Xét dấu : Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn bội lẻ : đổi dấu; qua nghiệm kép bội chẵn : không đổi dấu... Tìm đk củ[r]
(1)PHẦN MỘT: ÔN TẬP TÓM TẮT CHƯƠNG TRÌNH THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN I- GIẢI TÍCH TỔ HỢP Giai thừa : n! = 1.2 n 0! = n! /(n – k)! = (n – k + 1).(n – k + 2) n Nguyên tắc cộng : Trường hợp có m cách chọn, trường hợp có n cách chọn; cách chọn thuộc đúng trường hợp Khi đó, tổng số cách chọn là : m + n Nguyên tắc nhân : Hiện tượng có m cách chọn, cách chọn này lại có n cách chọn tượng Khi đó, tổng số cách chọn liên tiếp hai tượng là : m x n Hoán vị : Có n vật khác nhau, xếp vào n chỗ khác Số cách xếp : Pn = n ! Tổ hợp : Có n vật khác nhau, chọn k vật Số cách chọn : Cnk n! k!(n k )! Chỉnh hợp : Có n vật khác Chọn k vật, xếp vào k chỗ A nk n! , A nk C nk Pk (n k)! khác số cách : Chỉnh hợp = tổ hợp hoán vị Tam giác Pascal : 1 1 1 C00 C10 C20 C30 C04 C11 C12 C13 C14 Tính chất : C0n Cnn 1, Cnk C nn k Cnk Cnk Cnk1 Nhị thức Newton : n n n 1 n n * (a b) Cn a b Cn a b Cn a b n n a = b = : Cn Cn Cn 2 C22 C32 C24 C33 C34 C44 (2) Với a, b {1, 2, }, ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa : C 0n , C1n , , C nn n n n n n * (a x) Cna Cn a x Cn x n Ta chứng minh nhiều đẳng thức chứa C n , C n , , C n cách : - Đạo hàm lần, lần, cho x = 1, 2, a = 1, 2, - Nhân với xk , đạo hàm lần, lần, cho x = 1, 2, , a = 1, 2, - Cho a = 1, 2, , Chú ý : 1 2 0 hay hay k n k k m * (a + b)n : a, b chứa x Tìm số hạng độc lập với x : Cn a b Kx Giải pt : m = 0, ta k * (a + b)n : a, b chứa Tìm số hạng hữu tỷ k n k n Ca Giải hệ pt : m / p Z r / q Z k m p b Kc d r q , tìm k A nk , Cnk * Giải pt , bpt chứa : đặt điều kiện k, n N* , k n Cần biết đơn giản các giai thừa, qui đồng mẫu số, đặt thừa số chung * Cần phân biệt : qui tắc cộng và qui tắc nhân; hoán vị (xếp, không bốc), tổ hợp (bốc, không xếp), chỉnh hợp (bốc xếp) * Áp dụng sơ đồ nhánh để chia trường hợp , tránh trùng lắp thiếu trường hợp * Với bài toán tìm số cách chọn thỏa tính chất p mà chia trường hợp, ta thấy số cách chọn không thỏa tính chất p ít trường hợp hơn, ta làm sau : số cách chọn thỏa p = số cách chọn tùy ý - số cách chọn không thỏa p Cần viết mệnh đề phủ định p thật chính xác * Vé số, số biên lai, bảng số xe : chữ số có thể đứng đầu (tính từ trái sang phải) * Dấu hiệu chia hết : - Cho : tận cùng là 0, 2, 4, 6, (3) - Cho : tận cùng là 00 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tận cùng là 000 hay chữ số cuối hợp thành số chia hết cho - Cho : tổng các chữ số chia hết cho - Cho : tổng các chữ số chia hết cho - Cho : tận cùng là hay - Cho : chia hết cho và - Cho 25 : tận cùng là 00, 25, 50, 75 II- ĐẠI SỐ Chuyển vế : a/b = c a + b = c a = c – b; ab = c a bc b 0 ; b c 0 b 0 a c / b a2 n 1 b a 2 n 1 b b a 2n a 2n b a 2n b, a 2n b a 0 b a a b , a log b b a a 0 b 0, c b0 a b c a c b ; ab c a c/ b b0 a c/ b Giao nghiệm : x a xa x max{a, b} ; x min{a, b} x b xb x a x b a x b(neáu a b) p q ; VN(neáu a b) p q Nhiều dấu v : vẽ trục để giao nghiệm Công thức cần nhớ : a : bình phương vế không âm Làm điều kiện phải đặt (4) b 0 b 0 a b , a b 2 a b 0 a b b b 0 a b a 0 a b a b (neáu a, b 0) a b (neáu a, b 0) ab 2 b : phá cách bình phương : a a hay định nghĩa : a a (neáu a 0) a (neáu a 0) b 0 a b ; a b a b a b a b b a b b 0 a b b 0hay a b a b a b a2 b2 0 x c Mũ : y a , x R, y 0, y neáu a 1, y neáu a a0 1 ; a m / n 1/ n am ; am a n amn am / an am n ; (am )n am.n ; a n / b n (a/ b)n an bn (ab)n ; am an (m n,0 a 1) a = am an m n (neáu a 1) , aloga m n (neáu a 1) d log : y = logax , x > , < a 1, y R y a > 1, y < a < 1, = logaa loga(MN) = logaM + logaN ( ) loga(M/N) = logaM – logaN ( ) loga M2 2 loga M , loga M loga M2 () logaM = 3logaM, logac = logab.logbc log a M loga M logbc = logac/logab, loga(1/M) = – logaM, logaM = logaN M = N loga M loga N M N(neáu a 1) M N 0(neáu a 1) (5) Khi làm toán log, miền xác định nới rộng : dùng điều kiện chặn lại, tránh dùng công thức làm thu hẹp miền xác định Mất log phải có điều kiện Đổi biến : a Đơn giản : t ax b R, t x2 0, t x 0, t x 0, t ax , t loga x R N?u ?? bài có ?i?u ki?n c?a x, ta chuy?n sang ?i?u ki?n c?a t b c d a b c b?ng cách bi?n ??i tr?c ti?p b?t ??ng th?c Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện t Nếu x có thêm điều kiện, cho vào miền xác định f Lượng giác : t = sinx, cosx, tgx, cotgx Dùng phép chiếu lượng giác để tìm điều kiện t Hàm số hợp : bước làm theo các cách trên Xét dấu : Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < hay f(x) > Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm : xét tính liên tục và đơn điệu f, nhẩm nghiệm pt f(x) = 0, phác họa đồ thị f , suy dấu f So sánh nghiệm phương trình bậc với : f(x) = ax2 + bx + c = (a 0) * S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức g 0 S x1 x P x x g(x1,x2) = không đối xứng, giải hệ pt : Biết S, P thỏa S2 – 4P 0, tìm x1, x2 từ pt : X2 – SX + P = * Dùng , S, P để so sánh nghiệm với : x1 < < x2 P < 0, < x1 < x2 0 P 0 S0 (6) 0 P 0 S0 x1 < x2 < * Dùng , af(), S/2 để so sánh nghiệm với : x1 < < x2 af() < < x1 < x2 0 a.f () S/ ; x1 < x2 < a.f() a.f() 0 a.f () S/ a.f () a.f () < x < < x2 ; x1 < < x2 < Phương trình bậc : a Viête : ax3 + bx2 + cx + d = x1 + x2 + x3 = – b/a , x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , x1.x2.x3 = – d/a Biết x1 + x2 + x3 = A , x1x2 + x1x3 + x2x3 = B , x1.x2.x3 = C thì x1, x2, x3 là nghiệm phương trình : x3 – Ax2 + Bx – C = b Số nghiệm phương trình bậc : x = f(x) = ax2 + bx + c = (a 0) : nghiệm phân biệt nghiệm phân biệt f ( ) 0 f () 0 f () 0 = < hay f = nghiệm Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao (C) : y = f(x) và (d) : y = m Phương trình bậc không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (C m) : y = f(x, m) và (Ox) : y = nghiệm y ' y CÑ y CT nghiệm y ' y CÑ y CT 0 (7) nghiệm y' y ' y CÑ y CT c Phương trình bậc có nghiệm lập thành CSC : y ' y uoán 0 d So sánh nghiệm với : x = xo f(x) = ax2 + bx + c = (a 0) : so sánh nghiệm phương trình bậc f(x) với Không nhẩm nghiệm, m tách sang vế : dùng tương giao f(x) = y: (C) và y = m: (d) , đưa vào BBT Không nhẩm nghiệm, m không tách sang vế : dùng tương giao (Cm) : y = ax3 + bx2 + cx + d (có m) ,(a > 0) và (Ox) y' y CÑ y CT y() < x1 < x2 < x3 xCÑ x1 < < x2 < x3 x1 < x2 < < x3 x x2 x3 y' y y CÑ CT y ( ) x CT x y' y y CÑ CT y ( ) x CÑ x x2 x3 y' y CÑ y CT y() x1 < x2 < x3 < xCT Phương trình bậc có điều kiện : f(x) = ax2 + bx + c = (a 0), x x2 x3 x x2 x3 (8) nghiệm f ( ) 0 0 f () 0 0 f ( ) , nghiệm 0 f () 0 Vô nghiệm < Nếu a có tham số, xét thêm a = với các trường hợp nghiệm, VN Phương trình bậc : a Trùng phương : ax4 + bx2 + c = (a 0) t = x2 x = t nghiệm 0 P 0 S0 ;3 nghiệm P 0 S0 P 0 S0 0 S / 0 P0 0 S/ ; nghiệm VN < 0 P 0 S0 nghiệm CSC P 0 S 0 t1 t t 3 t1 Giải hệ pt : t 9t1 S t1 t P t t nghiệm <0 b ax + bx + cx + bx + a = Đặt t = x + : t 2 t x 0 f (t ) 0 x Tìm đk t BBT c ax + bx + cx – bx + a = Đặt t = x – BBT : t R x Tìm đk t (9) d (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e với a + b = c + d Đặt : t = x + (a + b)x Tìm đk t BBT 4 ab , t R ax by c a' x b' y c' Tính : e (x + a) + (x + b) = c Đặt : 10.Hệ phương trình bậc : a b a' b' c b c' b' t x a c a' c' D= , Dx = , Dy = D : nghiệm x = Dx/D , y = Dy/D D = 0, Dx Dy : VN D = Dx = Dy = : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết) 11.Hệ phương trình đối xứng loại : Từng phương trình đối xứng theo x, y Đạt S = x + y, P = xy ĐK : S2 – 4P Tìm S, P Kiểm tra đk S2 – 4P 0; Thế S, P vào pt : X2 – SX + P = 0, giải nghiệm là x và y (, ) là nghiệm thì (, ) là nghiệm; nghiệm =m=? Thay m vào hệ, giải xem có nghiệm không 12.Hệ phương trình đối xứng loại : Phương trình này đối xứng với phương trình Trừ phương trình, dùng các đẳng thức đưa phương trình tích A.B = Nghiệm làm hệ đối xứng loại ax bxy cy d 2 a' x b' xy c' y d' 13.Hệ phương trình đẳng cấp : Xét y = Xét y : đặt x = ty, chia phương trình để khử t Còn phương trình theo y, giải y, suy t, suy x Có thể xét x = 0, xét x 0, đặt y = tx 14.Bất phương trình, bất đẳng thức : , * Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu A, B AB * Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều số âm : có đổi chiều Chia bất phương trình : tương tự * Chỉ nhân bất pt vế theo vế , vế không âm (10) * Bất đẳng thức Côsi : ab ab a, b : Dấu = xảy a = b abc abc a, b, c : Dấu = xảy a = b = c * Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 (a2 + b2).