Các chuyên đề về Hinh học53768

Kon Tum, tháng 05 n m 2013 DeThiMau.vn M CL C Trang M đ u Các chuyên đ v hình h c Khai thác b t đ ng th c hình h c tam giác .3 M t s tốn hình h c ph ng liên quan đ n t giác toàn ph n 18 ng d ng c a ph Khai thác đ ng tích .33 ng tròn n i ti p tam giác 48 Chuyên đ v s h c C p c n nguyên th y c a m t s nguyên 65 Chuyên đ v t h p B t bi n gi i toán t h p 73 Chuyên đ v dãy s Dãy s phân n tính .82 Các chuyên đ v b t đ ng th c ng d ng c a đ o hàm vào toán b t đ ng th c c c tr 93 K thu t ch n m r i b t đ ng th c B.C.S 107 -1- DeThiMau.vn L IM U “Tốn h c mơn th thao c a trí tu ” Th t v y, vi c h c toán giúp rèn luy n cho h c sinh m t t “kh e”, công c c n thi t giúp em h c t p môn h c khác, giúp x lí t t tình hu ng cu c s ng hành trang t t đ ng h c t p làm vi c dù b t k l nh v c i v i h c sinh h c mơn chun, vi c t h c, t tìm tịi nghiên c u m t vi c quan tr ng b c nh t, quy t đ nh thành công cho em, t o ni m say mê đ i v i v đ p c a toán h c T p san xin gi i thi u nh ng k t qu c a vi c nghiên c u tìm tịi, nh ng kinh nghi m nh rút đ c trình h c t p c a em h c sinh chuyên toán l p 11 t n m h c 2010-2011 đ n 2012-2013 Tr ây c ng ba n m h c mà b mơn tốn c a ng Trung h c Chuyên Nguy n T t Thành, t nh Kon Tum đ t đ tích v t tr i so v i n m h c tr c m t s thành c; tiêu bi u có h c sinh nh : Phan H ng H nh Trinh, Cao Thanh Hà, Tr n Th Tú Trinh, Nguy n Ng c Khánh, Lê Bá L c, T Quang H i Nh ng đ tài ch nh ng b c ch p ch ng c a em vào lâu đài nguy nga c a Tốn h c, nh ng n n t ng cho nh ng b c v ng chãi v sau đ c bi t ti n đ , tài li u t t cho th h sau h c h i ti p n i Chính th , n i dung ch c ch n r t nhi u va v p thi u sót, chúng tơi r t mong s góp ý c a q th y cô b n đ a ch mail c a nhóm tốn l p 11: lopchuyentoan2011@gmail.com Sau l i c m n s quan tâm, t o u ki n c a ban giám hi u Tr ng Trung h c Chuyên Nguy n T t Thành đ đ i t p san s Kon Tum, ngày 30 tháng 04 n m 2013 Ban biên t p: T toán Tr ng THPT Chuyên Nguy n T t Thành, Kon Tum -2- DeThiMau.vn K HAI THÁC CÁC B T TRONG TAM GIÁC NG TH C HÌNH H C  H c sinh th c hi n: Tr n Th Tú Trinh, Nguy n Th Tuy t Anh, Nguy n Th H ng, Nguy n Th Thanh Thúy ( Nhóm chun tốn l p 11A1- N m h c 2010-2011)  Giáo viên h ng d n: Võ Th Ng c Ánh  L i d n: Toán h c, v i nh ng v đ p huy n bí s c lơi cu n m nh m c a nó, làm nhà toán h c nhi u th k qua Toán h c gi ng nh m t kho báu vô giá c a nhân lo i mà lồi ng i ln khát khao đ c khám phá, chinh ph c Và, đ ch m tay vào chi c chìa khóa m kho báu y, loài ng i ph tr i qua m t q trình tích l y lâu dài Chúng tơi xin đ c ví b t đ ng th c hình h c nh m t viên kim c ng kho đá q B t đ ng th c hình h c m t m ng r t thú v , m i b t đ ng th c l i có m t m i quan h “m t