CÁC DẠNG TỐN ƠN TẬP CHƯƠNG Dạng Xác vectơ, phương, hướng: * Phương pháp : Sử dụng khái niệm véctơ + K/n Véctơ + K/n hai véctơ phương, hai véctơ hướng BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC Có thể xác định véctơ ( khác vectơ-khơng ) có điểm đầu điểm cuối đỉnh tam giác? Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Gọi M, N trung điểm AD, BC AB a) Tìm vectơ phương với ; b) Tìm vectơ hướng với AB ; c) Tìm vectơ ngược hướng với AB ; d) Tìm vectơ với MO , với OB Bài 3: Cho lục giác ABCDEF có tâm O a) Tìm vectơ khác phương OA ; b) Tìm vectơ vectơ AB ; c) Hãy vẽ vectơ vectơ AB có: + Các điểm đầu B, F, C + Các điểm cuối F, D, C Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C , D , O a) vectơ AB ; OB b) Có độ dài OB HD: Bài 1: có cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C} Mà cặp điểm xác định véctơ Bài 2: A B M N O Bài 3: D C a DA, AD, BC , CB, AO, OD, DO, FE , EF A b OC , ED, FO B c Trên tia AB, ta lấy điểm B’ cho BB’=AB BB ' AB * FO vectơ cần tìm O D * Trên tia OC lấy C’ cho CC’=OC=AB Do CC’//AB CC ' AB + tương tự ThuVienDeThi.com C Bài 4: AB DO DC , OB b | OB || BO || DO || OD | a Dạng Chứng minh hai vectơ nhau: * Phương pháp : Ta dùng cách sau: | a || b | + Sử dụng định nghĩa: a b a, b hướng + Sử dụng tính chất hình Nếu ABCD hình bình hành D AB DC , BC AD ,…(hoặc viết ngược lại) + Nếu a b, b c a c BÀI TẬP Bài 1: Cho tam giác ABC có D, lần E, F lượt trung điểm BC, CA, AB Chứng minh: EF CD Bài 2: Cho tứ giác ABCD Chứng minh ABCD hình bình hành AB DC Bài 3: Cho tứ giác ABCD Chứng minh AB DC AD BC Bài : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA A B o C Chứng minh : MN QP ; NP MQ A HD Bài 1: Cách 1: EF đường trung bình ABC nên EF//CD, F EF= BC=CD EF=CD EF CD (1) EF hướng CD (2) B Từ (1),(2) EF CD Cách 2: Chứng minh EFDC hình bình hành EF= BC=CD EF//CD EFDC hình bình hành EF CD Bài 2: Chứng minh chiều : * ABCD hình bình hành AB // CD AB CD AB // CD * AB DC AB CD Chứng minh chiều : * AB = DC AB , DC hướng AB DC * AB DC hướng AB // CD (1) * AB CD AB = CD (2).Từ (1) (2) suy ABCD hình bình hành Bài : AB DC AB=DC, AB//CDABCD hình bình hành AD BC Bài : MP=PQ MN//PQ chúng AC Và //AC Vậy MNPQ hình bình hành ThuVienDeThi.com E D C đpcm Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ: Phương pháp: sử dụng phương pháp sau 1) Biến đổi vế thành vế 2) Biến đổi đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức biết 3) Biến đổi đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh Cơ sở : sử dụng quy tắc véctơ Quy tắc điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC B C A D Quy tắc hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có: OB OA AB (hoặc OA OB BA )hay AB OB OA Tính chất trung điểm đoạn thẳng : + Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB IA IB Tính chất trọng tâm tam giác : + Điểm G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC BÀI TẬP Bài Cho điểm A, B, C, D CMR : AC + BD = AD + BC Bài Gọi O tâm hình bình hành ABCD CMR : a/ DO + AO = AB b/ OD + OC = BC c/ OA + OB + OC + OD = d/ MA + MC = MB + MD (với M điểm tùy ý) Bài Cho tứ giác ABCD Gọi O trung điểm AB CMR : OD + OC = AD + BC Bài Cho ABC Từ A, B, C dựng vectơ tùy ý AA' , BB' , CC' CMR : AA' + BB' + CC' = BA' + CB' + AC' Bài : Cho tam giác ABC Gọi A’ la điểm đối xứng B qua A, B’ điểm đối xứng với C qua B, C’ điểm đối xứng A qua C với điểm O bất kỳ, ta có: OA OB OC OA' OB' OC ' Bài 6: Cho lụ giác ABCDEF có tâm O CMR : b) OA + OC + OE = a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = c) AB + AO + AF = AD d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) Dạng Tính độ dài hệ thức véctơ : Cơ sở: sử dụng quy tắc véctơ : + Quy tắc điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC AB BC AC + Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành AB + AD = AC AB AD AC ThuVienDeThi.com B C A D + Quy tắc hiệu hai vectơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có: OB OA AB (hoặc OA OB BA )hay AB OB OA AB OB OA Sử dụng tính chất hai véctơ : + Nếu hai véc tơ a b | b | ≥ | a | | a + b |=| b || a | + Nếu hai véc tơ a , b hướng | a + b | = | a |+| b | BÀI TẬP Bài Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a a/ Tính AD AB b/ Dựng u = CA AB Tính u Bài Cho ABC cạnh a Gọi I trung điểm BC a/ Tính AB AC b/ Tính BA BI Bài Cho ABC vuông A Biết AB = 6a, AC = 8a Tính AB AC Bài Cho hình bình hành ABCD tâm O Đặt AO = a ; BO = b Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a b Bài Cho hình vng ABCD cạnh a Tính AB AD theo a Bài Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a a/ Tính AB AD b/ Dựng u = AB AC Tính u Dạng Xác định vectơ k a : *Phương pháp : Dựa vào định nghĩa vectơ k a tính chất BÀI TẬP Ví dụ Cho a AB điểm O Xác định hai điểm M N cho : Giải OM 3a; ON 4a a N O M Vẽ d qua O // với giá a (nếu O giá a d giá a ) Trên d lấy điểm M cho OM=3| a |, OM a hướng OM 3a Trên d lấy điểm N cho ON= 4| a |, ON a ngược hướng nên ON 4a Ví dụ Cho đoạn thẳng AB M điểm nằm đoạn AB cho AM= thức sau: ThuVienDeThi.com AB Tìm k đẳng a ) AM k AB; b) MA k MB; c) MA k AB Giải A M B | AM | AM 1 a) AM k AB | k | , AM AB k= AB 5 | AB | 1 b) k= c) k= Ví dụ a) Chứng minh:vectơ đối a (5) a b) Tìm vectơ đối véctơ a +3 b , a 2 b Giải a) 5 a =(1)(5 a )=((1)5) a = (5) a b) (2 a +3 b )= (1)( a +3 b )= (1) a +(1)3 b =(2) a +(3) b =2 a 3 b c) Tương tự Dạng Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ khơng phương : Ví dụ 1.Cho ABC có trọng âtm G Cho điểm D, E, F trung điểm cạnh BC, CA, AB I giao điểm AD EF Đặt u AE ; v AF Hãy phân tích vectơ AI , AG , DE , DC theo hai vectơ u, v A AD ( AE AF ) u v) 2 2 AG AD u v 3 3 3 DE FA AF 0.u (1)v DC FE AE AF u v Giải Ta có AI C Ví dụ 2.Cho tam giác ABC Điểm M nằm cạnh BC cho MB= 2MC Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ u AB, v AC Giải Ta có AM AB BM AB BC mà BC AC AB AM AB ( AC AB ) u v 3 Dạng Chứng minh điểm thẳng hàng : Cơ sở: + A, B, C thẳng hàng AB phương AC 0≠k : AB k AC + Nếu AB kCD hai đường thẳng AB CD phân biệt AB//CD Ví dụ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Gọi I trung điểm AM K trung điểm