Bất đẳng thức Schur phương pháp đổi biến p,q,r Võ Thành Văn Lớp 11 Toán-Khối chuyên THPT-ĐHKH Huế Νη Ô ữ, m mÔ ã , Ô ã Ô η∑χ σινη ΤΗΧΣ χνγ νη ΤΗΠΤ Θυα β€ι ϖι÷τ ν€ψ, m m Ô m τηυ♠τ ≡ σ δνγ ττ ΒDΤ Σχηυρ, λ€ κ÷τ η〉π ϖι πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ Τρχ ữ, Ô ã ϖ€ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ Bất đẳng thức Schur ◊νη λ (Β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ) ςι m∑ι σ τηχ κηνγ ∞m α; β; χ; κ; τα λυν χ ακ (α β)(α χ) + βκ (β χ)(β α) + χκ (χ α)(χ 0: β) Ηαι τρνγ η〉π θυεν τηυχ 〉χ σ δνγ νηι•υ λ€ κ = ϖ€ κ = 2 α(α β)(α χ) + β(β χ)(β α) + χ(χ α2 (α β)(α χ) + β2 (β χ)(β α) + χ2 (χ α)(χ β) α)(χ β) (i) (ii) Phương pháp đổi biến π; θ; ρ ι ϖι mτ σ β€ι β♣τ ↓νγ τηχ τηυƒν νη♣τ ι ξνγ χ χϒχ βι÷ν κηνγ ∞m τη… ữ Ô = α + β + χ; θ = αβ + βχ + χα; ρ = αβχ: ς€ τα τηυ 〉χ mτ σ ↓νγ τηχ σαυ αβ(α + β) + βχ(β + χ) + χα(χ + α) (α + β)(β + χ)(χ + α) αβ(α2 + β2 ) + βχ( β2 + χ2 ) + χα(χ2 + α2 ) (α + β)(α + χ) + (β + χ)(β + α) + (χ + α)(χ + β) α2 + β2 + χ2 α3 + β3 + χ3 α4 + β4 + χ4 α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 α3 β3 + β3 χ3 + χ3 α3 α4 β4 + β4 χ4 + χ4 α4 °τ Λ = π2 θ + 18πθρ 27ρ2 4θ πθ 3ρ πθ ρ π2 θ 2θ πρ π2 + θ π2 2θ π3 3πθ + 3ρ π4 4π2 θ + 2θ + 4πρ θ 2πρ θ 3πθρ + 3ρ2 θ 4πθ ρ + 2π2 ρ2 + 4θρ2 4π3 ρ; κηι 2 α β+β χ+χ α = (α = = = = = = = = = = β)(β χ)(χ 3ρ π Λ πθ α) = DeThiMau.vn π Λ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Χ τη≡ τη♣ψ νγαψ λ〉ι χη χ⌡α πηνγ πηϒπ ν€ψ λ€ mι ρ€νγ βυχ για χϒχ βι÷ν π; θ; ρ m€ χϒχ βι÷ν α; β; χ βαν ƒυ κηνγ χ νη π2 π3 θ2 πθ 2π3 + 9ρ π2 θ + 3πρ π4 + 4θ + 6πρ 3θ 27ρ 3πρ 9ρ 7πθ 4θ 5π2 θ Νηνγ κ÷τ , Ô χ τη≡ πηϒτ τρι≡ν τη∂m νηι•υ ↓νγ τηχ, β♣τ ↓νγ τηχ λι∂ν η≈ για βι÷ν π; θ; ρ ς€ ã m m ữ β♣τ ↓νγ τηχ (ι) ϖ€ (ιι), τα χ ρ π2 ) π(4θ ρ π2 )(π2 6π (4θ (τ (ι)) θ) (τ (ιι)) Τυψ νηι∂ν τρονγ mτ σ τρνγ η〉π Ô νη♠ν γιϒ τρ◊ ∞m λ♦ν γιϒ τρ◊ δνγ ν∂ν τα τηνγ σ δνγ π(4θ π2 ) ρ mαξ 0; ρ mαξ 0; (4θ π2 )(π2 6π θ) Χ λ≥ ữ Ô ã β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ Σαυ ∞ψ λ€ mτ σ ϖ δ mινη , ữ, Ô m ρι ξεm ϒπ ϒν σαυ 3.1 Các ví dụ minh họa Bất đẳng thức Schur ς δ Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ mινη ρ←νγ σ σ σ (α + β)3 (β + χ)3 (χ + α)3 + + 8αβ(4α + 4β + χ) 8βχ(4β + 4χ + α) 8χα(4χ + 4α + β) 1: (ς Τη€νη ς↔ν) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ °τ Π = σ (α + β)3 + 8αβ(4α + 4β + χ) Θ = = σ (β + χ)3 + 8βχ(4β + 4χ + α) σ (χ + α)3 8χα(4χ + 4α + β) 8αβ(4α + 4β + χ) + 8βχ(4β + 4χ + α) + 8χα(4χ + 4α + β) 32(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) 72αβχ •π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Ηολδερ, τα χ Π2 Θ 8(α + β + χ)3 c Võ Thành Văn DeThiMau.vn 3.1 Bất đẳng thức Schur CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Τα χƒν χηνγ mινη 8(α + β + χ)3 , 8(α + β + χ) , (α + β + χ)3 Θ 32(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) 4(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) 72αβχ 9αβχ ( ⌠νγ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ) ς♠ψ τα χ πχm ς δ Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ mινη ρ←νγ (α2 + 2)(β2 + 2)(χ2 + 2) 9(αβ + βχ + χα): (ΑΠΜΟ 2004) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ Κηαι τρι≡ν β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν, τα χƒν χηνγ mινη α2 β2 χ2 + 2(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 ) + 4(α2 + β2 + χ2 ) + 9(αβ + βχ + χα) Τα χ α2 + β2 + χ2 αβ + βχ + χα (α2 β2 + 1) + (β2 χ2 + 1) + (χ2 α2 + 1) α2 β2 χ2 + + 2(αβ + βχ + χα) π 3 α2 β2 χ2 9αβχ α+β+χ 4(αβ + βχ + χα) (α + β + χ)2 (τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ) •π δνγ χϒχ β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν, τα χ (α2 β2 χ2 + 2) + 2(α2 β2 + β2 χ2 + χ2 α2 + 3) + 4(α2 + β2 + χ2 ) 2(αβ + βχ + χα) + 4(αβ + βχ + χα) + 3(α2 + β2 + χ2 ) 9(αβ + βχ + χα): Β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ mινη ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1: ς δ Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ mινη ρ←νγ 2(α2 + β2 + χ2 ) + αβχ + 5(α + β + χ): (Τρƒν Ναm Dνγ) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ, τα χ 6ς Τ 12(α2 + β2 + χ2 ) + 3(2αβχ + 1) + 45 3(α + β + χ) π 12(α2 + β2 + χ2 ) + α2 β2 χ2 + 45 (α + β + χ)2 + 9αβχ = 7(α2 + β2 + χ2 ) + π 10(αβ + βχ + χα) αβχ 27αβχ 10(αβ + βχ + χα) 7(α2 + β2 + χ2 ) + α+β+χ = Μ°τ κηϒχ, σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, α+β+χ 4(αβ + βχ + χα) (α + β + χ)2 = 2(αβ + βχ + χα) c Võ Thành Văn DeThiMau.vn (α2 + β2 + χ2 ) 3.1 Bất đẳng thức Schur CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Dο 27 10(αβ + βχ + χα) α+β+χ 7(α2 + β2 + χ2 ) + 6(αβ + βχ + χα) 3(α2 + β2 + χ2 ) = 4(α2 + β2 + χ2 αβ βχ χα) 0: 7(α2 + β2 + χ2 ) + 10(αβ + βχ + χα) Β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ mινη ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1: ς δ Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ; κηνγ χ σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ mινη ρ←νγ 18 5(α2 + β2 + χ2 ) αβ β χ α + + β3 + χ3 α + χ3 α + β3 βχ χα : (Μιχηαελ Ροζενβεργ) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ Β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ mινη τνγ νγ ϖι Ξ α(α + β + χ) χψχ , Ξ χψχ β3 18(α + β + χ) 5(α2 + β2 + χ2 ) αβ βχ β3 + χ3 Ξ α α2 + + χ2 +χ β χψχ χα 18(α + β + χ) 5(α2 + β2 + χ2 ) αβ βχ βχ χα •π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Χαυχηψ−Σχηωαρζ, τα χ α2 β3 + χ3 χψχ (α2 + β2 + χ2 )2 Π α (β + χ3 ) Ξ α + χ2 β χψχ Ξ χψχ Π βχ χψχ Τα χƒν χηνγ mινη (α2 + β2 + χ2 )2 (α + β + χ)2 Π +Π α (β + χ ) α(β + χ2 βχ) χψχ (α + β + χ)2 α(β2 + χ2 βχ) 5(α2 18(α + β + χ) + + χ2 ) αβ βχ β2 χα χψχ ν mαξ 0; (4θ Γι≤ σ α + β + χ = ϖ€ °τ αβ + βχ + χα = θ; αβχ = ρ ) ρ (1 θ2 2θ)2 + (θ + 2)ρ θ 6ρ 1)(1 θ) 18 11θ Β♣τ ↓νγ τηχ χυι δ≠ δ€νγ χηνγ mινη β←νγ χϒχη ξ″τ τρνγ η〉π 4θ ϖ€ 4θ ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι α = β = χ ηο°χ α = β; χ = ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ ο Τα χƒν χηνγ mινη ς δ Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα m′ν α4 + β4 + χ4 = Χηνγ mινη ρ←νγ αβ + βχ + χα 1: (Μολδοϖα ΤΣΤ 2005) c Võ Thành Văn DeThiMau.vn 3.1 Bất đẳng thức Schur CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Λ⊆Ι ΓΙƒΙ Θυψ νγ m♦υ σ ρι κηαι τρι≡ν, τα χƒν χηνγ mινη 49 8(αβ + βχ + χα) + (α + β + χ)αβχ 64 16(αβ + βχ + χα) + 4(α + β + χ)αβχ α2 β2 χ2 α2 β2 χ2 + 8(αβ + βχ + χα) , 16 + 3(α + β + χ)αβχ •π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ γι≤ τηι÷τ α4 + β4 + χ4 = 3, τα χ (α3 + β3 + χ3 + 3αβχ)(α + β + χ) [αβ(α + β) + βχ(β + χ) + χα(χ + α)] (α + β + χ) (αβ + βχ)2 + (βχ + χα)2 + (χα + αβ)2 , + 3αβχ(α + β + χ) •π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ, τα χ (αβ + βχ)2 + (βχ + χα)2 + (χα + αβ)2 + 12 ) 15 + 3αβχ(α + β + χ) 8(αβ + βχ + χα) 8(αβ + βχ + χα) Μ°τ κηϒχ τα Ô 2 : πχm ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1: ς δ Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ τηα m′ν αβ + βχ + χα = 3: Χηνγ mινη ρ←νγ α3 + β3 + χ3 + 7αβχ 10: (ςασιλε Χιρτοαϕε) •π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ ρ mαξ 0; π2 ) π(4θ = mαξ 0; π2 ) π(12 Τα χƒν χηνγ mινη π3 Ν÷υ π π3 Ν÷υ π π3 9π + 10ρ 10 π τη… τα χ 9π + 10ρ 10 π3 9π 10 12π 9π 10 = 3π 10 > π < τη… 9π + 10ρ 10 π3 9π + 10 π(12 π2 ) 10 = (π 3)[(16 π2 ) + 3(4 π) + 2] 0: ς♠ψ τα χ πχm ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = ς δ Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα m′ν α + β + χ = 3: Χηνγ mινη ρ←νγ 3+ 12 αβχ 1 + + α β χ : (ς Τη€νη ς↔ν) c Võ Thành Văn DeThiMau.vn 3.1 Bất đẳng thức Schur CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Λ⊆Ι ΓΙƒΙ ι βι÷ν τηεο π; θ; , m ữ Ô νη σαυ 3ρ + 12 5θ Μ°τ κηϒχ,τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ 3π(4θ π2 ) = 4θ 3ρ Τα χƒν χηνγ mινη 4θ + 12 5θ ( ⌠νγ) ,θ ς♠ψ τα χ πχm ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1: ς δ Χηο α; β; χ λ€ χϒχ σ τηχ δνγ τηα m′ν α2 + β2 + χ2 = Χηνγ mινη ρ←νγ α + β + 3: χ (Ôm m ) , ữ τηεο π; θ; ρ, β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ mινη τνγ νγ ϖι 8π + 3ρ 12 + 5θ •π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ π2 ) π(4θ 3ρ π(2θ 3) = Τ γι≤ τηι÷τ π2 2θ = )θ= π2 Τηαψ ι•υ τρ∂ν ϖ€ο β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ mινη, τα χ π(π2 6) 8π + , (2π 12 + 5(π2 3) 3)2 3)(π Β♣τ ↓νγ τηχ χυι ⌠νγ ν∂ν τα χ πχm ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 1: ς δ Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ τηα m′ν α + β + χ = 3: Χηνγ mινη ρ←νγ αβ + βχ + χα : (Χρυξ mατηεmατιχορυm) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ Β€ι ν€ψ ′ 〉χ ανη Η∫νγ σ δνγ χηο πηƒν Ô Ô m γι≤ι κηϒχ ϖι β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ ρ♣τ τ νηι∂ν Βι÷ν ι m ã Ô π; θ; ρ, τα χ 8(243 18π + 3ρ) 3(729 81θ + 27ρ c Võ Thành Văn DeThiMau.vn ρ2 ) 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ , 243 Τηεο β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ τη… α+β+χ 3=3 3ρ2 99θ + 57ρ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 3(αβχ)2 = ρ2 Τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ π2 ) π(4θ ρ ) 57ρ Ν∂ν τα χƒν χηνγ mινη 72 , 3(1 = 4θ 19(4θ 9) 3ρ2 23θ ρ ) + 23(3 ( ⌠νγ) θ) ς♠ψ β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ mινη ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χηι κηι α = β = χ = 1: 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ ς δ 10 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ τηα m′ν α + β + χ = 3: Χηνγ mινη ρ←νγ β2 χ χ2 α α2 β + + βχ χα 1: (Ôm m ) m♦υ σ ρι κηαι τρι≡ν, τα χƒν χηνγ mινη Ξ Ξ α2 β2 χ α2 β βχ χψχ χψχ Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ θυεν τηυχ Π α2 β αβχ, τα χƒν χηνγ mινη χψχ Ξ α2 β2 χ αβχ χψχ , 64 32 χψχ βχ Ξ αβ βχ χψχ ,1 Ξ Ξ Ξ αβ + α2 βχ + α2 β2 χψχ αβχ χψχ ϖι θ = αβ + βχ + χα; ρ = αβχ •π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ, τα χ θ χψχ 8θ + θ , 16 ! α β + αβχ χψχ Τι÷π τχ σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν,τα χƒν χηνγ mινη Ξ Ξ Ξ 64 32 αβ + α2 βχ + α2 β2 χψχ Ξ 4αβχ χψχ ρ 9ρ ν∂ν χƒν χηνγ mινη 16 8θ + θ , (θ 3)(θ θ2 6) 0: Β♣τ ↓νγ τηχ χυι ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ ν∂ν τα χ πχm ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = ηο°χ α = 2; β = 1; χ = ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ c Võ Thành Văn DeThiMau.vn 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA ς δ 11 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ mινη ρ←νγ 1 + + α β χ 3α 3β 3χ + + : α2 + 2βχ β2 + 2χα χ2 + 2αβ (Dνγ χ Λ∞m) °τ α := α1 ; β := 1β ; χ := 1χ ; β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ mινη τνγ νγ ϖι Ξ Ξ 3αβχ α χψχ χψχ 2α2 + βχ Ξ α(α2 , βχ) 2α2 + βχ χψχ ,3 Ξ χψχ α3 + βχ Ξ 2α2 α χψχ •π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Χαυχηψ−Σχηωαρζ, τα χ α3 2α2 + βχ χψχ α χψχ !2 Ξ α Π !2 α3 + 3αβχ χψχ ÷ν ∞ψ, τα χƒν χηνγ mινη 2 χψχ Ξ Ξ Π ! α χψχ ! Ξ α + 3αβχ χψχ Γι≤ σ α + + = 1; ã Ô ; ; ρ, β♣τ ↓νγ τηχ τρð τη€νη 2θ)2 3(1 Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ θ 2 6θ + 9ρ 6θ + 3θ 3ρ; τα χƒν χηνγ mινη 2θ)2 3(1 12θ + 12θ ,3 , (1 3θ)2 6θ + 3θ ( ⌠νγ): ς♠ψ τα χ πχm ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ: ς δ 12 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ: Χηνγ mινη ρ←νγ α4 (β + χ) + β4 (χ + α) + χ4 (α + β) (α + β + χ)5 : 12 (ςασιλε Χιρτοαϕε) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ Χηυ♥ν ηα χηο π = 1, β♣τ ↓νγ τηχ τρð τη€νη (1 3θ)θ + (5θ 1)ρ 12 ÷ν ∞ψ τα σ δνγ mτ τη⌡ τηυ♠τ κηι δ∫νγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, λ€ χηια τρνγ η〉π ≡ γι≤ι θυψ÷τ c Võ Thành Văn DeThiMau.vn 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ Ν÷υ θ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA τη… τα χ (1 3θ)θ + (5θ 1)ρ (1 3θ)θ = (1 3 3θ) 3θ 3θ + 3θ 2 = 12 Ν÷υ θ > 51 ; τα χ (1 3θ)θ + (5θ 1)ρ (1 3θ)θ + (5θ θ = ( 88θ + 32θ 36 1) 3) + 1 < : 12 12 ς♠ψ β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ mινη π π ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι α = 0; β = 3+6 ; χ = ϖ€ χϒχ ηοϒν ϖ◊ ςι κ τηυ♠τ ξ″τ τρνγ η〉π ≡ γι≤ι, χη⌠νγ τα χ τη≡ δ≠ δ€νγ γι≤ι θυψ÷τ χϒχ β€ι τοϒν σαυ Β€ι τοϒν Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ τηα m′ν α + β + χ = 1: Χηνγ mινη ρ←νγ : 32 (α2 + β2 )(β2 + χ2 )(χ2 + α2 ) Η⋅∈ΝΓ DˆΝ Νη∞ν , ã Ô π; θ; ρ, τα χƒν χηνγ mινη θ2 ÷ν ∞ψ χη⌠νγ τα ξ″τ τρνγ η〉π θ 2θ ρ(2 + ρ 32 4θ) ϖ€ θ > 41 : Β€ι τοϒν Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα m′ν αβχ = 1: Χηνγ mινη ρ←νγ : α β χ + + α2 + β2 + χ2 + (Dνγ χ Λ∞m) Η⋅∈ΝΓ DˆΝ α β♣τ ↓νγ τηχ ϖ• mτ η€m τηεο π φ (π) = 27π2 (54 + 12θ)π + 9θ ÷ν ∞ψ χη⌠νγ τα χηια τη€νη τρνγ η〉π 18θ 58θ + 120 58 + 12π ϖ€ 18θ 58 + 12π ς δ 13 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ τηα m′ν α2 + β2 + χ2 = Χηνγ mινη ρ←νγ 4(α + β + χ 4) αβχ: (Νγυψ≠ν Πηι Η∫νγ) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ Τηεο γι≤ τηι÷τ, τα χ π2 ρ 2θ = 8: Μ°τ κηϒχ, τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ β♠χ 4, τα χ (4θ π2 )(π2 6π θ) = (π2 16)(π2 + 8) 12π ς… ϖ♠ψ, τα χƒν χηνγ mινη (π2 , (π 16)(π2 + 8) 12π 4)2 (π2 + π 12π 4(π 8) 4) ( ⌠νγ): ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = 2; χ = ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ c Võ Thành Văn DeThiMau.vn 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA ς δ 14 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα m′ν α + β + χ = 1: Χηνγ mινη ρ←νγ π π π α2 + αβχ β2 + αβχ χ2 + αβχ π + + : β + χα χ + αβ α + βχ αβχ Λ⊆Ι ΓΙƒΙ ι βι÷ν τη€νη π; θ; ρ, τα χ β • θ (1 θ) 2(2 3θ) ρ •π δνγ ΒDΤ Χαυχηψ−Σχηωαρζ, τα χ ∀ π α2 + αβχ (β + χ)(β + α) χψχ Ξ #2 ∀ Ξα + χ χψχ β+χ = Ξ β+χ χψχ # α2 + αβ , 1+θ θ ρ θ θ ρ , 4(1 θ , θ2 ) ρ 4(1 θ Π Ξα + χ β+χ ! χψχ χψχ Π α2 + αβ 4αβχ χψχ 4ρ θ θ χψχ χψχ β+χ ! (α + β + χ)2 Π Π α + αβ Ξ β+χ χψχ Ξ β β+χ χψχ χψχ χψχ 6Ξ (α + β)(β + χ)(χ + α) χψχ β + χ Π χψχ (α + β)(β + χ)(χ + α) Ν∂ν τα χƒν χηνγ mινη Π Ξα + χ χψχ χψχ = Τα χ α (α + β)(β + χ) χψχ Π Π α + αβ Ξ ρ ρ θ ) ρ θ ρ =3 θ(1 3θ)(5 7θ) (1 θ)(4 7θ + θ ) Σ δνγ β •, τα χ ςΤ 4(1 θ θ2 ) θ (1 θ) 2(2 3θ) θ θ (1 θ) 2(2 3θ) 3: ς♠ψ τα χ πχm ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = 13 : Νη♠ν ξ″τ ςι β€ι τοϒν ν€ψ, χη⌠νγ τι χ χ∞υ ηι τη⌠ ϖ◊ ξιν Ô m ã m χη⌠νγ τι ′ ν∂υ ð τρ∂ν Η′ψ χη↵ ρα χον νγ ≡ τ…m β • ν€ψ c Võ Thành Văn DeThiMau.vn 10 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA ς δ 15 Χηο χϒχ σ τηχ δνγ α; β; χ τηα m′ν α + β + χ = Χηνγ mινη ρ←νγ : 27 + αβχ 81(αβ + βχ + χα) (ς Τη€νη ς↔ν) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ •π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ ρ π2 ) π(4θ = 4θ Β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ mινη τνγ νγ ϖι 27 +ρ 81θ Σ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χƒν χηνγ mινη 4θ + 81θ 27 4θ + 81θ 27 , Β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ ΑΜ−ΓΜ ν∂ν τα χ πχm κηι α = β = χ = 13 : ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ ς δ 16 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ τηα m′ν αβ + βχ + χα = 1: Χηνγ mινη ρ←νγ αβ + βχ + χα + + + α+β + + 