(c2 + d2); Dấu = xảy a/b = c/d 15.Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm : Nếu tách m, dùng tương giao (C) : y = f(x) và (d) : y = m Số nghiệm số điểm chung Nếu có điều kiện x I, lập BBT f với x I 16.Bài toán tìm m để bất pt vô nghiệm, luôn luôn nghiệm, có nghiệm x I : Nếu tách m, dùng đồ thị, lập BBT với x I f(x) m : (C) (d) (hay cắt) f(x) m : (C) trên (d) (hay cắt) III- LƯỢNG GIÁC Đường tròn lượng giác : Trên đường tròn lượng giác, góc đồng với cung AM, đồng với điểm M Ngược lại, điểm trên đường tròn lượng giác ứng với vô số các số thực x + k2 Trên đường tròn lượng giác, nắm vững các góc đặc biệt : bội cung phần tư) (3 cung phần tư) và 2 2 2 Cung liên kết : cos chiếu 2 0 A x+k2 x=+ : là góc đại diện, n : số điểm cách sin trên đường tròn lượng giác Hàm số lượng giác : M (2 k n M + tg M cotg chiếu xuyên tâm (11) * Đổi dấu, không đổi hàm : đối, bù, hiệu (ưu tiên không đổi dấu : sin bù, cos đối, tg cotg hiệu ) * Đổi hàm, không đổi dấu : phụ * Đổi dấu, đổi hàm : hiệu (sin lớn = cos nhỏ : không đổi dấu) Công thức : a Cơ : đổi hàm, không đổi góc b Cộng : đổi góc a b, a, b c Nhân đôi : đổi góc 2a a d Nhân ba : đổi góc 3a a e Hạ bậc : đổi bậc bậc Công thức đổi bậc bậc suy từ công thức nhân ba t tg a f Đưa : đưa lượng giác đại số g Tổng thành tích : đổi tổng thành tích và đổi góc a, b thành (a b) / h Tích thành tổng : đổi tích thành tổng và đổi góc a, b thành a b Phương trình : sin = 0 cos = – hay cos = 1 = k, sin = = 2+ k2; sin = –1 = – 2+ k2, 2+ cos = sin = –1 hay sin = = k, cos = = k2, cos = – = + k2 sinu = sinv u = v + k2 u = – v + k2 cosu = cosv u = v + k2 tgu = tgv u = v + k cotgu = cotgv u = v + k Phương trình bậc theo sin và cos : asinu + bcosu = c * Điều kiện có nghiệm : a2 + b2 c2 * Chia vế cho trình a2 b , dùng công thức cộng đưa phương (cách khác : đưa phương trình bậc theo Phương trình đối xứng theo sin, cos : t tg u 2) (12) Đưa các nhóm đối xứng sin + cos và sin.cos sin u , 4 t 2,sin u.cos u Đặt : t = sinu + cosu = Phương trình chứa sinu + cosu và sinu.cosu : t2 t2 t sin u cos u sin u ,0 t ,sin u.cos u 4 Đặt : Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : 1 t2 t sin u cos u sin u , t 2,sin u.cos u 4 Đặt : 10.Phương trình chứa sinu – cosu và sinu.cosu : 1 t2 t sin u cos u sin u ,0 t ,sin u.cos u 4 Đặt : 11.Phương trình toàn phương (bậc và bậc theo sinu và cosu) : Xét cosu = 0; xét cosu 0, chia vế cho cos2u, dùng công thức 1/cos2u = + tg2u, đưa phương trình bậc theo t = tgu 12.Phương trình toàn phương mở rộng : * Bậc và bậc theo sinu và cosu : chia vế cho cos3u * Bậc và bậc – : chia vế cho cosu 13.Giải phương trình cách đổi biến : Nếu không đưa phương trình dạng tích, thử đặt : * t = cosx : phương trình không đổi thay x – x * t = sinx : phương trình không đổi thay x – x * t = tgx : phương trình không đổi thay x + x * t = cos2x : cách trên đúng x tg * t= : cách trên không đúng 14.Phương trình đặc biệt : * * * u 0 u2 v2 0 v 0 u v u C u C v C v C u A u A v B v B u v A B (13) * sinu.cosv = sin u 1 sin u cos v 1 cos v sin u 1 sin u cos v cos v 1 * sinu.cosv = – Tương tự cho : sinu.sinv = 1, cosu.cosv = 15.Hệ phương trình : Với F(x) là sin, cos, tg, cotg a Dạng : F(x) F(y) m (1) (2) x y n Dùng công thức đổi + thành nhân, (2) vào (1) đưa hệ phương trình : F(x).F(y) m x y n b Dạng : nhân thành + x y a x y b Tương tự dạng 1, dùng công thức đổi F( x ) / F( y) m c Dạng : x y n a c ac a c Dùng tỉ lệ thức : b d b d b d biến đổi phương trình (1) dùng công thức đổi + thành x d Dạng khác : tìm cách phối hợp phương trình, đưa các pt 16.Toán : * Luôn có sẵn pt theo A, B, C : A + B + C = * A + B bù với C, (A + B)/2 phụ với C/2 * A, B, C (0, ) ; A/2, B/2, C/2 (0, /2) A + B (0, ) ; (A + B)/2 (0, /2) ; A – B (– , ) , (A – B)/2 (– /2, /2) Dùng các tính chất này để chọn k * Đổi cạnh góc (đôi đổi góc cạnh) : dùng định lý hàm sin : a = 2RsinA hay định lý hàm cos : a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA * 1 abc S aha ab sin C pr 2 4R p(p a)(p b)(p c) (14) * Trung tuyến : b c2 a 