Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán 1226193

S GIÁO D C VÀ ÀO T O THANH HÓA KÌ THI CH N H C SINH GI I T NH N m h c: 2011-2012 THI CHÍNH TH C Mơn thi: TỐN L p 12 THPT Ngày thi: 23 tháng n m 2012 Th i gian : 180 phút (không k th i gian giao đ ) có 01 trang, g m 05 câu S báo danh … .…… Câu I (4,0 m) Cho hàm s y = − x + x − x + 1) Kh o sát s bi n thiên v đ th (C) c a hàm s cho 2) G i f ( x) = x − x + x − , tìm s nghi m c a ph ng trình: [ f ( x)] − [ f ( x) ] + f ( x) − = Câu II (4,0 m) 1) Gi i ph ng trình (1 + sin x)(1 − 2sin x) + 2(1 + 2sin x) cos x = 2) Gi i h ph ⎧⎪22 x − y − x + y = ( x + y ) x + y − (2 x − y ) x − y ng trình ⎨ ⎪⎩ y − 2( x − 1) + = ( x, y ∈ ฀ ) Câu III (4,0 m) 1) T ch s 0, 1, 2, 3, l p s ch n có ch s đơi m t khác L y ng u nhiên m t s v a l p Tính xác su t đ l y đ c s l n h n 2012 π 2) Tính tích phân I = (sin x + cos x)dx x + 4cos x ∫π 3sin − Câu IV (6,0 m) 1) Trong m t ph ng to đ Oxy cho đ ng tròn (C ) : x + y = , đ ng th ng Δ : y = x − + m A(3; 0) G i M m t m thay đ i (C ) B m cho t giác ABMO hình bình hành Tính di n tích tam giác ABM , bi t tr ng tâm G c a tam giác ABM thu c Δ G có tung đ d ng 2) Cho hình chóp S ABCD , đáy hình ch nh t có AB = a BC = 2a , m t ph ng ( SAB ) vng góc v i đáy, m t ph ng ( SBC ) ( SCD ) t o v i đáy m t góc 2a b ng Bi t kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA BD b ng a) Tính th tích kh i chóp S ABCD b) Tính cơsin góc gi a hai đ ng th ng SA BD Câu V (2,0 m) 1 + + ≥ Cho s th c x, y, z tho mãn x > , y > , z > 3x + 2 y + z Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A = (3 x − 1)(2 y − 1)( z − 1) - H T Thí sinh không đ c s d ng tài li u Cán b coi thi khơng đ c gi i thích thêm ThuVienDeThi.com S GIÁO D C VÀ ÀO T O THANH HĨA KÌ THI CH N H C SINH GI I T NH N m h c: 2011-2012 H NG D N CH M MƠN TỐN ( th c) L p 12 THPT Ngày thi: 23 tháng n m 2012 (H ng d n g m 04 trang) CÂU N I DUNG I 1) 3,0 m T p xác đ nh: D = ฀ 4,0 S bi n thiên: m + Chi u bi n thiên: y ' = − x + x − ; y '( x) = ⇔ x = ho c x = Hàm s ngh ch bi n kho ng: (− ∞; 1) (3; + ∞) ; đ ng bi n kho ng: (1; 3) + C c tr : Hàm s đ t c c ti u t i x = ; yCT = − , đ t c c đ i t i x = ; yC = + Gi i h n: lim y = + ∞ ; lim y = − ∞ x →−∞ I M 0,5 1,0 x →+ ∞ + B ng bi n thiên x −∞ − y' +∞ + − 1,0 +∞ y − −∞ th : ⎛ ⎝ 1⎞ + i qua m: (0; 1) ⎜ 4; − ⎟ y ⎠ 1 O − + Nh n xét: 0,5 3 x th (C) đ i x ng qua m I ⎛⎜ 2; ⎞⎟ ⎝ ⎠ 2) 1,0 m [ f ( x)] − [ f ( x) ] + f ( x) − = (1) (1) ⇔ − [ f ( x ) ] + [ f ( x) ] − f ( x) + = -1ThuVienDeThi.com 0,5 ⎧ g (m) = (2) ⎧ g ( m) = ⎪ t g ( x) = − x + x − 3x + , ta có: (1) ⇔ g ( f ( x)) = ⇔ ⎨ ⇔⎨ m ⎩m = f ( x) ⎪⎩− = g ( x) (3) S nghi m c a (1) s nghi m c a (3), v i m nh n t t c giá tr tho mãn (2) T đ th (C), suy (2) có nghi m m , tho mãn: < m < , < m < < m < C ng t (C), ta có: m < − < (3) có nghi m phân bi t 3 m + N u < m < hay −1 < − < − (3) có nghi m 3 m + N u < m < hay − < − < − (3) có nghi m 3 Rõ ràng, nghi m c a (3) tr ng h p đôi m t khác Do (1) có nghi m 1) 2,0 m (1 + sin x)(1 − 2sin x) + 2(1 + 2sin x) cos x = (1) + N u < m < hay − II 4,0 m 0,5 x x⎞ x x⎞ ⎛ ⎛ (1) ⇔ ⎜ cos + sin ⎟ (1 − 2sin x) + 2(1 + 2sin x) ⎜ cos − sin ⎟ = 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ x x ⇔ cos + sin = (2) 2 x x⎞ x x⎞ ⎛ ⎛ ho c ⎜ cos + sin ⎟ (1 − 2sin x) + (2 + 4sin x) ⎜ cos − sin ⎟ = (3) 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ x π (2) ⇔ tan = −1 ⇔ x = − + k 2π 2 x x x x (3) ⇔ 3cos − sin + 2sin x cos − 6sin x sin = 2 2 x x x x x x ⇔ 3cos − sin + 4sin cos − 12sin cos = 2 2 2 x x x x ⇔ 3sin − 4sin + 12 cos3 − cos = 2 2 3x 3x 2α 2π , tan α = −3 ⇔ sin + 3cos = ⇔ x = +l 2 3 π 2α 2π V y, (1) có nghi m: x = − + k 2π ho c x = +l , tan α = −3 (v i k , l ∈ ฀ ) 3 2) 2,0 m ⎧⎪22 x − y − x + y = ( x + y ) x + y − (2 x − y ) x − y (1) ⎨ (2) ⎪⎩ y − 2( x − 1) + = + i u ki n: x + y ≥ 0, x − y ≥ (*) + Khi đó: (1) ⇔ 2 x− y + (2 x − y ) x − y = x+ y + ( x + y) x + y 1,0 1,0 1,0 Xét hàm f (t ) = + t t , suy ra: (1) có d ng f (2 x − y ) = f ( x + y ) M t khác f (t ) đ ng bi n, (1) ⇔ 2x − y = x + y hay x = y t + Th vào (2), ta đ t c: y = 2t − , ph y + = 2(2 y − 1)3 (3) ⎪⎧t = (2 y − 1) ng trình (3) tr thành h : ⎨ ⎪⎩ y = (2t − 1) -2- ThuVienDeThi.com 1,0 Tr v t ng ng ph ng trình c a h , ta đ c: t = y ( 2(2 y − 1) + 2(2 y − 1)(2t − 1) + 2(2t − 1) + > ∀y, t ) III 4,0 m Th vào h : y = (2 y − 1)3 ⇔ y − 12 y + y − = ⇔ ( y − 1)(8 y − y + 1) = ⇔ y = y = ⇒ x = , tho mãn (*) V y, h cho có nghi m (duy nh t): ( x; y ) = (2; 1) 1) 2,0 m L p s ch n d ng abcd t E = {0, 1, 2, 3, 4} + Ch n d = , ch n th t a, b, c t p E \ {0} có A 34 = 24 cách D ng có 24 s + Ch n d ≠ có cách, ch n a ∈ E \ {0, d } có cách, ch n b c th t t p E \ {d , a} có A 32 = cách D ng có 2.3.6 = 36 s L p đ 1,0 c 24 + 36 = 60 s Tính s s ch n l p đ c khơng l n h n 2012, có d ng 1bcd : Ch n d ch n có cách, ch n b c th t t p E \ {1, d } có A 32 = cách D ng có: 3.6 = 18 s Suy s l n h n 2012 có 60 − 18 = 42 s 42 = Xác su t c n tính: P = 60 10 2) 2,0 m 1,0 π I= ∫π − (sin x + cos x)dx (sin x + cos x)dx + 3sin x + cos x ∫0 3sin x + cos x t x = − t , ta có: 1,0 π ∫π − π (sin x + cos x)dx (− sin t + cos t )dt (− sin t + cos t )dt (− sin x + cos x)dx = − =∫ = ∫ 3sin x + cos x 3sin t + cos t ∫0 3sin x + cos x π 3sin t + cos t 0 2 π π π cos xdx d sin x 2⎛ 1 ⎞ = = − ⎜ ⎟d sin x 2 ∫ ∫ 3sin x + cos x − sin x ⎝ sin x + sin x − ⎠ 0 2 Suy ra: I = ∫ π 1,0 1 ⎛ sin x + ⎞ = ln = ⎜ ln ⎟ ⎝ sin x − ⎠ 2 IV 1) 3,0 m 6,0 (C) có tâm O(0; 0), bán kính R = m Nh n xét: A ∈ (C ) ⇒ OA = OM ⇒ ABMO hình thoi ⇒ AM ⊥ OB G i I = AM ∩ OB ⇒ OG = OI y uuur uuur K GK // AM , K ∈ OA , ta có: OK = OA ⇒ K (4; 0) M B G GK // AM ⇒ GK ⊥ OB I Suy G thu c đ ng tròn đ ng kính OK ⎧⎪ y = x − + O A K x To đ G ( x; y ), y > tho mãn: ⎨ 2 ⎪⎩( x − 2) + y = ⎧x = y + − ⎪⎧ x = y + − ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ⎪⎩2 y + 2(1 − 3) y − = ⎪⎩ y + − + y = ⇒ G (3; 3) (do y > 0) ( ) -3- ThuVienDeThi.com 1,0 1,0 Di n tích: S( ΔAMB ) = S( ΔOAM ) = S( ΔOAI ) = 2) 3,0 m 9 OK d(G, Ox) 9.4 = = S( ΔOKG ) = 16 16 1,0 a) G i H hình chi u c a S ( ABCD) , suy H ∈ AB (do ( SAB) ⊥ ( ABCD) ) CB ⊥ HB , suy góc gi a hai m t ph ng ฀ ( SBC ) ( ABCD) SBH S H HE ⊥ CD ( E ∈ CD) , suy góc gi a hai ฀ m t ph ng ( SCD) ( ABCD) SEH t ฀ ฀ = SEH ⇒ HB = HE = 2a Do SBH Ta đ c BD // AE ⇒ BD //( SAE ) A E ⇒ d( SA, BD) = d( B, ( SAE )) = d( H , ( SAE )) D B (do A trung m HB ) C 2a ⇒ d( H , ( SAE )) = Nh n xét r ng HA, HE , HS đôi m t vuông góc, suy ra: 1 1 1 ⇔ SH = 2a = + + ⇔ = 2+ 2+ 2 2 d ( H , ( SAE )) HA HE 2a HS a 4a HS H 1,0 1,0 4a Th tích: V( S ABCD ) = S( ABCD ) SH = 3 b) BD // AE , suy góc gi a hai đ ฀ ng th ng SA BD SAE Áp d ng đ nh lý hàm s côsin cho tam giác SAE , v i AE = SA = SH + HA2 = a 2 ฀ , BD) = cos SAE ฀ = SA + AE − SE = SE = SH = 2a , ta có: cos( SA 2.SA AE V 2,0 m t 3x − = a, y − = b, z − = c ; ta có: a, b, c s d ng A = abc b c ⎞ 3 ⎛ a Khi đó: + + ≥2 ⇔ + + ≥ ⇔ 3−⎜ + + ⎟≥2 3x + 2 y + z a + b + c +1 ⎝ a + b + c +1⎠ a b c ⇔ + + ≤1 a + b + c +1 b c a b c bc Suy ra: + ≤ 1− hay (1) ≥ + ≥ b + c +1 a+3 a + b + c +1 (b + 2)(c + 1) 2 ca ab (2) (3) ≥ ≥ b+2 c +1 (c + 1)(a + 3) (a + 3)(b + 2) Nhân v t ng ng c a (1), (2) (3), ta đ c: A ≤ a b c = = = D u b ng x y ra, ch khi: a + b + c +1 3 ⇔ a = , b = 1, c = ⇔ x = , y = 3, z = 2 2 V y, max A = ……………………………….……… H T……………………………………………… T 1,0 0,5 0,5 ng t : -4- ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 ...S GIÁO D C VÀ ÀO T O THANH HÓA KÌ THI CH N H C SINH GI I T NH N m h c: 2011-2012 H NG D N CH M MƠN TỐN ( th c) L p 12 THPT Ngày thi: 23 tháng n m 2012 (H ng d n g m 04 trang) CÂU... 2012 (H ng d n g m 04 trang) CÂU N I DUNG I 1) 3,0 m T p xác đ nh: D = ฀ 4,0 S bi n thi? ?n: m + Chi u bi n thi? ?n: y ' = − x + x − ; y '( x) = ⇔ x = ho c x = Hàm s ngh ch bi n kho ng: (− ∞; 1)... đ i t i x = ; yC = + Gi i h n: lim y = + ∞ ; lim y = − ∞ x →−∞ I M 0,5 1,0 x →+ ∞ + B ng bi n thi? ?n x −∞ − y' +∞ + − 1,0 +∞ y − −∞ th : ⎛ ⎝ 1⎞ + i qua m: (0; 1) ⎜ 4; − ⎟ y ⎠ 1 O − + Nh n xét: