Chuyên đề Tổ hợp 1154769

T H P Chuyên đ T h p 11 I HAI QUY T C MC B N Quy t c c ng Gi s m t công vi c có th th c hi n theo m t k ph ng án A1, A2, A3 , Ak Có n1 cách l a ch n ph ng án 1, n2 cách ch n ph ng án 2, nk cách ch n ph ng án k Khi cơng vi c có th đ c th c hi n b i n1 + n2 + n3 + +nk cách Quy t c nhân Gi s m t cơng vi c bao g m k công đo n A1, A2, A3 , Ak Công đo n A1 có th th c hi n theo n1 cách, cơng đo n A2 có th th c hi n theo n2 cách, , cơng đo n Ak có th th c hi n theo nk cách Khi cơng vi c có th th c hi n theo n1.n2 nk cách II HOÁN V , CH NH H P VÀ T H P Hoán v - Cho t p h p A có n(n  1) ph n t Khi s p x p n ph n t theo m t th t , ta đ ph n t c a t p A (g i t t m t hoán v c a A) - S hoán v c a m t t p h p có n ph n t là: Pn = n! = n(n – 1)(n – 2) = 1.2.3.4.5 n c m t hoán v Ch nh h p - Cho t p A g m n ph n t s nguyên k v i  k  n Khi l y k ph n t c a A s p x p chúng theo m t th t , ta đ c m t ch nh h p ch p k c a n ph n t (g i t t ch nh h p ch p k c a A) - S ch nh h p ch p k c a m t t p h p có n ph n t (1  k  n) là: Ank  n(n  1)(n  2) (n  k  1) Chú ý: n! +) V i 0 có 9.35 + = 324 s l p l i ba l n V y s s th a mãn là: 9000 – 324 = 8676 s Bài 42 ( H kh i A d b 2005): T ch s 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có th l p đ c s t nhiên, m i s g m ch s khác t ng ch s hàng ch c, tr m, ngàn b ng 8? (1440) Bài 43 ( H kh i B2003 d b ): T ch s 1,2,3,4,5,6 có th l p đ c s t nhiên mà m i s có ch s th a mãn u ki n: sáu ch s c a m i s khác m i s có t ng ba ch s đ u nh h n t ng ba ch s cu i m t đ n v ? (108) - L p lu n suy a1 + a2 + a3 = 10 T suy có 108 s -6DeThiMau.vn Ng.S: V n Phong Chuyên đ T h p 11 Các toán liên quan đ n y u t hình h c Bài Cho m m t ph ng cho khơng có m th ng hàng a Có đ ng th ng mà m i đ ng th ng qua m nói trên? b Có tam giác v i đ nh m nói trên? c Có vect khác vect 0? Bài (C SP A02) Tìm s giao m t i đa c a: a 10 đ ng th ng phân bi t? b đ ng tròn phân bi t? c 10 đ ng th ng đ ng trịn trên? (195) Bài a Có đ ng chéo m t đa giác l i n c nh? b Có tam giác có đ nh đ nh c a đa giác n c nh? Trong có tam giác có c nh khơng ph i c nh c a đa giác n c nh? Bài (C BC Hoa Sen D06): Cho hai đ ng th ng song song d1 d2 Trên d1 cho 10 m phân bi t Trên d2 cho m phân bi t H i có tam giác mà đ nh c a m i tam giác l y t 18 m trên? (640) Các tốn th c t Bài T bơng h ng vàng, h ng tr ng h ng, ta ch n m t bó g m bơng a Có cách ch n bó hoa có m t bơng h ng đ ? b Có cách ch n bó hoa có nh t h ng vàng h ng đ ? Bài (HVKTQS–2000): M t l p có 20 em h/s có 14 nam n H i có cách l p m t đ i g m h/s đó: a S nam n b ng b Có nh t n Bài ( HYHN-2000): Có nhà tốn h c nam, nhà toán h c n nhà v t lý nam L p m t đồn cơng tác ng i c n có c nam n , c n có c nhà tốn h c nhà v t lý H i có cách? Bài ( H N-2000): M t t có h/s nam h/s n x p thành m t hàng d c a Có cách x p khác nhau? b Có cách x p cho khơng có h/s gi i đ ng c nh nhau? Bài ( HHu -2000): M t l p có 30 h/s nam 15 h/s n Có h/s đ c ch n đ l p m t t p ca H i có cách l p khác nhau: a N u ph i có nh t n ? b N u ch n tuý ý? Bài ( HThái Nguyên–2000): M t đ i v n ngh có 20 ng i, có 10 nam 10 n H i có cách ch n ng i cho: a Có nam ng i b Có nh t nam nh t 1n ng i Bài (HVKTQS-2000) M t đ n c nh sát khu v c có ng i Trong ngày c n c ng i làm nhi m v đ a m A, ng i làm nhi m v đ a m B, ng i l i tr c đ n H i có cách phân công? Bài ( HGTVT–2000): M t l p h c có 20 h c sinh, có cán b l p H i có cách c ng i d h i ngh sinh viên c a tr ng cho ng i có nh t m t cán b l p? -7DeThiMau.vn Ng.S: V n Phong Chuyên đ T h p 11 Bài (HVCTQGHCM-01-02): M t đ i v n ngh có 10 ng i có n nam a Có cách chia đ i v n ngh thành nhóm có s ng i b ng m i nhóm có s n nh nhau? b Có cách ch n ng i mà có khơng q nam? Bài 10 ( HC n Th -01-02): M t nhóm g m 10 h/s có nam n H i có cách x p 10 h/s thành m t hàng d c cho h/s nam ph i đ ng li n nhau? a Có cách x p khác nhau? b Có cách x p cho khơng có h/s gi i đ ng c nh nhau? Bài 11 ( H kh i B DB2003): T m t t g m h c sinh n h c sinh nam c n ch n em s h c sinh n ph i nh h n H i có cách ch n nh v y? Bài 12 ( HHu -99-2000): M t h p đ ng viên bi đ , viên bi tr ng viên bi vàng Ng i ta ch n viên bi t h p H i có cách ch n đ s bi l y không đ c m u? Bài 13 (HVQY-99-2000): X p bi đ có bán kính khác bi xanh gi ng vào m t dãy ô tr ng a H i có cách s p x p khác nhau? b H i có cách s p x p khác cho bi đ x p c nh bi xanh x p c nh nhau? Bài 14 ( H C n Th D-99-00): M t nhóm h/s g m 10 nam n H i có cách ch n m i tr ng h p sau: a Có h/s nhóm? b Có h/s nhóm có nam n ? Bài 15 ( HC n Th A-99-00): Trong m t phịng có bàn dài, m i bàn có gh Ng i ta mu n x p ch ng i cho 10 h/s g m nam n H i có cách x p n u: a Các h/s ng i tu ý? b Các h/s nam ng i bàn h/s n ng i bàn? Bài 16 ( Hlu t HN-99-00): M t đồn t u có toa ch khách: toa I, toa II, toa III Trên sân ga có hành khách chu n b t u Bi t m i toa có nh t ch tr ng H i: a Có cách s p x p cho hành khách lên toa t u đó? b.Có cách s p x p cho hành khách lên t u đ có toa có hành khách trên? Bài 17 ( HSPHN –B- 99 - 00): M t tr ng ti u h c có 50 h/s đ t danh hi u cháu ngoan Bác H , có c p anh em sinh đơi C n ch n nhóm h/s s 50 h/s d đ i h i cháu ngoan Bác H cho nhóm khơng có c p anh em sinh đơi H i có cách ch n? Bài 18 ( HSPV-G-99-00): M t t sinh viên có 20 em có em ch bi t ti ng Anh, em ch bi t ti ng Pháp, em ch bi t ti ng c C n l p nhóm th c t g m em bi t ti ng Anh, em bi t ti ng Pháp, em bi t ti ng c H i có cách ch n? Bài 19 ( HKT-98-99): M t đ i xây d ng g m 10 công nhân, k s l p m t t công tác c n