thi t” v i m t s b t đ ng th c khác B i v y, có th thu đ c nhi u tốn thơng qua vi c khai thác m t b t đ ng th c đ n gi n V i m c đích h ng t i vi c s d ng nh ng tốn tìm đ c vào vi c tìm c c tr c a m t bi u th c hình h c, chúng tơi s ch t p trung vào nh ng b t đ ng th c có d u b ng x y x y tam giác đ u Hy v ng b n có th v n d ng chúng m t cách hi u qu  N i dung chuyên đ I.M t s ki n th c liên quan: M t s kí hi u dùng đ ch y u t tam giác: + a, b, c t ng ng đ dài ba c nh BC, AC, AB c a tam giác ABC + ma, mb, mc t ng ng đ dài trung n k t đ nh A, B, C + h a, h b, hc t ng ng đ dài đ ng cao k t đ nh A, B, C + la, lb, lc t ng ng đ dài phân giác d ng t ba đ nh A, B, C + R, r t ng ng bán kính đ ng trịn ngo i ti p n i ti p c a tam giác ABC + S di n tích tam giác ABC Các ki n th c c b n: 2 (b +c ) - a A 2bc cos  la= bc  ma = -3- DeThiMau.vn 1 1    hb hc r 1  S= a.ha = b.hb = c.hc 2 1 = ab sin C = bcsinA= acsinB 2  = pr abc 4R = p ( p  a )( p  b)( p  c ) = 3 A B C 3  cos  cos  cos  2 2 cosA+ cosB+ cosC  sin2A+sin2B+sin2C≤  sinA+sinB+sinC  II B t đ ng th c hình h c: T nh ng đ ng th c ph n I, c ng thêm m t chút “bi n hóa”, s thu đ b t đ ng th c t ng ch ng nh đ n gi n nh ng l i vô h u d ng Các b t đ ng th c liên quan đ n đ ng trung n: c Ta có: ma2 = (2b2+2c2-a 2) (1) Ta có th vi t l i là: ma2= 2 (b +c + (b2+c2-a2)) ý m t chút ta th y: b2+c –a = 2bc.cosA A A 2 (b +c +2bc.cosA) = ((b-c)2+4bc.cos 2 ) ≥ bc.cos2 4 A Hay ma ≥ cos bc B C T ng t đ i v i mb, mc ta có: mb ≥ cos ac , mc ≥ cos ab 2 Do đó: ma2= đ Ti p theo ch c n nhân v theo v b t đ ng th c v a tìm đ c tốn m i: Bài tốn 1.1: Trong ∆ABC ta có: ma.mb.mc ≥ abc.cos Ch ng minh: Bây gi vi t l i (1) theo m t cách khác: Ta có: b2+c ≥ c v i ta l i A B C cos cos 2 ma2 = (2(b2+c2) – a2) ( b  c) 2 -4- DeThiMau.vn 1 ((b+c)2 – a2) = (b+c-a)(b+c+a) = p(p-a) 4 p ( p  a ) (*) Suy ra: ma2 ≥ Hay ma ≥ Áp d ng (*) v a tìm đ c ta có th gi i quy t toán sau m t cách nhanh g n Bài toán 1.2: Trong ∆ABC, ch ng minh: a) ma+mb+mc ≥ p ( p  a  p  b  p  c ) b) ma.mb.mc ≥ p.S Bài toán 1.3: Ch ng minh r ng: ma+mb+mc ≤ Ch ng minh: 9R 2 (a +b +c ) = 3R2(sin2A + sin2B + sin 2C) 27 R 2 2 ma + mb + mc ≤ 81R 9R 2 2 2 (ma + mb + mc ) ≤ 3(ma + mb + mc ) ≤  ma+mb+mc ≤ Ta có: ma2 + mb2+ mc2 = Suy ra: Ta có: Chúng ta có th s d ng b t đ ng th c đ ch ng minh m t s toán sau: Bài toán 1.4: Ch ng minh r ng: P= 1 + 2 2≥ 3R ma mb mc Ch ng minh: Ta có: 2 1     2   m m m     R    a b c  ≥ ( =    (đpcm) P ≥ 3   P ≥3  3R  3R    ma  mb  mc      Bài toán 1.5: Ch ng minh r ng: P= Ch ng minh: mb mc ma ≥   ma2 mb2 mc2 R a2 b2 c2   ≥ a+b+c b c a 1 9 Ta có: P≥   ≥  (đpcm) ≥ ma mb mc ma  mb  mc R R Áp d ng b t đ ng th c: Qua vi c xây d ng b t đ ng th c liên quan liên quan