Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn thi: Toán49497

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Câu (4 điểm) a) Rút gọn biểu thức A  1 1 x2  (1 x)   1 x (1  x)3  với 1  x  b) Cho a b số thỏa mãn a > b > a3  a 2b  ab2  6b3  Tính giá trị biểu thức B  a  4b4 b  4a Câu (4 điểm) a) Giải phương trình x ( x  2)   x x  5 x  y  xy  26     x (2 x y )( x y ) 11  b) Giải hệ phương trình  Câu (4 điểm) a) Tìm số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình xy  xy  x  32 y b) Tìm tất số ngun tố p có dạng p=a2+b2 +c2 với a; b; c số nguyên dương cho a4+b4 +c4 chia hết cho p Câu (6 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O, R) H điểm di động đoạn OA (H khác A) Đường thẳng qua H vng góc với OA cắt cung nhỏ AB M Gọi K hình chiếu M OB ฀ ฀  2AMH a) Chứng minh HKM b) Các tiếp tuyến (O, R) A B cắt tiếp tuyến M (O, R) D E OD, OE cắt AB F G Chứng minh OD.GF = OG.DE c) Tìm giá trị lớn chu vi tam giác MAB theo R Câu (2 điểm) Cho x;y;z >0 chứng minh x y   z  3x x  3y z  y  3z Hết - ThuVienDeThi.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ - HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP MÔN THI: TOÁN Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà kết giám khảo cho điểm tối đa Câu A Câu 1a: (1,0 đ) Câu 1b: (1,0 đ)   x2  1 x   Nội dung  x   x2  1 x  0.5  1 x  1 x    x   x   1     x2  1   x2 0.5  x2 2   x  0.5  2x = x 0.5 a  a 2b  ab  6b3   (a  2b)(a  ab  3b )  (*) 0.5 Vì a > b >  a  ab  3b  nên từ (*) ta có a = b 0.5 a  4b 16b  4b  b  4a b  64b 0.5 Vậy biểu thức B  B 12b 4  63b 21 0.5 t2 Đặt t  x x   t  x  x  x x   2 t  4 t   t  t  2t     ta phương trình t  2 Câu 2a: (1,0 đ) Điểm      x  x   4 2 x  2x   2 x  x  16 Với t = -4 ta có x x   4     x   x x   x  x   4 2 x  2x   2 x  x  Với t =2 ta có x x      x   x  x      Kết luận nghiệm phương trình ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.5 0.5 a  b  26 a  b  ab  11 Đặt 2x+y =a; x-y=b biểu diễn hệ  Câu 2b: (1,0 đ) 0.5  a  b  8  ab  19 tìm   a  b    ab  0.5 Giải hệ cuối tìm được(x;y)  (2;1);(2; 3) 05 xy  xy  x  32 y  x( y  1)  32 y Do y nguyên dương  y    x  Câu 3a: (1,0 đ) 0.25 0.5 0.5 x  y   Vai trò a; b; c bình đẳng giả sử a  b  c P= a2+b2+c2 nên (a4+b4+c4+ 2a2b2+2b2c2 +2c2a2 )  p Suy 2a2b2+2b2c2 +2c2a2  p a,b,c nguyên dương nên p  (2;3)=1vậy a2b2 +b2c2+c2a2  p Suy (a2b2 + c2p –c4)  p suy (ab-c2) (ab+c2)  p ab < 2ab  a2+ b2 nên 1