TÂM VŨ TRỤ

NHỮNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này sẽ trình bầy những kiến thức gần như đầy đủ của lý thuyết tập hợp cổ điển

Tất cả các tiên đề, định nghĩa và định lý cơ bản cần thiết để xây dựng học thuyết Tâm Vũ Trụ được chọn lọc trong chương này

Bài viết này được trình bày một cách kín đáo, yêu cầu độc giả chỉ cần có tư duy toán học vững vàng mà không cần chuẩn bị kiến thức gì thêm.

Những kiến thức chuẩn bị này tác giả sẽ trình bầy gần như nguyên vẹn như cách trình bầy của J.L.Kelly trong cuốn sách tuyệt vời của ông [2]

Bạn đọc có thể bắt đầu với chương 0 để nắm bắt nội dung của học thuyết Tâm Vũ Trụ Nếu cần, bạn có thể quay lại chương 0 bất cứ lúc nào để làm rõ những khái niệm mà mình chưa hiểu rõ.

Trong phần này, chúng ta sẽ xây dựng các tự số và bản số, đồng thời chứng minh những định lý thường được sử dụng nhất Tiếp theo, chúng ta sẽ định nghĩa các số nguyên không âm và các tiên đề Pơanô, coi như các định lý và sẽ tiến hành chứng minh chúng.

Độc giả đã nắm vững logic sơ cấp, nhưng việc hiểu biết về logic hình thức không phải là điều thiết yếu Tuy nhiên, việc nắm rõ bản chất của các hệ toán học (theo nghĩa kỹ thuật) sẽ giúp làm sáng tỏ và tìm ra nguyên nhân của toàn bộ sự tranh luận.

Trình bày lý thuyết tập hợp cần thiết phải rõ ràng để dễ dàng chuyển đổi sang ngôn ngữ hình thức Để hỗ trợ việc hiểu cả hình thức và phi hình thức, phần mở đầu được chia thành hai mục, trong đó mục thứ hai thực chất là sự diễn đạt lại chính xác nội dung của mục thứ nhất Người đọc có thể bỏ qua mục này mà không ảnh hưởng đến tính liên tục của bài trình bày.

Hệ thống tiên đề được đề xuất là một biến thể của hệ tiên đề Skôlem và A Mooxơ, với nhiều tiên đề có nguồn gốc từ hệ tiên đề Hilbe-Becnai-txơ-Phôn Nôiman theo cách diễn đạt của Gơđen Mục tiêu của việc chọn cách tiếp cận hình thức này là xây dựng nhanh chóng và tự nhiên một cơ sở toán học, nhằm tránh những nghịch lý hiển nhiên Do đó, cơ sở này bao gồm tám tiên đề và một lược đồ tiên đề, trong đó tất cả các khẳng định thuộc một loại nhất định sẽ được coi là tiên đề Để tiện lợi, nhiều mệnh đề chuẩn bị được gọi là các định lý, dẫn đến việc làm phong phú danh sách định lý và cho phép rút ngắn nhiều chứng minh Các qui ước trong phần lớn trường hợp đều rõ ràng nhờ vào hình thức của các định nghĩa và định lý.

LƯỢC ĐỒ PHÂN LOẠI CÁC TIÊN ĐỀ Đẳng thức bao giờ cũng được hiểu là sự đồng nhất logic:

Câu "1+1=2" thể hiện sự khẳng định rằng "1+1" và "2" đều đại diện cho cùng một đối tượng Điều này dựa trên các tiên đề cơ bản của đẳng thức, với giả thiết rằng quy tắc thay thế không bị hạn chế Cụ thể, trong định lý, việc thay thế một đối tượng bằng một đối tượng tương đương sẽ dẫn đến một định lý đúng.

Ngoài dấu "=" và các hằng logic khác, còn có hai hằng nguyên thủy không được định nghĩa Hằng thứ nhất được ký hiệu là "∈", đọc là "là phần tử của" hoặc "thuộc" Hằng thứ hai có ký hiệu hơi đặc biệt.

Thuật ngữ “lớp” được hiểu là “lớp tất cả những … sao cho…”, đóng vai trò là phần tử phân loại Việc sử dụng thuật ngữ này có thể làm rõ hơn các khái niệm liên quan Tuy nhiên, “lớp” không xuất hiện trong bất kỳ tiên đề, định nghĩa hay định lý nào, mà chỉ được nhắc đến trong quá trình giải thích các luận điểm, như những điều khẳng định về các lớp, tập hợp hay họ Do đó, mục đích của thuật ngữ “lớp” trong lập luận sắp tới là để làm sáng tỏ các giải thích này.

