Ba Bài Toán Cổ Hy Lạp Lê Quang Ánh

1 Một nhìn chuyện Ba Bài Tốn Cổ Hy Lạp Lê Quang Ánh, Ph.D Tóm tắt Bài viết có hai phần Trong phần đầu, chúng tơi trình bày ba Tốn cổ tiếng người Hy lạp không giải thước kẻ1 compa Trong phần hai chúng tơi trình bày sơ lược trường mở rộng, trường số dựng phát biểu định Lý Wantzel Từ chứng minh ba tốn cổ Hy Lạp khơng thể giải thước kẻ compa Bài viết có tính phổ thơng, phần hai chúng tơi nêu ý cần thiết lý thuyết trường thơng qua thí dụ, nhiên chúng tơi bảo đảm tính xác Tốn học nội dung I Ba toán cổ Hy Lạp Những toán dựng hình thước kẻ compa người Hy lạp quan tâm từ lâu, trước thời Euclid hàng trăm năm Ba tiên đề Euclid Elements qui định “luật chơi” rõ ràng hơn: Qua hai điểm dựng đường thẳng Một đoạn thẳng (hữu hạn) kéo dài thành đường thẳng (vơ hạn) Có thể dựng đường tròn với tâm điểm cho sẵn bán kính độ dài đoạn thẳng cho sẵn Người Hy lạp dựng nhiều toán thước kẻ compa cách chặt chẽ, tức tuân thủ sát “luật chơi” Thí dụ dựng đường trung trực đoạn thẳng, đường phân giác góc, dựng tam giác với độ dài cạnh cho sẵn, dựng dộ dài √2, √3….Tuy nhiên có ba tốn sau nhà Tốn học khơng làm được, qua thời gian hàng nghìn năm với với nổ lực không ngừng Và họ chứng minh ba tốn khơng thể giải thước kẻ compa Cho tới kỷ 19, xác vào năm 1837, tức ngàn năm sau, Pierre Wantzel (1814 – 1848), nhà Toán học người Pháp, chứng minh ba toán giải thước kẻ compa Khi ơng 23 tuổi Đó tốn: Thước kẻ nói thước kẻ khơng chia khắc (unmarked ruler) 2 Khai phương hình trịn (Squaring the circle), Tam phân góc (Trisecting the angle), Nhân đôi khối vuông (Duplicating the cube) 1.1 Vài tốn khai phương đơn giản Khai phương hình vẽ (dựng) hình vng có diện tích diện tích hình cho sẵn Trước vào xem xét vài thí dụ khai phương, độc giả nên ghi nhớ giao điểm hai đường dựng xem dựng được, từ góc vuông, trung điểm đoạn thẳng, phân giác góc,…vân vân hình xem dựng Dưới vài toán khai phương đơn giản mà người Hy lạp cổ đại biết làm Khai phương hình chữ nhật Cho sẵn hình chữ nhật ABCD Dựng điểm E phần nối dài đường thẳng AB phía B cho BE = BC Dựng trung điểm M đoạn AE Dựng đường tròn tâm M đường khính AE Dựng giao điểm F đường thẳng CB đường trịn Dựng hình vng BFLK Diện tích hình vng diện tích hình chữ nhật ABCD cho Chứng minh: Tam giác AEF vng F có đường cao FB, dt(ABCD) = BA.BC = BA.BE = BF2 dt(BFLK) = BF2 Vì diện tích hình vng BFLK diện tích hình chữ nhật ABCD □ Khai phương hình tam giác Cho sẵn tam giác ABC Để khai phương tam giác này, ta cần dựng hình chữ nhật có diện tích với tam giác, áp dụng thí dụ Dựng đường cao CD tam giác ABC Dựng trung điểm E CD Dựng hai hình chữ nhật ADEG DEFB Khi hình chữ nhật ABFG có diện tích với tam giác ABC Kiểm chứng dễ dàng □ Khai phương hình đa giác lồi Cho tứ giác lồi P1P2P3P4 Ta cần dựng tam giác có diện tích diện tích tứ giác đủ Muốn qua P4 ta dựng đường thẳng song song với đường thẳng P1P3 Dựng giao điểm P5 đường thẳng với đường thẳng P2P3 Khi diện