2 A bc cos bc ma * Phân giác : ℓa = IV- TÍCH PHÂN Định nghĩa, công thức, tính chất : * F là nguyên hàm f f là đạo hàm F Họ tất các nguyên hàm f : f (x)dx = F(x) + C (C R) * du u C ; u du u1 C 1 , –1 du u u u ln u C; e du e C; audu au / ln a C cos udu sin u C sin udu cos u C ; du / sin u cot gu C b * * f(x)dx F(x) b a du / cos ; u tgu C F(b) F(a) a a b a c b c a a b a a b 0 ; , b b b b b a a a a a (f g) f g ; kf k f Tích phân phần : udv uv vdu Thường dùng tính tích phân các hàm hỗn hợp n x n n n x e , x sin x ; x cos x : u x a x n ln x : u ln x b e x sin x , e x cos x : u e x hay dv e x dx c phần lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ Các dạng thường gặp : a sin m x cos2 n 1 x : u = sinx (15) m n 1 cos x.sin x : u = cosx 2m 2n sin x cos x : hạ bậc bậc 2m 2n tg x / cos x b : u = tgx (n 0) 2m 2n cot g x / sin x : u = cotgx (n 0) c chứa a2 – u2 : u = asint chứa u2 – a2 : u = a/cost chứa a2 + u2 : u = atgt R(sin x, cos x) d , R : hàm hữu tỷ R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) R đơn giản : u tg x : u = cosx : u = sinx : u = tgx u = cotgx / : thử ñaë t u x : thử đặt u x m n p/ q q n x (a bx ) , (m 1) / n Z : u a bx e m n p/ q m 1 p q n n x (a bx ) , n q Z : u x a bx f g dx /[(hx k) ax2 bx c : hx k u R(x, (ax b) /(cx d) , R là hàm hữu tỷ : u i chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk h (ax b) /(cx d ) Tích phân hàm số hữu tỷ : P(x) / Q(x) : bậc P < bậc Q * Đưa Q dạng tích x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c ( < 0) * Đưa P/Q dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số Q : (16) xa A A1 A2 An , (x a)n xa x a (x a)2 (x a)n ax bx c( 0) A(2ax b) B dx ( 0) du /(u2 a2 ) : ñaët u atgt 2 ax bx c ax bx c ax bx c Tính diện tích hình phẳng : b SD f (x) dx a a D giới hạn x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] đường tròn lượng giác b D giới hạn x = a, x = b , (C) : y = f(x) b SD f (x) g(x) dx a (C') : y = g(x) : Xét dấu f(x) – g(x) trường hợp a/ c D giới hạn (C1) : f1(x, y) = , (C2) : f2 (x, y) = f(x) b g(x) x=a / SD f(x) g(x) dx a x=b b g(y) / y=b f(y) y=a SD f(y) g(y) dy a Với trường hợp ) : biên trên hay biên bị gãy, ta cắt D các đường thẳng đứng chỗ gãy Với trường hợp ) : biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D các đường ngang chỗ gãy Chọn tính theo dx hay dy để dễ tính toán hay D ít bị chia cắt Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = và biết chọn y : treân, y hay : dưới, x : phaûi, x : traùi (17) Tính thể tích vật thể tròn xoay : a D 5.a/ xoay quanh (Ox) : f(x) b V f (x) dx a a b a b b V f (y) dy f(y) a b c b f(x) V [f (x) g (x)]dx a b b d g(x) a V [f (y) g2 (y)]dy a g(y) b f(y) a f(x) e c b a c V f (x)dx g2 (x)dx c f V g (y)dy f (y)dy a -g(x) b g(x 0) b a f(x) c a c b b f(y) c a -g(y) Chú ý : xoay quanh (Ox) : dx ; xoay quanh (Oy) : dy Tìm lim dạng 0, V- KHẢO SÁT HÀM SỐ dạng : a Phân thức hữu tỷ : b Hàm lg : P (x ) (x a)P1 (x) P (daïng / 0) lim lim x a Q( x ) x a (x a)Q1 (x) x a Q1 lim f (x) sin u (dạng / 0), dùng công thức lim 1 x a g(x) u u lim (18) c Hàm chứa : f (x) (daïng / 0) x a g(x ) , lim a2 – b2 = (a – b)(a + b) để phá phá dùng lượng liên hiệp : , a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) để d Hàm chứa mũ hay log (dạng ) : dùng công thức Đạo hàm : lim (1 u)1/ u e u f (x) f (x o ) x xo x xo f ' (x ) lim a Tìm đạo hàm định nghĩa : Tại điểm xo mà f đổi công thức, phải tìm đạo hàm phía : f/ (x o ) lim , f/ (x o ) lim x xo x xo / / Nếu f (xo ) f (xo ) thì f có đạo hàm xo b Ý nghĩa hình học : k = tg = f/(xM) c f/ + : f , f/ – : f f// + : f lõm , f// – : f lồi d f đạt CĐ M f M ( x ) f / (x M ) 0 // f (x M ) f / (x M ) 0 // f (x M ) f đạt CT M M là điểm uốn f f//(xM) = và f// đổi dấu qua xM e Tính đạo hàm công thức : C/ = 0, (x)/ = x–1 , (lnx)/ = 1/x , loga x x ln a , (ex)/ = ex (ax)/ = ax.lna, (sinx)/ = cosx , (cosx)/ = – sinx, (tgx)/ = 1/cos2x, (cotgx)/ = –1/sin2x, (ku)/ = ku/ , (u v)/ = u/ v/, (uv)/ = u/v + uv/ , (u/v)/ = (u/v – uv/)/v2 * Hàm hợp : (gof)/ = g/[f(x)] f/(x) * Đạo hàm lôgarit : lấy log (ln : số e) vế , đạo hàm vế; áp dụng với hàm [f(x)]g(x) hay f(x) dạng tích, thương, chứa f Vi