Giáo án: Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp748186

Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 Ngày soạn : 16/1/2012 Buổi Cõu 1: Đề khảo sát a, cho A = + 22 + 23 + 24 + … + 220 Hỏi A có chia hết cho 128 khơng? b, Tính giá trị biểu thức 212.13  212.65 310.11  310.5 + 210.104 39.2 Bài : a, Cho A = + 32 + 33 + …+ 32009 Tìm số tự nhiên n biết 2A + = 3n b, Tìm số tự nhiên có ba chữ số chia hết cho biết chữ số hàng chục trung bình cộng hai chữ số Bài : Cho p p + số nguyên tố( p > 3) Chứng minh p + hợp số Bài : Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 84 , ƯCLN chúng Bài 5: Gọi A B hai điểm tia Ox cho OA = cm ; OB = cm Trên tia BA lấy điểm C cho BC = cm So sánh AB với AC Hướng dẫn chấm Bài a, 2A – A = 221 A 128 212.78 b, = 10 + 104 Hướng dẫn chem  27 Điểm 0.5 0.5 310.16 39.16 0.5 =3+3 =6 a, Tìm n = 2010 b, Gọi số phải tìm abc theo ta có a + b + ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 c  2b = a + c nên 3b   b  b  0;3;6;9 abc   c 0;5 Xét số abo ta số 630 Xét số ab5 ta số 135 ; 765 P có dạng 3k + 1; 3k + k N Dạng p = 3k + p + hợp số trái với đề  p = 3k +  p + = 3k +   p + hợp số Gọi số phải tìm a b ( a  b) ta có (a,b) = nên a = 6a/ b= 6b/ (a/,b/) = ( a,b,a/,b/N)  a/ + b/ = 14 a/ / b 13 11 a 18 30 b 78 66 54 O C A B ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 x Hai điểm A B tia Ox mà OA< OB (41) 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 Ngày soạn : 23/1/ 2012 Buổi 2: Ôn tập số hữu tỉ số thực Phần 1: Lý thuyết Cộng , trừ , nhân, chia số hữu tỉ a m b ( a,b,m  Z m  ) m a b a  b x  y    m m m a b a b x  y    m m m Với x= , y= a , y b a x y  b a x : y  b x  c ( y  0) d c a.c  d b.d c a d :   d b c  2,Giá tri tuyệt đối số hữu tỉ +/ Với x  Q Ta có  x neỏu x  x =   -x neỏu x < a.d b.c Nhaọn xeựt : Vụựi moùi x  Q, ta coự: x 0, x = -xvaứ x x +/ Với x,y  Q Ta có x  y  x  y ( Dấu xảy dấu nghĩa x.y  ) x  y  x  y ( // … // ) Phần II: Bài tập vận dụng Bài Thực phép tính: ( 1 1      49 )     4.9 9.14 14.19 44.49 89 ThuVienDeThi.com Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 ( 1 1      49     ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 = 1 1 1 1  (1      49)      (    ) 9 14 14 19 44 49 12 = 1  (12.50  25) 5.9.7.89     (  ) 49 89 5.4.7.7.89 28 Bài 2: Thực phộp tớnh: A A 212.35  46.92 2 3  212.35  46.9 2 3    510.73  255.492 125.7   59.143 510.73  255.49 125.7   59.143 212.35  212.34 510.73   12  12   59.23.73 212.34 3  1 510.73 1    12  3  1 59.73 1  23  10 10 3 6   12  59.73.9 10    12 : Bài a) Tìm x biết: 2x   x  b) Tìm giá trị nhỏ A = x  2006  2007  x Khi x thay đổi Giải a) Tìm x biết: 2x   x  Ta có: x +  => x  - + Nếu x  - 2x   x  => 2x + = x + => x = - (Thoả mãn) + Nếu -  x < => x = - Thì 2x   x  => - 2x - = x + 2 (Thoả mãn) ThuVienDeThi.com Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 + Nếu - > x Khơng có