tích hai tam giác P1P3P4 P1P3P5 Suy tam giác P1P2P5 tứ giác P1P2P3P4 có diện tích □ Bằng cách ta đem ngũ giác tứ giác, lục giác ngũ giác,…và đem đa giác lồi n cạnh tam giác 1.2 Bài toán khai phương hình trịn Khai phương hình trịn tức dựng hình vng có diện tích với diện tích hình trịn Đây tốn hấp dẫn lịch sử phát triển Toán học từ thời cổ đại thời kỳ cận đại Bài tốn có liên quan đến tốn xác định số π Người ta tìm thấy tốn xuất tài liệu cổ Ai Cập có tên Rhind Papyrus, đặt theo tên nhà Ai Cập học người Anh Henry Rhind (1833 – 1863) Ông ta mua tài liệu vào năm 1858 Đó cuộn giấy, loại giấy cổ, dài mét, khổ (ngang) 1/3 mét, người Ai Cập tên Ahmes chép lại vào năm 1650 trước Tây lịch Tài liệu gốc cho xuất trước khoảng 200 năm, có nghĩa tài liệu gốc viết khoảng năm 1850 trước Tây lịch Một trang Rhind Papyrus, tài liệu lưu giữ British Museum Trong Rhind Papyrus, có tốn số 50 liên quan đến việc khai phương hình trịn Lời giải sau: Dựng đường kính hình trịn, bỏ 1/9 đường kính này, dựng hình vng có cạnh 8/9 phần cịn lại đường kính Khi diện tích hình vng diện tích hình trịn (xem hình dưới) Ta thử xem phép tính cỡ 8𝑑 Diện tích hình vng = ( ) = diện tích hình trịn = π= 256 81 𝜋𝑑 13 = + 81 = 3.1605 Một giá trị xác số π (so với 3.14159) có từ gần ngàn năm trước Tây lịch Trong Rhind Papyrus, khơng có thêm chi tiết cách dựng hình Người Hy Lạp cổ đại quan tâm nhiều đến việc làm dựng hình vng có diện tích với hình trịn thước kẻ compa Trong trình tìm kiếm lời giải (chưa có tìm ra), họ trải qua số toán trung gian thú vị Người ghi nhận quan tâm đến vấn đề Anaxagoros (khoảng 499 427 trước TL) Ơng ta giải tốn thời gian tù (bị cho có cảm tình với người Ba Tư) Chuyện nhà văn Hy Lạp Plutarch (khoảng 46 – 120 sau TL) kể lại Không có dấu vết lưu lại Anaxagoros làm 5 Tiếp theo Hippocrates of Chios (khoảng 440 trước TL) – tức Hippocrates người đảo Chios2, hịn đảo nhỏ Hy Lạp Ơng chứng minh diện tích bốn hình “trăng lưỡi liềm” (gọi Lunes of Hippocrates) diện tích hình vng toán sau (do Simplicius, khoảng 530 sau TL, viết lại) Đây xem giải phần tốn khai phương hình trịn Cho hình vng ABCD cạnh có chiều dài a nội tiếp đường trịn Bên ngồi hình vng dựng nửa đường trịn đường kính cạnh hình vng Phần mặt phẳng nằm nửa đường tròn với đường tròn ngoại tiếp hình vng trăng lưỡi liềm Hippocrates Hippocrates chứng minh tổng diện tích bốn mặt trăng diện tích hình vng ABCD sau: Diện tích hình vng = a2 a√2 ) Diện tích hình trịn ngoại tiếp hình vng = ( π= Diện tích nửa hình trịn vẽ cạnh hình vng = Diện tích mặt trăng lưỡi liềm = 𝑎2 π -[ 𝑎2 ( 𝑎2 𝑎2 π π π − 𝑎2 )] = 𝑎2 Như tổng diện tích bốn mặt trăng diện tích hình vng ABCD □ Archimedes (287 – 212 trước TL) nhà Toán học cổ Hy Lạp xa vấn đề Trong viết Measurement of a Circle (phép đo đường tròn) Archimedes chứng minh ba tính chất sau đây: Diện tích hình trịn diện tích tam giác vng mà hai canh góc vng có độ dài bán kính chu vi hình trịn Diện tích hình trịn diện tích hình vng có cạnh dài đường 11 kính hình trịn nhân với tỉ số 14 Tỉ số chu vi hình trịn độ dài đường kính nằm hai giá trị + 10 71 + 10 70 Không nên lầm lẫn với Hippocrates of Cos, người đảo Cos, đảo nhỏ Hy Lạp, cha đẻ Y học (lời thề Hippocrates sinh viên Y khoa tốt nghiệp) 6 Qua tính chất thứ nhất, Archimedes đưa tốn khai phương hình trịn tốn “thẳng hóa” (rectification) chu vi hình trịn, nghĩa tốn dựng (hình học) số π Với tính chất thứ ba, Archimedes cung cấp cho ta giá trị đơn giản 22 xác số π Đó π = (≈ 3,143) Về tính chất thứ hai, hệ hai tích chất mà thơi Việc diện tích hình trịn tỉ lệ thuận với bình phương đường kính Euclid nói tới rồi3, Archimedes thêm chi tiết số tỉ lệ Như Archimedes chưa đưa cách dựng hình học (thước kẻ compa) tốn khai phương hình trịn Archimedes có ý muốn nhân tốn này, đưa sang lối rẽ khác Trong tác phẩm On Spirals (về đường xoắn ốc), Archimedes mô tả việc dựng tiếp tuyến với đường xoắn ốc (mang tên đường xoắn ốc Archimedes) cho phép giải tốn “thẳng hóa” chu vi hình trịn Có người nói Archimedes giải xong tốn khai phương hình trịn, Archimedes phủ nhận đường xoắn ốc ơng tiếp tuyến khơng thể dựng thước k v compa (Theo M Chasles, Aperỗu Historique, p 15-16) Đường xoắc ốc Archimedes tiếp tuyến Hình trịn tam giác OPT có diện tích Qua đến thời kỳ trung cổ Châu Âu có nhà Tốn học Franken de Liège (khoảng 1020 – 1083) quan tâm tới toán Trong tác phẩm De quadratura circuli (khai phương hình trịn) xuất năm 1050, Francon giải tốn với hình trịn có đường kính d = 14 cách cụ thể Éléments d'Euclide, livre XII, § 7 Ơng chia hình trịn thành 44 quạt trịn (sectors) ráp lại thành hình chữ nhật kích thước a = 14 b = 11 Như 14 × 11 = 154 = 72× π, π = 22 Qua kỷ 17, tác phẩm De circuli magnitudine inventa xuất vào năm 1654, người ta thấy nhà Toán học Christian Huygens (1629 - 1695) cho nội tiếp ngoại tiếp hình trịn đa giác đều, tính diện tích hai đa giác Phương pháp cho Archimedes nghĩ ra, Archimedes không xa Huygens cho tăng dần số cạnh hai đa giác để hy vọng tìm diện tích hình trịn Tiếc thay, thời chưa có khái niệm giới hạn, ông bế tắc đối diện với chuổi số vơ tận Bài tốn khai phương hình trịn giải thước kẻ compa trải qua nhiều thăng trầm nữa, lại toán dựng số √π thước kẻ compa Người ta không giải không chứng minh tốn khơng thể giải Phải đợi đến kỷ 19 1.3 Bài tốn nhân đơi khối vng Bài tốn cịn biết tên Bài toán Delian4 câu chuyện bi thảm sau Vào năm 429 trước TL, có trận dịch hồnh hành Athens giết chết Cư dân đảo Delos (Hy Lạp) gọi Delian 8 phần tư dân số thành phố Thiên tai kéo dài dai dẳng, tái tái lại, nguyên cho thần linh địi mạng Pericles5 Vị trí đảo Delos biển Eagea dấu tích đền đài đảo cịn lại ngày (Wikipedia) Đảo Delos nằm biển Eagea, phần Địa Trung Hải, trải dài từ Hy Lạp đảo Crete Đó đảo nhỏ, khơ cằn, nằm quần đảo Cyclades (cycle = vòng tròn), chòm đảo nằm vòng quanh đảo Delos Vì có vị trí trung tâm đặc biệt quần đảo Cyclades nên người Hy Lạp cổ đại coi Delos