(SKKN CHẤT 2020) kỷ thuật sử dụng phương pháp tham số biến thiên, hằng số biến thiên để giải một số dạng phương trình trong chương trình toán THPT

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI KỶ THUẬT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ BIẾN THIÊN, HẰNG SỐ BIẾN THIÊN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT Quảng Bình, tháng 01 năm 2019 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM download by : skknchat@gmail.com Độc lập – Tự – Hạnh phúc TÊN ĐỀ TÀI KỶ THUẬT SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ BIẾN THIÊN, HẰNG SỐ BIẾN THIÊN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN THPT Họ tên: Trần Xuân Miễn Chức vụ: TPCM Đơn vị cơng tác: Trường THPT Lê Hồng Phong Quảng Bình, tháng 01 năm 2019 download by : skknchat@gmail.com I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Các tốn giải phương trình nội dung quan trọng chương trình Tốn THPT Các tốn giải phương trình thường xuất đề thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi Vì việc sâu nghiên cứu tìm tịi thêm kỷ thuật, phương pháp giải phương trình có hiệu mang ý nghĩa quan trọng nhằm cung cấp thêm cho học sinh kiến thức, kỷ giải tốn phương trình Trong đề tài sâu vào nghiên cứu “Kỷ thuật sử dụng phương pháp tham số biến thiên, số biến thiên để giải số dạng phương trình chương trình tốn THPT” Chúng ta đặt vấn đề tìm lời giải cho phương trình sau: 1) 2) x4 + x3 - 2x2 - 9x – = + Xét phương trình Đây phương trình bậc ba có chứa tham số việc đốn nghiệm phương trình để biến đổi thành phương trình tích khó khăn + Xem phương trình x4 + x3 – 2x2 – 9x – = (*) Đây phương trình bậc đầy đủ x Lúc ta liên tưởng tới phương trình bậc biết cách giải : ax + bx2 + c = 0; (x + a)4 + (a + b)4 = c; ax4 + bx2 + cx2+ kbx + k2a2 = 0; x4 = ax2 + bx + c Hy vọng tìm cách đặt ẩn phụ để đưa phương trình bậc hai Đáng tiếc phương trình (*) khơng rơi vào dạng quen thuộc Suy nghĩ theo hướng khác đốn nghiệm để từ biến đổi (*) phương trình tích Nhưng cách làm khơng khả thi, phương trình khơng có nghiệm hữu tỉ Chuyển sang phương pháp biến đổi vế trái (*) thành tích hai tam thức bậc hai download by : skknchat@gmail.com + Một kỷ thuật thường dùng phương pháp hệ số bất định: Gọi F(x) = (x2+mx+n)(x2+px+q) Khai triền F(x) đồng F(x) với vế trái (*) Việc dẫn tới giải hệ phương trình với ẩn m, n, p, q Xem cách giải tốn chưa tìm ra! Đề tài cho hướng để tìm đường đưa đến lời giải cho phương trình Điểm đề tài Phương pháp tham số biến thiên, số biến thiên, thực chất phương pháp hốn đổi vai trị ẩn số tham số, ẩn số số cho Ẩn số xem tham số tham số số xem ẩn số phương trình Cụ thể xét phương trình ẩn x, tham số m: f(x,m)=0 Trong q trình giải tốn ta xem phương trình ẩn m, tham số x Giải m theo x quay trở lại tìm ẩn x Phương pháp thường sử dụng tham số m có mặt với bậc hai biệt thức Δ ẩn m số phương Thơng thường phương trình theo ẩn giải đơn giản hơn, không phức tạp phương trình ban đầu Trong số trường hợp, ta coi số ẩn Đây tư tưởng phương pháp tham số biến thiên, số biến thiên AI NỘI DUNG ĐỀ TÀI Thực trạng ứng dụng phương pháp tham số biến thiên, số biến thiên giải phương trình chương trình tốn THPT Trong q trình giải tốn ta đặt biểu thức phương trình làm ẩn phụ Đặt ẩn phụ bí thành cơng để giải nhiều tốn Đặt ẩn phụ đưa phương trình dạng phức tạp dạng đơn giản, đưa phương trình dạng bậc cao dạng bậc thấp Tùy theo hiểu biết tốn mà ta có cách đặt ẩn phụ khác Khi đặt ẩn phụ phương trình diễn hình thái sau download by : skknchat@gmail.com + Ẩn thay hoàn toàn ẩn cũ (như trường hợp đặt ẩn phụ giải phương trình trùng phương) Lúc ta gọi phép đặt ẩn phụ hồn tồn + Ẩn khơng thay hoàn toàn ẩn cũ mà ẩn ẩn cũ tồn chung phương trình Ta gọi phép đặt ẩn phụ khơng hồn