Những bài toán hay lớp 8 và khó lớp 851749

NHỮNG BÀI TỐN HAY LỚP VÀ KHĨ LỚP Bài 1: Cho hình vng ABCD Gọi K trung điểm cạnh AB L điểm chia đường chéo AC theo tỉ số AL  Chứng minh LK  LD LC BÀI GIẢI Kẻ LM  AB LN  AD ฀ N ฀ nên hình chữ nhật Tứ giác AMLN có ฀A  M ฀ ฀ AC phân giác DAB nên AL phân giác NAM Vậy tứ giác AMLN hình vng Suy : AM = AN , kết hợp với AB = AD nên MB = ND LM // BC suy MB AL AM  hay AB = 4MB   Do : AB LC MB A N D K M B L C Lại có AB = 2KB nên KB = 2MB Vậy MB = MK nên MK = DN ฀ ฀ ฀ ฀ ฀  NLD ฀  KLM  KLN  900 nên KLN  900 Từ ΔLND = ΔLMK Suy : NLD MLK Vậy LK  LD (đpcm) Bài 2: Cho hình thang cân ABCD ( BC // AD) Gọi M N trung điểm hai đáy BC AD Trên tia đối tia AB lấy điểm P bất kì, PN cắt BD Q · Chứng minh MN tia phân giác góc PMQ C B M BÀI GIẢI Gọi K giao điểm MQ AD; H giao điểm Q PM AD; E giao điểm PQ BC A H D K N Do MN trục đối xứng hình thang cân nên MN  AD Ta cần chứng minh KN = NH E NK NQ P (hệ định lý Ta-lét cho ΔNQK )  ME QE NQ DN DN // BE  (hệ định lý Ta-lét cho ΔNQD )  QE BE NK DN Do đó: (1)  ME BE NH AN PN Chứng minh tương tự ta được: ( tỉ số ) (2)  ME EB PE NK // ME  Từ (1) & (2) kết hợp với giả thiết NA = ND suy : NK = NH Tam giác HMK có NH = NK MN  HK nên ΔHMK cân M ฀ Do MN tia phân giác HMK (đpcm) Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M N trung điểm AD BC.Trên tia đối Của tia DC lấy điểm P Gọi Q giao điểm PM AC E B N C ฀ ฀ Chứng minh : QNM  MNP BÀI GIẢI Q Gọi H giao điểm NQ AD, K giao điểm NP AD, E A H M K D giao điểm PQ BC AM MQ (hệ định lí Ta-Lét cho ΔAQM)  CE QE DM PM DM // CE   (hệ định lí Ta-Lét cho ΔPCE) CE PE AM // CE  DeThiMau.vn P E Mà AM = MD ( M trung điểm AD) AM DM MQ PM   Do đó: CE CE QE PE MH MQ Lập luân tương tự: MH // EN   EN QE MK PM MK // EN   EN PE MH MK   MH  MK Từ (1); (2) ; (3) suy ra: EN EN Nên B (1) N C Q A H M K (2) D P (3) Hình chữ nhật ABCD có M, N trung điểm AD BC nên MN  AD ΔHNK có NM vừa đường cao đồng thời đường trung tuyến nên ΔHNK cân N ฀ ฀ ฀  MNP Do NM phân giác HNK Vậy QNM (đpcm) A B Cách 2: Gọi O giao điểm MN AC, E giao Q = điểm QN DC = N M O AM // CN AM = CN (do AD// BC, AD = BC, = = M , N trung điểm AD; BC) nên tứ giác P C D AMCN hình bình hành Suy ra: OM = ON E MO QO  PC QC NO QO  ΔQCE có NO // EC nên CE QC MO NO  Do đó: Mà OM = ON nên PC = EC PC CE ฀ ฀ ΔNPE có NC  PE; PC  CE nên cân N  NPE  NEP ฀ ฀ ; MNP ฀ ฀ Mặt khác QNM  QEP  NPE (do MN // CD) ΔQPC có MO // PC nên ฀ ฀ Do : QNM  MNP (đpcm) Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm E, dựng điểm F đối xứng với C qua E Đường thẳng d1 qua F song song với AD cắt AB I.Đường thẳng d2 qua F song song với AB cắt AD K d2 Chứng minh ba điểm I , K , E thẳng hàng T B C BÀI GIẢI E Gọi O giao điểm AC BD O F L giao điểm d1 AC I L Q giao điểm AF KI Q D A K T giao điểm AF BC Tam giác ACF có EO đường nên EO // AT Tứ giác ADBT có AD// BT & BT// AD Suy BT = BC ( AD) Do FI // BT IL // BC ta suy ra: FI IL AI (cùng ) , BT = BC  BT BC AB Nên FI = IL Tam giác CLF có EI đường trung bình nên IE//AC (1) DeThiMau.vn d1 Tứ giác AKFI có AK // FI & KF // AI nên hình bình hành suy Q trung điểm AF Từ EQ đường trung bình tam giác AFC nên QE // AC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm Q ; I ; E thẳng hàng (Tiên đề Ơclit) Điểm K thuộc đường thẳng QI nên ba điểm I ; K ; E thẳng hàng Bài 5: Cho tam giác ABC điểm E nằm A C Gọi Bx tia nằm hai tia BA BC Các đường thẳng kẻ qua E song song BC AB cắt tia Bx N M A Chứng minh AN // CM Hướng dẫn: Đã có BC // EN Muốn MC // AN H ฀ N E cần chứng minh KCM ฀ ANE Do cần chứng minh hai tam giác CMK & NEA M đồng dạng B BÀI GIẢI: C K Gọi H giao điểm NE AB, K giao điểm EM BC Áp dụng hệ định lí Ta let cho tam giác NHB có EM // HB ta được: NH BH NH NE HB CE (1) Tương tự HE // BC nên : (2)     NE ME BH ME HA AE NH HB NE CE NH NE CE Từ (1) & (2) suy ra:  Do đó:  (3) HB HA ME AE HA ME AE NE BK CE CK NE CE BK CK CK Nhưng  &  ( EN // BK & EK // AB) nên   (4) ME MK AE BK ME AE MK BK MK NH CK ฀ Từ (3) & (4) suy ra: , mà ฀ AHN  MKC ( góc ABC)  HA MK Vậy tam giác ANH & tam giác MKC đồng dạng ฀ Suy ra: ฀ ; kết hợp với NH // BC ta CM //AN (đpcm) ANH  MCK -Hết - DeThiMau.vn x ... ; MNP ฀ ฀ Mặt khác QNM  QEP  NPE (do MN // CD) ΔQPC có MO // PC nên ฀ ฀ Do : QNM  MNP (đpcm) Bài 4: Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm E, dựng điểm F đối xứng với C qua E Đường... I.Đường thẳng d2 qua F song song với AB cắt AD K d2 Chứng minh ba điểm I , K , E thẳng hàng T B C BÀI GIẢI E Gọi O giao điểm AC BD O F L giao điểm d1 AC I L Q giao điểm AF KI Q D A K T giao điểm... ; I ; E thẳng hàng (Tiên đề Ơclit) Điểm K thuộc đường thẳng QI nên ba điểm I ; K ; E thẳng hàng Bài 5: Cho tam giác ABC điểm E nằm A C Gọi Bx tia nằm hai tia BA BC Các đường thẳng kẻ qua E song