nơi linh thiêng, thành phố đất nước Hy Lạp xây đền dành cho vị thần thành phố mảnh đất Vết tích đền đài đổ vỡ đảo cịn nhìn thấy ngày (Có thể đến đảo thuyền dễ dàng, từ thành phố Mykokos gần đó) Khi trận dịch lan tràn khắp Athens vào năm 430 trước TL, dân Athens cố gắng giành lại sống trước điều mà họ tin phẫn nộ vị thần linh Họ cử phái đoàn đến đền Delphi, đền nằm đất liền không xa Athens bao, để xin lời sấm truyền thần linh số phận họ Sấm truyền rằng: “Thần Apollo muốn làm gấp đôi đền đảo Delos.” Dân Athens hăm hở xúc tiến công việc Người ta làm gấp đôi chiều dài, chiều rộng, chiều cao đền Athenian, nơi thờ thần Apollo đảo Delos Nhưng bệnh dịch tiếp tục hồnh hành Vì dân Athens lại gởi đoàn đại biểu đến đền Delphi để xin sấm truyền thần Apollo lên thịnh nộ với họ cầu xin chấm dứt dịch bệnh, dù họ thực Pericles vị tướng, khách có tài hùng biện có ảnh hưởng lớn Athens thời kỳ vàng Hy Lạp (Wikipedia) 9 sấm truyền bảo họ phải làm “Khơng,” sấm truyền trả lời, “các người không làm phải làm Hãy trở Delos làm mà thần linh yêu cầu.” Những người thợ kỹ sư Athens mau chóng hiểu họ thất bại: Thần Apollo muốn thể tích ngơi đền hình khối nhân đơi lên, cạnh nhân đôi Nếu họ nhân đơi cạnh ngơi đền hình khối họ tăng thể tích lên lần 2a.2b.2c = 23 abc = 8abc Điều họ cần làm để tăng gấp đơi thể tích ngơi đền phải tăng chiều dài, chiều rộng, chiều cao đền cách nhân độ dài ba cạnh với thừa số số bậc ba Chỉ có cách làm thể tích tăng gấp đơi lên thơi, 3 3 √2 a √2 b √2 c = ( √2) abc = 2abc Những người thợ xây kỹ sư hiểu họ phải quay hình khối ngơi đền ngun thủy, dùng dụng cụ nghề nghiệp, nghĩa thước kẻ compa, nới dài ba cạnh đền cách nhân độ dài với với thừa số số bậc ba Nhưng họ không làm được, dịch bệnh tiếp tục hoành hành Như thấy, cơng trình Pierre Wantzel kỷ 19 chứng minh toán Delian câu chuyện - gấp đơi thể tích hình khối cho sẵn mà dùng thước kẻ compa – tức tốn dựng hình học đoạn thẳng có chiều dài √2, khơng giải 1.4 Bài tốn tam phân góc Tam phân góc chia góc thành ba góc Cũng hai toán trước, việc làm phải thực thước kẻ compa Trước hết ta nhắc lại rằng, từ thời cổ đại, người ta biết cách dùng thước kẻ compa để chia góc thành hai góc (dựng phân giác góc) Hình vẽ cho thấy cách dựng toán đơn giản ấy: 10 Cách dựng: Cho góc xOy Dựng hai điểm A B Ox Oy cho OA = OB Dựng cung tròn tâm A cung tròn tâm B bán kính, bán kính đủ lớn cho chúng cắt C Tia OC phân giác góc AOB □ Việc chia góc thành hai góc dễ dàng khiến cho người ta nghĩ đến việc chia góc thành ba góc Ngoại trừ số trường hợp đặc biệt, trường hợp chia góc vng mà nói đây, cịn trường hợp tổng quát toán chưa giải trải qua hàng ngàn năm thử thách Hippias thành phố Elis (nằm phía Tây-Nam Hy Lạp), sống thời với Socrates (thế kỷ thứ năm trước TL), xem người giải toán thất bại Tiếp theo sau danh sách nhiều nhà Toán học khác: Hippocrates, Archimedes, Nicomedes, Pappus, Leonardo da Vinci, Descartes, Pascal, Leibniz, Newton, Gauss,… Tất họ không