ch n k s làm t tr ng, công nhân làm t phó cơng nhân làm t viên H i có cách thành l p t cơng tác? Bài 20 l p h s thi n vào đ i h c, m i thí sinh c n th c hi n vi c: - Ch n tr ng thi có t t c 305 tr ng - Ch n kh i thi, m i tr ng có kh i thi A, B, C, D H i có cách l p h s ? -8DeThiMau.vn Ng.S: V n Phong Chuyên đ T h p 11 Bài 21 Có đ ng n i thành ph X Y, có đ ng n i thành ph Y Z Mu n t X đ n Z ph i qua Y a H i có cách ch n đ ng t X đ n Z? b Có cách ch n đ ng v t X đ n Z r i v l i X b ng nh ng đ ng khác nhau? Bài 22 Vi t Nam, m i h c sinh t t nghi p THPT đ u có quy n d thi vào m t tr ng đ i h c (có 305 tr ng) ho c m t tr ng cao đ ng (có 105 tr ng) ho c m t tr ng trung h c chuyên nghi p (có 21 tr ng) H i m i h c sinh t t nghi p THPT có cách ch n tr ng thi? Bài 23 M i ng i s d ng h th ng máy tính đ u có m t kh u dài t đ n ký t , m i ký t m t ch hoa hay ch s M i m t kh u ph i ch a nh t m t ch s H i m i ng i có th có m t kh u? Bi t r ng có 26 ch in hoa, 10 ch s Bài 24 X p quy n sách toán, quy n sách Lý, quy n sách Hoá quy n sách Sinh vào m t k sách theo t ng môn T t c quy n sách đ u khác H i có cách s p x p? Bài 25 Có cách ch n c u th khác 10 c u th c a đ i bóng qu n v t đ ch i b n tr n đ u đ n, tr n đ u có th t ? Bài 26 M t l p h c có 40 h/s g m 25 nam 15 n Có cách l p ban cán s l p g m: a h c sinh b h c sinh g m nam n c h c sinh có nh t nam Bài 27 ( H, C 2005): M t đ i niên tình nguy n có 15 ng i, g m 12 nam n H i có cách phân cơng đ i niên tình nguy n v giúp đ t nh mi n núi, cho m i t nh có nam n ? Bài 28 ( thi C 2005 – Kh i D) M t bó h ng g m 10 bơng h ng b ch 10 h ng nhung B n Hoa mu n ch n đ c m bình, ph i có nh t h ng b ch bơng h ng nhung H i có cách ch n? Bài 29 ( H 2004–KB) Trong m t mơn h c, th y giáo có 30 câu h i khác g m câu h i khó, 10 câu h i trung bình, 15 câu h i d T 30 câu h i có th l p đ c đ ki m tra, m i đ g m câu h i khác nhau, cho m i đ nh t thi t ph i có đ lo i câu h i (khó, trung bình, d ) s câu h i d khơng h n 2? -9DeThiMau.vn Ng.S: V n Phong Công th c nh th c Niu-t n n a  bn   Cnk a nk b k k 0 NH TH C NIU-T N Chuyên đ T h p 11  C n0  C n1 a n1b  C n2 a n2 b   C nk a nk b k   C nn V i n  N * Tính ch t S s h ng c a khai tri n b ng n + T ng s m c a a b m i s h ng b ng n S h ng t ng quát th k + có d ng: Tk 1  C nk a nk b k (k = 1, 2, 3, ,n) Các h s c a c p s h ng cách đ u s h ng đ u cu i b ng nhau: C nk  C nk 1 C n0  C nn  ; C nk  C nk1  C nk11 - Nh n xét: Trong khai tri n nh th c Niu-t n, n u ta gán cho a b nh ng giá tr đ c bi t, c th ta s thu đ c nh ng cơng th c đ c bi t Ví d : 1  x n  C n0 x n  C n1 x n1   Cnk x n k   Cnn  Cn0  Cn1  Cn2  Cn3  Cn4  n x  1n  Cn0 x n  Cn1 x n1   (1) k C nk x n k   (1) n Cnn  Cn0  Cn1  C n2  C n3  (1) n Cnn  Các d ng toán th ng g p: - Tính