ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012 Môn Thi : TOÁN ; Khối :D Lần thứ hai SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG TRƯỜNG THPT CHÍ LINH Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề Đề gồm 01 trang - Cho hàm số y Câu I ( 2,0 điểm) x2 có đồ thị ( C ) x 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận ( C ).Viết phương trình tiếp tuyến ( C ), biết khoảng cách từ I đến tiếp tuyến Câu II ( 2,0 điểm) Giải phương trình cos x cos x sin( x Giải phương trình ) x 8x3 x x x3 Câu III (1,0 điểm ) Tính tích phân I dx x4 13 Câu IV (2,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC BCD tam giác cạnh a, góc AD mặt phẳng ( ABC ) 450 Tính thể tích khối tứ diện ABCD theo a góc hai mặt phẳng ( ABD ) ( ABC ) Câu V (1,0 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P x y 1 x 1 y Câu VIa ( 2,0 điểm) Trong hệ toạ độ Oxy, cho điểm A( 1; 1) đường thẳng d: x - y + = Tìm tọa độ điểm B thuộc d cho đường thẳng qua hai điểm A, B tạo với d góc 450 Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) đường thẳng (d) có phương trình ( S ) : ( x 1) y ( z 2) , (d): x y 1 z Viết phương trình mặt phẳng (P) 2 vng góc với đường thẳng (d) cắt mặt cầu ( S ) theo đường tròn có bán kính Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z biết: z (1 i )( z 1) có phần ảo hết Họ tên thí sinh…………………….số báo danh…………………… DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN KHỐI D Câu I.1 ( 1,0 đ) Tập xác định: D R \ 1 Nội dung Điểm Sự biến thiên hàm số: * Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực hàm số Tiệm cận đồ thị hàm số x2 x Đồ thị hàm số nhận đường thẳng y = lim lim y lim x x x x 0,25 1 x 1 làm tiệm cận ngang lim y lim x 1 x 1 x2 ; x 1 lim y lim x 1 x 1 x2 Đồ thị hàm số nhận x 1 đường thẳng x = làm tiệm cận đứng * Lập bảng biến thiên: Có y ' 0x D , y’ không xác định x = ( x 1) 0,25 Hàm số đồng biến khoảng xác định Hàm số khơng có cực trị Bảng biến thiên: x - y' + + + + 0,25 y Đồ thị: -2 fx )= cắt trục Ox (2;0), Đồ thị ( C -1 ( C ) cắt trục Oy (0; 2) Đồ thị ( C ) nhận I(1; 1) làm tâm đối xứng 10 - y I 0,25 -5 O -2 -4 DeThiMau.vn x I.2 ( 1,0 đ) Giao điểm hai đường tiệm cận ( C ) I( 1; ) Gọi M ( x0 , x0 ) (C ), ( x0 1) tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm với (C) x0 Khi phương trình tiếp tuyến ( C ) M là: y 0,25 x 2 ( x x0 ) x ( x0 1) y x02 x0 (d) ( x0 1) x0 Vì d ( I , (d )) ( x0 1) x02 x0 ( x0 1) x0 0,25 2(1 x0 ) ( x0 1) ( x0 1) Đặt t ( x0 1) ( đk: t > ) pt có dạng: 0,25 t 2t t 1(t / m) x0 x0 Với t ( x0 1) x y Vậy có tiếp tuyến cần tìm là: x y II.1 (1,0 đ) cos x cos x sin( x ) cos x cos x sin x cos x 0,25 0,25 cos x cos x sin x cos x cos x(cos x sin x cos x) 0,25 cos x(cos x sin x)(cos x sin x 1) cos x cos( x ) cos( x ) 1 0,25 