Ôn tập tóm tắt chương trình thi Đại học môn Toán54075

PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN I- GIẢI TÍCH TỔ HP Giai thừa : n! = 1.2 n 0! = n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n Nguyên tắc cộng : Trường hợp có m cách chọn, trường hợp có n cách chọn; cách chọn thuộc trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn : m + n Nguyên tắc nhân : Hiện tượng có m cách chọn, cách chọn lại có n cách chọn tượng Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai tượng : m x n Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác Số cách xếp : Pn = n ! n! Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn k vật Số cách chọn : Cnk  k!(n  k )! Chỉnh hợp : Có n vật khác Chọn k vật, xếp vào k chỗ khác số n! , A nk  Cnk Pk cách : A nk  (n  k)! Chỉnh hợp = tổ hợp hoán vị Tam giác Pascal : C00 C10 C11 1 C20 C12 C22 C30 C13 C32 C33 3 C04 C14 C24 C34 C44 Tính chaát : C0n  Cnn  1, Cnk  Cnn k Cnk 1  Cnk  Cnk1 Nhị thức Newton : * (a  b)n  C0n an b  C1n an1b1   Cnn a0 b n a = b = : C0n  C1n   Cnn  n Với a, b  {1, 2, }, ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa : C 0n , C1n , , C nn * (a  x)n  C0n an  C1n an1x   Cnn x n Ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa C 0n , C1n , , C nn cách : - Đạo hàm laàn, laàn, cho x = 1, 2, a = 1, 2, TRANG DeThiMau.vn - Nhaân với xk , đạo hàm lần, lần, cho x = 1, 2, , a = 1, 2, - Cho a = 1, 2, , 1  hay 2    hay  Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x : Ckn a n k b k  Kx m Giaûi pt : m = 0, ta k * (a + b)n : a, b chứa Tìm số hạng hữu tỷ k n k n Ca m p b  Kc d k r q m / p  Z Giải hệ pt :  , tìm k r / q Z * Giaûi pt , bpt chứa A nk , Cnk : đặt điều kiện k, n  N* , k  n Cần biết đơn * * * * * giản giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung Cần phân biệt : qui tắc cộng qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc xếp) Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp thiếu trường hợp Với toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p trường hợp hơn, ta làm sau : số cách chọn thỏa p = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p Cần viết mệnh đề phủ định p thật xác Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số đứng đầu (tính từ trái sang phải) Dấu hiệu chia hết : - Cho : tận 0, 2, 4, 6, - Cho : tận 00 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tận 000 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tổng chữ số chia hết cho - Cho : tổng chữ số chia hết cho - Cho : tận hay - Cho : chia hết cho - Cho 25 : tận 00, 25, 50, 75 II- ĐẠI SỐ Chuyển vế : b  c  a + b = c  a = c – b; ab = c   b    a  c / b TRANG DeThiMau.vn  a  bc a/b = c   ; b a 2n a2 n1  b  a  n1 b  b  a   b, a  2n 2n  b  a 2n b   a 0  b  a a b  , a  log b  b   a a b  0, c  b0 a  b  c  a  c  b ; ab  c    a  c/ b b0   a  c/ b Giao nghieäm : x a xa  x  max{a, b} ;   x  min{a, b}  x  b x b p  xa a  x  b(neáu a  b)  p  q    ;     x b  VN(nế u a b) q     Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm Công thức cần nhớ : a : bình phương vế không âm Làm phải đặt điều kieän b  b  ab , a  b   2 a  b 0  a  b b  b  ab  a   a  b ab  b a b (neáu a, b  0)  a  b (neáu a, b  0) : phá cách bình phương : a a  a (neáu a  0)  a (neáu a  0) b  a b ; a  b  a  b a   b a  b  b  a  b b  a  b  b  0hay  a   b  a  b TRANG DeThiMau.vn  a2 hay định nghóa : a  b  a2  b  c Muõ : y  ax , x  R, y  0, y  neáu a  1, y  neáu  a  a0  ; a m / n  1/ n am ; am an  am  n am / an  am n ; (am )n  am.n ; an / bn  (a/ b)n an bn  (ab)n ; am  an  (m  n,0  a  1)  a = am  an  m  n (neáu a  1) ,   aloga  m  n (neáu  a  1) d log : y = logax , x > , < a  1, y  R y neáu a > 1, y neáu < a < 1,  = logaa loga(MN) = logaM + logaN (  ) loga(M/N) = logaM – logaN (  ) loga M  loga M , loga M  loga M () logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc logbc = logac/logab, log  M  loga M a  loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN  M = N loga M  loga N   M  N(neáu a  1) M  N  0(nếu  a  1) Khi làm toán log, miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định Mất log phải có điều kiện Đổi biến : a Đơn giản : t  ax  b R, t  x  0, t  x  0, t  x  0, t  ax  , t  loga x  R b Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định f c Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện t d Hàm số hợp : bước làm theo cách Xét dấu : a Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu b Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < hay f(x) > c Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm : xét tính liên tục đơn điệu f, nhẩm nghiệm pt f(x) = 0, phác họa đồ thị f , suy dấu f So sánh nghiệm phương trình bậc với  : f(x) = ax2 + bx + c = (a  0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a TRANG DeThiMau.vn Dùng S, P để tính biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g(x1,x2) = g   không đối xứng, giải hệ pt :  S  x1  x  P  x x  Bieát S, P thỏa S2 – 4P  0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = * Dùng , S, P để so sánh nghiệm với :    x1 < < x2  P < 0, < x1 < x2   P  S     x1 < x2 <   P  S  * Dùng , af(), S/2 để so sánh nghiệm với  : x1 <  < x2  af() <        < x1 < x2   a.f ()  ; x1 < x2 <    a.f ()     S/  S/      a.f()    < x1 <  < x2   a.f()  ; x1 <  < x2 <      a.f ()    a.f ()     Phương trình bậc : a Viête : ax3 + bx2 + cx + d = x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a Bieát x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C x1, x2, x3 nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = b Soá nghiệm phương trình bậc :  x =   f(x) = ax2 + bx + c = (a  0) :   nghiệm phân bieät   f ()      nghiệm phân biệt    f ()  f ()  nghieäm  = f    =   < hay   Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao (C) : y = f(x) (d) : y = m  Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = f(x, m) (Ox) : y = TRANG DeThiMau.vn   nghiệm   y' y CĐ y CT    nghiệm   y' y CĐ y CT    nghieäm  y'    y' y CÑ y CT  c Phương trình bậc có nghiệm lập thành CSC :  y '   y uốn  d So sánh nghiệm với  :  x = xo  f(x) = ax2 + bx + c = (a  0) : so sánh nghiệm phương trình bậc f(x) với   Không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao f(x) = y: (C) y = m: (d) , đưa  vào BBT  Không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) (Ox)  y'    y y   < x1 < x2 < x3   CÑ CT  y()  x  CÑ   y'   y y   x1 <  < x2 < x3   CÑ CT  y()     x CT   y'   y y   x1 < x2 <  < x3   CÑ CT  y()   x CÑ    y'    y y  x1 < x2 < x3 <    CÑ CT  y()  x   CT Phương trình bậc có điều kiện : TRANG DeThiMau.vn  x1 x x x1 x1 x1  x2 x3  x2 x3 x2  x3 f(x) = ax2 + bx + c = (a  0), x    f ()  nghieäm   , nghieäm        f ()      f ()    Vô nghiệm   <    f ()  Nếu a có tham số, xét thêm a = với trường hợp nghiệm, VN Phương trình baäc :  t  x2  a Trùng phương : ax + bx + c = (a  0)    f (t )  t = x2  x =  t    nghieäm   P  ; S  P  nghieäm   S P0 nghieäm     ; nghieäm    S/  P   S     S/       VN   <   P    <   P  S 0 S     t1  t nghieäm CSC    t  t1  t  t1  Giải hệ pt :  S  t1  t  P  t t  Tìm đk t BBT : t  x c ax4 + bx3 + cx2 – bx + a = Đặt t = x – Tìm đk t BBT : t  R x d (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d Đặt : t = x2 + (a + b)x Tìm đk t BBT ab e (x + a)4 + (x + b)4 = c Đặt : t  x  , t  R b ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = Đặt t = x + TRANG DeThiMau.vn  ax  by  c 10 Hệ phương trình bậc :  Tính :  a' x  b' y  c' a b c b a c D= , Dx = , Dy = a' b' c' b' a' c' D  : nghiệm x = Dx/D , y = Dy/D D = 0, Dx   Dy  : VN D = Dx = Dy = : VSN hay VN (giải hệ với m biết) 11 Hệ phương trình đối xứng loại : Từng phương trình đối xứng theo x, y Đạt S = x + y, P = xy ÑK : S2 – 4P  Tìm S, P Kiểm tra đk S2 – 4P  0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giaûi nghiệm x y (, ) nghiệm (, ) nghiệm; nghiệm =m=? Thay m vào hệ, giải xem có nghiệm không 12 Hệ phương trình đối xứng loại : Phương trình đối xứng với phương trình Trừ phương trình, dùng đẳng thức đưa phương trình tích A.B = Nghiệm làm hệ đối xứng loại  ax  bxy  cy  d 13 Hệ phương trình đẳng caáp :  2  a' x  b' xy  c' y  d' Xeùt y = Xét y  : đặt x = ty, chia phương trình để khử t Còn phương trình theo y, giaûi y, suy t, suy x Có thể xét x = 0, xét x  0, đặt y = tx 14 Bất phương trình, bất đẳng thức : * Ngoài bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng , , log, mũ giải trực tiếp, dạng khác cần lập bảng xét dấu Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B AB * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự * Chỉ nhân bất pt vế theo vế , vế không âm * Bất đẳng thức Côsi : ab a, b  :  ab Dấu = xảy chæ a = b abc a, b, c  :  abc Dấu = xảy a = b = c * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2  (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy a/b = c/d TRANG DeThiMau.vn 15 Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : Nếu tách m, dùng tương giao (C) : y = f(x) vaø (d) : y = m Số nghiệm số điểm chung Nếu có điều kiện x  I, lập BBT f với x  I 16 Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn nghiệm, có nghiệm x  I : Nếu tách m, dùng đồ thị, lập BBT với x  I f(x)  m : (C) (d) (hay cắt) f(x)  m : (C) (d) (hay cắt) III- LƯNG GIÁC Đường tròn lượng giác : Trên đường tròn lượng giác, góc  đồng với cung AM, đồng với điểm M Ngược lại, điểm đường tròn lượng giác ứng với vô số số thực x + k2 Trên đường tròn lượng giác, nắm vững góc đặc biệt :   bội ( cung phần tư) ( cung phần tư) 2 k x=+ :  góc đại diện, n : số điểm cách n sin đường tròn lượng giác Hàm số lượng giác : M cos 2 + 2 2 2 M  A x+k2  tg M cotg chiếu xuyên tâm chiếu  Cung liên kết : * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu  (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu ) * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ  * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu) Công thức : a Cơ : đổi hàm, không đổi góc b Cộng : đổi góc a  b, a, b c Nhân đôi : đổi góc 2a a d Nhân ba : đổi góc 3a a e Hạ bậc : đổi bậc bậc Công thức đổi bậc bậc suy từ công thức nhân ba a f Đưa t  tg : đưa lượng giác đại số g Tổng thành tích : đổi tổng thành tích đổi góc a, b thành (a  b) / h Tích thành tổng : đổi tích thành tổng đổi góc a, b thành a  b TRANG DeThiMau.vn Phương trình : sin = 0 cos = – hay cos = 1  = k,   sin =   = + k2; sin = –1   = – + k2, 2  cos =  sin = –1 hay sin =   = + k, cos =   = k2, cos = –   =  + k2 sinu = sinv  u = v + k2  u =  – v + k2 cosu = cosv  u =  v + k2 tgu = tgv  u = v + k cotgu = cotgv  u = v + k Phương trình bậc theo sin cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2  c2 a2  b2 , duøng công thức cộng đưa phương trình u (cách khác : đưa phương trình bậc theo t  tg ) Phương trình đối xứng theo sin, cos : Đưa nhóm đối xứng sin + cos vaø sin.cos t2    Ñaët : t = sinu + cosu = sin  u   ,   t  2,sin u.cos u  4  Phương trình chứa sinu + cosu sinu.cosu : t 1   Đặt : t  sin u  cos u  sin  u   ,0  t  ,sin u.cos u  * Chia vế cho  4 Phương trình chứa sinu – cosu vaø sinu.cosu :   t2  Ñaët : t  sin u  cos u  sin  u   ,   t  2,sin u.cos u  4  10 Phương trình chứa sinu – cosu sinu.cosu :  1 t2  Đặt : t  sin u  cos u  sin  u   ,0  t  ,sin u.cos