phân : du = u/dx Tiệm cận : lim y x a x = a : tcđ x y a n (19) lim y b x y = b : tcn lim [y (ax b)] 0 x x y b b y : tcx x y = ax + b * Vẽ đồ thị có tiệm cận : - t c đ : y càng tiến thì đường cong càng gần đường t c - t c x :khi x và y càng tiến thì đường cong càng gần đường t c - t c n :khi x càng tiến thì đường cong càng gần đường t c y P(x) Q( x ) * Xét Có tcđ x = a Q(a) = 0, P(a) Có tcn bậc P bậc Q : với x , tìm lim y cách lấy số hạng bậc cao P chia số hạng bậc cao Q Có tcx P Q bậc, đó chia đa thức ta có : f (x) ax b P1 (x) Q( x ) , tcx là y = ax + b Nếu Q = x – , có thể chia Honer * Biện luận tiệm cận hàm bậc / bậc : y ax b c dx e (d0) a 0, c : có tcđ, tcx a = 0, c : có tcn, tcđ c = : (H) suy biến thành đt, không có tc Đồ thị các hàm thường gặp : a/ y = ax + b : a<0 b/ y = ax2 + bx + c a>0 c/ y = ax3 + bx2 + c + d a>0 a< >0 a=0 (20) a> : <0 =0 a<0: d/ y = ax4 + bx2 + c a>0 a<0 ab < ab > e/ y = (ax + b) / (cx + d) (c 0) ad - bc > f/ y = ax bx c dx e ad - bc < (ad 0) >0 ad > =0 ad < <0 ĐỐI XỨNG ĐỒ THỊ : x=a g(x) = f(–x) : đx qua (Oy) g(x) = – f(x) : đx qua (Ox) a x<a / f (x) x>a b y>b y<b y=b (C ) : y = : giữ nguyên phần (C) bên trên y = 0, lấy phần (C) bên y = đối xứng qua (Ox) (C/) : y = f ( x ) : giữ nguyên phần (C) bên phải x = 0, lấy phần (C) bên phải x = đối xứng qua (Oy) (21) ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA (Cm) : y = f(x, m) a/ Điểm cố định : M(xo, yo) (Cm), m yo = f(xo, m), m Am + B = 0, m (hay Am2 + Bm + C = 0, m) A 0 B 0 A 0 B 0 C 0 (hay ) Giải hệ, M b/ Điểm (Cm) không qua, m : M(xo, yo) (Cm), m yo f(xo,m), m yo = f(xo, m) VN m Am + B = VN m (hay Am2 + Bm + C = VN m) M A C B A 0 B 0 (hay A 0 A 0 B 0 C 0 ) Giải hệ , B 0 A BC VN Chú ý : VN B = c/ Điểm có n đường cong họ (Cm) qua : Có n đường (Cm) qua M(xo, yo) yo = f(xo, m) có n nghiệm m Cần nắm vững điều kiện có n nghiệm các loại phương trình : bậc 2, bậc có điều kiện x , bậc 3, trùng phương TIẾP XÚC, PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN : a (C) : y = f(x), tx (C/) : y = g(x) hệ phương trình sau có nghiệm : y C y C/ / / y C y C/ Nghiệm x hệ là hoành độ tiếp điểm b Tìm tiếp tuyến với (C) : y = f(x) * Tại M(xo, yo) : y = f'(xo)(x – xo) + yo * Qua M (xo, yo): viết phương trình đường thẳng qua M : (d) : y = k(x – xo) + yo Dùng điều kiện tx tìm k Số lượng k = số lượng tiếp tuyến (nếu f bậc hay bậc / bậc thì số nghiệm x hệ phương trình đk tx = số lượng tiếp tuyến) * // () : y = ax + b : (d) // () (d) : y = ax + m Tìm m nhờ đk tx * () : y = ax + b (a 0) : (d) () (d) : y = m nhờ đk tx ax + m Tìm (22) c Bài toán số lượng tiếp tuyến : tìm M (C/) : g(x, y) = cho từ M kẻ đến (C) đúng n tiếp tuyến (n = 0, 1, 2, ), M(x o,yo) (C/) g(xo,yo) = 0; (d) qua M : y = k(x – x o) + yo; (d) tx (C) : y C y d / y C k (1) Thế k vào (1) phương trình ẩn x, tham số x o hay yo Đặt đk để phương trình này có n nghiệm x (số nghiệm x = số tiếp tuyến), tìm xo hay yo TƯƠNG GIAO : * Phương trình hđ điểm chung (C) : y = f(x) và (C /) : y = g(x) là : f(x) = g(x) Số nghiệm pt = số điểm chung * Tìm m để (Cm) : y = f(x, m) và (C/m) : y = g(x, m) có n giao điểm : Viết phương trình hoành độ điểm chung; đặt đk để pt có n nghiệm Nếu pt hoành độ điểm chung tách m sang vế : F(x) = m : đặt điều kiện để (C) : y = F(x) và (d) : y = m có n điểm chung * Biện luận tương giao (Cm) và (C/m) : Nếu pt hđ điểm chung dạng : F(x) = m : lập BBT F; số điểm chung (Cm) và (C/m) = số điểm chung (C) và (d) PThđ điểm chung, không tách m, dạng f(x) = ax + bx + c = (x ) hay dạng bậc : x = f(x) = : lập , xét dấu , giải pt f(x) = để biết m nào thì là nghiệm f, với m đó, số nghiệm bị bớt CỰC TRỊ : * f có đúng n cực trị f/ đổi dấu n lần * f đạt cực đại xo f đạt cực tiểu xo f / (x o ) 0 // f (x o ) f / (x o ) 0 // f (x o ) * f bậc (hay bậc / bậc 1) có cực trị f có CĐ và CT * f bậc (hay bậc / bậc 1) có cực trị : Bên phải (d) : x = y/ = có nghiệm < x1 < x2 Bên trái (d) : x = y/ = có nghiệm x1 < x2 < bên (Ox) f / yCD yCT f/ > (23) f / yCD yCT bên (Ox) * Với hàm bậc / bậc 1, các điều kiện y CĐ.yCT < (>0) có thể thay y = VN (có nghiệm.) * Tính yCĐ.yCT : Hàm bậc : y = y/ (Ax + B) + (Cx + D) yCĐ.yCT = (CxCĐ + D).(CxCT + D), dùng Viète với pt y/ = Hàm bậc 2/ bậc : y u v u / (x CÑ ).u / (x CT ) v / (x CÑ ).v / (x CT ) , yCĐ.yCT = dùng Viète với pt y/ = * Đường thẳng qua CĐ, CT : Hàm bậc : y = Cx + D Hàm bậc / bậc : y = u/ / v/ * y = ax4 + bx2 + c có cực trị ab 0, cực trị ab < 10 ĐƠN ĐIỆU : a Biện luận biến thiên hàm bậc : i) a > và y’ = vô nghiệm hàm số tăng trên R (luôn luôn tăng) ii) a < và y’ = vô nghiệm hàm số giảm (nghịch biến) trên R (luôn luôn giảm) iii) a > và y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 hàm số đạt cực đại x1 và đạt cực tiểu x2 Ngoài ta còn có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 là hoành độ điểm uốn + hàm số tăng trên (, x1) + hàm số tăng trên (x2, +) + hàm số giảm trên (x1, x2) iv) a < và y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 hàm đạt cực tiểu x1 và đạt cực đại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 là hoành độ điểm uốn) Ta có : + hàm số giảm trên (, x1) + hàm số giảm trên (x2, +) + hàm số tăng trên (x1, x2) b Biện luận biến thiên y = baäc baäc1 (24) i) Nếu a.m > và y/ = vô nghiệm thì hàm tăng ( đồng biến) trên khỏang xác định ii) Nếu a.m < và y/ = vô nghiệm thì hàm giảm ( nghịch biến) trên khỏang xác định iii) Nếu a.m > và y/ = có nghiệm phân biệt x 1, x2 thì hàm đạt cực x1 x2 p m đại x1 và đạt cực tiểu x2 thỏa x1 < x2 và iv) Nếu a.m < và y/ = có nghiệm phân biệt x1, x2 thì hàm đạt cực x1 x2 p m tiểu x1 và đạt cực đại x2 thỏa x1 < x2 và c Tìm m để hàm số bậc 3, bậc 2/bậc đồng biến (nghịch biến) trên miền x I : đặt đk để I nằm miền đồng biến (nghịch biến) các BBT trên; so sánh nghiệm pt bậc y/ = với 11 BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT BẰNG ĐỒ THỊ : a Cho pt : F(x, m) = 0; tách m sang vế : f(x) = m; lập BBT f (nếu f đã khảo sát thì dùng đồ thị f), số nghiệm = số điểm chung b Với pt mũ, log, , , lượng giác : đổi biến; cần biết biến t biến cũ x; cần biết đk t để cắt bớt đồ thị f 12 QUỸ TÍCH ĐIỂM DI ĐỘNG M(xo, yo) : Dựa vào tính chất điểm M, tìm đẳng thức chứa x o, yo, m; khử m, F(xo, yo) = 0; suy M (C) : F(x, y) = 0; giới hạn quỹ tích : M tồn m ? xo ? (hay yo ?) Nếu xo = a thì M (d) : x = a Nếu yo = b thì M (d) : y = b 13.TÂM, TRỤC, CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG : a CM hàm bậc có tâm đx (điểm uốn), hàm bậc 2/bậc có tâm đx (gđ tc) I : đổi tọa độ : x = X + x I, y = Y + yI; vào hàm số : Y = F(X), cm : F(–x) = – F(x), suy F là hàm lẻ, đồ thị có tđx là gốc tọa độ I b CM hàm bậc có trục đx // (Oy) : giải pt y / = 0; x = a là nghiệm hay là nghiệm chính nghiệm : đổi tọa độ x = X + a, y = Y; vào hàm số : Y = F(X); cm F(–X) = F(X); suy F là hàm chẵn, đồ thị có trục đối xứng là trục tung X = 0, tức x = a c Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm M, N đối xứng qua I : giải hệ pt ẩn : (25) x M x N 2x I y y 2y M N I y M f(x M ) y N f(x N ) d Tìm trên (C) : y = f(x) cặp điểm đ/x qua đt (d) : y = ax + b : dt (d) là ax (d') : y = – + m; lập pt hđ điểm chung (C) và (d'); giả sử pt có nghiệm xA, xB, tính tọa độ trung điểm I AB theo m; A, B đối xứng qua (d) I (d) m?; thay m vào pthđ điểm chung, giải tìm xA, xB, suy yA, yB 14 Tìm điểm M (C) : y = ax + b + c, d, e Z) : giải c y M ax M b dx e M c xM , Z dx M e c y M ax M b dx M e x M Z, dx M e ước số c hệ c dx e có tọa độ nguyên (a, b, c y M ax M b dx M e x M , y M Z 15.Tìm min, max hàm số y = f(x) Lập BBT, suy miền giá trị và min, max 16.Giải bất phương trình đồ thị : f < g a < x < b, f > g x a bx x a x b a b fgaxb,fg VI- HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Tọa độ , vectơ : * (a,b) (a/, b/) = (a a/, b b/) k(a, b) = (ka, kb) f g (26) a a/ / b b (a, b) = (a/, b/) (a, b).