Đề thi bồi dưởng học sinh giỏi giải truyền thống 194 môn toán đề thi số 1 thời gian làm bài : 150 phút51530

HUỲNH ĐÌNH TÁM ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ Thời gian làm : 150 phút Câu : ( đ ) Cho phương trình ( có ẩn số x ) 4x2 + (3- 2m)x +-3m +2 = a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với giá trị tham số m b) Tìm m để có tích hai nghiệm đạt giá trị nhỏ Câu : ( điểm) Giải phương trình hệ phương trình : 2 a) x + y =2 (xy + 2) x+y=6 b) x2  25 x  11 ( x  5) Caâu : (2 ñieåm ) a) Cho a> c , b> c , c > Chứng minh : c(a  c)  c(b  c)  ab b) Cho a> , b> Chứng minh : ab  a b ab Câu 4: (1 điểm) Tìm số phương có chử số biết tăng thêm chử số đơn vị số tạo thành số phương Câu : ( 1,5 điểm ) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R ), gócC 450, Đường tròn đường kính AB cắt cạnh AC BC M N a) Chứng minh MN vuông góc với OC b) Chứng minh : MN  AB Câu : ( 1,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn ( O;R) Điểm M lưu động cung nhỏ BC Từ M kẻ đường thẳng MH, MK vuông góc với AB, AC (H thuộc đường thẳng AB , K thuộc đường thẳng AC ) a)Chứng minh tam giác MBC MHK đồng dạng với b) Tìm vị trí M để độ dài đoạn HK lớn DeThiMau.vn HUỲNH ĐÌNH TÁM ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ Thời gian làm : 150 phút Câu 1: ( điểm) a)Định m để hai phương trình x2 + x + m = x2 + mx + = có nghiệm chung b)Cho a , b , c , độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh phương trình : b2x2 + ( b2 + c2 –a2) x + c2 = vô nghiệm Câu 2: (4 điểm ) Giải phương trình hệ phương trình : a) x3 -y3 = 3( x- y) x + y = -1 b) 2x 13 x  6 3x  x  3x  x  Caâu 3: (4 điểm) a) Chứng minh 2(a4 + b4)  ab3  ab3  2a 2b với a , b b) Chứng minh a  b  2ab  b  a với a>b>0 Câu : ( điểm ) Tìm số nguyên dương có chữ số, biết số bội tích chữ số số Câu : ( điểm ) Cho hình bình hành ABCD có góc A nhọn, AB< AD Tia phân giác góc BAD cắt BC M cắt DC N.Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NCN a) Chứng minh : DN = BC CK vuông góc MN b) Chứng minh BKCD tứ giác nội tiếp Câu : ( điểm ) Cho tam giác ABC có góc A = góc B Chứng minh : BC2 = AC2 + AB AC DeThiMau.vn HUỲNH ĐÌNH TÁM ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ (Thời gian làm : 150 phút ) Câu : a) Rút gọn biểu thức sau : A  15  15  2 b) Giải phương trình : x 5  3 x  Câu 2: Chứng minh ( n3 + 17 n ) chia hết cho với số tự nhiên n Câu : Giả sử x1 , x2 nghiệm phương trình x2  4x  x  m , ñ01 m tham 1 x số Tìm m để biểu thức |x1 - x2 | đạt giá trị nhỏ Câu : Cho hình vuông ABCD Hai điểm I, J thuộc hai cạnh BC CD cho góc IAJ = 450 Đường chéo BD cắt AI AJ theo tương ứng H K Tính tỉ số HK IJ Câu : Cho đường tròn (O1;R1) ; (O2;R2) có R1>R2 tiếp xúc với A Đường thẳng d qua A cắt đường tròn (O1;R1) M cắt đường tròn (O2;R2) N ( Các đểm M, N khác A ) a) Xác định vị trí đường thẳng d để đoạn thẳng MN lớn b) Tìm tập hợp trung điểm I đoạn thẳng MN đường thẳng MN đường thẳng d quay quanh điểm A DeThiMau.vn HUỲNH ĐÌNH TÁM ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ (Thời gian làm : 150 phút ) Câu 1: a) Tìm chữ số tận số (19 )2005 b) Tìm tất số tụ nhiên n cho n2 -14n -256 số phương Câu 2: Giải hệ phương trình : x 2 y y 2 x Câu : Tìm số nguyên a,b, c thoả mãn a2 + b2 c2 +2 < ab +3b +2c Câu : Cho tam giác ABC cạnh a (a > ) điểm M chuyển động đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC a) Chứng minh M thuộc cung nhỏ AB MA + MB = MC b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức MA + MB + MC Câu : Cho hình vuông ABCD có AB = 14 cm Trong hình vuông có đánh dấu 76 điểm phân biệt Chứng minh tồn đường tròn có bán kính cm chứa điểm số điểm DeThiMau.vn HUỲNH ĐÌNH TÁM ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ ( Thời gian làm : 150 