đ n đ ng trung n trên, b n có t đ t câu h i r ng: “đ i v i đ ng phân giác đ ng cao li u có th “t ng t hóa” hay khơng?” n u có ti p t c tìm câu tr l i ph n ti p theo Các b t đ ng th c liên quan đ n đ ng phân giác: -5- DeThiMau.vn Ta có: la= A ≤ bccos A (vì b+c≥ bc ) bc 2bc cos M t khác, ta l i có: b2  c  a A  cos A (b  c)  a cos =    2bc 2 4bc Suy ra: la ≤ p ( p  a ) (**) cosA = p( p  a) bc T ng t cho lb, lc, ta thu đ c tốn m sau: Bài tốn 2.1: Trong ABC, ta có: a) la.lb.lc ≤ abc.cos A B C cos cos 2 (1) b) la.lb.lc ≤ pS (2) (3) c) la+lb+lc ≤ p B t đ ng th c (3) đ c ch ng minh nh sau: T (**) ta có: la+lb+lc ≤ p ( p  a  p  b  p  c ) ≤ p 3( p  a  p  b  p  c )  p (đpcm) Ta th y: la ≤ p ( p  a ) mà ma ≥ p ( p  a ) suy ra: la ≤ ma K t h p v i đ nh lí đ ng xiên đ ng vng góc, ta có đ c m i quan h gi a đ ng trung n, đ ng phân giác, đ ng cao m t tam giác nh sau: ≤ la ≤ ma (***) T (***) s phát tri n đ c thành toán m i mà chúng tơi s trình bày ph n ti p theo B t đ ng th c liên quan đ n đ ng cao: Ta có: ≤ la Vì th t ph n có th d dàng suy đ c b t đ ng th c sau: Bài toán 3.1: Trong ABC, ta có: A p( p  a) a) ≤ bc cos b) ≤ Bài toán 3.2: Trong ABC, ch ng minh: a) ha.h b.hc ≤ abc cos b) ha+ hb + hc ≤ c) ha.h b.hc ≤ pS A B C cos cos 2 3p (4) (5) 1 1    hb hc r 1 1  (  hb  hc )  (  hb  hc )(   ) ≥ r hb hc   hb  hc ≥ 9r Ngồi ra, ta có: V y ta thu đ c toán sau: -6- DeThiMau.vn Bài toán 3.3: Trong ABC , ch ng minh: (6)  hb  hc ≥ 9r ý m t chút, ta th y (4) (6) b t đ ng th c liên quan đ n t ng  hb  hc nh ng ng c chi u V y th h t h p b t đ ng th c l i, thêm m t chút bi n đ i n a xem nào! (4), (6)  p ≥ 9r  p ≥ 3r ây b t đ ng th c liên quan đ n p,r B t đ ng th c (5) c ng đem đ n cho s thú v khơng Ta có: (5)  hb hc S p2 1  = r     p p hb hc hb hc  p ≥ hb.hc + h a.hb + ha.h c giác: Th đ y, ch c n “úm ba la” m t thu thêm đ c toán m i Bài toán 3.4: Trong ABC , ch ng minh: p2 ≥ h b.hc + ha.h b + ha.hc M i quan h gi a đ ng trung n, đ ng phân giác, đ ng cao tam Nh đ c p cu i ph n 2, gi a đ ng trung n, đ ng phân giác, đ ng cao tam giác có m i quan h sau: ≤ la ≤ ma (***) Li u t m i quan h này, có th xây d ng nên toán m i đ c hay không? tr l i cho câu h i này, th qua toán sau: Bài toán 4.1: Trong ABC , ch ng minh a)  hb  hc ≤ la+lb+lc ≤ ma + mb + mc b) 1 1 1 1         hb hc la lb lc ma mb mc c) ma mb mc 1m m m      a b c hb  lb hc  lc  la  mb mc ma  Bài tốn 4.1 trên, b n đ c có th d dàng ch ng minh d a vào (***) Theo B T Nesbit ta có: ma mb mc    mb  mc ma  mc ma  mb L i s d ng B T (***) ta đ c toán: Bài toán 4.2: Trong ABC , ch ng minh: ma mb mc    hb  lc hc  la  lb Xét toán sau: Bài toán 4.3: Trong ∆ABC, ch ng minh r ng: -7- DeThiMau.vn a b c   2 ma mb mc Ch ng minh: Ta có: 4ma2=2(b2+c2)-a2=2(a2+b2+c2)-3a2 L i có: (2ma)2+(a )2≥2(2maa ) Suy ra: 2(2maa )≤2(a 2+b 2+c 2)   T ng t :  ama a  b  c2  (2ma)2+(a )2=2(a2+b2+c2) ama≤ a  b2  c2 a 3a (7)  ma a  b  c2 b 3b c 3c ;   2 mb a  b  c m c a  b  c2 a b c Do đó:   2 ma mb mc a b c a b c a b c         2 Mà h a≤la≤ma, suy ra: hb hc la lb lc ma mb mc Chú ý: 3ma ma  T (7) ta c ng suy ra: a a  b  c2 3m m 3m m T ng t : b  2 b ; c  2 c b a b c c a b c 3 m m m Do đó: a  b  c  2 (ma2+mb2+mc2)= a b c a b c V y, li u có “t ng t hóa” b t đ ng th c đ i v i đ cao đ c hay khơng? Ta có: ng phân giác đ hb hc S S S S 1   =   2 ( 2  2  2 ) a b c a b c R sin A R sin B R sin C 1 1 abc = ( 2  2  2 ) R R sin A R sin B R sin C 1 = sinA.sinB.sinC(   ) sin A sin B sin C  Rõ ràng, v i A  90 B  C  45 hb hc 3   =  a b c 2 Do b t đ ng th c khơng đ i v i đ ng cao V y cịn đ i v i đ phân giác sao? Câu h i xin đ c dành cho b n đ c suy ngh ! ng ng Bài toán 4.4: Trong ∆ABC, ch ng minh r ng: la  lb lb  lc lc  la   3 c a b (8) -8- DeThiMau.vn Ch ng minh: Ta có: 1 1 1 b c a c a b A B C 2bc cos b  c ac cos a  c 2ab cos 2 a b  3    bc bc ac ac ab ab A B C 3  cos  cos  cos  2 2 (8) la (  )  lb (  )  lc (  )  3 ây m t b t đ ng th c đ n gi n tam giác V y, b t đ ng th c (8) đ c ch ng minh Mà, tam giác ta ln có: ha≤la, h b≤lb, hc≤la Vì v y: t (8) ta có th suy đ c b t đ ng th c sau: Bài toán 4.5:  hb hb  hc hc    3 c a b T (8) l i có th ti p t c khai thác đ chuy n thành m t toán m i l l l l l l c b c   )( a b  b c  c a )  la  lb la  lc la  lb c a b c b c        l l l l l l la  lb la  lc la  lb a b  b c c a c a b Ta có: ( Hi n nhiên t ta c ng có th suy đ c toán sau: Bài toán 4.6: Cho ∆ABC, ch ng minh: c b c    la  hb la  hc la  hb c b c b)     hb  hc  hb c b c T t ng , ta l i có th khai thác m t toán m i    hb  hc  hb a) Bài toán 4.7: Tong ∆ABC, ch ng minh r ng: c b a R     hb  hc hc  hb 2r Ch ng minh: Khơng m t tính t ng qt, gi s : a≤b≤c 2S 2S 2S  ha≥hb≥hc   hb hc h b+h c≤ hc+ha≤ ha+hb 1    h b  h c h c  h a  h b (1) (2) Áp d ng b t đ ng th c Trê-b -sép vào hai dãy (1), (2) ta đ c: c b a 1 1    ( a  b  c)(   )  hb  hc hc  hb h b  hc h c  h  h b (3) -9- DeThiMau.vn Ta có: a+b+c=2R(sinA+sinB+sinC)≤ 3R (4) 1 1 1 1 M t khác:    (   ) h b  h c hc  ha  h b hb hc 2r (5) T (3, (4), (5) suy ra: T toán này, ta l i thu đ c b a R     hb  hc hc  hb 2r c toán sau: Bài toán 4.8: Trong ∆ABC, ch ng minh: a) c a b R     lb hb  lc hc  la 2r b) c a b R    la  lb lb  lc lc  la 2r c) c  lb hb  a hb  lc hc  b hc  la  R 2r Còn r t nhi u b t đ ng th c khác có th khai thác, nh ng xin đ thúc ph n t i đ qua ph n khác c ng h p d n không B t đ ng th c liên quan đ n p, r, R: Bài toán 5.1: Trong ∆ABC, ch ng minh: a2+b2+c2≤ 9R2 (1) Ch ng minh: Ta có: (1)4R2(sin 