Phương pháp và bài tập quan hệ vuông góc Hình học 1153831

Hình học 11 Ơn tập chương III PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP QUAN HỆ VNG GĨC  Để chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng ta theo định lí , hệ sau :      b / / c  a b  a  c     a  b  a  b  Nếu a , b vectơ phương hai đường thẳng a b Khi hai đường thẳng cắt ta dùng kết luận có hình học phẳng : tính chất đường trung trực , định lí Pitago đảo … để chứng minh chúng vng góc  a  ( )   a b ; b  ( )   a / /  b  a b    a  b  ฀a ; b   900 a '  hch  a   a '  hch  a     b    b  a' ; b  b  a b  a  b  a '  ABC ; a  AB    a  BC a  AC  Để chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ta sử dụng định lí , hệ sau :  a    a b      a  b    a  c    a   b  c  O  a / /b    a    / /  a  a   AB     M | MA  MB (  mặt phẳng trung trực AB) ABC         MA  MB  MC   MO    OA  OB  OC   P   Q    a   P    a  Q   a  c   P    Q   P   R   Q    R   a   R   P    Q   a  Cuộc đời khó lường, lịng người khó đốn DeThiMau.vn Hình học 11  Để chứng minh hai mặt phẳng vng góc với ta sử dụng định lí , hệ sau :     Ôn tập chương III P  ,  Q    900  P    Q    ฀  P   a     P   Q  a   Q    R    Q      P   Q   P  / /  R  Tính góc hai đường thẳng Phương pháp : Có thể sử dụng cách sau:   Cách 1: (theo phương pháp hình học)  Lấy điểm O tùy ý (ta lấy O thuộc hai đường thẳng) qua vẽ đường thẳng song song (hoặc trùng) với hai đường thẳng cho  Tính góc góc tạo hai đường thẳng cắt O  Nếu góc nhọn góc cần tìm , góc tù góc cần tính góc bù với góc tính Cách : (theo phương pháp véc tơ)   Tìm u1 , u2 vectơ phương hai đường thẳng  1        u1  u2   Khi cos  1 ,    cos u1 , u2    u1  u2     Tính góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp :    a     a฀,  900 ;  a / / ฀ a     a ,   ;  a     ฀ ฀    a ,   a , a '  a '  hch a  o Để tìm a '  hch a ta lấy tùy ý điểm M  a , dựng MH    H , suy ฀ hch a  a '  AH ,  A  a      a฀,  MAH        Xác định góc hai mặt phẳng Phương pháp :  Cách : Dùng định nghĩa : ฀P  , Q    a฀, b  : b  Q  a P   Cách : Dùng nhận xét :  R        P    Q   P  ,  Q     ฀p , q   R    P   p    ฀  R    Q   q  Cuộc đời khó lường, lịng người khó đốn DeThiMau.vn Q q p R P Hình học 11  Ơn tập chương III Cách : Dùng hệ : M  Q    ฀ ฀ H  hch P  M    P  ,  Q   MNH  HN  m   P    Q      Tính khoảng cách điểm mặt phẳng Phương pháp : Để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng , ta phải tìm đoạn vng góc vẽ từ điểm đến mặt phẳng , ta hay dùng hai cách sau :  Cách :  Tìm mặt phẳng (Q) chứa M vng góc với (P)  Xác định m   P    Q   Dựng MH  m   P    Q  ,  MH   P  suy MH đoạn cần tìm  Cách 2: Dựng MH / /  d     o Chú ý :  Nếu MA / /    d M ,    d A ,      Nếu MA     I   d  M ,    d  A ,       IM IA Khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng: a   P   Khi   Khi a / /  P   a   P   d  a , P    d  a ,  P    d  A ,  P   với A   P   Khoảng cách từ mặt phẳng đến mặt phẳng :     P    Q   d  P  , Q   P Q       Khi  P  / /  Q   d  P  , Q   d  M , Q  với A   P  Khi  Khoảng cách hai đường thẳng          '   d     ,   '          ' Khi    / /   '   d     ,   '    d  M ,   '    d  N ,     với M     , N    '  Khi  Khoảng cách hai đường thẳng chéo : Cuộc đời khó lường, lịng người khó đốn DeThiMau.vn Hình học 11  Ơn tập chương III Đường vng góc chung hai