u   4 11 Phương trình toàn phương (bậc bậc theo sinu cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu  0, chia vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos2u = + tg2u, đưa phương trình bậc theo t = tgu 12 Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc bậc theo sinu cosu : chia vế cho cos3u * Bậc bậc – : chia vế cho cosu 13 Giải phương trình cách đổi biến : Nếu không đưa phương trình dạng tích, thử đặt : * t = cosx : phương trình không đổi thay x – x * t = sinx : phương trình không đổi thay x  – x * t = tgx : phương trình không đổi thay x  + x TRANG 10 DeThiMau.vn * t = cos2x : cách x * t = tg : cách không 14 Phương trình đặc biệt : u0 * u2  v2    v uv uC  * uC  vC vC  uA uA  * v B  uv  AB v  B   sin u  1  sin u  * sinu.cosv =      cos v   cos v  1  sin u  1  sin u  * sinu.cosv = –      cos v  1  cos v  Tương tự cho : sinu.sinv =  1, cosu.cosv =  15 Hệ phương trình : Với F(x) laø sin, cos, tg, cotg  F(x)  F(y)  m (1) a Dạng :  Dùng công thức đổi + thành nhân, x  y  n ( )  xy a (2) vào (1) đưa hệ phương trình :  xy  b  F(x).F(y)  m b Daïng :  Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi nhân xyn thaønh +  F(x) / F(y)  m c Daïng :  xyn a c ac ac Dùng tỉ lệ thức :   biến đổi phương trình (1) dùng  b d bd bd công thức đổi + thành x d Dạng khác : tìm cách phối hợp phương trình, đưa pt 16 Toán  : * Luôn có sẵn pt theo A, B, C : A + B + C =  * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2 * A, B, C  (0, ) ; A/2, B/2, C/2  (0, /2) A + B  (0, ) ; (A + B)/2  (0, /2) ; A – B  (– , ) , (A – B)/2  (– /2, /2) Dùng tính chất để chọn k TRANG 11 DeThiMau.vn * Đổi cạnh góc (đôi đổi góc cạnh) : dùng định lý hàm sin : a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA abc 1  pr * S  ah a  ab sin C  4R 2  p( p  a)( p  b)( p  c) * Trung tuyeán : m a  b  c2  a 2 A bc cos * Phân giác : ℓa = bc IV- TÍCH PHÂN Định nghóa, công thức, tính chất : * F nguyên hàm f  f đạo hàm F Họ tất nguyên hàm f :  f (x)dx = F(x) + C (C  R) *   du  u  C ;  u du  u1 C,   –  1 du  ln u  C;  e u du  e u  C;  a udu  a u / ln a  C u  sin udu   cos u  C ;  cos udu  sin u  C   du / sin *  du / cos u   cot gu  C ; b  f(x)dx  F(x) b a u  tgu  C  F(b)  F(a) a * a a b  ;    a a b c b c a b ,   a b b b b b a a a a a  (f  g)   f   g ;  kf  k  f Tích phân phần :  udv  uv   vdu Thường dùng tính tích phân hàm hỗn hợp a  x n e x ,  x n sin x ;  x n cos x : u  x n b c  x ln x : u  ln x x x x x  e sin x ,  e cos x : u  e hay dv  e dx n phần lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ TRANG 12 DeThiMau.vn Các dạng thường gặp : a  sin m x cos2 n1 x : : u = cosx  cos x.sin x 2m 2n : hạ bậc bậc  sin x cos x 2m 2n : u = tgx (n  0)  tg x / cos x 2m 2n u = cotgx (n  0)  cot g x / sin x : : u = asint  chứa a2 – u2 : u = a/cost  chứa u2 – a2 : u = atgt  chứa a2 + u2  R(sin x, cos x) , R : hàm hữu tỷ m b c d u = sinx n 1 R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) x R đơn giản : u  tg /  : thử đặt u   : u = cosx : u = sinx : u = tgx  u = cotgx  x  : thử đặt u    x x m x m h m 1 p   Z : u q x n  a  bx n n q  dx /[(hx  k) ax  bx  c : hx  k  u  R(x, (ax  b) /(cx  d) , R hàm hữu tỷ : u  (ax  b) /(cx  d) i  chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk e f g (a  bx n )p / q , (m  1) / n  Z : u q  a  bx n (a  bx n )p / q , Tích phân hàm số hữu tỷ :  P(x) / Q(x) : bậc P < bậc Q * * Đưa Q dạng tích cuûa x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c ( < 0) Đưa P/Q dạng tổng phân thức đơn giản, dựa vào thừa số cuûa Q : A A2 A An , (x  a)n   xa   x  a (x  a) xa (x  a)n TRANG 13 DeThiMau.vn ax  bx  c(  0)  A(2ax  b) B dx    (  0)   du /( u2  a2 ) : đặt u  atgt   2 ax  bx  c ax  bx  c  ax  bx  