cos x cos( x ) cos( x ) x k x 3 m x l 2 x l 2 0,25 (k , l , m Z ) y x x (1) Đặt y x y x ta có hệ: y x (2) 3 0,25 Cộng hai vế (1) (2) ta được: y y x x y y (2 x) x (*) DeThiMau.vn 0,25 Xét hàm f (t ) t t có: f ' (t ) 3t 0t f (t ) đồng biến t II.2 ( 1,0đ) 0,25 Từ (*) có: f ( y ) f (2 x) y x x x x 8x x Vậy pt có nghiệm x III (1,0 đ) 13 I Đặt t 3 Khi đó: xx dx x4 3 x x 1 1 x2 dx x3 0,25 1 2 dx t 3t dt dx t dt x x x x 1 3t x2 dx dt ; Đ ổi cận: x t 2; x t x 0,25 0,25 3t 3 Khi I dt t 0 2 Câu IV ( 1,0 đ) 0,25 0,25 Gọi H trung điểm BC Do ABC BCD cạnh a nên D BC ( a Kẻ DK AH DK ( ABC ) AH DH a 0,25 góc DAK 450 , DAH 450 DAK vuông cân K; DAH vuông cân H F K H DH ( ABC ) Diện tích tam giác ABC là: S ABC C A a E H B a2 ABAC sin 60 a a a3 Thể tích khối tứ diện ABCD V DH S ABC 0,25 Kẻ HE AB DE AB Vậy góc mp ( ABD) ( ABC) góc 0,25 hai đường thẳng DE HE góc DEH Gọi CF đường cao xuất phát từ C tam giác ABC cạnh a nên có 0,25 CF a a DH DEH arctan , HE CF nên tan DEH HE 2 DeThiMau.vn Vậy góc hai mp ( DAB) (ABC) góc DEH = arctan x, y Do nên đặt x y x sin t với t ( ; ) 2 y cos t Tacó: sin t cos t sin t cos t (sin t cos t ) sin t cos t (sin t cos t ) P cos t sin t sin t cos t sin t cos t 0,25 u2 1 Đặt u sin t cos t sin(t ) , có: sin t cos t Do t V (1,0 đ) t 3 sin(t ) u 4 u 3u Khi đó: P với u u2 1 Có P ' 0,25 (u 3) P nghịch biến với u (u 1) Pmin P( ) u sin(t x y VIa.1 (1,0đ) 0,25 Vậy Pmin 2x y ) 1 t k 2 (k Z ) Đường thẳng d qua điểm M(1;-2) có VTCP u (1; 1) x t y 1 t 0,25 nên có ptts (t R) Do B d B(t ; t ) Có AB (t 1; t ) AB.u 2t 0,25 0,25 Theo giả thiết có góc đường thẳng AB d 450 cos( AB, d ) cos( AB, u ) AB.u AB u cos( AB, d ) 2t 2t 2t 0,25 2t 2t 2t t B(0 ;1) 2t 2t t B(1; 2) (S) có tâm I( 1; 0; -2) có bán kính R = 3, đường thẳng d có VTCP u (1; 2; 2) DeThiMau.vn 0,25 (P) vng góc với d nên VTPT (P) n (1; 2; 2) 0,25 Giả sử (P) có phương trình : x y z D 0,25 Ta có d ( I ; ( P )) R 4 VIa.2 ( 1,0đ) 5 D 12 2 (2) 5 D 3 5 D D 5 D 3 D 3 ( P ) : x y z 0,25 0,25 Vậy có hai mp thỏa mãn đề là: ( P) : x y z Gọi z x yi ( x, y R ) z x yi Ta có: z ( x 1) y (1) 0,25 Vì (1 i )( z 1) ( x y 1) ( x y 1)i có phần ảo nên x – y – = 0,25 x y (2) Thay (2) vào (1) có: ( y 1) y y y VIIa (1,0đ) y y 1 Với y x z 0,25 0,25 Với y 1 x z i Vậy có số phức z = z = - i DeThiMau.vn ... trung điểm BC Do ABC BCD cạnh a nên D BC ( a Kẻ DK AH DK ( ABC ) AH DH a 0,25 góc DAK 450 , DAH 450 DAK vuông cân K; DAH vuông cân H F K H DH ( ABC ) Diện tích... đó: xx dx x4 3 x x 1 1 x2 dx x3 0,25 1 2 dx t 3t dt dx t dt x x x x 1 3t x2 dx dt ; Đ ổi cận: x t 2; x t x 0,25 0,25 3t 3 Khi I dt t... ABAC sin 60 a a a3 Thể tích khối tứ diện ABCD V DH S ABC 0,25 Kẻ HE AB DE AB Vậy góc mp ( ABD) ( ABC) góc 0,25 hai đường thẳng DE HE góc DEH Gọi CF đường cao xuất phát từ