toàn Trong trường hợp này, cách ứng xử với hai ẩn khác Nếu vai trò ẩn cũ ẩn hồn tồn bình đẳng với thường tốn đưa giải hệ phương trình hai ẩn Nếu vai trị ẩn cũ ẩn khơng bình đẳng với thường ẩn cũ trở thành tham số phương trình theo ẩn Trong phương trình có chứa tham số, nhiều ẩn phụ tham số Điều dẫn đến phương pháp giải phương trình cách “Hốn đổi vai trị ẩn tham số cho nhau” Nhiều thường xem ẩn phụ hệ số phương trình Từ nảy sinh phương pháp dùng để giải phương trình “Phương pháp tham số biến thiên, số biến thiên” Sự diện phương pháp góp thêm lời giải đọc đáo cho phương trình khó mà ta thường gặp đề thi THPT Quốc gia học sinh giỏi Thông qua nhiều cách giải khác toán, ta hiểu sâu sắc toán thúc đẩy tư phát triển Có lẽ lời giải tốn không dừng lại đáp số Nội dung giải pháp Thí dụ 1: Giải phương trình: (1) + Nếu x=1 (2) download by : skknchat@gmail.com + Nếu (2) phương trình bậc hai có Do (2) có hai nghiệm là: TH1: TH2: Phương trình (3) có Do (3) có nghiệm Vậy phương trình (1) có nghiệm Nhận xét: Trong phương trình chứa tham số ta thường giải phương trình với ngầm định tham số giá trị Nhưng thực ngược lại xem ẩn số tham số tham số đóng vai trị ẩn số Thí dụ 2: Giải phương trình: Lời giải (1) Đặt 3=a phương trình (*) trở thành Xem (2) phương trình bậc hai a, ta có: download by : skknchat@gmail.com (2) Vậy phương trình cho có nghiệm ; Nhận xét: Đây phương trình bậc bốn đầy đủ khơng có dạng đặc biệt khơng có sở để biến đổi phương trình tích nên việc giải theo cách thơng thường gặp nhiều khó khăn Thí dụ 3: Giải phương trình: (1) Lời giải (1) (*) Đặt a=3 phương trình (*) trở thành: (2) Xem (2) phương trình bậc ba a, ta có: (2) Từ (3) ta có: Từ (4) ta có: (5) Với download by : skknchat@gmail.com (5) Vậy phương trình cho có nghiệm là: ; ; Nhận xét: - Cách giải trình biến đổi, ta khéo léo nhìn số phương trình nghiệm Từ ta chuyển phương trình cho có bậc cao hay phức tạp dạng phương trình đơn giản quen thuộc biết cách giải Thí dụ 4: Giải phương trình sau: Lời giải: Điều kiện : Ta có (1) (*) Xét phương trình bậc hai dạng Từ (*) ta thấy a=2 la nghiệm (2) Ta có (2) (2) Khi ta có Thí dụ 5: Giải phương trình sau: (1) Lời giải: Điều kiện: download by : skknchat@gmail.com (1) (*) Xét phương trình bậc hai: Từ (**) ta thấy (2) có nghiệm a=5x Ta giải (2): Phương trình (2) có hai nghiệm là: Khi ta có: Giải (3) (4) kết hợp với điều kiện x>1 ta tìm x Nhận xét: Chọn a =5x làm nghiệm phương trình (*) Xây dựng phương trình (*) thành phương trình bậc hai theo a với số phương giải ( ) Từ (*) thay a=5x, biến đổi sơ cấp hàm theo biến x có phương trình ta phương trình ban đầu (1) Tùy vào mức độ khó dễ tốn mà phương trình bậc hai theo a ta chọn nghiệm a1 , a2 số ,hàm số theo x Sau giải ta Chú ý: Phương pháp khác với phương pháp đặt ẩn phụ đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện ẩn cho phương trình tồn Ở ta xét phương trình nhận số (hàm số) làm nghiệm Thí dụ 6: Tìm nghiệm phương trình Điều kiện x * x0 nghiệm phương trình (1) download by : skknchat@gmail.com 68 x0 x3 với ẩn a: * Thay a1 = * Thay a2 = x2 Từ (5), (6) kết luận phương trình cho có nghiệm x0 > Nhận xét: Nếu sử dụng biến đổi (1) x6 – 15x2 + Ta có t3 – 13t + 17 = Đó phương trình bậc ba Khơng có nhận xét đốn nghiệm vơ tỷ nên việc đốn nghiệm phương trình để biến đổi thành phương trình tích cịn khó khăn Thí dụ 7: Giải phương trình sau: Lời giải: Đặt t=2x >0 (1) trở thành (*) Ta xét phương trình bậc hai có dạng Từ (*) ta suy phương trình (2) có nghiệm a=4 Giải (2): Phương trình (2) có 2nghiệm: Khi ta có: (1) (2) download by : skknchat@gmail.com Nhận xét: - Với cách giải thay giải phương trình bậc bốn ta đưa việc giải phương trình bậc hai biết trước nghiệm Lúc ngày ta chọn nghiệm biết làm ẩn phương