thành công với hai dụng cụ thước kẻ compa (đôi họ vi phạm luật chơi mà trường hợp Hippocrates Archimedes), họ nghĩ cách khác, có cách học cách dựa đường cong họ sáng tạo Bài toán này, toán khó khác, thúc đẩy phát triển Tốn học nhiều hướng khác nhau, khác với mục đích nguyên thủy Dưới ta xem số cách giải toán này, luật chơi, nhờ phương tiên khác Tam phân góc vng Đây trường hợp đặc biệt giải thước kẻ compa Cách giải: Cho góc vng BAC Dựng đường trịn tâm A cắt AB E Dựng đường tròn tâm E bán kính với đường trịn trước Hai đường tròn cắt D Tam giác AED đều, góc CAD = 30 độ Chỉ cần chia đơi góc BAD = 60 độ xong □ Sau giới thiệu số cách giải khác cho tốn tam phân góc tổng qt 11 Tam phân góc bất kỳ: cách Hippocrates Cho góc BAC (tùy ý) Dựng CD vng góc với AB D Dựng hình chữ nhật ADCF Trên nửa đường thẳng FC (về hướng C) lấy điểm E cho AE cắt CD H với HE = 2AC Khi góc BAE 1/3 góc BAC Chứng minh: Gọi G trung điểm đọan thẳng HE Hiển nhiên AC = CG = HG = GE Tam giác ACG cân C tam giác CGE cân G, từ suy ̂ = 𝐴𝐺𝐶 ̂ = 𝐺𝐶𝐸 ̂ = 𝐵𝐴𝐸 ̂ □ 𝐶𝐴𝐸 Rõ ràng việc chọn điểm E thỏa điều kiện phải cần tới thước có khắc chia Như vi phạm “luật chơi” Tam phân góc bất kỳ: cách Archimedes Lời giải sau người Ả Rập viết, tìm thấy sách Book of Lemmas (sách bổ đề) Người ta cho lời giải Archimedes lời giải mang phong cách viết Archimedes áp dụng tác phẩm On spirals (Về đường xoắn ốc) Cho góc đỉnh A Dựng đường tròn tâm A cắt hai cạnh góc hai điểm B C Kéo dài đường thẳng AB phía A Trên phần đường thẳng lấy điểm E cho EC cắt đường tròn F thỏa điều kiện EF = AB = bán kính đường trịn Qua A dựng tia song song với đường thẳng EC, tia cắt đường tròn X Góc BAX 1/3 góc BAC Chứng minh: Dễ dàng thấy ̂ = 𝐵𝐴𝑋 ̂ 𝐶𝐸𝐴 ̂ = 𝐴𝐶𝐸 ̂ = 𝐶𝐸𝐴 ̂ 𝐶𝐹𝐴 ̂ = 𝐶𝐸𝐴 ̂ + 𝐴𝐶𝐸 ̂ 𝐵𝐴𝐶 12 ̂ = 𝐵𝐴𝐶 ̂ □ Từ suy 𝐵𝐴𝑋 Cách chọn điểm E thỏa điều kiện EF = bán kính đường trịn phải cần tới thước có chia khắc (cho thước chuyển động quanh điểm C) Lại vi phạm “luật chơi” Tam phân góc cách dùng đường cong conchoid Nicomedes Trước hết ta xem cách Nicomedes (khoảng 280 – 210 trước TL) tạo đường cong conchoid  Cho đường thẳng L điểm O không nằm đường thẳng (xem hình trên) Qua O vẽ đường thẳng di động, đường thẳng cắt đường thẳng L điểm P Trên đường thẳng di động dựng điểm Q R cho PQ = PR = d, độ dài cho sẵn Khi đường thẳng di động quay quanh O tập hợp điểm Q R tạo thành đường cong gọi conchoid Nicomedes O gọi cực đường thẳng L tiệm cận đường cong conchoid Đường cong gồm hai phần riêng biệt, tiệm cận với đường thẳng L nằm hai bên đường Trong phần sau ta ý đến phần phía trên, quỹ tích điểm R (đối diện với điểm O)  Cách tam phân góc nhờ đường cong conchoid (xem hình trên): 𝑑 Cho góc AOB tùy ý Dựng điểm L cạnh OB với OL = (d độ dài cho sẵn) Dựng đường thẳng m qua L vng góc với OA Đường thẳng 13 qua L vng góc với m cắt đường cong conchoid (cực O, tiệm cận m số d) C Khi góc AOC 1/3 góc AOB Chứng minh: Gọi N giao điểm OC m, M trung điểm NC Ta có: 𝑑 LM = MN = MC = 𝑑 OL = (do cách dựng) (do định nghĩa conchoids tam giác CLN vuông L) Suy ra: ̂ = 𝐿𝑀𝑂 ̂ = 𝐿𝐶𝑂 ̂ = 𝐴𝑂𝐶 ̂ 𝐿𝑂𝐶 ̂ = 1/3 𝐴𝑂𝐵 ̂ □ Do 𝐴𝑂𝐶 Rõ ràng cách tam phân góc theo kiểu Hippocrates, Archimedes, dùng đường conchoid Nicomedes không tuân thủ “luật chơi” nghĩa dùng thước kẻ compa Có thể họ nghĩ hết cách mà không làm nên phải sáng tạo cách riêng để giải tốn Về sau cịn nhiều nổ lực nhiều nhà Toán học hệ nối tiếp không làm được, họ nghĩ nhiều cách khác nữa, Tốn học có dịp phát triển II Khái niệm trường, trường số dựng – Định lý Wantzel Trong phần đây, chúng tơi trình bày vài nét trường (field), trường mở rộng hữu hạn, trường số dựng phát biểu định lý Wantzel Sau áp dụng định lý để giải thích ba tốn cổ Hy Lạp khơng thể giải thước kẻ compa 2.1 Trường gì?  Có tập hợp khơng rỗng có hai phép tốn cộng (+) nhân (.) hai phép tốn thơng thường tập hợp số thực Mỗi phần tử a có phần tử đối xứng phép cộng, ghi –a, a ≠ có phần tử nghịch đảo, ghi a-1 Điều cho phép thiết lập hai phép toán khác sau: a – b = a + (-b) : phép trừ a.b = a b-1 : phép chia Người ta nói tập hợp cho với hai phép toán cộng nhân tạo thành trường  Hai trường mà thường gặp trường số thực ℝ trường số hữu tỷ ℚ Ngoài ta biết ℚ ⊂ ℝ, 14 ta nói ℚ trường trường ℝ Chúng ta ý rằng, tập hợp số nguyên ℤ trang bị hai phép tốn cộng nhân khơng phải trường (vì a ∈ ℤ a-1∉ ℤ a ≠ ±1) 2.2 Trường mở rộng gì?  Coi tập hợp xác định sau: ℚ (√2) = {a + b√2 / a, b ∈ ℚ} Thí dụ 0, , , √2 , - + 3√2 phần tử tập hợp Tổng tích hai phần tử tập hợp phần tử tập hợp Chẳng hạn như: (1 + 2√2) + (-4 +3√2 ) = -3 + 5√2 ∈ ℚ (√2) (1 + 2√2).(-4 +3√2 ) = - 5√2 ∈ ℚ (√2) Tập hợp có cấu trúc trường Ngồi ra, ta có: ℚ ⊂ ℚ (√2) ⊂ ℝ Ta nói ℚ (√2) trường mở rộng trường ℚ Mặt khác √2 nghiệm đa thức bậc hai x2 – đa thức đơn giản với hệ số hữu tỷ có tính chất Ta nói ℚ (√2) trường mở rộng bậc trường ℚ Ta viết [ℚ (√2): ℚ] = 3 Tương tự vậy, ℚ (√2) trường mở rộng bậc trường ℚ √2 nghiệm đa thức bậc ba x3 – Ta viết: [ℚ ( √2): ℚ] =  Bây ta xét tập hợp ℚ (√2,√3) = ℚ (√2) (√3) = {a + b√2 / a, b ∈ ℚ (√2)} = {a’ + b′√2 + c′√3 + d′√2 √3 / a’,b’,c’,d’ ∈ ℚ} Người ta chứng minh ℚ (√2,√3) mở rộng bậc ℚ (√2) Ta viết: ℚ ⊂ ℚ (√2) ⊂ ℚ (√2,√3) ⊂ ℝ, ta có: [ℚ (√2): ℚ] = [ℚ (√2,√3): ℚ (√2)] = 2, [ℚ (√2,√3): ℚ (√2)] [ℚ (√2): ℚ] = 15 Một cách tổng quát, ta có định lý sau bậc mở rộng trường: Định lý Nếu M trường mở rộng hữu hạn trường L N trường mở rộng hữu hạn trường M: L⊂M⊂N N trường mở rộng hữu hạn trường L Bậc mở rộng thỏa công thức: [N : L] = [N : M] × [M : L] Thí dụ: ℚ ⊂ ℚ (√2) ⊂ ℚ (√2,√3), [ℚ (√2,√3): ℚ ] = [ℚ (√2,√3): ℚ (√2)] [ℚ (√2): ℚ] = × = 2.3 Trường số dựng   Một số thực 𝑎 gọi dựng (constructible) người ta dựng đoạn thẳng có chiều dài |𝑎| từ đoạn thẳng có chiều dài (đơn vị chiều dài) sau số bước hữu hạn thực thước kẻ compa Tất số nguyên dựng Nếu hai số a b dựng tổng chúng a + b, tích chúng a.b dựng Hình cho thấy cách dựng tích a.b a b hai số dựng Ta kiểm chứng tập hợp số dựng trường trường số