim(vn a) Giới hạn vô cực a) lim un un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở b) lim un lim un Các giới hạn đặc biệt n a) lim ; lim ; lim nk , với k nguyên dương k n b) lim q n q ; lim q n q > c) limc = c (c số) Định lí giới hạn hữu hạn a) Nếu lim un a lim b lim un a b ; lim un a b ; lim un a.b ; lim un a (nếu b 0) b b) Nếu un với n lim un a a lim un a Định lí liên hệ giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực a) Nếu lim un a lim lim un b) Nếu lim un a 0, lim với n lim un c) Nếu lim un lim a lim unvn skkn Cấp số nhân lùi vô hạn a) Cấp số nhân vô hạn un có cơng bội q, với q gọi cấp số nhân lùi vô hạn b) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn un S u1 u2 un u1 1 q II Phân loại dạng toánvà mở rộng định nghĩa giới hạn dãy số Dạng Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn, giới hạn vơ cực dãy số 1 Ví dụ Chứng minh dãy số un với un có giới hạn n n Giải Cách Ta cần chứng minh un nhỏ số dương bất kì, kể từ số hạng trở Chẳng hạn: un 1 n n 1 0, 01 hay un n n 100 với n thỏa mãn n2 100 hay n > 10 Nghĩa kể từ số hạng thứ 11 trở un 0, 01 un Vậy nlim Cách Theo cách 1, thay 0,01 > số dương bé tùy ý (cũng lấy 0,01 ) Khi un 1 n n 1 hay un , với n thỏa mãn n2 hay n n n Nghĩa lấy số nguyên dương n0 kể từ số hạng thứ n n0 un skkn Vậy lim un lim (1) n 0 n2 Ví dụ Cho dãy số un thỏa mãn un n2 với n Chứng minh lim un Giải: Cách Vì limn2 (theo giới hạn đặc biết) nên n lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở Mặt khác, theo giả thiết un n2 với n, nên un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở Vậy lim un Cách Nhìn nhận từ cách Đặt dãy số un với n2 Cho số dương A, n2 A kể từ số hạng n A trở Mặt khác, theo giả thiết un n2 với n, nên un lớn số dương lớn tùy ý, kể từ số hạng trở Vậy lim un Mở rộng định nghĩa giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực Định nghĩa mở rộng a) Dãy số un có giới hạn viết lim un hay un n , với số dương cho trước , tồn số nguyên dương n0 cho n n0 un b) Dãy số un có giới hạn số thực a viết lim un a hay un a n Hay lim un a lim un a Như vậy: lim un a với số dương cho trước, tồn số nguyên dương n0 cho n > n0 un a Hơn nữa: un a un a a un a Do điểm un 1; un 2 ; thuộc khoảng a ; a 0 skkn 10 c) Dãy số un có giới hạn + viết lim un hay un n với số dương A cho trước, tồn số nguyên dương N cho n > N un A Nhận xét Với việc mở rộng định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn, dãy số có giới hạn vơ hạn ta chứng minh giới hạn đặc biệt định lí thừa nhận nêu phần Chẳng hạn: a) lim un lim un b) Cho hai dãy số un Nếu un với n lim lim un c) Chứng minh lim q n q Giải Nếu q = lim q n lim 0n Nếu q Khi 1 với ; q q Với n nguyên dương, theo bất đẳng thức Bec-nu-li: q n (1 )n n. n. 1 với n n Từ suy q n 1 1 Vì lim nên theo định lí ta có lim n n Vậy lim q n q d) Chứng minh lim Giải Đặt un n n Cho Ta có un 1 n n2 n skkn 11 Lấy số nguyên dương n0 Vậy lim un lim 2 Khi n n0 un 0 n Một số ví dụ minh họa Ví dụ Cho dãy số un có giới hạn Chứng minh, kể từ số hạng trở đi, tất số hạng un nằm khoảng a) (0,9; 1,1); b) (0,99; 1,01) Giải lim un lim un 1 Do đó, un nhỏ số dương bé tùy ý, kể từ số hạng trở 1,1 0,9 a) Lấy số dương 0,1 (tức số dương bé tùy ý 0,1 ) , ta có un 1 0,1 0,1 un 1 0,1 0,9 un 1,1 kể từ số hạng trở Vậy tất số hạng un nằm khoảng (0,9; 1,1) 1, 01 0,99 b) Lấy số dương 0,01 (tức số dương bé tùy ý 0,01 ) , ta có un 0,01 0,01 un 0,01 0,99 un 1,01 kể từ số hạng trở Vậy tất số hạng un nằm khoảng (0,99; 1,01) Ví dụ Biết dãy số un thỏa mãn un n 1 với n n2 Chứng minh lim un 1 n 1 n 1 Giải Đặt Ta có lim lim lim n n n n Do đó, nhỏ số dương bé túy ý kể từ số hạng trở Mặt khác theo giả thiết ta có un Suy un nhỏ số dương bé túy ý kể từ số hạng trở Vậy theo định nghĩa, ta có lim un skkn 12 Dạng Tính giới hạn dãy số Phương pháp giải Sử dụng định lí giới hạn hữu hạn, định lí liên hệ giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực Muốn vậy, ta thường biến đổi biểu thức xác định dãy số cho, tùy trường hợp để vận dụng - Nếu biếu thức có dạng phân thức mà mẫu thức, tử thức chứa lũy thừa n chia tử mẫu cho n k với k số mũ cao - Nếu biểu thức cho có chứa n dấu căn, nhân tử mẫu với biếu thức liên hợp Chẳng hạn: a b ; a b a b a3b a b a ab b Các ví dụ minh họa Ví dụ Tính lim n 4n 3n2 Giải n2 1 1 n 4n n n lim n n Ta có lim lim 2 3n n2 n n 4 3n2 4n n 3n2 Ví dụ Tính lim Giải 1 n 1 1 n n n n n 3n2 4n n lim lim Ta có lim 2 2 3n 3 n2 n2 n Ví dụ Tính lim 2n2 n2 skkn 13 Giải 2 2n3 4n2 n n Ta có lim 2n2 lim lim n2 n2 n n Ví dụ Tính lim n2 n n 1 Giải Ta có lim n2 n n 1 lim n2 1 Ví dụ Tính lim n n2 n2 11n n 10 Giải Ta có lim n 11n n 10 lim n2 11n n2 10 n 11 n2 11n n2 10 n2 11n n2 10 10 10 11 11n 10 n 11 n lim lim lim 11 10 11 10 n 11n n 10 n 1 n 1 1 1 n n n n Dạng Tính giới hạn dãy số cho công thức truy hồi Phương pháp giải Tìm cơng thức cơng thức tổng qt un dãy số un cách dự đoán cho phép tính un theo n chứng minh cơng thức quy nạp Sau tìm giới hạn un qua công thức tổng quát un Các ví dụ minh họa u Ví dụ Cho dãy số un xác định un 1 un với n Biết un có giới hạn hữu hạn n + Tính lim un skkn 14 Giải Đặt lim un a Ta có un1 un lim un1 lim un a a a2 a a 1 a Vì un nên lim un a Vậy lim un Ví dụ Cho dãy số un xác định công thức truy hồi u1 un 1 un với n Dãy số un có giới hạn hay khơng n + Nếu có, tính lim un Giải n Ta có u1 ; u2 ; u3 ; u4 Dự đoán un (1) n 1 Chứng minh dự đoán phương pháp quy nạp: - Với n = 1, ta có u1 1 (đúng) 11 - Giả sử đẳng thức (1) với n = k (k 1), nghĩa uk Khi ta có uk 1 k k 1 1 k 1 , uk k k 2 k 1 nghĩa đẳng thức (1) với n = k + - Vậy un n , n N * n 1 Từ ta có lim un lim n lim 1 n 1 1 n skkn 15 Dạng Tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp giải Sử dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn Các tốn có u cầu tìm cấp số nhân lùi vơ hạn biết số điều kiện: Ta dung cơng thức để tìm số hạng đầu công bội Viết số thập phân vơ hạn tuần hồn dạng phân