môn toán ôn thi vào lớp 10 -rót gän biĨu thøc Cã chứa thức bậc hai Dạng I: I/ Biểu thức số học Phương pháp: Dùng phương pháp biến đổi thức(đưa ; đưa vào; ;khử; trục; cộng,trừ thức đồng dạng; rút gọn phân số) để rút gọn biĨu thøc Bµi tËp: Thùc hiƯn phÐp tÝnh: 1) 125 80 605 ; 2) 10 10 ; 1 3) 15 216 33 12 ; 12 27 4) ; 18 48 30 162 2 2 ; 2 2 5) 12) 10 10 ; 13) 5 49 20 ; 14) 15) 16 3 6 6) ; 27 75 8) 16) 10) ; 11) ; II/ Biểu thức đại số: 64 2 64 2 2 ; 64 2 64 ; 5 4 ; 17) 14 24 12 ; 18) 10 9) 25 12 2 7) 27 75 ; 3 3 192 ; 19) 20) ; 1 32 3 1 1 3 1 1 1 3 Phương pháp: - Phân tích đa thức tử mẫu thành nhân tử; Tìm ĐKXĐ (Nếu toán chưa cho ĐKXĐ) Rút gọn phân thức(nếu được) Thực phép biến đổi đồng như: + Quy ®ång(®èi víi phÐp céng trõ) ; nh©n ,chia + Bá ngoặc: cách nhân đơn ; đa thức dùng đẳng thức + Thu gọn: cộng, trừ hạng tử đồng dạng + Phân tích thành nhân tử rút gọn Chú ý: - Trong toán rút gọn thường có câu thuộc loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải phương trình; bất phương trình; tìm giá trị biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ ,lớn nhấtDo ta phải áp dụng phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho loại ThuVienDeThi.com môn toán «n thi vµo líp 10 - 1 a 1 : Cho biÓu thøc: P a 1 a a 1 a a a/ Rót gän P b/ Tìm giá trị a để biểu thức P có giá trị nguyên Giải: a/ Rút gọn P: 1 a 1 P - Ph©n tÝch: : a 1 ( a 1) a ( a 1) a 0; - §KX§: a 1 a 1 a ( a 1) - Quy ®ång: P a ( a 1) a 1 vÝ dơ: - Rót gän: P a 1 a b/ Tìm giá trị a để P có giá trị nguyên: - Chia tử cho mẫu ta được: P a 1(ktm) - Lý luận: P nguyên nguyên a ước lµ a a 1 a VËy víi a = biểu thức P có giá trị nguyên Bài tập: x A = 2 x Bµi 1: Cho biĨu thøc x x x x x x a) Rót gän biĨu thức A; b) Tìm giá trị x để A > - Bµi 2: Cho biĨu thøc x 10 x B = : x x 2 x 2 x4 2 x a) Rút gọn biểu thức B; b) Tìm giá trị x để A > C= Bài 3: Cho biÓu thøc x 1 x x 1 x x 1 a) Rót gän biĨu thức C; b) Tìm giá trị x để C < Bµi 4: Rót gän biĨu thøc : D= x x2 x2 x 4 x x2 x x2 ThuVienDeThi.com Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài5: Cho biểu thøc: 2x x P= vµ Q = x 2 x x 2x x 2 a) Rót gän biĨu thøc P vµ Q; b) Tìm giá trị x để P = Q Bµi 6: Cho biĨu thøc: P= 2x x x x x x x x x x a) Rót gän biĨu thøc P b) So s¸nh P víi c) Víi mäi giá trị x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức nhận giá trị P nguyên Bài 7: Cho biểu thức: 3x 9x 1 P = : x x x x x 1 a) T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ P cã nghÜa, rót gän biĨu thøc P; b) Tìm số tự nhiên x để số tự nhiên; P c) Tính giá trị P víi x = – Bµi 8: Cho biÓu thøc : x 2 x 3 x 2 x P = : x x x x x a) Rót gän biĨu thøc P; Tìm x để P Bài 9: Cho biÓu thøc : 1 a a 1 a a P = a . a 1 a 1 a a) Rút gọn P b) Tìm a để P< Bµi 10: Cho biĨu thøc: x x 3x x : P = 1 x x x x 3 a) Rót gän P b) Tìm x để P < c) Tìm giá trị nhỏ P ThuVienDeThi.com Các dạng toán «n thi vµo líp 10 Bµi 11: Cho biĨu thøc : x3 x 9 x x 3 P = 1 : x x x x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P x m x m x 4m a) Rót gän P b) TÝnh x theo m để P = c) Xác định giá trị m để x tìm câu b thoả mÃn điều kiện x >1 Bài 14: Cho biểu thức : a2 a 2a a P= 1 a a 1 a a) Rót gän P b) Tìm a để P = c) Tìm giá trị nhá nhÊt cđa P ? Bµi 15: Cho biĨu thøc a 1 a 1 ab a ab a P = 1 : 1 ab ab ab ab a) Rót gän P 1 1 a b b) Tính giá trị P a = b = c) Tìm giá trị nhỏ P Bài 16: Cho biểu thøc : a a 1 a a 1 a a 1 a P= a a a a a a a