Ôn tập tóm tắt chương trình thi đại học môn Toán43572

PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN I- GIẢI TÍCH TỔ HP Giai thừa : n! = 1.2 n 0! = n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n Nguyên tắc cộng : Trường hợp có m cách chọn, trường hợp có n cách chọn; cách chọn thuộc trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn : m + n Nguyên tắc nhân : Hiện tượng có m cách chọn, cách chọn lại có n cách chọn tượng Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai tượng : m x n Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác Số cách xếp : Pn = n ! n! Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn k vật Số cách chọn : C nk = k!(n − k )! Chỉnh hợp : Có n vật khác Chọn k vật, xếp vào k chỗ khác số n! cách : A nk = , A nk = C nk Pk (n − k)! Chænh hợp = tổ hợp hoán vị Tam giác Pascal : C00 1 1 1 C10 C20 C30 C11 C12 C13 C22 C32 C33 C04 C14 C24 C34 C44 Tính chất : C 0n = C nn = 1, C nk = C nn− k C nk −1 + C nk = C nk+1 Nhị thức Newton : * (a + b)n = C 0n an b + C1n an −1b1 + + C nn a0 b n a = b = : C0n + C1n + + Cnn = n Với a, b ∈ {±1, ±2, }, ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa : C 0n , C1n , , C nn * (a + x )n = C n0 an + C1n an −1x + + C nn x n Ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa C 0n , C1n , , C nn cách : - Đạo hàm lần, lần, cho x = ±1, ±2, a = ±1, ±2, TRANG 1-Photocopy-Phc-0939302308 ThuVienDeThi.com - Nhân với xk , đạo hàm lần, lần, cho x = ±1, ±2, , a = ±1, ±2, ±1 - Cho a = ±1, ±2, , ∫ hay ±2 β α ∫ hay ∫ Chú ý : * (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x : Ckn a n −k b k = Kx m Giaûi pt : m = 0, ta k * (a + b)n : a, b chứa Tìm số hạng hữu tỷ k n −k n Ca m p b = Kc d k r q ⎧m / p ∈ Z Giải hệ pt : ⎨ , tìm k ⎩r / q ∈ Z * Giải pt , bpt chứa A nk , C nk : đặt điều kiện k, n ∈ N* , k ≤ n Cần biết đơn * * * * * giản giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung Cần phân biệt : qui tắc cộng qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc xếp) Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp thiếu trường hợp Với toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p trường hợp hơn, ta làm sau : số cách chọn thỏa p = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p Cần viết mệnh đề phủ định p thật xác Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số đứng đầu (tính từ trái sang phải) Dấu hiệu chia hết : - Cho : tận 0, 2, 4, 6, - Cho : tận 00 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tận 000 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tổng chữ số chia hết cho - Cho : tổng chữ số chia hết cho - Cho : tận hay - Cho : chia hết cho - Cho 25 : tận 00, 25, 50, 75 II- ĐẠI SỐ Chuyển vế : ⎧ a = bc a/b = c ⇔ ⎨ ; ⎩b≠0 ⎡b = c = a + b = c ⇔ a = c – b; ab = c ⇔ ⎢⎧ b ≠ ⎢⎨ ⎣⎩ a = c / b a2 n +1 = b ⇔ a = n +1 b TRANG ThuVienDeThi.com ⎧ b = a 2n a 2n = b ⇔ a = ± 2n b, a = 2n b ⇔ ⎨ ⎩a ≥0 ⎧ b = ±a a= b ⇔⎨ , a = log α b ⇔ b = α a ⎩a≥ b = 0, c > ⎧b>0 a + b < c ⇔ a < c − b ; ab < c ⇔ ⎨ ⎩ a < c/ b ⎧b c/ b Giao nghieäm : ⎧x >a ⎧x max{a, b} ; ⎨ ⇔ x < min{a, b} ⎨ x b x b > < ⎩ ⎩ ⎧p ⎨ ⎧x>a a < x < b(neáu a < b) ⎧ p ∨ q ⎩Γ ; ⎨ ⇔ ⇔ ⎨ x b < Γ VN(neá u a b) ≥ ⎧q ⎩ ⎩ ⎨ ⎩Γ Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm Công thức cần nhớ : a : bình phương vế không âm Làm phải đặt điều kiện ⎧b ≥ ⎧b ≥ ≤ ⇔ , a b a=b⇔⎨ ⎨ 2 ⎩a = b ⎩0 ≤ a ≤ b ⎧b < ⎧b ≥ ∨⎨ a≥b⇔⎨ ≥ a ⎩ ⎩a ≥ b ab = b a b (neáu a, b ≥ 0) − a − b (nếu a, b < 0) : phá cách bình phương : a = a2 hay định nghóa : a = a (nếu a ≥ 0) − a (neáu a < 0) ⎧b ≥ ; a = b ⇔ a = ±b a =b⇔⎨ ⎩a = ± b a ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b ⎧b ≥ a ≥ b ⇔ b < 0hay ⎨ ⎩a ≤ − b ∨ a ≥ b a ≤ b ⇔ a2 − b ≤ c Muõ : y = ax , x ∈ R, y > 0, y ↑ neáu a > 1, y ↓ neáu < a < TRANG ThuVienDeThi.com a0 = ; a− m / n = 1/ n am ; am an = am +n am / an = am −n ; (am )n = am.n ; an / b n = (a/ b)n an b n = (ab)n ; am = an ⇔ (m = n,0 < a ≠ 1) ∨ a = am < an ⇔ m < n (neáu a > 1) m > n (neáu < a < 1) , α = a loga α d log : y = logax , x > , < a ≠ 1, y ∈ R y↑ neáu a > 1, y↓ neáu < a < 1, α = logaaα loga(MN) = logaM + logaN ( ⇐ ) loga(M/N) = logaM – logaN ( ⇐ ) log a M = log a M , log a M = log a M (⇒) logaM3 = 3logaM, logac = logab.logbc logbc = logac/logab, log α M = log a M a α loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN ⇔ M = N log a M < log a N ⇔ < M < N (neáu a > 1) M > N > 0(neáu < a < 1) Khi làm toán log, miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định Mất log phải có điều kiện Đổi biến : a Đơn giaûn : t = ax + b∈ R , t = x ≥ 0, t = x ≥ 0, t = x ≥ 0, t = a x > , t = log a x ∈ R b c d a b c Nếu đề có điều kiện x, ta chuyển sang điều kiện t cách biến đổi trực tiếp bất đẳng thức Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định f Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện t Hàm số hợp : bước làm theo cách Xét dấu : Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < hay f(x) > Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm : xét tính liên tục đơn điệu f, nhẩm nghiệm pt f(x) = 0, phác họa đồ thị f , suy dấu f So sánh nghiệm phương trình bậc với α : f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a TRANG ThuVienDeThi.com Dùng S, P để tính biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g(x1,x2) = ⎧g = ⎪ không đối xứng, giải hệ pt : ⎨ S = x1 + x ⎪ P = x x ⎩ Biết S, P thỏa S – 4P ≥ 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = * Dùng Δ, S, P để so sánh nghiệm với : ⎧Δ >0 ⎪ x1 < < x2 ⇔ P < 0, < x1 < x2 ⇔ ⎨ P > ⎪S> ⎩ ⎧Δ >0 ⎪ x1 < x2 < ⇔ ⎨ P > ⎪S< ⎩ * Duøng Δ, af(α), S/2 để so sánh nghiệm với α : x1 < α < x2 ⇔ af(α) < ⎧Δ > ⎧Δ > ⎪ ⎪ α < x1 < x2 ⇔ ⎨ a.f (α) > ; x1 < x2 < α ⇔ ⎨ a.f (α) > ⎪ S/ < α ⎪ α < S/ ⎩ ⎩ ⎧ a.f(β) < ⎪ α < x1 < β < x2 ⇔ ⎨ a.f(α) > ; x1 < α < x2 < β ⇔ ⎪α ⎪α nghieäm phân biệt ⇔ ⎨ ⎩f (α ) ≠ ⎧Δ = ⎧Δ > ∨⎨ nghiệm phân biệt ⇔ ⎨ ⎩f (α ) = ⎩f ( α ) ≠ nghieäm ⎧Δ = ⇔ Δ < hay ⎨ ⎩f ( α ) = • Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao (C) : y = f(x) (d) : y = m • Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = f(x, m) vaø (Ox) : y = TRANG ThuVienDeThi.com ⎧Δ > nghieäm ⇔ ⎨ y ' ⎩y CÑ y CT < ⎧Δ > nghiệm ⇔ ⎨ y ' ⎩y CĐ y CT = ⎧Δ > nghieäm ⇔ Δy' ≤ ∨ ⎨ y ' ⎩y CÑ y CT > c Phương trình bậc có nghiệm lập thành CSC : ⎧Δ > ⇔ ⎨ y' ⎩y uoán = d So sánh nghiệm với α : • x = xo ∨ f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc f(x) với α • Không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao f(x) = y: (C) y = m: (d) , đưa α vào BBT • Không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (coù m) ,(a > 0) vaø (Ox) ⎧ Δy' > ⎪ ⎪ y CÑ y CT < α < x1 < x2 < x3 ⇔ ⎨ ⎪ y(α) < ⎪α< x ⎩ CÑ ⎧ Δ y' > ⎪ y y < ⎪ x1 < α < x2 < x3 ⇔ ⎨ CÑ CT ⎪ y(α ) > ⎪⎩ α < x CT ⎧ Δ y' > ⎪ y y < ⎪ x1 < x2 < α < x3 ⇔ ⎨ CÑ CT ⎪ y(α ) < ⎪⎩ x CÑ < α ⎧ Δy' > ⎪ ⎪ y CÑ y CT < x1 < x2 < x3 < α ⇔ ⎨ ⎪ y(α) > ⎪x ⎧Δ > ⎨ ⎩ f (α ) = ⎧Δ = ⎨ ⎩ f (α ) ≠ ⎧Δ = Voâ nghieäm ⇔ Δ < ∨ ⎨ ⎩ f (α ) = Nếu a có tham số, xét thêm a = với trường hợp nghiệm, VN Phương trình bậc : ⎧ t = x2 ≥ a Trùng phương : ax + bx + c = (a ≠ 0) ⇔ ⎨ ⎩ f (t ) = t = x2 ⇔ x = ± t ⎧Δ >0 ⎪ nghieäm ⇔ ⎨ P > ; ⎪S> ⎩ ⎧P = nghieäm ⇔ ⎨ ⎩S> P ⎧P =0 ⎨ ⎩S< ⎧Δ =0 ⎨ ⎩ S/ = ⎧Δ ≥ ⎧ ⎪ ⎪ VN ⇔ Δ < ∨ ⎨ P > ⇔ Δ < ∨ ⎨ P > ⎪S * f baäc (hay baäc / bậc 1) có cực trị ⇔ f có CĐ vaø CT ⇔ Δ f / > * f bậc (hay bậc / bậc 1) có cực trị : • Bên phải (d) : x = α ⇔ y/ = có nghiệm α < x1 < x2 • Bên trái (d) : x = α ⇔ y/ = có nghiệm x1 < x2 < α ⎧⎪ Δ f / > • beân (Ox) ⇔ ⎨ ⎪⎩ yCD yCT > ⎧⎪ Δ f / > • bên (Ox) ⇔ ⎨ ⎪⎩ yCD yCT < * Với hàm bậc / bậc 1, điều kiện yCĐ.yCT < (>0) thay y = VN (có nghiệm.) TRANG 19 ThuVienDeThi.com * Tính yCĐ.yCT : • Hàm bậc : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCÑ.yCT = (CxCÑ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = u • Hàm bậc 2/ bậc : y = v / u (x ).u / (x ) yCÑ.yCT = / CĐ / CT , dùng Viète với pt y/ = v (x CĐ ).v (x CT ) * Đường thẳng qua CĐ, CT : • Hàm bậc : y = Cx + D • Hàm bậc / baäc : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có cực trị ⇔ ab ≥ 0, cực trị ⇔ ab < 10 ĐƠN ĐIỆU : a Biện luận biến thiên hàm bậc : i) a > y’ = vô nghiệm ⇒ hàm số tăng R (luôn tăng) ii) a < y’ = vô nghiệm ⇒ hàm số giảm (nghịch biến) R (luôn giảm) iii) a > y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm số đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 Ngoài ta có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 hoành độ điểm uốn + hàm số tăng (−∞, x1) + hàm số tăng (x2, +∞) + hàm số giảm (x1, x2) iv) a < y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 ⇒ hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 hoành độ điểm uốn) Ta có : + hàm số giảm (−∞, x1) + hàm số giảm (x2, +∞) + hàm số tăng (x1, x2) b Biện luận biến thiên y = bậc bậc1 i) Nếu a.m > y/ = vô nghiệm hàm tăng ( đồng biến) khỏang xác định ii) Nếu a.m < y/ = vô nghiệm hàm giảm ( nghịch biến) khỏang xác định iii) Nếu a.m > y/ = có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 thỏa x1 < x2 x1 + x p =− m iv) Nếu a.m < y/ = có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa x1 < x2 vaø x1 + x p =− m c Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc đồng biến (nghịch biến) miền x ∈ I : đặt đk để I nằm miền đồng biến (nghịch biến) BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc y/ = với α 11 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : TRANG 20 ThuVienDeThi.com ... biến : Nếu không đưa phương trình dạng tích, thử đặt : * t = cosx : phương trình không đổi thay x – x * t = sinx : phương trình không đổi thay x π – x * t = tgx : phương trình không đổi thay... Thay m vào hệ, giải xem có nghiệm không 12 Hệ phương trình đối xứng loại : Phương trình đối xứng với phương trình Trừ phương trình, dùng đẳng thức đưa phương trình tích A.B = Nghiệm làm hệ đối... (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu π) * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ π * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu) Công thức : a Cơ : đổi hàm, không đổi góc