AC AK= AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng ThuVienDeThi.com Giải BI BA BM BA BC Ta có BI BA BC (1) Ta có BK BA AK BA AC BA ( BC BA) BA BC 3 3BK BA BC (2) Từ (1)&(2) 3BK BI BK BI B, I, K thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC Hai điểm M, xác N định hệ thức: BC MA , AB NA AC Chứng minh MN//AC Giải BC MA AB NA AC hay AC MN AC MN AC MN / / AC Theo giả thiết BC AM Mà A,B,C khơng thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M hình bình hành M khơng thuộc AC MN//AC BÀI TẬP Bài 1: Cho điểm A, B, C, D thỏa AB + AC = CMR : B, C, D thẳng hàng Bài 2: Cho ABC, lấy M, N, P cho MB = MC ; NA +3 NC = PA + PB = a/ Tính PM , PN theo AB AC b/ CMR : M, N, P thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC.Gọi A’ điểm đối xứng với A qua B, B’ điểm đối xứng với B qua C, C’ điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh tam giác ABC A’B’C’ có trọng tâm Dạng Xác định vị trí điểm nhờ đẳng thức véctơ : Cơ sở: + AB A B + Cho điểm A a Có M cho : AM a + AB AC B C ; AD BD A B Ví dụ Cho tam giác ABC có D trung điểm BC Xác định vị trí G biết AG 2GD Giải AG 2GD A,G,D thẳng hàng A AG=2GD gà G nằm A D Vậy G trọng tâm tam giác ABC G Ví dụ Cho hai điểm A B Tìm điểm I cho: IA IB B ThuVienDeThi.com I C A B I IA IB IA 2 IB IA 2 IB hay IA=2IB , IA IB Vậy I điểm thuộc AB cho IB= AB 3 Ví dụ Cho tứ giác ABCD Xác định vị trí điểm G cho: GA GB GC GD Giải Ta có GA GB 2GI , I trung điểm AB Tương tự GC GD 2GK , K trung điểm CD GA GB GC GD 2GI 2GK hay GI GK B C I K G trung điểm IK A D BÀI TẬP Bài 1: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F trung điểm AB, CD O trung điểm EF a/ CMR : AD + BC = EF b/ CMR : OA + OB + OC + OD = c/ CMR : MA + MB + MC + MD = MO (với M tùy ý) d/ Xác định vị trí điểm M cho MA + MB + MC + MD nhỏ Bài 2: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, G, H trung điểm AB, BC, CD, DA M điểm tùy ý a/ CMR : AF + BG + CH + DE = b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH c/ CMR : AB AC + AD = AG (với G trung điểm FH) Bài 3: Cho hai ABC DEF có trọng tâm G H CMR : AD + BE + CF = GH Bài 4: Cho hình bình hành ABCD có tâm O E trung điểm AD CMR : a/ OA + OB + OC + OD = b/ EA + EB + EC = AB c/ EB + EA + ED = EC Bài 5: Cho ABC có M, D trung điểm AB, BC N điểm cạnh AC cho AN = Gọi K trung điểm MN a/ CMR : AK = AB + AC b/ CMR : KD = NC AB + AC Bài 6: Cho ABC Trên hai cạnh AB, AC lấy điểm D E cho AD = DB , CE = EA Gọi M trung điểm DE I trung điểm BC CMR : a/ AM = AB + AC ThuVienDeThi.com b/ MI = AB + AC ThuVienDeThi.com ... A HD Bài 1: Cách 1: EF đường trung bình ABC nên EF//CD, F EF= BC=CD EF=CD EF CD (1) EF hướng CD (2) B Từ (1) ,(2) EF CD Cách 2: Chứng minh EFDC hình bình... 2 b Giải a) 5 a =(? ?1) (5 a )=((? ?1) 5) a = (5) a b) (2 a +3 b )= (? ?1) ( a +3 b )= (? ?1) a +(? ?1) 3 b =(2) a +(3) b =2 a 3 b c) Tương tự Dạng Biểu diễn (phân tích,... CD (1) * AB CD AB = CD (2).Từ (1) (2) suy ABCD hình bình hành Bài : AB DC AB=DC, AB//CDABCD hình bình hành AD BC Bài : MP=PQ MN//PQ chúng AC Và //AC Vậy MNPQ hình