a) Rót gọn P b) Với giá trị a P = ThuVienDeThi.com Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 c) Với giá trị a P > Bài 17: Cho biểu thức: a a 1 a 1 P = a 1 2 a a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P < c) Tìm giá trị a để P = -2 Bài 18: Cho biÓu thøc: a b P= ab a b b a a b ab a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rút gọn P c) Tính giá trị P a = vµ b = Bµi 19: Cho biÓu thøc : x2 x x 1 : P = x x x x 1 x a) Rót gän P b) Chøng minh r»ng P > x Bµi 20: Cho biÓu thøc : 2 x x x 2 : 1 P = x x 1 x x x a) Rót gän P b) TÝnh P x = Bµi 21: Cho biĨu thøc: 3x 2 : P =1 : 2 x 4 x 42 x 42 x a) Rót gọn P b) Tìm giá trị x để P = 20 Bµi 22: Cho biĨu thøc : x y x y x y xy : P= x y y x x y a) Rót gän P b) Chøng minh P Bµi 23: Cho biÓu thøc : ab ab ab . : P = a b a a b b a b a a b b a ab b a) Rót gän P b) TÝnh P a =16 vµ b = ThuVienDeThi.com Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài 24: Cho biÓu thøc: 2a a 2a a a a a a P = a 1 a a a a) Rót gän P b) Cho P = t×m giá trị a c) Chứng minh r»ng P > Bµi 25: Cho biĨu thøc: x5 x 25 x x 3 x 5 1 : P = x 25 x x 15 x x a) Rút gọn P b) Với giá trị x P < Bài 26: Cho biểu thøc: a 1 a b a 3a : P = 2a ab 2b a ab b a a b b a b a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên Bài 27: Cho biÓu thøc: a 1 a 2 P = : a a a a a) Rót gän P b) Tìm giá trị a để P > Bµi 28: Cho biĨu thøc: x3 y x x y y 1 P = : y x y x y x y xy x a) Rút gọn P b) Cho x.y=16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ Bài 29: Cho biểu thøc : x3 2x 1 x P= xy y x x xy y x a) Rót gän P b) Tìm tất số nguyên dương x để y=625 vµ P ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt 12 ThuVienDeThi.com Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 x1 = -b' - ' -b' + ' ; x2 = a a * Nếu ' = phương trình có nghiÖm kÐp: x1 = x2 = * NÕu ' < phương trình vô nghiệm -b' a 2.Định lý Vi Ðt: Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = S = x1 + x2 = - (a 0) b a c a Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai số l nghiệm (nu có ) phương trình bậc 2: x2 S x + p = p = x1x2 = To¸n øng dụng định lý Viét I Tính nhẩm nghiệm Xét phương tr×nh bËc hai: ax2 + bx + c = (a 0) NÕu a + b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = , x2 = c a c a NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn phương trình có nghiệm x1 = m , x2 = n ( hc x1 = n , x2 = m) NÕu a – b + c = phương trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = - II LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ; x2 Ví dụ : Cho x1 ; x2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm S x1 x2 x1 ; x2 nghiệm phương trình có dạng: P x1 x2 Theo hệ thức VI-ÉT ta có x Sx P x x Bài tập áp dụng: x1 = x1 = 3a x1 = 36 vµ vµ vµ x2 = -3 x2 = a x2 = -104 x1 = vµ x2 = 2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước: V í dụ: Cho phương trình : x 3x có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình trên, lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn : y1 x2 1 y2 x1 x1 x2 Theo h ệ th ức VI- ẫT ta c ú: 13 ThuVienDeThi.com Các dạng toán «n thi vµo líp 10 1 1 x x 1 x1 ( x1 x2 ) ( x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 2 x1 x2 1 1 P y1 y2 ( x2 )( x1 ) x1 x2 11 x1 x2 x1 x2 2 S y1 y2 x2 Vậy phương trình cần lập có dạng: hay y Sy P 9 y2 y y2 y 2 Bài tập áp dụng: 1/ Cho phương trình 3x x có nghiệm phân biệt x1 ; x2 Khơng giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 x1 1 y2 x2 x2 x1 (Đáp số: y y hay y y ) 2/ Cho phương trình : x x có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc có ẩn y thoả mãn y1 x14 y2 x24 (có nghiệm luỹ thừa bậc nghiệm phương trình cho) (Đáp số : y 727 y ) 3/ Cho phương trình bậc hai: x x m có nghiệm x1 ; x2 Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y2 cho : (Đáp số a) y1 x1 y2 x2 b) y1 x1 y2 x2 a) y y m b) y y (4m 3) ) III TÌM HAI SỐ BIẾT TỉNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG Nếu hai số có Tổng S Tích P hai số hai nghiệm phương trình : x Sx P (§iều kiện để có hai số S2 4P ) Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = tích P = ab = Vì a + b = ab = n ên a, b nghiệm phương trình : x 3x giải phương trình ta x x2 4 Vậy a = b = a = b = Bài tập áp dụng: Tìm số a b biết Tổng S Tích P S = P=2 S = P=6 S = P = 20 S = 2x P = x2 y2 Bài tập nâng cao: Tìm số a b biết a + b = a2 + b2 = 41 a b = ab = 36 14 ThuVienDeThi.com Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 a2 b2 + = 61 v ab = 30 Hướng dẫn: 1) Theo đề biết tổng hai số a b , để áp dụng hệ thức VIÉT cần tìm tích a v b T a b a b 81 a 2ab b 81 ab 2 81 a b 20 x1 x2 Suy : a, b nghiệm phương trình có dạng : x x 20 Vậy: Nếu a = b = a = b = 2) Đã biết tích: ab = 36 cần tìm tổng : a + b Cách 1: Đ ặt c = b ta có : a + c = a.c = 36 x1 4 x2 Suy a,c nghiệm phương trình : x x 36 Do a = c = nên b = a = c = nên b = 2 2 Cách 2: Từ a b a b 4ab a b a b 4ab 169 a b 13 a b 132 a b 13 *) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x 4 x 13 x 36 x2 9 Vậy a = 4 b = 9 *) Với a b 13 ab = 36, nên a, b nghiệm phương trình : x x 13 x 36 x2 Vậy a = b = 3) Đã biết ab = 30, cần tìm a + b: a b 11 a b 11 T ừ: a2 + b2 = 61 a b a b 2ab 61 2.30 121 112 *) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình: x 5 x 11x 30 x2 6 Vậy a = 5 b = 6 ; a = 6 b = 5 *) Nếu a b 11 ab = 30 a, b hai nghiệm phương trình : x x 11x 30 x2 Vậy a = b = ; a = b = IV Tìm điều kiện tham số để phương trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trước Tìm nghiệm thứ Cách giải: 15 ThuVienDeThi.com Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x= x1 cho trước có hai cách làm: +) Cách 1:- Lập điều kiện để phương trình bậc đà cho có nghiƯm: (hc / ) (*) - Thay x = x1 vào phương trình đà cho ,tìm giá trị tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm tham số với điều kiện(*) để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện (hoặc / ) mà ta thay x = x1 vào phương trình đà cho, tìm giá trị tham số - Sau thay giá trị tìm tham số vào phương trình giải phương trình Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phương trình , mà phương trình bậc hai có < kết luận giá trị tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước Để tìm nghiệm thứ ta có cách làm: +) Cách 1: Thay giá trị tham số tìm vào phương trình giải phương trình (như cách trình bầy trên) +) Cách :Thay giá trị tham số tìm vào công thức tổng nghiệm tìm nghiệm thứ +) Cách 3: thay giá trị tham số tìm vào công thức tích hai nghiệm,từ tìm nghiệm thứ2 V TNH GI TR CA CC BIỂU THỨC NGHIỆM Đối toán dạng điều quan trọng c¸c em phải biết biến đổi biểu thức nghiệm cho biểu thức có chứa tổng nghiệm x1 x2 tích nghiệm x1 x2 để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị ca biu thc 1.Phương pháp: Bin i biu thc làm xuất : ( x1 x2 ) x1 x2 D¹ng x12 x22 ( x12 x1 x2 x22 ) x1 x2 ( x1 