KỲ SƠ TUYỂN CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HSG TỈNH LỚP NĂM HỌC 2013-2014 PHỊNG GD&ĐT HỒNG MAI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) Mơn: TỐN HỌC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (4,5 điểm) a Cho biết x x Tính giá trị biểu thức Q = x x x x 2013 x x x x 2013 b Giả sử n số tự nhiên thỏa mãn điều kiện n n không chia hết cho Chứng minh 2n n khơng số phương Câu (4,5 điểm) a Giải phương trình: ( x 1)2 3x( x 1) x b Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn phương trình: x xy y 24 Câu (4 điểm) a Cho biểu thức: A x y xy x 12 y 2042 Tìm x, y để A nhận giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ b Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a b3 b3 c c a abc 2ab 2bc 2ca Câu (6 điểm) Cho hình thoi ABCD có độ dài cạnh a DAB 600 Đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA M N a) Chứng minh rằng: BM DN không đổi b) Chứng minh rằng: BDM DNB c) Gọi K giao điểm BN DM Tính BKD Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC có đường cao AH ( H nằm hai điểm B C ) Cho biết AH 6cm; BH 3cm số đo góc CAH gấp ba lần số đo góc BAH Tính diện tích tam giác ABC -Hết Họ tên thí sinh:………………………………………………….SBD:…………… ThuVienDeThi.com PHỊNG GD&ĐT TX HỒNG MAI KỲ SƠ TUYỂN CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HSG TỈNH LỚP HƯỚNG DẪN CHẤM NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN Câu Câu (4,5 đ) a 2,5 đ b 2đ Câu (4,5 đ) a 2,5 đ Nội dung 6 x x x 3 x x x x x x x Ta có : x x 3 x x x x x x x x x x 1,5 Ta có: n n n(n 1) không chia hết cho n(n 1) không chia hết cho n 3k 1(k N ) Khi đó: 2n n = 2(3k 1)2 3k (18k 15k 9) chia cho dư mà số phương chia cho khơng thể dư nên 2n n không số phương 0,5 0,5 Đặt y x (đk y > 0) phương trình cho trở thành: y xy x ( y xy ) (2 xy x ) y ( y x) x( y x) +) Nếu y x x x ( x 1)2 x 1 Vậy phương trình cho có nghiệm x = -1 1 0,5 x xy y 24 ( x 25) ( xy y ) 1 ( x 5)( x 5) y ( x 5) 1 2 ( x 5)( x y 5) 1 1.1 1.(1) Từ tìm ( x, y ) (6; 12);(4; 8) Câu (4 đ) a 2đ x x x x 2013 2014 => => Q = x x x x 2013 2014 y x ( y x)( y x) y 2x +) Nếu y x x x phương trình vơ nghiệm b 2đ Điểm 1 A x y xy x 12 y 2042 = ( x xy y ) 2( x y ).2 ( x 10 x 25) 2013 = ( x y )2 2( x y ).2 ( x 5)2 2013 = ( x y 2)2 ( x 5)2 2013 2013 x x 3y GTNN A = 2013 x 1 y ThuVienDeThi.com 1 b 2đ Với số thực dương a, b ta có: a b3 ab(a b) (*) Thậtvậy: a b3 ab(a b) (a b)(a ab b ) ab(a b) (a b)(a 2ab b ) (a b)(a b) với a,b > 0,5 0,5 a b3 a b (1) 2ab b3 c b c c3 a3 c a Tương tự ta có: (2); (3) 2bc 2ca Áp dụng BĐT (*) ta có: a b3 ab(a b) 0,5 0,5 Từ (1); (2); (3) ta có ĐPCM Câu (6 đ) M C B K A a 2đ N D MBC CDN ( DAB 600 ) Xét MBC CDN có: CND ( BC / / AN ) MCB MBC CDN ( g g ) BM BC BM DN BC.CD BM DN a.a a (không đổi) CD DN Xét ABD có AB AD a DAB 600 nên ABD tam giác b 2đ BD a, DAB ABD ADB DBC 600 Từ kết câu a) ta có: BM DN BD c 2đ BM BD BD DN BM BD Xét BDM , DNB có: BD DN BDM DNB(c.g c) MBD BDN 120 Vì BDM DNB DMB DBN DBK DBM DKB có DMB DBK , MDB chung DBM DKB( g.g ) MBD BKD 1200 ThuVienDeThi.com 1 1 Câu 1đ A B H C D Ta có: AB HA2 HB 45 Trên tia HC lấy điểm D cho DAH Khi AD tia phân giác BAH DC DB AB AC DC DC BAC , suy BD = 2.BH = 6cm AC AB BD Trong tam giác vng HAC có HA2 HC AC 36 (3 DC )2 DC Giải ta DC 30cm suy BC = 36 cm 1 Vậy diện tích tam giác ABC S AH BC 6.36 108cm 2 Lưu ý: Nếu thí sinh làm cách khác, cho điểm tối đa ThuVienDeThi.com ...PHỊNG GD&ĐT TX HỒNG MAI KỲ SƠ TUYỂN CHỌN ĐỘI TUYỂN THI HSG TỈNH LỚP HƯỚNG DẪN CHẤM NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: TỐN Câu Câu (4,5 đ) a 2,5 đ b 2đ Câu (4,5... 1) không chia hết cho n 3k 1(k N ) Khi đó: 2n n = 2(3k 1)2 3k (18k 15k 9) chia cho dư mà số phương chia cho dư nên 2n n khơng số phương 0,5 0,5 Đặt y x (đk y... 2)2 ( x 5)2 2013 2013 x x 3y GTNN A = 2013 x 1 y ThuVienDeThi.com 1 b 2đ Với số thực dương a, b ta có: a b3 ab(a b) (*) Thậtvậy: a b3 ab(a b)