ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2013 TÀI LIỆU TOÁN THPT http://www.k2pi.net Mơn: TỐN NGÀY 08-12-2012 ĐỀ SỐ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) x +1 có đồ thị (C ) x −1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị (C ), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh điểm N cho ∆OM N vuông Câu (2 điểm) Cho hàm số y = Câu (2 điểm) a) Giải phương trình: π π − sin 6x − = (4 cos 4x − sin 4x) sin 2x + 4 x − y = y −xy x3 x b) Giải hệ phương trình: (x, y ∈ R) + − 8y + = y4 y Câu (1 điểm) Tính tích phân I= π − π4 sin 2x + cos 2x dx sin x + cos x + Câu (1 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A ′ B ′C ′ có đáy ABC tam giác vuông A , AB = a, AC = a Gọi H , M trung điểm BC ,CC ′ Biết A ′ cách đỉnh A, B, C Góc tạo đường thẳng A ′ B mặt phẳng (A ′ AH ) 300 Tính thể tích lăng trụ ABC A ′ B ′C ′ khoảng cách hai đường thẳng A ′ B AM Câu (1 điểm) Cho a, b, c số dương thoả mãn : 2a + 3b + 5ab + 3bc + 2ac + c ≤ + 5a + 8b Chứng minh rằng: 8a +1 + 8b + + 8c +1 ≥1 PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh làm hai phần A B A Theo chương trình chuẩn Câu 6A (2 điểm) a) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vng góc Oxy, cho đường tròn (C ) : x − + y −1 = Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABC D biết đỉnh B C thuộc đường tròn (C ), đỉnh A D thuộc trục Ox b) Trong không gian với hệ tọa độ vng góc Ox y z cho mặt cầu (S) : x + y + z − 2x − 4y + 6z + 13 = đường thẳng d1 : x = 1+t x −1 y −1 z +1 y = − t (t ∈ R), d : = = Gọi M điểm thuộc mặt cầu (S) cho khoảng −1 z =3 cách từ M đến đường thẳng d1 đạt giá trị nhỏ Viết phương trình đường thẳng qua M , vng góc với d cắt d Câu 7A (1 điểm) Giải phương trình: 3x − x − x + + 2x.3x + 2x + = 9x B Theo chương trình nâng cao Câu 6B (2 điểm) x2 y + = điểm I (1; −1) Một đường thẳng ∆ qua I cắt Elip hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ điểm A, B cho độ lớn tích I A.I B đạt giá trị nhỏ a) Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho Elip có phương trình: x y x +1 y −1 z = = , ∆2 : = = b) Trong khơng gian với hệ tọa độ vng góc Ox y z cho hai đường thẳng ∆1 : 3 −1 z −1 hai điểm A(−1; 3; 0), B (1; 1; 1) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 ∆2 M N cho tam giác AN B vng B thể tích khối tứ diện AB M N Câu 7B (1 điểm) Giải hệ phương trình : x2 − y = log16 x + y = log3 x − y + ———————————————–Hết—————————————————- DeThiMau.vn TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN Câu x +1 có đồ thị (C ) x −1 Cho hàm số y = a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C ) b) Viết phương trình tiếp tuyến điểm M thuộc đồ thị (C ), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh điểm N cho ∆OM N vuông a) Lời giải (hungchng): −2 < ∀x ∈ D , (x − 1)2 Hàm số nghịch biến (−∞; 1); (1; +∞) lim y = +∞; lim− y = −∞; x = phương trình tiệm cận dọc * TXĐ D = R\{1}; x→1+ đạo hàm y ′ = x→1 lim y = 1; x→−∞ lim y = 1; x→+∞ * Bảng biến thiên x y = phương trình tiệm cận