trình Bài tốn giải phương trình bậc hai có số phương - Khi có lặp số mũ luỹ thừa với số khác có lặp số thức với bậc khác nhau, bạn nghĩ đến phương pháp tham số biến thiên, số biến thiên Thí dụ 8: Giải phương trình x + Điều kiện < x < Với điều kiện ta có Đặt 11 = a, phương trình (3) viết (a - x)2= a + x a2 – (2x + 1)a + (x2 Xem (4) phương trình bậc a Ta có a= (2x+1)2 -4(x2- x +1) , a1 = x + x +1, a2 = x - x Thay a = 11 ta có (5) x x Các giá trị x phương trình cho Nhận xét: Nhìn phương trình (3) dạng (ax+b) = p a ' x b ' +qx + r (phương trình chứa hai phép tốn ngược nhau) ta có lời giải cách đặt ẩn phụ đối xứng đưa hệ phương trình sau: download by : skknchat@gmail.com * Cách (Từ (3)) Đặt x = y – 11, y > 11 (y- 11)2 = x Giải hệ (*) ta nghiệm : x = Thí dụ 9: Giải phương trình sau: Ta có (1) Ta xét phương trình (3): (*) Xét phương trình bậc hai dạng: Từ (*) ta suy phương trình (4) có nghiệm a=7 Giải (4): Phương trình (4) có nghiệm: Khi ta có: Từ (2) ta suy Nhận xét: Bài tốn giải phương pháp đặt ẩn phụ Sau chuyển hệ giải phương pháp biến đổi tương đương Cách giải thay đổi vai trò ẩn số số Ẩn x chuyển thành vai trò tham số, số đươc xem ẩn phương trình bậc theo a, nhờ việc chuyển mà thay giải phương trình bậc theo x, ta cần giải phương trình bậc theo a - Phương trình bậc theo a có số phương nên việc tìm a dễ dàng - Thí dụ 10: Giải phương trình 10 download by : skknchat@gmail.com Lời giải Điều kiện < x Đặt log x= t, ta có log = log = t x , log t x x = t-2 t2 + t – = Đặt a = 5, phương trình trở thành a2 + 3at – t2 (t2 – t + 2) = Xem (4) phương trình bậc hai a, ta có = t2 (2t + 1)2 3t t (2t 1) a Bởi (3) 3t t (t 1) a a t (t 1) a t (t 2) t Vậy x Nhận xét: Trong phương trình chứa tham số, thường bắt gặp câu giải phương trình ứng với giá trị tham số Có lẽ khơng sai nói (3) phương trình mà tham số nhường lại cho số Vì khơng phải tất phương trình sau chuyển phương trình giải nên phương pháp hạn chế, chẳng hạn như: chuyển phương trình theo ẩn ta khơng phải số phương, gặp khó khăn khơng thể giải Thí dụ 11: Giải phương trình x log log x log3 x5 Lời giải - Giả sử phương trình có nghiệm x = tức log log log 3 Xét hàm số f(t)= tlog - tlog3 với t > 0, t 11 log37 log 32 log3 3 log Ta có (2) f(7)=f(2) log log3 log download by : skknchat@gmail.com f(7)- f(2) = Rõ ràng f(t) hàm liên tục [2,7] có đạo hàm f’(t) = (log3 )t log log (t log 1) log3 Theo định lý Lagrăng tồn c (2,7) cho (7-2).f(c) = f(7)-f(2) f(c) = log 301x log 313x Thay x = x = vào phương trình (1) thấy Vậy x = x = nghiệm phương trình cho Thí dụ 12: Giải phương trình 7cotx – 11cotx= 12cotx Lời giải Giả sử nghiệm phương trình, tức 7cot – 11cot = 12cot 7cot – 11cot = 3(11-7)cot 7cot + 3.7cot = 11cot + 3.11cot Xét hàm số f(t) = tcot + 3t.cot với t>0, t Ta có (2) f(7) = f(11) f(7) – f(11) = Rõ ràng f(t) hàm số liên tục [7, 11] có đạo hàm f(t)=cot tcotx-1 +3cot = (tcotx-1+3)cot Theo định lý Lagrăng tồn c (7; 11) cho (7-11).f(c) = f(7) – f(11) f(c) = (tcotx-1+ 3) cot = cot = = +k x = +k (k Z) Thử lại: Thay x = +k vào phương trình (1) thấy Vậy x = +k (k Z) họ nghiệm phương trình cho Nhận xét: Các phương trình hai Thí dụ 11 12 thuộc dạng: ah(x)- bh(x) = k.(a-b)h(x) (1) Trong 0< a 1, 0< b 1, a > b, k < k = 1, h(x) xác định [b,a] 12 download by : skknchat@gmail.com Cách giải: Viết lại (1) ah(x) – kah(x) = bh(x) – kbh(x) * Điều kiện cần: Xét hàm số biến số t ; f(t) = th(x)–kh(x).t Như (1) f(a) = f(b) f(a) – f(b) = (2) Rõ ràng (b, a) hàm số f(t) có đạo hàm f’(t) = h(x) (th(x)-1-k) Theo định lý Lagrăng c (b,a) cho (a-b) f(c) = [f(a) – f(b)] Từ (2) f(c) = h(x) (ch(x)-1-k)= * Điều kiện đủ: Thay giá trị tìm x (3) vào (1) để chọn nghiệm Chú ý: + Nếu k < ta có (3)h(x) = h ( x) + Nếu k = ta có (3) h ( x) + Nếu 0