3: ( Ô D) αβ + βχ + χα + + + α+β β+χ χ+α , , Ξ (αβ + 1)(χ + α)(χ + β) 3(α + β)(β + χ)(χ + α) χψχ Ξ (αβ + 1)(χ2 + 1) 3[(α + β + χ)(αβ + βχ + χα) αβχ] χψχ , (α2 + β2 + χ2 ) + αβ + βχ + χα + αβχ(α + β + χ) + + 3αβχ , (α + β + χ) + αβχ(α + β + χ + 3) + 3(α + β + χ) 3(α + β + χ) °τ π = α + β + χ; θ = αβ + βχ + χα = 1; ρ = αβχ: Β♣τ ↓νγ τηχ χƒν χηνγ mινη τρð τη€νη π2 + ρ(π + 3) , (π Ν÷υ π Ν÷υ 1)(π 3π + 2) + ρ(π + 3) 0 τη…π β♣τ ↓νγ τηχ ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ 3; ϒπ δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ π π3 + 9ρ 4πθ c Võ Thành Văn DeThiMau.vn 11 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ π3 4π ,ρ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Τα χƒν χηνγ mινη π2 3π + + (π + 3) , π4 + 3π3 , (π Β♣τ ↓νγ τηχ χυι ηι≡ν νηι∂ν ⌠νγ ϖ… π π3 + 5π2 π3 4π 13π2 + 15π 2)(π + 5π 18 3π + 9) ϖ€ 3π + = π3 + 4π2 + π 2 + 27 >0 Τα χ πχm ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = 1; χ = ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ ς δ 17 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα m′ν αβχ = 1: Χηνγ mινη ρ←νγ 1 + + +3 α2 β χ 2(α + β + χ): (ςιετναm ΜΟ 2006, Β) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ τη€νη °τ ξ = α; ψ = 1β ; ζ = 1χ , τα χ ξψζ = 1, νγ τηι ι βι÷ν τη€νη π; θ; ρ, τα χ β♣τ ↓νγ τηχ τρð π2 2θ + , 4θ π2 2θ Μ€ β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν ⌠νγ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ν∂ν τα χ πχm α = β = χ = 1: ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι ς δ 18 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ; κηνγ χ σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ mινη ρ←νγ ϖι m∑ι κ 1; τα λυν χ π β χ (α + β + χ)(αβ + βχ + χα) α κ + 1: + + +κ β+χ χ+α α+β + + (Ôm ) ι βι÷ν β♣τ ↓νγ τηχ τηεο π; θ; ρ ϖ€ χηυ♥ν ηα χηο π = Τα χƒν χηνγ mινη β♣τ ↓νγ τηχ 2θ + 3ρ +κ θ ρ θ 3θ + 3ρ π κ+1 Τα χ 2θ + 3ρ +κ θ ρ ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι (α; β; χ) = θ 3θ + 3ρ π = 3θ + 3ρ +κ θ ρ 1 3θ + 3ρ +κ θ π π κ+2 κ 3+ κ+1 ξ; ξ; θ +1 3θ + 3ρ θ +1 3θ + 3ρ π κ + 1: ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ Μτ σ β€ι τ♠π τνγ τ c Võ Thành Văn DeThiMau.vn 12 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA 1; τα λυν χ Β€ι τοϒν Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ: Χηνγ mινη ρ←νγ ϖι m∑ι κ β χ (α + β)(β + χ)(χ + α) α + + +κ β+χ χ+α α+β α3 + β3 + χ3 π κ + 1: (Ôm ) σ κηνγ ∞m α; β; χ; κηνγ χ σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ mινη ρ←νγ β χ 9(αβ + βχ + χα) α + + + β+χ + + + + 6: (Ôm Τ∞ν) ς δ 19 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ; κηνγ χ σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ mινη ρ←νγ α β+χ β χ+α + χ α+β + + 10αβχ (α + β)(β + χ)(χ + α) 2: (Dνγ χ Λ∞m) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ °τ ξ = 2α β+χ ; ψ 2β χ+α ; ζ = = 2χ α+β , τα χ ξψ + ψζ + ζξ + ξψζ = Β♣τ ↓νγ τηχ τρð τη€νη ξ2 + ψ + ζ + ã Ô ; ; ρ, τ γι≤ τηι÷τ, τα χ θ + ρ = ϖ€ β♣τ ↓νγ τηχ τρð τη€νη π2 Ν÷υ 2θ + 5ρ , π2 7θ + 12 π, σ δνγβ♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ, τα χ )4 π2 ) π(4θ ρ θ+ π(4θ π2 ) π + 36 4π + ,θ ) π2 7θ + 12 π2 7(π3 + 36) + 12 4π + Ν∂ν τα χη↵ χƒν χηνγ mινη 〉χ π2 ι•υ ν€ψ ⌠νγ ϖ… Ν÷υ π 4, τα χ π2 π 16 7(π3 + 36) + 12 4π + 3)(π2 , (π π 3θ 3: 4θ ν∂ν π2 ς♠ψ β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ mινη ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ 2θ + 5ρ π2 16) 2θ π2 ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ξ = ψ = ζ = ηο°χ ξ = ψ = 2; ζ = ηο°χ χϒχ c Võ Thành Văn DeThiMau.vn 13 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA ς δ 20 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ τηα m′ν α + β + χ = 3: Χηνγ mινη ρ←νγ αβ + + βχ : χα (ςασιλε Χιρτοαϕε) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ Χηυψ≡ν ι β♣τ ↓νγ τηχ ϖ• νη σαυ 108 3ρ2 48θ + 13πρ , 4(9 4θ + 3ρ) + ρ(1 ρ) Τα τη♣ψ β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν ⌠νγ δο α+β+χ ρ = αβχ =1 ϖ€ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ τη… 3ρ 3π(4θ π2 ) = 4θ ) 3ρ + 4θ 0: ς♠ψ β♣τ ↓νγ τηχ 〉χ χηνγ mινη ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ = ηο°χ α = 0; β = χ = ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ νγ ς δ 21 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ; κηνγ χ σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ mινη ρ←νγ α2 (β + χ) β2 (χ + α) χ2 (α + β) + + β2 + χ2 χ + α2 α + β2 α + β + χ: (Dαριϕ Γρινβεργ) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ •π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Χαυχηψ−Σχηωαρζ, τα χƒν χηνγ mινη ∀ Ξ α2 (β + χ)2 χψχ #2 Ξ !∀ α χψχ Ξ # α2 (β + χ)(β2 + χ2 ) χψχ ι βι÷ν τηεο π; θ; ρ, κηι β♣τ ữ (23 + 7) ã δνγ ΒDΤ Σχηυρ, τα χ π3 + 9ρ 4πθ ϖ€ β♣τ ↓νγ τηχ θυεν τηυχ π2 ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι α = β = χ ηο°χ α = β; χ = 0: 3θ 0, τα χ πχm ↓νγ τηχ ς δ 22 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ τηα m′ν α + β + χ = 1: Χηνγ mινη ρ←νγ 5(α2 + β2 + χ2 ) 6(α3 + β3 + χ3 ) + 1: Λ⊆Ι ΓΙƒΙ ữ ã ; ; ; m 10θ 6(1 , 18ρ 3θ + 3ρ) + 8θ + Μ↔χ κηϒχ, β♣τ ↓νγ τηχ τρ∂ν ⌠νγ τηεο β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ν∂ν τα χ πχm ς€ mτ ϖ δ ι≡ν η…νη χηο πηνγ πηϒπ ν€ψ λ€ β♣τ ↓νγ τηχ Ιραν 1996 c Võ Thành Văn DeThiMau.vn 14 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA ς δ 23 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m ξ; ψ; ζ; κηνγ χ σ ν€ο νγ τηι β←νγ Χηνγ mινη ρ←νγ 1 + + (ξ + ψ)2 (ψ + ζ)2 (ζ + ξ)2 (ξψ + ψζ + ζξ) : (Ιραν ΜΟ 1996, ϑι Χηεν) Λ⊆Ι ΓΙƒΙ Σ δνγ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ, τα χηυψ≡ν β♣τ ã Ô (2 + )2 4π(πθ (πθ ρ)2 ρ) 17π2 θ + 4θ + 34πθρ 9ρ2 Βι÷ν ι τνγ νγ, ρ⌠τ γ∑ν, τα χƒν χηνγ mινη 4π4 θ , πθ(π3 4πθρ + 9ρ) + θ(π4 5π2 θ + 4θ + 6πρ) + ρ(πθ 9ρ) Β♣τ ↓νγ τηχ χυι ⌠νγ ν∂ν τα χ πχm ↓νγ τηχ ξ≤ψ ρα κηι ϖ€ χη↵ κηι ξ = ψ = ζ ηο°χ ξ = ψ; ζ = ηο°χ χϒχ ηοϒν ϖ◊ τνγ , Ô χνγ ′ 〉χ η…νη δυνγ τ νηι•υ ϖ• β♣τ ↓νγ τηχ Σχηυρ ϖ€ νηνγ νγ δνγ χ⌡α ν τρονγ πηνγ πηϒπ ι βι÷ν π; θ; ρ: ≡ κ÷τ τη⌠χ β€ι ữ , m Ô