Các ký hiệu chữ Latin nhỏ đại diện cho các biến logic, và sự khác biệt giữa hằng và biến chủ yếu nằm ở các quy tắc thay thế Ví dụ, trong một định lý, việc thay thế một biến bằng một biến khác không xuất hiện trong định lý vẫn có thể tạo ra một định lý mới Tuy nhiên, điều này không áp dụng cho các hằng.

I Tiên đề về rộng Với mỗi x và y, x=y khi và chỉ khi với mỗi z, zx khi và chỉ khi zy

Hai lớp được coi là trùng nhau khi mọi phần tử của lớp này đều thuộc về lớp kia Trong các phát biểu của định lý và định nghĩa, thường sẽ bỏ qua các thuật ngữ như “với mỗi x” và “với mỗi y” Ví dụ, nếu trong phát biểu trước biến x không có thuật ngữ “với mỗi” hay “với một”, thì cần hiểu rằng đó là “với mỗi x”.

Cách gọi tên đặc biệt cho các lớp, trong đó các lớp này lại là phần tử của một lớp khác, được định nghĩa rõ ràng Sự phân chia các lớp thành hai loại sẽ được giải thích trong bài viết này.

1 Định nghĩa: x là tập hợp khi và chỉ khi với một y nào đó ta có xy

Phần tử phân loại được sử dụng để mô tả cách mà các tập hợp được xác định Trong hằng phân loại, biến được viết vào chỗ trống đầu tiên và công thức vào chỗ trống thứ hai, ví dụ: {x: x ∈ y} Khẳng định u ∈ {x: x ∈ y} được coi là tiên đề khi và chỉ khi u là một tập hợp và u ∈ y Tổng quát hơn, mỗi khẳng định có dạng u ∈ {x: …x…} cũng là tiên đề khi u là tập hợp và …u… ở đây giả thiết “…x…” là một công thức nào đó và “…u…” là một công thức được tạo ra từ công thức trên khi thay thế mọi “x” bằng “u” Do đó, u ∈ {x: x ∈ y và z ∈ x} khi và chỉ khi u là tập hợp, u ∈ y và z ∈ u.

Lược đồ tiên đề này phản ánh phương pháp trực quan thông thường trong việc xây dựng các lớp, với yêu cầu “u là tập hợp” không tự nhiên và không mong muốn Nếu bác bỏ yêu cầu này, có thể dẫn đến mâu thuẫn từ một tiên đề về rộng, như đã chỉ ra trong định lý 39 Sự phức tạp này yêu cầu một công việc kỹ thuật lớn liên quan đến sự tồn tại của các tập hợp, nhằm tránh những phi lý hiển nhiên, trong khi vẫn có thể tồn tại những phi lý ít hiển nhiên khác.

Để phát biểu chính xác lược đồ phân loại các tiên đề, cần thiết phải quy ước rõ ràng về khái niệm công thức.

(a) Kết quả của phép thế “” và “” bằng các biến vào một hệ thức bất kỳ trong các hệ thức sau là một công thức:

(b) Kết quả của phép thay thế “” và “” bằng các biến, còn

“A” và “B” bằng các công thức trong một hệ thức bất kỳ thuộc các hệ thức sau là một công thức: nếu A, thì B AB không đúng là A

A và B A hay B với mỗi , A với một  nào đó, A

Các công thức được xây dựng theo đệ qui bắt đầu từ những công thức ban đầu của (a) bằng cách áp dụng các cấu trúc được (b) cho phép

II Lược đồ phân loại các tiên đề

Chúng ta thu được một tiên đề nếu trong phát biểu sau đây

“  ” và “  ” được thay thế bằng các biến “A” bởi một công thức

A và “B” b ởi công thức thu được từ A b ằng cách thay thế mỗi l ần xuất hiện các biến thay th ế  b ằng biến thay thế  :

Với mỗi , {:A} khi và chỉ khi  là một tập hợp và có B

CƠ SỞ ĐẠI SỐ LỚP

Những tiên đề được phát biểu từ trước tới nay cho phép suy ra một loạt định lý từ các kết quả logic

Lớp x  y được gọi là hợp của các lớp x và y, còn xy được gọi là giao của x và y

4 Định lý: zxy khi và chỉ khi zx hay zy và zxy khi và chỉ khi zx và zy

CHỨNG MINH: Do tiên đề phân loại, zxy khi và chỉ khi zx hay zy và z là tập hợp Nhưng do định nghĩa của tập hợp

(định nghĩa 1) zx hay zy và z là tập hợp khi và chỉ khi zz hay zy Điều khẳng định về giao được chứng minh tương tự