thực ℝ Ngoài số thực √2, √3,…đều dựng (xem hình dưới): Một cách tổng quát: Số a dựng số √𝑎 dựng  Số đại số gì? Các số nguyên, số hữu tỷ nghiệm nhị thức có hệ số hữu tỷ Chúng số đại số có bậc 16 Các số √2 , √2 nghiệm đa thức x2 – x3 – đa thức với hệ số hữu tỷ đơn giản Chúng số đại số có bậc Người ta chứng minh tập hợp số đại số trường trường số thực ℝ Năm 1882, nhà Toán học Đức Ferdinand von Lindemann (1852 – 1939) chứng minh số 𝜋 số đại số (số siêu việt) 2.4 Định lý Wantzel Pierre Wantzel (1814 – 1848)6, kỹ sư cầu đường khóa năm 1832, giảng dạy trường Bách Khoa trường Cầu Đường Cơng bố tác phẩm Tốn học lần vào năm 1829 (15 tuổi) Định lý Wantzel công bố vào năm 1837 tờ Journal de Liouville7 (Wikipedia) Dưới định lý Wantzel phát biểu dạng ngôn ngữ lý thuyết trường mở rộng Thời Wantzel chưa có lý thuyết này, Wantzel tính tốn thơng qua Hình học Đại số cổ điển (có thể xem thêm để biết cách giải vấn đề cách tuyệt vời Wantzel A Brief History of Impossibility Jeff Suzuki viết) Định lý (Wantzel) Một số a dựng tồn số hữu hạn mở rộng trường bậc hai ℚ = K0 ⊂ K1 ⊂ …⊂ Kr cho a ∈ Kr Ông thời với Augustin Cauchy (1789 - 1857) Evariste Galois (1811 - 1832) Những năm 1830, Cauchy dạy ĐH Bách Khoa Bài báo có tiêu đề: Recherches sur les moyens de conntre si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec le règle et le compas (Nghiên cứu cách nhận biết tốn Hình học giải thước kẻ compa) Năm 1837, Wantzel 23 tuổi 17 Có thể chứng minh định lý dựa định lý 1, khơng đơn giản nên người viết bỏ qua Có thể xem chứng minh đầy đủ Exo Géométrie Cours de Mathématiques, Universite de Lille Hệ quả: Mọi số dựng số đại số có bậc dạng 2n với số nguyên n ≥ 2.5 Áp dụng Bây ta áp dụng định lý Wantzel hệ để chứng minh ba toán cổ Hy Lạp giải thước kẻ compa Định lý Bài toán khai phương hình trịn khơng thể giải thước kẻ compa Chứng minh: Gọi a cạnh hình vng r bán kính hình trịn a2 = 𝜋 r2 a = r√𝜋 Do 𝜋 số đại số nên √𝜋 số đại số Theo hệ trên, √𝜋 số không dựng □ Định lý Bài tốn nhân đơi thể tích khối vng khơng thể giải thước kẻ compa Chứng minh: Bài toán nhân đơi thể tích khối vng tốn dựng số √2 Đây số đại số có bậc 3, khơng thể có dạng 2n, khơng phải số dựng □ Định lý Bài toán tam phân góc khơng thể giải thước kẻ compa Chứng minh: Ta cần đưa trường hợp tốn khơng giải đủ Lấy góc 𝜃 = 600 Cơng thức nhân ba lượng giác: 𝜃 𝜃 cos 𝜃 = 4cos3 – 3cos 𝜃 Với x = cos = cos 200, ta có phương trình: = 4x3 – 3x 8x3 -6x -1 = Nghiệm phương trình số đại số bậc 3, khơng thể có dạng 2n, khơng phải số dựng 𝜃 Như x không dựng nên = 200 không dựng □ 18 Tài liệu tham khảo A.D Aczel A Strange Wilderness Sterling New York 2011 E T Bell Men of Mathematics, New York, Simon and Schuster, 1937 Exo Géométrie Cours de Mathématiques, Universite de Lille Jeff Suzuki A Brief History of Impossibility Mathematics Magazin, Vol 81 2008 Encyclopedia.com Và nhiều tài liệu, hình ảnh khác lấy Internet California cuối Thu năm 2017 © 2017 lequanganh