phút ) Câu : Giải hệ phương trình x  y  xy  x2  y2  Câu : Giải phương trình x  x    x  11 Câu : Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + 17y2 +34xy + 51 ( x + y ) = 1740 Caâu Cho đường tròn (O) , (O’) nằm có tâm tương ứng O O’ Một tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp xúc với (O) A (O’) B Một tiếp tuyến chung đường tròn cắt AB I , tiếp xúc với (O) C (O’) D Biết C nằm I D a) hai đường thẳng OC , O’B cắt M Chứng minh OM > O’M b) Kí hiệu (S) đường tròn điqua A,C, B (S’) đường tròn qua A,D,B Đường thẳng CD cắt (S) E khác C cắt ( S’) F khác D Chứng minh AF vuông góc với BE Câu Giả sử x,y, z số dương thay đổi thoả mãn điều kiện xy2z2 + x2z + y = z2 DeThiMau.vn HUỲNH ĐÌNH TÁM Hãy tìm giá trị lớn biểu thức P z4  z ( x4  y4 ) ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ ( Thời gian làm : 150 phút ) Câu 1: Giải phương trình :  x   x   x2  Caâu : Giải hệ phương trình : x3 + y3 –xy2 = 4x4 + y4 = 4x + y Câu : Giả sử x ,y số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện x2 + y2 =1 a) Chứng minh ≤ x+ y ≤ b) Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P   2x   y Câu : Cho hình vuông ABCD điểm P nằm tam giác ABC a) Giả sử góc BPC = 135 Chưng minh 2PB2 + PC2 = PA2 b) Các đường thẳng AP CP cắt cạnh BC BA tương ứng điểm M N Gọi Q điểm đối xứng với B qua trung điểm đoạn MN Chứng minh P thay đổi tam giác ABC, đường thẳng PQ lu ôn qua D Câu : DeThiMau.vn HUỲNH ĐÌNH TÁM a) Cho đa giác ( H) có 14 đỉnh Chứng minh đỉnh (H) có đỉnh đỉnh hình thang b) Có phân số tối giản thoả mãn m.n = 13860 m lớn ( m ,n số nguyên dương ) n ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ Thời gian làm : 150 phút Bài ( điểm ) 1) Thực phép tính : (  )   999 111 2) Cho biểu thức A 1 x   2 x 2 x 4 x Với x≥ vàx ≠ Rút gọn biêủ thức A tìm giá trị x để A = 3) Giải phương trình hệ phương trình sau : a) x2 -9x + =   11 x y b)  1 x y Baøi (3 điểm ) 1) Tìm giá trị m để hàm số y = (2m +1 ) x +3 nghịch biến đồ thị qua điểm( 1; 2) 2x  y  m 2) Tìm m để hệ phương trình x  m2 y  2 Có nghiệm DeThiMau.vn HUỲNH ĐÌNH TÁM 3) Cho phương trình –(2m + ) x +m2 + m – = a) Tìm nghiệm phương trình theo m b) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm âm Bài : ( điểm ) Cho M điểm nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R ( M không trùng với A, B ) Vẽ tiếp tuyến Ax , By , Mz nửa đường tròn Đường thẳng AM cắt By C đường thẳng BM cắt D Chứng minh : a) Tứ giác AOMN nội tiếp đường tròn b) Tam giác NOP tam giác vuông c) Các điểm N va P trung điểm đoạn thẳng AD BC Bài ( điểm ) Cho tam giác ABC vuông A có AD đường phân giác góc A Cho biết AB = c , AC = bvà AD = d 1 Chứng minh :   d b c x2 ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ ( Thời gian làm : 120 phút ) Bài (1,5 điểm ) Cho biểu thức : A b ab  a  a a 1) Tìm điều kiện a,b để biểu thức A xác định 2) Rút gọn biểu thức A Bài (2 điểm ) 1) Giải hệ phương trình: x2  y  3x  y  2) Giải bất phương trình : x +|x -1| > Bài (1,5 điểm) Chưng minh , phương trình : x2 + 2mx + n = có nghiệm, phương trình : DeThiMau.vn (1) HUỲNH ĐÌNH TÁM 1 x  2(k  )mx  n(k  )  k k (2) Cũng có nghiệm (m,n,k tham số: k ≠ ) Bài (1,5 điểm ) Cho hàm số y ax + b có đồ thị (D) hàm số y = k x2 có đồ thị (p) a) Tìm a , b biết (D ) qua A (-1 ;3) vaø B ( ; ) b) Tìm k ≠ cho (p) tiếp xúc với đường thẳng (D) vừa tìm Viết phương trình ( P) Bài ( 3,5 điểm ) Cho tam giác ABC không cân có góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Đường cao AI BE cắt H a) Chứng minh : góc CHI = góc CBA b) Chứng minh : EI  C O c) Co góc ACB = 600 Chứng minh : CH = CO ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ ( Thời gian làm : 150 phút ) Câu Giải hệ phương trình : x2 –xy + y2 = 19 x4 + x2y2 + y4 = 931 Caâu Chứng