t ng t h p - Ch ng minh đ ng th c, b t đ ng th c t h p - Tìm giá tr c a h s khai tri n - Tìm s h ng không ch a bi n   Bài 1: Cho khai tri n: f ( x)   x  x  x  a0  a1 x  a x   a15 x15 a Tính h s a11 b Tính t ng: S1  a0  a1  a   a15 c Tính: S2  a0  a1  a  a3   a15 d Tính: S3  a0  a1  a   a15 Bài 2: Cho khai tri n: f ( x)   x  3  a0  a1 x  a2 x   a100 x100 a Tính h s a95 c a x95 b Tính t ng: S  a0  a1  a   a15 100  Bài 3: Cho khai tri n: f ( x)   x  x a Tính h s a3 b S  a0  a1  a2   a19  a 24  12  a0  a1 x  a x   a 24 x 24 Bài 3: Tính t ng: 2001 2001 k 2001 k 2001 S  C 2002 C 2002  C 2002 C 2001   C 2002 C 2002  k   C 2002 C1   1 S  3n  C n0  C n1  C n2   C nn  n (3)   - 10 DeThiMau.vn Ng.S: V n Phong Chuyên đ T h p 11 Bài 4: Tính: a S  C 20n  C 22n  C 24n   C 22nn b S  C n0  6C n1  C 22n   n C nn Bài 5: Ch ng minh r ng: a C n0  C n1  C n2  C n3  (1) n C nn  b C 20n  C 22n   C 22nn  C 21n  C 23n  C 22nn1 Bài 6: Tìm h s c a x5 khai tri n c a bi u th c: (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 Bài 7: Tìm h s c a x9 khai tri n c a bi u th c: (x + 1)9 + (x + 1)10 + (x + 1)11 + + (x + 1)14 10 1  Bài 8: Trong khai tri n c a:   x   a0  a1 x  a x   a9 x  a10 x10 3  Tìm h s ak l n nh t (  k  10 ) Bài 9: Trong khai tri n c a: 1  x   a  a1 x  a x   a12 x12 Tìm max(a1, a2, , a12) 12 n 28    Bài 10: Tìm s h ng không ch a x khai tri n sau:  x x  x 15    n n 1 n 2 Bi t r ng: C n  C n  C n  79 n   Bài 11: Tìm s h ng không ch a x khai tri n sau:  x   Bi t r ng: C n1  C n3  13n x   n n Bài 12: Khai tri n: 1  x   a0  a1 x  a x   a n x Tìm h s a5 bi t r ng: a0 + a1 + a2 = 71 20 10  1   Bài 13: Cho A   x     x   Sau khai tri n rút g n A có s h ng? x  x   Bài 14: Tìm h s c a x8 khai tri n thành đa th c: [1  x (1  x)]8 Các d ng tốn: Ph ng trình, b t ph tham kh o sách tham kh o ng trình; ng th c, b t đ ng th c t h p em t Th y chúc thành viên gia đình em M nh Kh e, H nh Phúc Thành Công Th y chúc em Kh e M nh, Vui T i đ t k t qu t t h c k t i Nguy n chúc cho ng i ng i an vui, nguy n chúc cho nhà nhà h nh phúc Th y c m n gia đình em, th y c m n em T Dân, ngày 21 tháng n m 2011 V n Phong - 11 DeThiMau.vn Ng.S: V n Phong ... ph n: Các toán liên quan đ n s t nhiên Các toán liên quan đ n y u t hình h c Các tốn đ m th c t Chuyên đ T h p 11 Các toán liên quan đ n s t nhiên Ví d M t nhóm h c có 15 h c sinh Nhóm c n b u... c V y có 2.5.4 = 40 s c Có cách ch n c (2 ho c 6) Có cách ch n b -2DeThiMau.vn Ng.S: V n Phong Chuyên đ T h p 11 Có cách ch n c V y có 2.5.4 = 40 s d Vì A5 nên có cách ch n c (c = 5) Có cách... khác chia h t cho đ c l p t E ch s 0,3,2,5 đ ng c nh theo th t y? -3DeThiMau.vn Ng.S: V n Phong Chuyên đ T h p 11 BÀI T P T LUY N Bài ( HQG HCM-99) V i s 1,2,5,7,8 có th l p đ c s g m ch s phân