m τ♠π σαυ Β€ι τοϒν Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ τηα m′ν α3 + β3 + χ3 = Χηνγ mινη ρ←νγ α4 β4 + β4 χ4 + χ4 α4 3: (ςασιλε Χιρτοαϕε) Β€ι τοϒν Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ: Χηνγ mινη ρ←νγ α2 + β2 + χ2 + 2αβχ + 2(αβ + βχ + χα): (Dαριϕ Γρινβεργ) Β€ι τοϒν Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ τηα m′ν α2 + β2 + χ2 = Χηνγ mινη ρ←νγ 12 + 9αβχ 7(αβ + βχ + χα): (ςασιλε Χιρτοαϕε) Β€ι τοϒν Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα m′ν αβχ = 1: Χηνγ mινη ρ←νγ α2 + α + β2 + β + χ2 χ+1 3: (ς …νη Θυ) Β€ι τοϒν Χηο χϒχ σ τηχ α; β; χ τηα m′ν α2 + β2 + χ2 = Χηνγ mινη ρ←νγ 2(α + β + χ) αβχ 10: (ςιετναm ΜΟ 2002, Τρƒν Ναm Dνγ) Β€ι τοϒν 10 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα m′ν αβχ = 1: Χηνγ mινη ρ←νγ 1+ α+β+χ : αβ + βχ + χα (ςασιλε Χιρτοαϕε) c Võ Thành Văn DeThiMau.vn 15 3.2 Phương pháp đổi biến π; θ; ρ CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Β€ι τοϒν 11 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα m′ν αβχ = 1: Χηνγ mινη ρ←νγ 2(α2 + β2 + χ2 ) + 12 3(α + β + χ) + 3(αβ + βχ + χα) (Βαλκαν ΜΟ) Β€ι τοϒν 12 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ; κηνγ χ σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Χηνγ mινη ρ←νγ ϖι m∑ι κ 3; τα π 1 κ κ+1 π + + + : + + + ++ + + (Ôm Κιm Η∫νγ) Β€ι τοϒν 13 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ τηα m′ν αβ + βχ + χα + 6αβχ = Χηνγ mινη ρ←νγ α + β + χ + 3αβχ 6: (Λ∂ Τρυνγ Κι∂ν, ς Θυχ Βϒ Χ♥ν) Β€ι τοϒν 14 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m ξ; ψ; ζ; κηνγ χ σ ν€ο νγ τηι β←νγ 0: Τ…m η←νγ σ α νη νη♣τ ≡ β♣τ ↓νγ τηχ σαυ ⌠νγ ξ+ψ+ζ α ξψ + ψζ + ζξ α (ξ + ψ)(ψ + ζ)(ζ + ξ) : (Ιϖαν Βορσενχο, Ιρυριε Βορειχο) Β€ι τοϒν 15 Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ τηα m′ν αβχ = 1: Χηνγ mινη ρ←νγ ρ 3 α+β+χ 10 α + β + χ : 3 Β€ι τοϒν 16 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ τηα m′ν α + β + χ = 1: Χηνγ mινη ρ←νγ 1 + + + 2αβχ α+β β+χ χ+α 247 : 54 Β€ι τοϒν 17 Χηο α; β; χ [1; 2]: Χηνγ mινη ρ←νγ α2 (β + χ) + β2 (χ + α) + χ2 (α + β) 7αβχ: Β€ι τοϒν 18 Χηο χϒχ σ κηνγ ∞m α; β; χ τηα m′ν α + β + χ = 3: Χηνγ mινη ρ←νγ αβ βχ χα + + 1+χ 1+α 1+β αβ + βχ + χα: (ςασιλε Χιρτοαϕε) ΧΗΧ Χ•Χ Β„Ν ΤΗ€ΝΗ Χ∅ΝΓ!!! c Võ Thành Văn DeThiMau.vn 16 Author: Võ Thành V n Edited and corrected by Võ Qu c Bá C n DeThiMau.vn ... Σαυ ∞ψ λ€ mτ σ ϖ δ mινη η∑α, νηνγ τρχ η÷τ, χϒχ Ô m m 3.1 Các ví dụ minh họa Bất đẳng thức Schur ς δ Χηο χϒχ σ δνγ α; β; χ: Χηνγ mινη ρ←νγ σ σ σ (α + β)3 (β + χ)3 (χ + α)3 +... 72αβχ •π δνγ β♣τ ↓νγ τηχ Ηολδερ, τα χ Π2 Θ 8(α + β + χ)3 c Võ Thành Văn DeThiMau.vn 3.1 Bất đẳng thức Schur CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Τα χƒν χηνγ mινη 8(α + β + χ)3 , 8(α + β + χ) , (α + β + χ)3 Θ... + βχ + χα) (α + β + χ)2 = 2(αβ + βχ + χα) c Võ Thành Văn DeThiMau.vn (α2 + β2 + χ2 ) 3.1 Bất đẳng thức Schur CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Dο 27 10(αβ + βχ + χα) α+β+χ 7(α2 + β2 + χ2 ) + 6(αβ + βχ + χα)