ngang −∞ +∞ y′ * Đồ thị − − +∞ −3 y −2 −1 −1 −∞ −2 −3 b) Lời giải (dangnamneu): +1 Giả sử điểm M x ; xx00 −1 ∈ (C ) Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm M k = y ′ (x ) = x +1 x −1 −2 (x − 1)2 x0 + Tam giác OM N vuông ta xét ba trường hợp: = x − x (x − 1) Trường hợp 1: Tam giác OM N vng O M thuộc trục tung, tức M (0; −1) tiếp tuyến cần tìm là: −2 y= (x − 0) − ⇔ y = −2x − (0 − 1)2 Trường hợp 2: Tam giác OM N vuông N tiếp tuyến song song với trục tung, điều Trường hợp 3: Tam giác OM N vuông M −2 x0 + = −1 ⇔ x (x − 1)3 = (x + 1) k.kOM = −1 ⇔ x (x − 1) (x − 1) Đến để đơn giản ta đặt t = x − phương trình trở thành: t2 −2 = t (t + 1) = (t + 2) ⇔ t + t − 2t − = ⇔ t t − + t − t + = ⇔ ⇔ t = ± ⇔ x0 = ± t2 +2+ t = 1+ 2+1 −2 x −1− + y= 1+ 2−1 y = −x + + 2 1+ 2−1 Từ suy hai tiếp tuyến là: ⇔ −2 + 1 − y = −x + − 2 y= x −1+ + 1− 2−1 1− 2−1 Hệ số góc đường thẳng OM là: kOM = Vậy tất có tiếp tuyến cần tìm y = −2x − 1; Câu 2.a Giải phương trình: Lời giải (theoanm): sin 2x + y = −x + + 2; π π − sin 6x − = 4 sin 2x + π π − sin 6x − = 4 Nhân hai vế với vào hai vế ta phương trình y = −x + − 2 (4 cos 4x − sin 4x) (4 cos 4x − sin 4x) (sin 2x + cos 2x) − (sin 6x − cos 6x) = cos 4x − sin 4x ⇔5 sin 2x + sin 4x − (sin 6x + sin 4x) + cos 2x − cos 4x + cos 6x − cos 4x = ⇔10 sin 3x cos x − sin 5x cos x + 10 sin 3x sin x − sin 5x sin x = ⇔10 sin 3x (sin x + cos x) − sin 5x (sin x + cos x) = ⇔ (sin x + cos x) (10 sin 3x − sin 5x) = −π + kπ TH : sin 3x = sin 5x ⇔ sin 3x = (sin 5x − sin 3x) ⇔ sin 3x = 10 cos 4x sin x ⇔ sin x − sin3 x = cos 4x sin x TH : sin x + cos x = ⇔ x = DeThiMau.vn http://www.k2pi.net ⇔ sin x − 4si n x − cos 4x = • sin x = ⇔ x = kπ •3 − 2(1 − cos2x) − 5(2 cos2 2x − 1) = ⇔ −10 cos2 2x + cos 2x + = ⇔ −5 cos2 2x + cos 2x + = Câu 2.b x − y = y −xy x x + − 8y + = y4 y Giải hệ phương trình: (x, y ∈ R) Lời giải (hoanghai1195): x x ĐKXĐ: y = P T (1) ⇔ 2x + 3x y = 3y + 2y ⇔ 2( )3 + = 2y + 3y y y Xét hàm số f (t ) = 2t + 3t hàm đồng biến R nên phương trình tương đương với: 5+ y= Thế vào phương trình (2) ta được: 4y + 5y − 8y + = ⇔ −4y + 5y + = ⇒ 5− y= 162 + 10 137 162 − 10 137 x= x= 64 64 Từ ta suy hệ có nghiệm: Hoặc: + 137 y = − 137 y= 8 2 x = y hay x = y y 137 137 Lời giải (Con phố quen): Điều kiện : y = Quan sát thấy phương trình vế trái chứa hẳng đẳng thức : x − y = x − (y )3 = (x − y )(x + x y + y ) Mặt khác vế phải lại tách nhân tử chung : y − x y = −y (x − y ) Điều chứng tỏ từ phương ta bắt nhân tử chung sau : (x − y )(2x + 2x y + 2y + 3y ) = (1) Ta xem phương trình 2x + 2x y + 2y + 3y = phương trình bậc hai theo biến x với biệt số ∆′ = y − 2(2y + 3y ) = −(3y + 6y ) < Do phương trình : 2x + 2x y + 2y + 3y = vơ nghiệm Từ (1) cho x =y Thế kết vào phương trình thứ hai hệ thu gọn ta thu phương trình : 81 − 137 − 137 ⇒x= y= 32 4y − 5y − = ⇔ 81 + 137 + 137 ⇒x= y= 32 Câu Tính tích phân I= π sin 2x + cos 2x dx sin x + cos x + − π4 Lời giải (nqt): π π sin 2x cos 2x dx + π dx = A + B − π4 + sin x + cos x − + sin x + cos x * Tính