(a/,b/) = aa/ + bb/ (a, b) a2 b2 v.v / cos( v ,v / ) / v v AB (x B x A , y B y A ), AB AB M chia AB theo tỉ số k MA k MB x A kx B y ky B , yM A 1 k 1 k (k 1) x xB y yB xM A , yM A 2 trung điểm AB xM M: x A x B xC x M y A y B yC y M M : trọng tâm ABC (tương tự cho vectơ chiều) * Vectơ chiều có thêm tích có hướng và tích hỗn hợp : / v, v/ v (a, b, c), v (a' , b' , c' ) b c c a a b , , b / c/ c/ a/ a/ b / [ v ,v / ] v v / sin( v ,v / ) * [v, v / ] v, v / v v / v.v / = / // [v, v ].v 0 S ABC VS.ABC 0; v // v / [ v ,v / ] = / // ; v, v , v đồng phẳng AB, AC AB, AC AS VABCD.A'B'C'D' [AB, AD].AA A, B, C thẳng hàng / AB // AC * mp : H là trực tâm AH.BC 0 BH.AC 0 (27) H là chân đường cao AH.BC 0 BH // BC M là chân phân giác A A AB MC AC AB MB MC AC MB M là chân phân giác ngòai I là tâm đường tròn ngoại tiếp IA = IB = IC I là tâm đường tròn nội tiếp I là chân phân giác B ABM với M là chân phân giác A ABC Đường thẳng mp : * Xác định điểm M(xo,yo) và 1vtcp v = (a,b) hay pháp vectơ (A,B) : x x o at x xo y yo , (d ) : a b y y o bt (d) : (d) : A(x – xo) + B(y – yo) = * (d) qua A(a, 0); B(0,b) : * (AB) : * * * * x y 1 a b x xA y yA xB xA yB yA (d) : Ax + By + C = có v ( B, A) ; n (A, B) (d) // () : Ax + By + C = (d) : Ax + By + C = (d) () (d) : – Bx + Ay + C/ = (d), (d/) tạo góc nhọn thì : cos = nd n / d nd nd / cos( nd ,nd / ) Ax M By M C 2 A B * d(M,(d)) = * Phân giác (d) : Ax + By + C = và (d /) : A/x + B/y + C/ = là : Ax By C A B2 n d n d/ A / x B/ y C/ A / B/ > : phân giác góc tù + , nhọn – (28) n d n d/ < : phân giác góc tù – , nhọn + * Tương giao : Xét hpt tọa độ giao điểm Mặt phẳng không gian : * Xác định điểm M(xo, yo, zo) và pháp vectơ : n = (A, B, C) hay vtcp v , v' (P) : A(x – xo) + B(y – yo) + C(z – zo) = n = [ v , v' ] (P) : Ax + By + Cz + D = có n = (A, B, C) (P) qua A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) (P) : x/a + y/b + z/c = * Cho M(xo, yo, zo), (P) : Ax + By + Cz + D = Ax o By o Cz o D d(M,(P)) = A B2 C2 * (P) , (P/) tạo góc nhọn thì : cos = cos(n( P ) , n( P ') ) * (P) (P/) n(P ) n( P') , (P) // (P/) n( P ) // n(P ') Đường thẳng không gian : * Xác định điểm M (xo, yo, zo) và vtcp v = (a, b, c) hay pháp vectơ : n , n' : (d) : x x o at x xo y yo z zo y y o bt , (d ) : a b c z z ct o v [ n , n' ] * (AB) : x xA y yA z zA xB x A y B y A z B z A * (d) = (P) (P/) : Ax By Cz D 0 A' x B' y C' z D' 0 * (d) qua A, vtcp v thì : [AM, v ] v d(M,(d)) = * là góc nhọn (d), (d/) thì : cos = cos( vd , v / ) d (29) * là góc nhọn (d), (P) thì : sin = cos( vd , n p ) * (d) qua M, vtcp v , (P) có pvt n : (d) cắt (P) v n (d) // (P) v n = và M (P) (d) (P) v n = và M (P) * (d) qua A, vtcp v ; (d /) qua B, vtcp v' : (d) cắt (d/) [ v , v' ] , [ v , v' ] AB = (d) // (d/) [ v , v' ] = , A (d/) (d) chéo (d/) [ v , v' ] , [ v , v' ] AB (d) (d/) [ v , v' ] = , A (d/) [ v , v' ] AB * (d) chéo (d/) : d(d, d/) = [ v , v' ] * (d) chéo (d/) , tìm đường chung () : tìm n [ v , v' ] ; tìm (P) chứa (d), // n ; tìm (P/) chứa (d/), // n ; () = (P) (P/) * (d) (P), cắt (d/) (d) nằm mp (P), chứa (d/) * (d) qua A, // (P) (d) nằm mp chứa A, // (P) * (d) qua A, cắt (d/) (d) nằm mp chứa A, chứa (d/) * (d) cắt (d/), // (d//) (d) nằm mp chứa (d/), // (d//) * (d) qua A, (d/) (d) nằm mp chứa A, (d/) * Tìm hc H M xuống (d) : viết pt mp (P) qua M, (d), H = (d) (P) * Tìm hc H M xuống (P) : viết pt đt (d) qua M, (P) : H = (d) (P) * Tìm hc vuông góc (d) xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d), (P); (d/) = (P) (Q) * Tìm hc song song (d) theo phương () xuống (P) : viết pt mp (Q) chứa (d) // (); (d/) = (P) (Q) Đường tròn : (30) * Đường tròn (C) xác định tâm I(a,b) và bk R : (C) : (x – a) + (y – b)2 = R2 * (C) : x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = có tâm I(–A,–B), bk R = A B2 C * (d) tx (C) d(I, (d)) = R, cắt < R, không cắt > R * Tiếp tuyến với (C) M(xo,yo) : phân đôi t/độ (C) : (xo–a)(x–a) + (yo–b)(y–b) = R hay xox + yoy + A(xo + x) + B(yo + y) + C = * Cho (C) : F(x,y) = x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = thì P M/(C) = F(xM, yM) = MA.MB = MT2 = MI2 – R2 với MAB : cát tuyến, MT : tiếp tuyến ; M (C) PM/(C) = , M (C) PM/(C) < 0, ngoài > * Trục đẳng phương (C) và (C/) :2(A – A/)x + 2(B – B/)y + (C – C/) = * (C), (C/) ngoài II/ > R + R/ : (có tiếp tuyến chung); tx / ngoài = R + R (3 tiếp tuyến chung); cắt (2 tt chung); tx = R R/ R R/ < II/ < R + R/ (1 tt chung là trục đẳng phương) R R/ chứa < (không có tt chung) Mặt cầu : * Mc (S) xđ tâm I (a, b, c) và bk R : (S) : (x – a) + (y – b2) + (z – c)2 = R2 * (S) : x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = có tâm I(–A,–B,– C), bk R = A