minh phương trình sau vô nghiệm : ( x  2) x   x  Câu Chứng minh : DeThiMau.vn HUỲNH ĐÌNH TÁM ( 3  2  3  2 )8  Caâu 1) Chứng minh số n =(186)2004 có tính chất tồn số nguyên dương p q thoả mãn điều kiện : 0< p Bài ( 1đ) Giải phương trình : 6 x  x2  Bài ( đ ) Cho đường thẳng : ( d1) : y = 2x+ ; (d2 ) : y = - x + ; ( d3) :y =mx ( m tham số ) DeThiMau.vn HUỲNH ĐÌNH TÁM 1) Tìm toạ độ giao điểm A, B , C theo thứ tự ( d1) với ( d2) ; ( d1) với trục hoành ( d2) với trục hoành 2Tìm tất giá trị m cho ( d3) cắt đường thẳng ( d1), ( d2 ) 3) Tìm tấ giá trị m cho ( d3 ) cắt AB AC Bài ( đ ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) D điểm nằm cung BC không chứa điểm A tia AD ta lấy điểm E cho AE = DC 1) Chứng minh tam giác ABE = tam giác CBD2 2) Xác định vị trí D cho tổng DA + DB lớn Bài ( đ ) Tìm x , y dương thoả mản heä x y 1 8( x  y )  5 xy ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 12 ( Thời gian làm : 150 phút ) Bài 1: ( đ) 1) Chứng minh với x thỏa mãn ≤ x ≤ , ta coù :  x  x 1  2) Giải phương trình :  x  x    x2  2x  Bài ( đ) Cho x, y,z số dương thoả mãn xy + yz + xz = 1) Chứng minh : + x2 = (x+ y) ( x +z) 2) Tính giá trị biểu thức : DeThiMau.vn HUỲNH ĐÌNH TÁM (1  y )(1  z ) (1  z )(1  x ) (1  x )(1  y y ) P  x  y  z  x2  y2  z2 2 Bài 3( đ ) Cho hai đường tròn (O ) (O’) cắt A B cho hai tâm O O’ nằm hai phía khác đối đường AB Đường thẳng (d) quay quanh B , cắt đường tròn (O) C D ( C khácA,B D khác A,B) 1) Chứng minh số đo góc ACD , ADC CAD không đổi 2) Xác định vị trí (d) cho đoạn thẳng CD có độ dài lớn 3) Các điểm M ,N ần lượt chạy (O ) , ngược chiều cho góc MOA, NO’A Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng MN qua điểm cố định Bài ( đ) Tìm a , b để hệ sau có nghiệm nhaát : xyz +z = a xy z2 + z = b x2 + y2 + z = Bài ( đ) Cho ba số a , b , c thoả mãn : 0≤a≤2; 0≤b≤2 ≤c ≤2 vaø a + b + c = 3 Chứng minh : a + b + c ≤ ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19/4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 13 ( Thời gian làm : 150 phút ) Bài ( đ ) Cho biểu thức :  x 1 P     x 1 x   x     x   x 1) Rút gọn P 2) Tìm x để P 2 x DeThiMau.vn HUỲNH ĐÌNH TÁM Bài ( đ ) Cho phương trình: x2 – ( m – 2) x – m2 + 3m -4 = ( m laø tham số ) 1) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt với giátrị m 2) Tìm m để tỉ số hai nghiệm phương trình có giá trị tuyệt đối Bài ( đ ) Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có phương trình : 2kx + (k – 1) y = ( k tham số ) 1)Với giá trị k đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = x Khi tính góc tạo đường thẳng (d) với tia Ox 2)Tìm k để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng (d) lớn Bài ( đ ) Cho góc vuông xOy điểm A , B tên cạnh Ox ( A nằm O B ) , điểm M cạnh Oy Đường tròn ( T ) đường kính AB cắt tia MA , MB điểm thứ hai F 1) Chứng minh điểm O,A ,E ,M nằm đường tròn, xác định tâm đường tròn 2) Tứ giác OCFM hình ? Tại ? 3) Chứng minh hệ thức : OE.OF +BE BM = OB2 4) Xác định vị trí điểm M để tứ giác OCFM hình bình hành , tìm mối quan hệ OA AB để tứ giác hình thoi DeThiMau.vn ... điểm A DeThiMau.vn HUỲNH ĐÌNH TÁM ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19 /4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ (Thời gian làm : 15 0 phút ) Câu 1: a) Tìm chữ số tận số (19 )2005 b) Tìm tất số tụ nhiên... ) ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19 /4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ 11 ( Thời gian làm : 15 0 phút ) Bài ( đ ) Rút gọn biểu thức sau : 1) P  mn m  n  mn  m n m n a b  ab a b :. .. = d 1 Chứng minh :   d b c x2 ĐỀ THI BỒI DƯỞNG HỌC SINH GIỎI GIẢI TRUYỀN THỐNG 19 /4 MÔN TOÁN ĐỀ THI SỐ ( Thời gian làm : 12 0 phút ) Bài (1, 5 điểm ) Cho biểu thức : A b ab  a  a a 1) Tìm