A : Có sin 2x = (1 + sin 2x) − = (sin x + cos x)2 − = (sin x + cos x − 1)(sin x + cos x + 1) π π Nên A = −4π (sin x + cos x − 1)dx = − *Tính B : Có cos 2x = (cos x − sin x)(cos x + sin x) π π Đặt t = sin x + cos x + ⇒ dt = (cos x − sin x)dx Đổi cận x = − ⇒ t = 1; x = ⇒ t = + 4 t −1 π dt = − ln( + 1) Vậy I = 2 − − ln( + 1) Do B = 2+1 t Ta có I = Lời giải (dan_dhv): π (cos x + sin x)2 − + cos 2x dx cos x + sin x + − π4 π π 4 (cos x + sin x + − 1)(cos x − sin x) = (sin x + cos x − 1)d x + dx cos x + sin x + − π4 − π4 π π 4 cos x − sin x cos x − sin x − dx = (sin x + cos x − 1) d x + cos x + sin x + − π4 − π4 Ta có: I = = sin x − cos x − x + sin x + cos x − ln(cos x + sin x + 1) = sin x − x − ln (cos x + sin x + 1) = 2 + Lời giải (kunkun): π −π − ln( + 1) π cos x (sin x + cos x + 1) − (1 + cos x) sin 2x + cos 2x dx = −π dx sin x + cos x + − π4 sin x + cos x + π π π 4 + sin x + (cos x − sin x) + cos x cos xd x − dx = 2− dx = −π −π sin x + cos x + −π sin x + cos x + 4 π π (cos x − sin x) + sin x = 2− dx − d x = 2 − ln + − I −π sin x + cos x + −π sin x + cos x + 4 I= http://www.k2pi.net DeThiMau.vn Xét I = π −π + sin x π d x Đặt x + π4 = t ⇒ d x = d t Đổi cận: x = sin x + + π π + sin t − ⇒ I1 = dt = sin t + π Vậy I = 2 − − ln + π + sin t − cos t sin t + −π ⇒ t = 0; x = π dt = − π π ⇒t = cos t sin t + π dt = π − ln + Câu Cho hình lăng trụ ABC A ′ B ′C ′ có đáy ABC tam giác vng A , AB = a, AC = a Gọi H , M trung điểm BC ,CC ′ Biết A ′ cách đỉnh A, B, C Góc tạo đường thẳng A ′ B mặt phẳng (A ′ AH ) 300 Tính thể tích lăng trụ ABC A ′ B ′C ′ khoảng cách hai đường thẳng A ′ B AM Lời giải (): B′ C′ A′ M B H a C O a A Ta có BC = AB + AC = 2a Gọi H trung điểm cạnh huyền BC ta có H A = H B = HC = a nên A ′ H ⊥ (ABC ) Gọi O trung điểm AH ta có BO ⊥ AH (△AB H cạnh a ) Do BO ⊥ AH A ′ , suy B A ′O = B A ′ , (AH A ′ ) = 30o a 3a =⇒ A ′ O = mà A ′O = HO + A ′ H nên A ′ H = a 2 a3 Thể tích lăng trụ V ABC A ′ B ′C ′ = S ABC A ′ H = a.a 3.a = 2 BO = Câu Cho a, b, c số dương thoả mãn : 2a + 3b + 5ab + 3bc + 2ac + c ≤ + 5a + 8b Chứng minh rằng: 8a Lời giải (Con phố quen): Từ điều kiện ta biến đổi: +1 + 8b +1 + 8c +1 ≥1 2a + 3b + 5ab + 3bc + 2ac + c ≤ + 5a + 8b ⇐⇒ 2a + 2ab + 2ac − 6a + 3ab + 3b + 3bc − 9b + a + b + c − ≤ ⇐⇒ 2a(a + b + c − 3) + 3b(a + b + c − 3) + (a + b + c − 3) ≤ ⇐⇒ (a + b + c − 3)(2a + 3b + 1) ≤ (1) Do a, b, c > nên từ (1) ta có : a + b + c ≤ Lại có : 2a+b+c = 2a · 2b · 2c ≤ Đặt m = 2a , n = 2b , p = 2c ⇒ mnp ≤ Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có + m3 = Xây dựng bất đẳng thức tương tự, ta Vậy ta cần phảỉ chứng minh VT ≥ (1 + m)(1 − m + m ) ≤ m2 + + n2 + + m2 + 2 p2 + 2 2 2 2 p2 m + + ≥ tức + n + ≥1 2 2 m +2 n +2 p +2 1+ 1+ 1+ m n p 1 1 Tiếp tục đăt :t = , u = , v = Với điều kiện mnp ≤ ⇒ t uv ≥ Khi ta cần chứng minh : m n p 2u 2v 2t + + ≥1 + 2t + 2u + 2v DeThiMau.vn http://www.k2pi.net Tới ta khai triển rút gọn ta thu 4(ut + v t + uv) + 16uv t ≥ Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM ta có : (∗) 4(ut + v t + ut ) + 16uv t ≥ 12 t u v + 16uv t = 12 · Vậy (∗) chứng minh Dấu đẳng thức xảy t = u = v = Câu 6A.a 1 + 16 · =1 16 64 hay m = n = p = hay a = b = c = Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Đề-các vng góc Oxy, cho đường trịn (C ) : x − + y −1 =2 Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABC D biết đỉnh B C thuộc đường tròn (C ), đỉnh A D thuộc trục Ox Lời giải (thiencuong_96): XXXXXXXXXXXXXXXXXX Câu 6A.b Trong không gian với hệ tọa độ vng góc Ox y z cho mặt cầu (S) : x + y + z − 2x − 4y + 6z + 13 = đường thẳng d : x = 1+t x −1 y −1 z +1 y = − t (t ∈ R), d : = = Gọi M điểm thuộc mặt cầu (S) cho khoảng −1 z =3 cách từ M đến đường thẳng d1 đạt giá trị nhỏ Viết phương trình đường thẳng qua M , vng góc với d1 cắt d2 Lời giải (Con phố quen): Trong toán nội dụng đề cập đến hai vấn đề : * Tìm điểm M thuộc cầu cho trước đồng thời khoảng cách từ M đến đường thẳng cho trước đạt giá trị nhỏ lớn * Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cho trước đồng thời vng góc với đường thẳng a cắt đường thẳng b Tiếp đến, phố quen đưa hướng giải cho vấn đề Vấn đề : Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) đồng thời khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ có giá trị nhỏ lớn Giải vấn đề : - Bước : Gọi H hình chiếu tâm I mặt cầu lên ∆ Xác định tọa độ điểm H - Bước : Viết phương trình đường thẳng qua I H Và tìm giao điểm M1 , M2 I H mặt cầu (S) - Bước : Tính I H so sánh I H bán kính R mặt cầu (S) Khi : I H > R Thì M Hmin = {M H , M H } , M HMax = Max {M H , M H } I H = R Thì M Hmin = M trùng H , M Hmax M trùng với điểm đối xứng H qua I I H < R Thì M Hmin = lúc M trùng với hai điểm A, B với A, B giao điểm ∆ mặt cầu (S), M Hmax = max {M H , M H } Vấn đề : Viết phương trình đường thẳng d qua M , vng góc với d1 cắt d2 Giải vấn đề : Bài tốn có nhiều cách giải Ở hướng giải gọn nhẹ sau : −−→ −→ → Giả sử d cắt d2 B Suy tọa độ điểm B Tính M B Do d ⊥d nên AB · − a1 = Tinh điểm B Từ viết phương trình M B Bây ta cụ thể vào tốn: Tìm điểm M Đối với mặt cầu (S) ta có tâm I (1; 2; −3) bán kính R = −→ Gọi H hình chiếu vng góc I lên d1 Suy H (1 + t , − t , 3) ⇒ I H = (t ; −t ; 6) −→ → Do I H ⊥d1 nên I H · −a d1 = ⇒ t − (−t ) = ⇔ t = ⇒ H (1; 2; 3) ⇒ I H = > R x = Ta có phương trình I H : y = Tọa độ hai điểm M , M I H mặt cầu (S) nghiệm hệ phương trình: z = + 6u x = y = ⇔u=− ∨ u=− ⇒ (1 − 1)2 + (2 − 2)2 + (3 + 6u + 3)2 = ⇔ (1 + u)2 = 36 6 z = + 6u (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 3)2 = Khi ta có : M1 (1; 2; −2), M2 (1; 2; −4) Từ ta có : M1 H = 5; M2 H = Do I H > R nên M Hmin = {M1 H , M2 H } = Từ ta có M trùng với điểm M1 hay M (1; 2; −2) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với d1 cắt d2 −−→ Giả sử d cắt d2 B nên ta có B (1 − v; + 2v; −1 + v) Ta có M B = (−v; −1 + 2v; + v) 1 1 −−→ ⇒ M B = − ; − ; − = (1; −1; −2) 3 3 − Do đường thẳng d qua M nhận véc tơ → u = (1; −1; −2) làm véc tơ phương −−→ − Do d ⊥d1 nên ta có : M B · → a d1 = ⇒ −3v + = ⇔ v = http://www.k2pi.net DeThiMau.vn nên ta có phương trình :d : Câu 7A x −1 y −2 z +2 = = −1 −2 Giải phương trình: 3x − x − x + + 2x.3x + 2x + = 9x Lời giải (dangnamneu): Điều kiện: 3x − x ≥ x ≥ −1 3x − 2x − Biến đổi phương trình dạng: 3x − 2x − = = (3 − 2x − 1) (3 + 1) ⇔ x +1 = 3x − x + x + 3x − x + x + 1 ⇔ 3x − x + x + (3x + 1) = Xét phương trình: 3x + = 3x − x + x + 3x − x + x + < 3x − x + x + Đế ý là: = 3x − x + x + (3x + 1) = 3x − x + x + 1 ⇒ 3x − x + x + > ⇒ nên phương trình vơ nghiệm Xét phương trình: 3x − 2x − = 0, dạng phương trình mũ hay gặp x x Ta xét hàm số f (x) = 3x − 2x − ta có f ′ (x) = 3x ln − = ⇔ x = log3 ln Lập bảng biến thiên hàm số suy phương trình có nghiệm tối đa nghiệm Mặt khác nhận thấy x = 0; x = thỏa mãn Nên hai nghiệm phương trình Vậy phương trình có hai nghiệm x = 0; x = x2 y + = điểm I (1; −1) Một đường thẳng ∆ qua I cắt Elip hai điểm phân biệt A, B Tìm tọa độ điểm A, B cho độ lớn tích I A.I B đạt giá trị nhỏ Câu 6B.a Trong mặt phẳng tọa độ Ox y cho Elip có phương trình: Lời giải (dangnamneu): Gọi I ′ , A ′ , B ′ hình chiếu I , A, B xuống trục hồnh, theo tính chất hình chiếu ta suy I A.I B ≥ I ′ A ′ I ′ B ′ , dấu xảy AB song song với trục hồnh Tương tự hạ hình chiếu xuống trục tung, lập luận tương tự suy AB song song với trục tung Nhưng hai trường hợp có trường hợp thỏa mãn toán Nhưng để ý I (1; −1) nằm Elip 12 (−1)2 + −1 < nên hình chiếu nằm trục lớn trục bé Elip, để ý trục lớn có độ dài lớn nên đường thẳng AB cần tìm song song với trục bé, tức song song với trục tung Do AB song song với trục tung qua I (1; −1) nên có phương trình là: x = ⇒ A 1; − Vậy hai điểm cần tìm A 1; − Câu 6B.b , B 1; A 1; , B 1; − 7 , B 1; Trong khơng gian với hệ tọa độ vng góc Ox y z cho hai đường thẳng ∆1 : x +1 y −1 z x = = , ∆2 : = 3 z −1 y = hai điểm A(−1; 3; 0), B (1; 1; 1) Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt đường thẳng ∆1 ∆2 M −1 N cho tam giác AN B vng B thể tích khối tứ diện AB M N Lời giải (): XXXXXXXXXXXXXXXXXX Câu 7B Giải hệ phương trình : Lời giải (hoanghai1195): x+y >0 x−y >0 x+y =a x−y =b x2 − y = log16 x + y = log3 x − y + ĐKXĐ: Đặt P T (1) ⇐⇒ ab = =⇒ a = Thế vào phương trình (2); ta được: b log3 log2 a +2− =⇒ log2 a = ⇐⇒ a = =⇒ b = log3 − log3 a + ⇐⇒ log2 a = 4 log 23 x= Từ suy hệ có nghiệm: y= 2 log2 a = DeThiMau.vn http://www.k2pi.net ... đến, phố quen đưa hướng giải cho vấn đề Vấn đề : Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) đồng thời khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ có giá trị nhỏ lớn Giải vấn đề : - Bước : Gọi H hình chiếu tâm I... đường thẳng qua M , vng góc với d1 cắt d2 Lời giải (Con phố quen): Trong toán nội dụng đề cập đến hai vấn đề : * Tìm điểm M thuộc cầu cho trước đồng thời khoảng cách từ M đến đường thẳng cho trước... hệ trục tọa độ Đề- các vng góc Oxy, cho đường trịn (C ) : x − + y −1 =2 Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABC D biết đỉnh B C thuộc đường tròn (C ), đỉnh A D thuộc trục Ox Lời giải (thiencuong_96):