đường thẳng chéo      ' đường thẳng  a  cắt    M cắt   ' N  đồng thời vng góc với      '   Đoạn MN gọi đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo      '   Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vuông góc chung hai đườngthẳng (a)  M '  N Phương pháp : Cách : Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a song song với b Tính khoảng cách từ b đến mp(P)  Cách : Dựng hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Khoảng cách hai mặt phẳng khoảng cách cần tìm  Cách : Dựng đoạn vng góc chung tính độ dài đoạn Cách dựng đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo :  Cách 1: Khi a  b  Dựng mp  P   b ,  P   a H  Trong (P) dựng HK  b K Đoạn HK đoạn vuông góc chung a b Cách 2:  Dựng  P   b ,  P  / / a     Dựng a '  hch P  a , cách lấy M  a dựng đoạn MN    , lúc a’  đường thẳng qua N song song a Gọi H  a ' b , dựng HK / / MN  HK đoạn vng góc chung cần tìm  Bài Một số tập ơn tập chương Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB  BC  a , AD  2a , mặt phẳng  SAB   SAD  vng góc với mặt phẳng  ABCD  a) Chứng minh SA   ABCD  b) Chứng minh  SAC    ABCD  c) Chứng minh mặt bên hình chóp S ABCD tam giác vuông d) Khi SA  a Tính góc SD với mặt phẳng  ABCD  góc hai mặt phẳng  ABCD   SCD      d) Tính khoảng cách : d A ,  SCD  ; d CD ,  SAB  ; d  SD , AC  Bài Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a , tâm O, cạnh bên a a) Tính đường cao hình chóp b) Tính góc cạnh bên mặt bên với mặt đáy c) Tính d(O, (SCD)) d) Xác định tính độ dài đoạn vng góc chung BD SC e) Gọi () mặt phẳng chứa AB () vuông góc với (SCD) , () cắt SC, SD C’ D’ Tứ giác ABC’D’ hình gì? Tính diện tích thiết diện Cuộc đời khó lường, lịng người khó đốn DeThiMau.vn Hình học 11 Ơn tập chương III Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AD  6, AB  3 Lấy điểm M cạnh AB cho MB  MB N trung điểm AD Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng ABCD M lấy điểm S cho SM  a) Chứng minh AD   SAB  ;  SBC    SAB  ; b) Chứng minh  SBN    SMC  ; c) Tính góc đường thẳng SN mặt phẳng  SMC  :   d) Xác định vị trí điểm P  SM cho ฀ PNC  ,  SMC   600 (Thi Học kì Trường chuyên Lê Hồng Phong HCM) Bài (*) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC cạnh a I trung điểm BC, SA vng góc với (ABC) a) Chứng minh (SAI) vng góc với (SBC) b) Gọi M, N trung điểm AC, AB BE, CF đường cao SBC Chứng minh (MBE) vng góc với (SAC) (NFC) vng góc với (SBC) c) Gọi H, O trực tâm SBC ABC Chứng minh OH vng góc với (SBC) d) Cho () qua A song song với BC () vng góc với (SBC) Tính diện tích thiết diện S.ABC () SA = 2a e) Gọi K giao điểm SA OH Chứng minh AK.AS khơng đổi Tìm vị trí S để SK ngắn a Khi SA = a Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) , (SAC) (SBC) Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng SAB cạnh a, (SAB) vng góc với (ABCD) a) Chứng minh SCD cân b) Tính số đo góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) c) Tính đoạn vng góc với chung AB SC Bài Cho OAB cân O OA = OB = a , ฀ AOB  1200 Trên hai nửa đường thẳng Ax , By vng góc với (OAB) phía , lấy M , N cho AM  x , BN  y a) Tính cạnh OMN theo a, x, y Tìm hệ thức x, y để OMN vuông O b) Cho OMN vuông O x + y =  3a Tính x, y ( x < y )  ฀ , OAB c) Với kết câu b) Tính góc OMN d) Giả sử M , N lưu động cho y  x Chứng minh (OMN) quay