giá trị x thoả mãn b) Tìm giá trị nhỏ A = x  2006  2007  x Khi x thay đổi + Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013 Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = => A > + Nếu 2006  x  2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = + Nếu x > 2007 A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013 Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = => A > Vậy A đạt giá trị nhỏ 2006  x  2007 Cách : Dựa vào hai số đối có giá trị tuyệt đối - GV: Gọi học sinh trình bày Bài 4: Tìm x biết: a x    3,   5 b  x     x    - GV: Hướng dẫn giải a, x 1 x x 11 4 16   3,    x     5 5  x 14   5  x 1 2  x 2   x1 2   x  2  3   x21  5 3  x 1 x 11 x    x    b)  x   x 1 1   x  10     ThuVienDeThi.com Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 x 1  x   1   x  10       x 7  x 10       1( x 7)10 0     x 7010 x 7  ( x 7) 1 x 8 1,11  0,19  1,3.2 1 (  ):2 2, 06  0,54 Bài tập nhà : Bài 1,Cho 23 B  (5   0,5) : 26 A a, Rút gọn A B b, Tìm x  Z để A < x < B Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức M= x  2002  x  2001 ThuVienDeThi.com Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 Ngày soạn : /2/2012 Buổi 3: Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ I.Lý thuyết 1/ Định nghĩa +/ Với x  Q Ta có  x neỏu x  x =   -x neỏu x < 2, Tính chất : Vụựi mói x  Q, ta coự: x 0, x = -xvaứ x x +/ Với x,y  Q Ta có x  y  x  y ( Dấu xảy dấu nghĩa x.y  ) x  y  x  y ( // … // ) II.Bài tập Bài 1: Tính giá trị biểu thức a, A= 3x2- 2x+1 với x= Ta có x= 1 suy x= x=  2 HS tính giá trị trường hợp +/ Với x= +/ Với x=  A= 11 A= b, B= x3  3x  x  với x= -2/ c, C= x  y với x=1/2 y=-3 d, D= x    x với x=4 e, E= 5x2  x  1 với x= (về nhà ) 3x  Tương tự phần a giáo viên yêu cầu học sinh làm chữa phần b c KQ: B=20/ C= -8 D = -5 Bài 2: Tìm x biết a, x   2x   x  =1-2x Do x   với x nên xét với – 2x   x  ThuVienDeThi.com Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 Trường hợp 1: x-7 = 1-2x => 3x =8 => x=  (loại không thoả mãn điều kiện x ) Trường hợp 2: x – = 2x -1  x = - 6( thoả mãn điều kiện x) b, x   x   x c, x   x   3x GV: yêu cầu học sinh làm gọi lên bảng trình bày Bài 3: Tìm x y biết b, 7,5   x  4,5 a, 2 x   c, 3x   y   GV: Tổ chức cho học sinh làm Học sinh lên bảng trình bày Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức a, A= 3,  4,3  x Ta có 4,3  x  với x  4,3  x  3,  3, Hay A  3, 4,3  x  Dấu xảy 4,3  x  x  4,3 Vậy giá tri nhỏ A= 3,7 x= 4,3 Tương tự giáo viên cho học sinh làm phần b, c b, B= 3x  8,  24, c, C= x   y  7,5  17,5 Bài tập nhà Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức sau a, D  5,5  x  1,5 b, E   10,  x  14 c, F   x   y  12 ` ThuVienDeThi.com Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 Buổi 4: Giá trị tuyệt đối số hữu tỉ.