số hữu tỉ: Khai triển số cho dạng tổng cấp số nhân lùi vơ hạn tính tổng Các ví dụ minh họa Ví dụ Tính tổng S Giải Dãy số vơ hạn 2; 2;1; Vì q 1 2 1 ; ; cấp số nhân có cơng bội q 2 1 nên dãy cấp số nhân lùi vơ hạn 2 Do đó: S 1 2 2 1 Ví dụ Tìm dạng khai triển cấp số nhân lùi vô hạn , biết tổng 32 v2 v1 32 Mặt khác, v2 v1q v1 Thế vào đẳng q 1 q 32 4q 4q q thức ta có q 1 q Giải Từ giả thiết suy Từ đó: v2 q n2 1 n 5 n2 2 Vậy dạng khai triển là: 16; 8; 4; 2; 1; skkn 1 ; n5 ; 2 16 Ví dụ Viết số thập phân vơ hạn tuần hoàn sau dạng phân số hữu tỉ a 2;131313 (chu kì 13) Giải 13 a 2;131313 = 2 (Vì 13 211 99 13 ; 99 13 100 10000 13 13 13 100 100 10000 100n 1 100 , với n nguyên dương ; ; 13 100 n ; số hạng cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q skkn 100 ) 17 III Bài tập củng cố Bài Nếu dãy số un có giới hạn Khi dãy số un có giới hạn hay khơng ? Ngược lại có khơng ? Bài Chứng minh dãy số un với un 1 giới hạn Từ chứng n minh giới hạn lim không tồn 2 n Bài Cho dãy số un có giới hạn hữu hạn, dãy số khơng có giới hạn hữu hạn Dãy số un có giới hạn hữu hạn khơng ? Bài Cho hai dãy số dương un có giới hạn Chứng minh lim un2 vn2 0 un Bài Chứng minh lim q n q > Bài Cho q dãy số un xác định un q 2q2 nqn a) Chứng minh lim nq n b) Tính lim un Bài Tính giới hạn 3n 2n3 a) lim ; n n n 1 n c) lim 3n2 5n b) lim ; 2n n3 4n Bài Tính giới hạn n 3n a) lim n ; b) lim 2n 11 ; n c) lim 3n n n 2n Bài Tính giới hạn n n 4n a) lim ; n3 b) limn n2 n2 Bài 10 Tính giới hạn a) lim n2 3n 5 ; c) lim 3n 2n 27 ; b) lim 4n 2 ; d) n 3 lim 2.5n 5n n skkn 18 Bài 11 Tính giới hạn a) lim 1.2 2.3 (2n 1)2n ; n3 b) lim n n2 n Bài 12 Cho dãy số xác định công thức truy hồi u1 un un 1 với n Dãy số un có giới hạn hay khơng n + Nếu có, tính lim un Bài 13 Cho dãy số xác định công thức truy hồi u1 1, un1 2un un với n Dãy số un có giới hạn hay khơng n + Nếu có, tính lim un Bài 14 Tính giới hạn dãy số un xác định công thức truy hồi u1 n un 1 u n a với < a < Bài 15 Tính giới hạn dãy số un xác định công thức truy hồi 1 4 u1 ; un1 un 2 un n1 1 1 Bài 16 Tính tổng cấp số nhân lùi vơ hạn 1; ; ; ; ; ; 2 Bài 17 Tính tổng S 1 0,9 0,9 0,9 n 1 Bài 18 Tìm số hạng tổng quát cấp số nhân lùi vô hạn có tổng cơng bội q Bài 19 Cho dãy số un có số hạng tổng quát un sin sin sin n với k Tính lim un Bài 20 Cho số thập phân vô hạn tuần hồn x 34,121212 (chu kì 12) Viết lại x dạng số hữu tỉ skkn 19 ... thức cũ học em để giải dạng tốn giới hạn cịn hạn chế Vì vậy, tơi thực viết đề tài: ? ?Một số biện pháp dạy học nhằm củng cố mở rộng giới hạn dãy số? ?? với mục đích góp phần làm sáng tỏ giúp học sinh... nghĩa giới hạn dãy số Dạng Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực dãy số 1 Ví dụ Chứng minh dãy số un... GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ để dẫn dắt, lập luận đưa vào phần mở rộng định nghĩa giới hạn hữu hạn giới hạn vô cực dãy số cách tổng quát Trên sở đó, định hướng học sinh làm tập phần sử dụng đến giới hạn