quanh đường thẳng cố định Bài (*) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Gọi I điểm thuộc cạnh AB ; đặt AI  x ,   x  a    a) Chứng minh x   15 a góc DI AC’ 600 b) Xác định tính diện tích thiết diện hình lập phương cắt mặt phẳng (B’DI) Tìm x để diện tích nhỏ c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mp(B’DI) theo a x Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB  a , SA  a Gọi M , N , P trung điểm cạnh SA , SB , CD Chứng minh đường thẳng MN vng góc với đường thẳng SP Tính khoảng cáh từ P đến  SAB  (CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng B , AB  a , AA '  2a , A ' C  3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A ' C ' , I giao điểm AM A ' C Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  IBC  (KHỐI D NĂM 2009) Bài Bài 10 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có BB '  a , góc đường thẳng BB ' mặt phẳng  ABC  ฀ 600 ; ABC tam giác vuông C BAC  600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính khoảng cách ttừ A ' đến mặt phẳng  ABC  diện tích tam giác ABC (KHỐI B NĂM 2009) Cuộc đời khó lường, lịng người khó đốn DeThiMau.vn Hình học 11 Ơn tập chương III Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D , AB  AD  2a , CD  a , ; góc hai mặt phẳng  SBC   ABCD  600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng  SBI   SCI  vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng  ABCD  diện tích hình thang ABCD (KHỐI A NĂM 2009) Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a ; hình chiếu vng góc AC Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng  SBC  theo a đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC, AH  (KHỐI D NĂM 2010) Bài 13 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB  a , góc hai mặt phẳng 600 Gọi G trọng tâm tam giác  A ' BC   ABC  A ' BC Tính koảng cách hai mặt phẳng  ABC   A ' B ' C ' Tìm điểm M cách bốn điểm G , A , B , C tính khoảng cách từ M đến điểm theo a (KHỐI B NĂM 2010) Bài 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD ; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với mặt phẳng  ABCD  SH  a Tính diện tích CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a (KHỐI A NĂM 2010) Bài 15 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vng , AB  BC  a , AA '  a Gọi M trung điểm đoạn thẳng BC Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AM B ' C (KHỐI D NĂM 2008) Bài 16 Trong mặt phẳng  P  cho nửa đường trịn đường kính AB  R điểm C thuộc nửa đường trịn   SAB ,  SBC   600 Gọi cho AC  R Trên đường thẳng vng góc với  P  A lấy điểm S cho ฀ H , K hình chiếu A SB , SC Chứng minh tam giác AHK vng tính diện ABC khoảng cách từ S đến  P  (KHỐI A NĂM 2007)  Cuộc đời khó lường, lịng người khó đốn DeThiMau.vn ... thẳng cho  Tính góc góc tạo hai đường thẳng cắt O  Nếu góc nhọn góc cần tìm , góc tù góc cần tính góc bù với góc tính Cách : (theo phương pháp véc tơ)   Tìm u1 , u2 vectơ phương hai đường... Q      P   Q   P  / /  R  Tính góc hai đường thẳng Phương pháp : Có thể sử dụng cách sau:   Cách 1: (theo phương pháp hình học)  Lấy điểm O tùy ý (ta lấy O thuộc hai đường... MN  HK đoạn vng góc chung cần tìm  Bài Một số tập ơn tập chương Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B , AB  BC  a , AD  2a , mặt phẳng  SAB   SAD  vng góc với mặt phẳng