x2 ) x1 x2 D¹ng x13 x23 x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 D¹ng x14 x24 ( x12 ) ( x22 ) x12 x22 x12 x22 ( x1 x2 ) x1 x2 x12 x22 D¹ng 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 D¹ng x1 x2 ? Ta biết x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2 D¹ng x12 x22 x1 x2 x1 x2 = ( x1 x ) x1 x ( x1 x ) x1 x2 x1 x2 D¹ng x13 x23 = x1 x2 x12 x1 x2 x22 x1 x2 x1 x2 x1 x2 =…… D¹ng x14 x24 = x12 x22 x12 x22 =…… D¹ng x16 x26 = ( x12 )3 ( x22 )3 x12 x22 x14 x12 x22 x24 = …… D¹ng 10 x16 x26 ( x1 ) ( x 2 ) ( x1 x 2 ) ( x1 ) x1 x 2 ( x 2 ) D¹ng 11 x15 x25 = ( x1 x )( x1 x ) x1 x ( x1 x ) D¹ng12: (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 3 2 2 16 ThuVienDeThi.com Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Dạng13 x x 2a 1 S 2a x1 a x a ( x1 a )( x a ) p aS a 2 Bài tập áp dụng: Khụng gii phng trình, tính giá trị biểu thức nghiệm a) Cho phương trình : x x 15 Khơng giải phương trình, tính x12 x22 x1 x2 x2 x1 8 15 1 x1 x2 (34) 34 15 x1 x2 (46) b) Cho phương trình : x 72 x 64 Khơng giải phương trình, tính: 1 x1 x2 9 8 x12 x22 (65) c) Cho phương trình : x 14 x 29 Khơng giải phương trình, tính: 1 x1 x2 14 29 x12 x22 (138) d) Cho phương trình : x 3x Khơng giải phương trình, tính: 1 x1 x2 (3) x1 x2 x1 x2 (1) x12 x22 (1) x1 x x2 x1 5 6 1 x1 x2 e) Cho phương trình x x có nghiệm x1 ; x2 , khơng giải phương trình, tính Q HD: Q x12 10 x1 x2 x22 x1 x23 x13 x2 x12 10 x1 x2 x22 6( x1 x2 ) x1 x2 6.(4 3) 2.8 17 3 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 5.8 (4 3) 2.8 80 VI TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ Để làm tốn loại này,c¸c em làm theo bước sau: 1- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình cho có hai nghiệm x1 x2 (thường a 0) 2- Áp dụng hệ thức VI-ÉT: x1 x b c ; x1 x a a 17 ThuVienDeThi.com Các dạng toán ôn thi vào líp 10 3- Sau dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đồng vế ta biểu thức chứa nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số.§ã chÝnh lµ hệ thức liên hệ nghiệm x1 x2 không phụ thuộc vào tham số m Vớ d 1: Cho phương trình : m 1 x 2mx m (1) có nghiệm x1 ; x2 Lập hệ thức x1 ; x2 cho chúng không phụ thuộc vào m liờn h (Bài đà cho PT có hai nghiệmx1 ;x2 nên ta không biện luận bước 1) Giải: Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : Bíc2: 2m x x x x (1) 2 m 1 m 1 m x x x x (2) m 1 m 1 Bíc2: Rút m từ (1) ta có : 2 x1 x2 m m 1 x1 x2 (3) Rút m từ (2) ta có : 3 x1 x2 m m 1 x1 x2 Bíc 3: (4) Đồng vế (3) (4) ta có: 1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình : m 1 x 2mx m Chứng minh biểu thức A x1 x2 x1 x2 không phụ thuộc giá trị m Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 2m x1 x2 m x x m m §K:( m m ) ;Thay vào A ta c ó: A x1 x2 x1 x2 2m m4 6m 2m 8(m 1) 8 0 m 1 m 1 m 1 m 1 Vậy A = với m Do biểu thức A khơng phụ thuộc vào m Bài tập áp dụng: 11 Cho phương trình : x m x 2m 1 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho x1 ; x2 độc lập m 18 ThuVienDeThi.com .. .môn toán ôn thi vào lớp 10 - 1 a 1 ... Bµi 10: Cho biĨu thøc: x x 3x x : P = 1 x x x x 3 a) Rót gän P b) Tìm x để P < c) Tìm giá trị nhỏ P ThuVienDeThi.com Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Bài... a Bước 2: Thay a vừa tìm x0;y0 vào cơng thức y = ax + b để tìm b 2.Biết đồ thị hàm số qua điểm A(x1;y1) B(x2;y2) ThuVienDeThi.com Các dạng toán ôn thi vào lớp 10 Do đồ thị hàm số qua điểm A(x1;y1)