2A+sin 2B+sin 2C)≤9R2 sin2A+sin2B+sin2C≤ ck t ây b t đ ng th c c b n tam giác nên ta có đ c đccm Chúng ta khai thác tốn đ tìm l i gi i cho m t toán m i 1   )9 ab bc ca 1 9        2 2 ab bc ca ab  bc  ac a  b  c 9R R Ta có: (ab+bc+ac)( V y ta đ c tốn sau: Bài toán 5.2: Trong ∆ABC, ch ng minh: 1 1    ab bc ca R Bài tốn có r t nhi u cách gi i, song ch gi i thi u cho b n m t cách gi i V i ni m say mê toán h c hi v ng b n s tìm đ c cách gi i riêng cho Sau đây, chúng tơi xin trình bày m t h ng khai thác khác đ i v i tốn 5.1: Ta có: ab+bc+ac≤ a  b  c2 ≤ 9R Mà, ha+hb+hc≥9r Suy ra: (  hb  hb ) (9r ) 9r   ab  bc  ac 9R2 R  hb hc (ha  hb  hb ) 9r     bc ac ab ab  bc  ac R ng th c x y ch ∆ABC đ u - 10 - DeThiMau.vn Bài toán 5.3: Trong ∆ABC, ch ng minh; R≥2r Th t v y, theo công th c Euler, ta có: OI2=R2-2Rr (v i O,I l n l t tâm đ ng tròn ngo i ti p, n i ti p ∆ABC) R2-2Rr ≥0R≥2r Trong rình khia thác m i liên h c a ba đ ng trung n, phân giác, đ ng cao ph n 3, đ a b t đ ng th c mà b n có th k t h p l i đ đ a đ n k t qu toán 5.3 Bài toán 5.4: Ch ng minh r ng: 2 a  b  c2 ≥r +p +4Rr Ch ng minh: Ta có: p2r2=S2=p(p-a)(p-b)(p-c) p 2r2=p 3-(a+b+c)p2+(ab+bc+ac)p-abc =-p3+(ab+bc+ac)p-4pRr r =-p2+ab+bc+ac -4Rr ab+bc+ca=r2+p2+4Rr Mà a  b  c2 ≥ab+bc+ca≥r2+p2+4Rr (dccm) Th c ch t l i gi i c a toán thi t l p công th c : 2 a  b  c2 =r +p +4Rr  a  b2  c2 =(a+b+c)2-2(ab+bc+ca) =2p2-8Rr-2r2 T toán 5.4, suy ra: 2p2-8Rr-2r2≥r2+p 2+4Rr p2≥3r2+12Rr 3r(r+4R)≤p2 A B C A B C A B C sin sin R(1  sin sin sin )  16 R cos cos2 cos 2 2 2 2 2 A B C cos cos cos A B C 2 3tan tan tan  2  sin A sin B sin C 2 A B C cos cos cos A B C 2 V y, ta đ c b t đ ng th c sau: 3tan tan tan  A B 2  sin sin sin C 2 3.4sin ây m t b t đ ng th c khó Bài tốn 5.5: Trong ∆ABC, ch ng minh: p 3 R Ch ng minh: Ta có: 4( ma2  mb2  mc2 )= 3(a  b  c ) (a+b+c)2 27 R 27 R 27 R Suy ra: (a+b+c)2  4p2 đpcm 4 Mà ma2  mb2  mc2  Trong nh ng ph n ch ng minh đ Bài toán 5.6: Trong ∆ABC, ch ng minh: p≥3 r Bài toán d dàng d n đ n toán sau: c toán sau - 11 - DeThiMau.vn Bài toán 5.7: Trong ∆ABC, ch ng minh: a) S p2 3 b) S  a  b2  c Sau xin gi i thi u m t b t đ ng th c đ c coi m nh nh t đ i v i p, R, r tam giác (b t đ ng th c Bludon) B t đ ng th c Bludon: Ch ng minh r ng m i ABC ta có: R  10 Rr  r  2( R  2r ) R ( R  2r )  p  R  10 Rr  r  2( R  r ) R ( R  2r ) Ch ng minh Kí hi u O tâm đ ng tròn ngo i ti p I tâm đ G i E ti p m c a đ ng tròn n i ti p v i c nh AB t AI = x R – d ≤ x ≤ R + d (d = OI) ng tròn n i ti p ABC Ta có: AE = x  r AE = p – a T tam giác vuông AEI ta có: sin A r  x sinA=2 sin , cos A  x2  r x A A 2r x  r cos  2 x2 Theo đ nh lí hàm s sin ta có: A = 2RsinA = 4Rr x  r x2  Rr  x  r 1   x    Rr  Xét hàm s : p = p(x) = x  r 