(tiếp theo) Ngày soạn : 10 /2/2012 I Lý thuyết 1/ Định nghĩa +/ Với x  Q Ta có  x neỏu x  x =   -x neỏu x < 2, Tính chất Vụựi mói x  Q, ta coự: x 0, x = -xvaứ x x +/ Với x,y  Q Ta có x  y  x  y ( Dấu xảy dấu nghĩa x.y  ) x  y  x  y ( // … // ) II Bài tập : Bài 1: Tìm tất số a thoả mãn điều kiện sau: a) a = |a|; b) a < |a|; c) a > |a|; d) |a| = - a; e) a  |a| Bài 2: Bổ sung thêm điều kiện để khẳng định sau đúng: a) |a| = |b|  a = b; b) a > b  |a| > |b| Bài 3: Cho |x| = |y| x < 0, y > Trong khẳng định sau, khẳng định sai a) x2y > 0; b) x + y = 0; c) xy < 0; d) 1   0; x y d) x   y Bài 4: Tìm giá trị biểu thức sau: a) B = 2|x| - 3|y| với x = 1/2; y = -3 b) C = 2|x – 2| - 3|1 – x| với x = 4; Bài 5: Rút gọn biểu thức sau: a) |a| + a; b) |a| - a; c) |a|.a; d) |a|:a; e) 3(x – 1) – 2|x + 3|; g) 2|x – 3| - |4x - 1| Bài 6: Tìm x đẳng thức sau: a) |2x – 3| = 5; b) |2x – 1| = |2x + 3|; c) |x – 1| + 3x = 1; d) |5x – 3| - x = Bài 7: Tìm số a b thoả mãn điều kiện sau: a) a + b = |a| + |b|; b) a + b = |b| - |a| Bài 8: Có cặp số nguyên (x; y) thoả mãn điều kiện sau: a) |x| + |y| = 20; b) |x| + |y| < 20 Bài 9: Điền vào chỗ trống (…) dấu , ,  để khẳng định sau với a b ThuVienDeThi.com Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 Hãy phát biểu khẳng định thành tính chất rõ xảy dấu đẳng thức ? a) |a + b|…|a| + |b|; b) |a – b|…|a| - |b| với |a|  |b|; c) |ab|…|a|.|b|; d) a |a| b |b| Bài 10: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) A = 2|3x – 2| - 1; b) B = 5|1 – 4x| - 1; c) C = x + 3|y – 2| - 1; d) D = x + |x| Bài 11: Tìm giá trị lớn biểu thức: a) A = - |2x – 1|; b) B = ; | x  | 3 Bài 12: Tìm giá trị lớn biểu thức C = (x + 2)/|x| với x số nguyên Bài 13: Cho |a – c| < 3, |b – c| < Chứng minh rằng: |a – b| < Bài 14: Đưa biểu thức A sau dạng không chứa dấu giá trị tuyệt đối: A = |2x + 1| + |x - 1| - |x – 2| 10 ThuVienDeThi.com Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 Ngày soạn : 15 /10/ 2012 Buổi 5: Luỹ thừa số hữu tỉ A Lý thuyết 1, x m x n  x m  n 2, x m : x n  x m  n ( x  0, m  n ) 3, ( x m ) n  x m n 4, ( x y ) m  x m y m x m xm 5, ( )  ( y  0) y ym 6,  an n a - GV: Cho học sinh ghi lại nội dung công thức Dang1: Tìm chữ số tận cùng: Tìm chữ số tận An, n ¹ *Nhận xét: “Nếu chữ số tận A b, chữ số tận An chữ số tận bn” Từ nhận xét suy ra: 1)Nếu A có chữ số tận 0, 1, 5, An có chữ số tận tương ứng 0, 1, 5, 2)Nếu A có chữ số tận 4, A2k có chữ số tận tương ứng 6, 3)Nếu A có chữ số tận 2, 3, 7, A4k có chữ số tận tương ứng 6, 1, 1, *Áp dụng: VD1: Tìm chữ số tận luỹ thừa sau: 192008; 12100; 12103 Lời giải: a) 192008 =192.1004 =(192)1004 =3611004 3611004có tận  192008 có tận b) 12100=124.25=(124)25 124 có tận  (124)25 có tận Vậy 12100 có tận c) 12103=123 12102 có tận 11 ThuVienDeThi.com Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 VD2: Tìm chữ số tận luỹ thừa sau: 172007, 1921; 131003 Lời giải: Ta tìm cách liên hệ luỹ thừa với luỹ thừa dạng A2k, A4k để vận dụng ý nhận xét đ ây Thật vậy, 172007=17 172006=17 174.501 =17.