B2 C2 D * (P) tx (S) d(I,(P)) = R, cắt < R, không cắt > R * Pt tiếp diện với (S) M : phân đôi tđộ (S) * Cho (S) : F(x, y, z) = PM/(S) = F (xM, yM, zM); PM/(S) = M (S), < M (S), > M ngoài (S) * Mặt đẳng phương (S) và (S/) : 2(A – A/)x + 2(B – B/)y + 2(C – C/)z + (D – D/) = * Tương giao (S), (S/) : (C), (C/) * Khi (S), (S/) tx thì tiết diện chung là mặt đẳng phương * Khi (S), (S/) cắt thì mp qua giao tuyến là mặt đẳng phương Elip : * cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho a > c > (31) 2 M (E) MF1 + MF2 = 2a x y 2 a b * (E) : = (a > b > 0) : tiêu điểm : F 1(–c,0), F2(c,0); đỉnh A1(–a,0); A2(a,0); B1(0,–b); B2(0,b); tiêu cự : F1F2 = 2c, trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn x = a/e; bk qua tiêu : MF1 = a + exM, MF2 = a – exM; tt với (E) M : phân đôi tọa độ (E), (E) tx (d) : Ax + By + C = a2A2 + b2B2 = C2 ; a2 = b2 + c2 x2 y2 1 b a2 * (E) : (a > b > 0) : không chính tắc; tiêu điểm : F 1(0,– c), F2(0,c); đỉnh A1(0,–a), A2(0,a), B1(–b,0), B2(b,0), tiêu cự : F1F2 = 2c; trục lớn A1A2 = 2a; trục nhỏ B1B2 = 2b; tâm sai e = c/a; đường chuẩn y = a/e; bán kính qua tiêu MF = a + eyM, MF2 = a – eyM; tiếp tuyến với (E) M : phân đôi tọa độ (E); (E) tiếp xúc (d) : Ax + By + C = a2B2 + b2 A2 = C2; a2 = b2 + c2 (Chú ý : tất các kết trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc trên cách thay x y, y x) Hypebol : * Cho F1, F2, F2F2 = 2c, cho < a < c M (H) MF1 MF2 = 2a x2 y2 a2 b (H) : = (pt chính tắc) tiêu điểm F1(–c,0), F2(c,0); đỉnh tr.thực A1(–a,0), A2(a,0); đỉnh trục ảo B1(0,–b), B2(0,b); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1B2 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : x = a/e; bán kính qua tiêu : M nhánh phải MF1 = exM + a , MF2 = exM – a , M nhánh trái MF1 = – exM – a, MF2 = –exM + a; tiếp tuyến với (H) M : phân đôi tọa độ (H); (H) tx (d) : Ax + By + C = a2A2 – b2B2 = C2 > 0; tiệm cận y = b ax hình chữ nhật sở : x = a, y = b; c2 = a2 + b2 (H) : y2 x2 1 a2 b2 (pt không chính tắc) (32) tiêu điểm F1(0,–c), F2(0,c); đỉnh trục thực A1(0,–a), A2(0,a); đỉnh trục ảo B1(–b,0), B2(b,0); tiêu cự F1F2 = 2c; độ dài trục thực A1A2 = 2a; độ dài trục ảo B1B1 = 2b; tâm sai : e = c/a; đường chuẩn : y = a/e; bán kính qua tiêu : M nhánh trên MF1 = eyM + a, MF2 = eyM – a; M nhánh MF1 = –eyM – a, MF2 = – eyM + a; tiếp tuyến với (H) M : phân đôi tọa độ (H); (H) tx (d) : Ax + By + C = a2B2 – b2A2 = C2 > 0; tiệm cận x b ay = hình chữ nhật sở : y= a, x = b; c2 = a2 + b2 (chú ý : tất các kết trường hợp này suy từ trường hợp chính tắc cách thay x y, y x) Parabol : * Cho F, F () M (P) MF = d(M,()) (P) : y2 = 2px (p > 0) (phương trình chính tắc) tiêu điểm (p/2, 0), đường chuẩn x = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = pB2 = 2AC (p : hệ số x (P) với B : hệ số y (d)); tham số tiêu : p (P) : y2 = – 2px (p > 0) (phương trình không chính tắc) tiêu điểm (–p/2, 0), đường chuẩn x = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – xM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = pB2 = – 2AC (P) : x2 = 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc) tiêu điểm (0, p/2), đường chuẩn y = – p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 + yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = pA2 = 2BC (p : hệ số y (P) với A : hệ số x (d)) (P) : x2 = – 2py (p > 0) (phương trình không chính tắc) tiêu điểm (0, – p/2), đường chuẩn y = p/2; bán kính qua tiêu MF = p/2 – yM; tâm sai e = 1, tiếp tuyến với (P) M : phân đôi tọa độ; (P) tx (d) : Ax + By + C = pA2 = – 2BC CHÚ Ý : * Cần có quan điểm giải tích làm toán hình giải tích : đặt câu hỏi cần tìm gì? (điểm mp M(xo,yo) : ẩn ; điểm không gian (3 ẩn); đường thẳng mp Ax + By + C = : ẩn A, B, C - thực là ẩn; đường tròn : ẩn a, b, R hay A, B, C; (E) : ẩn a, b và cần biết dạng ; (H) : (E); (P) : ẩn p và cần biết dạng; mp (33) (P) : ẩn A, B, C, D; mặt cầu (S) : ẩn a, b, c, R hay A, B, C, D; đường thẳng không gian (d) = (P) (Q); đường tròn không gian (C) = (P) (S) * Với các bài toán hình không gian : cần lập hệ trục tọa độ HÀ VĂN CHƯƠNG- PHẠM HỒNG DANH-NGUYỄN VĂN NHÂN (TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN) (34)