1   (R – d ≤ x ≤ R + d) x   2 ( x  x1 )( x  x2 )( x  x1 )( x  x2 ) x  Rrx  Rr Ta có: p’(x) =  x3 x  r x3 x  r Trong đó: x1 = r ( R  d ) , x2 = 2r ( R  d ) T đó: p = (p – a) + a = D dàng ch ng minh đ c < R – d ≤ x1 ≤ x ≤ R + d B ng bi n thiên c a hàm s p(x) nh sau: x R–d x1 x2 p’(x) + - R+d + p(x) ý r ng d = R  Rr ta có th ch ng minh đ p(x 1) = p(R + d) = c R  10 Rr  r  2( R  2r ) R( R  2r ) p(x = p(R - d) = R  10 Rr  r  2( R  r ) R( R  r ) - 12 - DeThiMau.vn V y R  10 Rr  r  2( R  r ) R( R  r ) ≤ p ≤ R  10 Rr  r  2( R  2r ) R( R  2r ) Ta có: R  10 Rr  r  2( R  2r ) R( R  2r ) = 4R2 + 4Rr + 3r2 – [(R-2r) - 2 R ( R  2r ) ] ≤ 4R + 4Rr + 3r R  10 Rr  r  2( R  2r ) R( R  2r ) = [(R-2r) - R( R  2r ) ]2 + 16Rr – 5r2 ≥ 16Rr – 5r2 M i đ ng th c x y ch R = 2r  ABC tam giác đ u Chúng v a trình bày m t s b t đ ng th c v h th c l ng tam giác Các b n có th v n d ng chúng đ gi i toán khác III Bài t p c ng c : Cho ∆ABC có bán kính đ ng trịn ngo i ti p R=1 Ch ng minh r ng: sin A sin B sin C    ma mb mc Ch ng minh: Tacó: Mà, a b c a2 b2 c2 sin A sin B sin C         Rma Rmb Rmc 2ama 2bmb 2cmc ma mb mc 3a 3a a2 (theo Cô-si)   2 2ama 3a (2b  2c  a ) a  b  c 3b 3b b2 ng t ,   2 2bmb 3b (2a  2c  b ) a  b  c T 3c 3c c2   2 2cma 3c (2a  2b  c ) a  b  c sin A sin B sin C T (1), (2), (3) ta có:    ma mb mc (1) (2) (3) D u “=” x y ch a=b=c hay ABC đ u Cho tam giác ABC có góc nh n G i a,b,c đ dài ba c nh h a, h b, hc đ dài đ ng cao t ng ng Kí hi u r, R l n l t bán kính đ ng trịn n i, ngo i ti p tam giác Ch ng minh: 9R 1 1     2 a b c  hb hc hb  hc hc  hb 2r Ch ng minh: Ta có: 1 1     hb hc  hb hc T ng t :   1  1            hb hc     - 13 - DeThiMau.vn  1  1         ; hb  hc  hb  hc    1  1         hc  hb  hc  hb   1 Do đó:  hb hc Ta có:  hb hc   hb  hc hb  hc     hb  hc   9R a  b2  c   1 1       hc  hb  hb hc  2r 1 hc  hb 1 1 4S     a b c   (1)  hb  hc  hb hc  hc  hb 9abc 9R  S (bc  ab  ac) ab  bc  ca (2) T (1),(2) suy đpcm Ch ng minh r ng: 1    ma mb mc Ch ng minh: Ta có: 1 P=    ma mb mc Suy : P  R  ma  mb  mc 3 3R R Ch ng minh r ng: P= hb2 hc2 ha2    ha3 hb3 hc3 r a b3 c3    a bc b2 c a 1 1 (đpcm) P    hb hc r Áp d ng b t đ ng th c: Ta có: Ch ng minh: Ch ng minh r ng: a) ma.mb.mc  27 R3 - 14 - DeThiMau.vn p3 3 b) (la+lb)(lb+lc)(lc+la)  Ch ng minh a) Ta có: 3 27 R3  m  mb  mc   3R  27 R  m m m a b c   a      8     ma.mb.mc b) Ta có: 3  2(la  lb  lc )   p  p (đpcm)        3 3 (la+lb)(lb+lc)(lc+la)   ha.hb.h c ≥ 27r3 Ch ng minh r ng: Ch ng minh Ta có: 1 1       27 r hb hc  hb hc  ha.hb.h c ≥ 27r3 Suy ra: Ch ng minh r ng: P= Ta có: P= mb   (đpcm) 18r hb hc     mb  hb mc  hc ma  Rr Ch ng minh mc  hb  Ch ng minh r ng: ma  hc  ma  mb  mc  1   hb hc  18r  R Rr   r (đpcm)  1 1  27  