(174)501 174 có tận (174)501 có tận 17.(174)501 có tận Vậy 172007có tận Tương tự 1921=19 192.10 suy 1921 có tận 131003=133 134.250 suy 131001 có tận VD3: Chứng minh 3366 +7755 – chia hết cho Lời giải: Ta chứng minh 3366 +7755 -2 có tận sau vận dụng dấu hiệu chia hết cho Thật vậy, 3366 có chữ số tận với 366, mà 366=933=9.92.16 suy 366 có tận 9, 7755có chữ số tận với 755, 755=73.74.13 nên 755 có tận Do 3366, 7755 có chữ số tận 9, suy 3366 +7755 – tận (đpcm) Bài tập: 1/ a) 2100 ; b) 3100 ; c) 4100 d) 5100 ; e) 6100 ; f) 7100 g) 8100 ; 9100 Ta nhận thấy luỷ thừa 5100 , 6100 thuộc dạng đ trình bày lại luỷ thừa mà số 2, , , , , 2/Tìm chữ số tận của: a) 71992 (HD: = 74 tận 1) b) 9101 c) 24100 d) 19451945 ; e) 21000 f) 7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335 3: T×m chữ sè tËn cïng cđa c¸c luỹ thõa sau : a) 12921997 ; b) 33331997 ; c) 12341997 ; d) 12371997 ; e) 12381997 ; f) 25691997 Bài giải Nhận xét quan trọng : Thùc chÊt chư sè tËn cïng cđa lũy thõa bËc n mộtsố tự nhiên phụ thuộc vào chử số tận số tự nhiên mà (cơ số) Như toá thực chất toán a) 12921997 = 12924 499 +1= (12924)499 1292 = A6.1292  M b) 33331997 = 33334 499 +1 =(33334)499 +1 3333 = (B1) 499 3333 = D3 c) 12341997 = 12344 499 +1 = (12344)499 1234 = ( C )499 1234 = G d) 12371997 = 12374 499 +1 = (12374) 499 1237 = (D1) 499 1237 = X Dạng 2: chứng minh Chia hết 12 ThuVienDeThi.com Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 Vận dụng vào toán chứng minh chia hết áp dụng dấu hiệu chia hết Ta dể dàng nhận thấy : Nếu hai số có chữ số tận giống thực phép trừ có chữ số tận ta có tốn chứng minh chia hết cho { 2,5,10 } Nếu số có tận số có tận chẳng hạn ta có tốn chứng minh tổng hai số chia hết cho (vì chữ số tận tổng 4) Các toán cụ thể : Hãy chứng minh a) 12921997 + 33331997  Theo toán ta có 12921997 = M 33331997 = D3 tổng hai số có tận  12921997 + 33331997  a) Chứng minh 16281997 + 12921997  10 Áp dụng qui tắc tìm chữ số tận ta có 16281997 có tận M 12921997 Sẽ Có tận N Như 16281997 + 12921997  10 (vì chữ số tận tổng 0) Ta vận dung hiệu hai số tích hai số để tốn chứng minh tương tự a) 4343-1717 chia hết cho 10 b) 3636 -910 chia hết cho 45 c) 71000 -71000 chia hết 10 d) (210+ 211+212) chia hết cho e) 810-89-88 chia cho 45 số tự nhiên Giải: a) 4343 = 434)10.433 = (số có tận 1)10.( số có tận 7)= (số có tận 1717 = 174.173 ( 1)4 = ( 7) = số có tận Vậy 4343-1717 có tận nên chia hết cho 10 b) 3636 có tận có tổng chữ số chia hết cho 910= (81)5 có tận chia hết cho Vậy sơ có tận => chia hết cho 5, số hạng chia hết tổng chia hết cho Số vừa chia hết cho vừa chia hết chia hết cho 45 c) 71000 =(74)250 = ( 1)250 = tận 31000 = (34)250 =( 1)250 tận Vậy hiệu tận nên chia hết cho 10 d) Đặt thừa số chung e) Đặt thừa số chung f) Chứng minh: 175+244-1321  10 g) Chứng minh: 71999-43  100 h) Chøng minh