c  Tính diện tích hình phẳng : b a D giới hạn x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : SD   f (x) dx a f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) cung [a, b] đường tròn lượng giác b D giới hạn x = a, x = b , (C) : y = f(x) b SD   f (x)  g(x) dx (C') : y = g(x) : a Xét dấu f(x) – g(x) trường hợp a/ c D giới hạn (C1) : f1(x, y) = , (C2) : f2 (x, y) = f(x) / g(x) x=a b SD   f(x)  g(x) dx a x=b b y=b / SD   f(y)  g(y) dy g(y) f(y) a y=a Với trường hợp ) : biên hay biên bị gãy, ta cắt D đường thẳng đứng chỗ gãy Với trường hợp ) : biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D đường ngang chỗ gãy Chọn tính  theo dx hay dy để  dễ tính toán hay D bị chia cắt Cần giải hệ phương trình tọa độ giao điểm Cần biết vẽ đồ thị hình thường gặp : hàm bản, đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = biết chọn  y   hay  : trên, y   : dưới, x   Tính thể tích vật thể tròn xoay : a D 5.a/ xoay quanh (Ox) : f(x) b a V    f (x)2 dx a b a f(y) TRANG 14 DeThiMau.vn b : phải, x   : trái  b b V    f (y) dy f(x) a c g(x a ) b V    [f (x)  g2 (x)]dx a b b d b V    [f (y)  g2 (y)]dy a a e f c b a c f(x) V    f (x)dx    g2 (x)dx c b a c f(y) g(y) a f(x) -g(x) b a g(x 0) V    g2 (y)dy    f (y)dy c b b f(y) c a -g(y) Chú ý : xoay quanh (Ox) :  dx ; xoay quanh (Oy) :  dy V- KHẢO SÁT HÀM SỐ , dạng  : P (x  a)P1 (x) P(x) a Phaân thức hữu tỷ : lim (dạng / 0)  lim  lim x a Q ( x ) xa (x  a)Q1 (x ) xa Q1 sin u f (x) b Hàm lg : lim (dạng / 0), dùng công thức lim 1 xa g(x ) u u f (x) c Hàm chứa : lim (dạng / 0) , dùng lượng liên hiệp : xa g(x ) Tìm lim dạng a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để phá d Hàm chứa mũ hay log (dạng 1) : dùng công thức lim (1  u)1/ u  e u Đạo hàm : f (x)  f (x o ) xxo x  xo a Tìm đạo hàm định nghóa : f ' (x )  lim Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm phía : TRANG 15 DeThiMau.vn f/ (x o )  lim , f/ (x o )  lim Neáu f/ (x o )  f/ (x o ) f có đạo hàm xo xxo xxo b Ý nghóa hình học : k = tg = f/(xM)  f(x) c f/ + : f  , f// + : f loõm , f/ – : f  f// – : f loài  f / (x )  d f đạt CĐ M   // M  f (x M )  M  f / (x M )  f đạt CT M   //  f (x M )  M điểm uốn f  f//(xM) = f// đổi dấu qua xM e Tính đạo hàm công thức : C/ = 0, (x)/ = x–1 , (lnx)/ = 1/x , , (ex)/ = ex  loga x   x ln a (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u v)/ = u/  v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] f/(x) * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : số e) vế , đạo hàm vế; áp dụng với hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa n f Vi phân : du = u/dx Tiệm cận : lim y    x = a : tcñ x a x y lim y  b  y = b : tcn a   x   y b x  lim [y  (ax  b)]   y = ax + b : tcx x  * b x y     Veõ đồ thị có tiệm cận : - t c đ : y tiến   đường cong gần đường t c - t c x :khi x y tiến   đường cong gần đường t c - t c n :khi x tiến   đường cong gần đường t c TRANG 16 DeThiMau.vn P(x) Q( x )  Có tcđ x = a Q(a) = 0, P(a)   Coù tcn bậc P  bậc Q : với x  , tìm lim y cách lấy số hạng bậc cao P chia số hạng bậc cao Q P (x)  Có tcx P Q bậc, chia đa thức ta có : f (x)  ax  b  , tcx Q( x ) laø y = ax + b Nếu Q = x – , chia Honer * Biện luận tiệm cận hàm bậc / bậc : c (d0) y  ax  b  dx  e  a  0, c  : có tcđ, tcx  a = 0, c  : có tcn, tcđ  c = : (H) suy biến thành đt, tc Đồ thị hàm thường gặp : a0 b/ y = ax2 + bx + c c/ y = ax3 + bx2 + c + d a>0 a :  y <  y > a0 a ab < e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c  0) ad - bc > ad - bc < TRANG 17 DeThiMau.vn  y = f/ y = ax  bx  c (ad  0) dx  e ad >  y >  y =  y < ad < ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ : g(x) = f(–x) : ñx qua (Oy) g(x) = – f(x) : ñx qua (Ox) x=a b y>b y=b a y