ma  mb  mc   9R      3R  ma mb mc  Ch ng minh t a= 1 ma , b= mb , c= mc 3R 3R 3R B T tr thành: Ta có: a + b + c ≤ 1 27  2 2 a b c a bc Ta có: abc     VT  3 abc    abc  abc   15 abc  2 2 abc abc   a+b+c+ 15  27    3 64    2  - 15 - DeThiMau.vn Trong ABC ch ng minh r ng: a) ra2  rb2  rc2  la2  lb2  lc2 b)rala + rblb + rclc  p Ch ng minh A B C  tan + tan ) 2 A B C A B B C C A Vì, tan  tan tan  tan tan  tan tan  tan tan  2 2 2 2 2 2 (1) Nên:  rb  rc  p a)Ta có ra2  rb2  rc2 = p ( tan M t khác: la2  lb2  lc2  p ( p  a )  p ( p  b)  p( p  c ) = p2 – p(a+b+c-2p)=p2 (2) T (1),(2) suy ra2  rb2  rc2  la2  lb2  lc2 b) Ta có: rala + rblb + rclc  p( p  a ) S  p ( p  b) S  p ( p  c) S = p  pa pb p c ( p  b )( p  c)  ( p  a )( p  c )  ( p  a )( p  b) ≤p(p–b+p–c+p–a)=p V y rala + rblb + rclc  p (đpcm) 10 Trong ABC ch ng minh r ng:  a b c 9R    rb rc p Ch ng minh a b c R sin A R sin B R sin C      Ta có: rb rc p.tan A p.tan B p.tan C 2 B C 4R  A  cos  cos  =  cos p  2 2 2R = (1 + cosA +1 + cosB + + cosC) p 2R = (3 + cosA + cosB + cosC) p Mà: cosA + cosB + cosC  (b t đ ng th c c b n tam giác) a b c 9R (đpcm) Do đó:    rb rc p IV Bài t p t gi i: Cho ABC, ch ng minh r ng: a2 b2 c2    9R  r rb  r rc  r Cho ABC tam giác nh n G i R r bán kính đ ng trịn n i ti p ngo i ti p tam giác G i H tr c tâm tam giác, da, d b, d c t ng ng kho ng cách t H t i ba c nh BC, CA, AB Ch ng minh r ng: - 16 - DeThiMau.vn H R + r ≥ da + d b + dc ≥ 7r – 2R ng d n: a b t đ ng th c v d ng: 7r – 2R ≤ ha+ h b + hc - 2(R + r) ≤ R + r  9r ≤ ha+ hb + hc ≤ 3(R + r) Ch ng minh: ha2 hb2 hc2 6r    la2 lb2 lc2 R Ch ng minh: 2r  la R Ch ng minh r ng: hb hc 2r    33 la lb lc R Ch ng minh r ng: Ch ng minh r ng: Ch ng minh r ng: p2  1   (la  lb  lc )   2p  la lb lblc lcla  27   3r  hb hc  15      (  hb  hc )   hb hc  3r  1 1  15 (ma  mb  mc )  3R     3R  ma mb mc   Tài li u tham kh o: [1] Chuyên đ b t đ ng th c c c tr hình h c ph ng- Nguy n cT n [2] M t s gi ng v toán tam giác- Nguy n V L ng ( ch biên) [3] Chuyên đ b i d ng h c sinh gi i tốn trung h c ph thơng: B t đ ng th c hình h c- V ình Hịa [4] T p chí tốn h c tu i tr [5] L ng giác s c p- Phan Huy Kh i [6] M t s di n đàn toán h c - 17 - DeThiMau.vn M T S BÀI TỐN HÌNH H C PH NG LIÊN QUAN N T GIÁC TOÀN PH N  H c sinh th c hi n: Phan H ng H nh Trinh, Lê Bá L c Tr n c Anh ( Nhóm chun tốn l p 11A1- N m h c 2011-2012)  Giáo viên h ng d n: Võ Th Ng c Ánh  L i d n:  N i dung: Hình h c t o nên cu c s ng! Hình h c luôn t v i!! I CÁC KI N TH C LIÊN QUAN F Cho t giác l i ABCD có c p c nh đ i không song song AB c t CD t i E, AD c t BC t i F Hình t o b i t giác ABCD, hai tam giác EBC, FCD đ c g i t giác toàn ph n Trong c chuyên đ này, quy c g i t giác nh th t giác