r»ng: A  3638  4133 chia hÕt cho 77 i) a) Chứng minh rằng: Với n nguyên dương ta có: 13 ThuVienDeThi.com Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 j) S  3n   2n   3n  2n chia hÕt cho 10 Dạng 3: So sánh hai lũy thừa I Phương pháp : Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa so sánh hai luỹ thừa số số mũ - Nếu hai luỹ thừa có số ( lớn ) luỹ thừa có số mũ lớn lớn Nếu m > n am > an ( a > 1) - Nếu hai luỹ thừa có số mũ ( lớn ) luỹ thừa có số lớn lớn Nếu a > b an > bn ( n > 0) - Ngoài để so sánh hai luỹ thừa ta cịn dùng tính chất bắc cầu ( Nếu a > b b > c a > c ) , tính chất đơn điệu phép nhân ( Nếu a > b ac > bc với c > ) II Các ví dụ Ví dụ : So sánh 1619 825 - Cách giải : Ta thấy số 16 khác luỹ thừa nên ta tìm cách đưa 1619 825 luỹ thừa số - Giải : So sánh 1619 825 Ta có : 1619 = ( 24 )19 = 24.19 = 276 825 = ( 23 )25 = 23.25 = 275 Vì 276 > 275 nên 1619 > 825 Ví dụ : So sánh 2300 3200 - Cách giải: Ta thấy số mũ 300 200 chia hết cho 100 nên ta tìm cách đưa số 2300 3200 số có luỹ thừa bậc 100 - Giải: So sánh 2300 3200 Ta có : 2300 = 23.100 = 8100 3200 = 32.100 = 9100 Vì 8100 < 9100 nên 2300 < 3200 Ví dụ 3: So sánh 3111 1714 - Cách giải: Ta thấy tốn khơng dùng cách ví dụ ví dụ được, nên phải tìm cách so sánh gián tiếp qua số khác ( thêm, bớt, vận dụng số tích chất khác ) - Giải: : So sánh 3111 1714 Ta có : 3111 < 3211 Mà : 3211 = (25)11 = 255 Vậy 3111 < 255 1714 > 1614 Mà : 1614 = (24)14 = 256 Vậy 1711 > 256 Mà 256 > 255 Nên 3111 < 1714 III Các tập: So sánh hai số sau a) 25 125 ; 536 1124 ; 32n 23n ( n số tự nhiên khác ) b) 523 6.522 ; 7.213 216 ; 339 1121 [ 14 ThuVienDeThi.com Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 c) 10750 7375 291 535 ; 544 2112 ; ; 421 647 ; 530 12410 Dạng : Thực phép tính TÝnh tỉng: G= + 32 + 33 + 34 +32008 Lêi gi¶i: 3G = 32 + 33 + 34 +35 +32009 2G = 3G – G = (32 + 33 + 34 +35 +32009) – (3 + 32 + 33 + 34 +32008) = 32009 –  G= 2009  Ta cã thÓ tổng quát toán thành toán sau: Tính tỉng: G= a + a2 + a3 + a4+…+an (víi a n số nguyên dương a 1) Lêi gi¶i: aG = a2 + a3 + a4 +a5+ +an (a-1)G = aG – G = (a2 + a3 + a4 +a5+ +an+1) –( a + a2 + a3 + a4+ +an) = an+1 – a  G= a n a a Bài toán 3: TÝnh tæng H= 1 1     2008 5 5 Ta tính tổng H theo toán cách đặt a H = a + a2 + a3 + a4+…+a2008 Tuy vËy ta cßn có cách khác phù hợp hơn: 5.H = 1 1     2007 5 5 4H=5H –H = (  = 1- 1 1 1 1     2007 ) –(     2008 ) 5 5 5 5 2008 = 2008  2008 15 ThuVienDeThi.com Giáo án : Bồi dưỡng học sinh giỏi lớp7 2008  4.5 2008  H= Ta cã thể tổng quát toán thành toán sau: TÝnh tæng H= 1 1     a (víi mäi a vµ n số nguyên dương a 1) a a a a Bài giải: 1 1   a 1 a a a a a.H=  1 1 1 1     a )     a 1 ) – ( a a a a a a a a (a-1)H = aH – H = (  an 1 = an an =1- an 1 (a  1)a n H= Từ kết toán ta khai thác dạng khác sau: Bài toán 4: a Chứng minh rằng: I= 1 1     2008 < 5 5 Tõ toán ta có: 4.I = 1-