toàn ph n ABCDEF A, B, C, D, E, F đ nh; đo n AC, A BD, EF đ ng chéo c a c a t giác Các góc c a t giác ABCD c a hai B tam giác EBC, FCD góc c a t giác T giác tồn ph n ABCDEF đ c g i n i ti p m t đ ng tròn n u t giác ABCD n i E D ti p C T giác toàn ph n ABCDEF đ c g i ngo i ti p m t đ ng tròn n u t giác ABCD ngo i ti p Trong chuyên đ này, s s d ng ki n th c v góc đ nh h ng khơng ch ng minh l i tốn quen thu c nh toán đ ng th ng Simson, đ ng th ng Steiner c a tam giác, tốn đ nh lý Ptolemy II M T S TÍNH CH T C B N F 1/ Tính ch t 1: Các đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCE, CDF, ADE, ABF đ ng quy t i m t m i m m Miquel c a t giác toàn ph n M D C A B E - 18 - DeThiMau.vn Ch ng minh: G i M giao m c a hai đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABF AED Ta s ch ng minh đ ng tròn l i c ng qua M Th t v y: Xét góc đ nh h ng gi a đ ng th ng theo mođun  , ta có:  MA, MC    BA, BC  (mod )  ME, MA    FE, FA  (mod ) T suy :  ME, MB    ME, MA    MA, MB    DE, DA   FA, FB    CE , DA   DA, CB    CE , CB  (mod  ) Do đ ng trịn ngo i ti p  CBE qua m M Ch ng minh t ng t cho ta c ng suy đ c đ ng tròn ngo i ti p  CDF c ng qua m M M r ng: Khi t giác ABCDEF n i ti p M, E, F th ng hàng (tính ch t dành cho b n đ c t ch ng minh) 2/ Tính ch t 2: Tâm c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCE, CDF, ADE, m Miquel M thu c m t đ ng tròn Ch ng minh: F G i O1, O2, O3, O4 l n l t tâm c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác BCE , CDF, ADE ABF D th y O1O2, O2O3, O1O3 l n l t O2 đ ng trung tr c c a MC, MD, ME Khi hình chi u c a m M lên M đ ng th ng (ta g i I, J, K nh hình D J v ) l n l t trung m cu MC, O4 MD, ME T đây, theo đ nh lý đ o v I đ ng th ng Simson, suy M thu c K C đ ng tròn qua ba m O1, O2, O3 O1 ch ng minh t ng t , ta c ng có M thu c đ ng tròn qua ba m O2, O3, O3 O4 T suy đpcm E 3/ Tính ch t 3: Chân đ ng A B vng góc h t m Miquel M lên đ ng th ng AB, BC, CD, DA n m m t đ ng th ng (đ ng th ng Simson) Ch ng minh: G i G, I, J, H l n l t chân đ ng cao k t M xu ng BE, DE, BF, DF Vì M thu c đ ng trịn ngo i ti p tam giác CDF nên đ ng th ng qua I, J, H s đ ng - 19 - DeThiMau.vn ... 48 Chuyên đ v s h c C p c n nguyên th y c a m t s nguyên 65 Chuyên đ v t h p B t bi n gi i toán t h p 73 Chuyên đ v dãy s Dãy s phân n tính .82 Các chuyên đ v... ng Trung h c Chuyên Nguy n T t Thành đ đ i t p san s Kon Tum, ngày 30 tháng 04 n m 2013 Ban biên t p: T toán Tr ng THPT Chuyên Nguy n T t Thành, Kon Tum -2- DeThiMau.vn K HAI THÁC CÁC B T TRONG... minh: 1 1    ab bc ca R Bài tốn có r t nhi u cách gi i, song ch gi i thi u cho b n m t cách gi i V i ni m say mê toán h c hi v ng b n s tìm đ c cách gi i riêng cho Sau đây, chúng tơi xin trình